高考数学《数列中的存在性问题》

函数中存在性和任意性问题分类解析

全称量词、特称量词以及全称命题和特称命题在近几年新课标高考卷和模拟卷中频频亮相成为高考的热点问题.特别是全称量词”任意”和特称量词”存在”与函数情投意合风火情深，火借风势、风助火威，大有逾演逾烈之势.两种量词插足函数，使得函数问题意深难懂神秘莫测，问题显得更加扑朔迷离难度大增，同时题目也因此显得富有变化和新意.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，本文通过典型题目分类解析供参考. 1.，，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即.

例1 已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）

解 设函数与在上的值域分别为与，依题意. 当时，，则，所以在上单调递增，所以即. 当时，，所以单调递，所以即. 综上所述在上的值域. 当时，，又，所以在在上单调递增，所以即，故在上的值域. 因为，所以或解得，故应选.

2.对，，使得，等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即.

例2(2011湖北八校第二次联考)设，.①若，使成立，则实数的取值范围为＿＿＿;②若，，使得，则实数的取值范围为＿＿＿

解 ①依题意实数的取值范围就是函数的值域.设，则问题转化为求函数的值域，由均值不等式得，，故实数的取值范围是. ②依题意实数的取值范围就是使得函数的值域是函数的值域的子集的实数的取值范围.由①知，易求得函数的值域，则当且仅当即，故实数的取值范围是.

例3已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.(1)求的单调区间;(2)若，且，函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围.

解 (1)略;(2)依题意实数的取值范围就是使得在区间上的值域是的值域的子集实数的取值范围. 当时， 由得，故在上单调递减，所以即，于是. 因，由得. ①当时，，故在上单调递增，所以即，于是.因为，则当且仅当，即. ②当时，同上可求得. 综合①②知所求实数的取值范围是.

解题研究　例说数列存在性问题的求解策略　（山东省沂水县第三中学　２７６４００）　李光辉　赵连波　王培福　开放型探索性问题是近几年高考中出现的能　力考查题型之一．而数列中探究常数的存在性，更　是频频出现在当今高考试题之中．原因是：一方面　此类问题常以高中代数的主体内容．函数、方程、　不等式、数列为载体，在知识的交汇处，考查学生　综合运用知识的能力；另一方面，求解此类问题必　须以科学的思维方法作指导，抓住特殊与一般，优　算与精确，有限与无限等关系加以转化，才能获得　．　探索的结果，因而对学生的综合素质与能力提出　‘　了较高的要求．下面举例说明求解此类问题的一　学Ｉ　些策略．　教ｌ　学ｌ　１　从特殊入手。再作一般证明　通Ｉ　讯ｌ　由于常数具有不变性，因此通过数列中的特　总ｌ　殊项或项数，即可估算出常数的值，而对于一般　第１曼性，只需加以验证，就可以获得问题的解决．　ｌ　ｃｏｌ　例１　是否存在这样的等差数列｛ｎ　），使它的　期Ｉ姜首项为１，公差不为零，且其前　ｌ项和与其后２ｎ项　ｌ古的和的比值对于任意　∈Ｎ。恒等于常数？若存在　－＿ＪＬ＿ｌ求出数列｛　）的通项公式及常数的值，若不存在，　说明理由．　解：若存在这样的等差数列｛　｝，其公差为ｄ，　前　项和记作ｓ　，则其后２　项之和为ｓ　一ｓ　．　由题设，记　一　（　为常数）．　由Ｓ　＝　＋　ｄ，　Ｓ　一Ｓ　一２ｎ＋ｒＪ（４ｎ—１）ｄ，　令　一１，　一２得　一　２＋ｄ＝　．　整理得ｄ。一２ｄ一０，即ｄ＝２或ｄ＝０（舍　去），此时　一÷．　于是，　任意　∈Ｎ＋，　有　一　２ｎ≮　２　７１　一－８嘉一　８一　成立，故存在这　＋　（４，　一１）　”２　。　一’　“～　样的等差数列｛ａ　｝，其通项公式为ｎ　一２ｎ一１，常　慧蠹蠖　数　＝＝＝专・　２　从一般入手。再用待定系数法　对于有些特殊数列，利用题设能得出一个关　于　的恒等式，这就为待定系数法的运用提供了　可能．　例１也可这样来解：　由　一　，得（　＋Ｉ）Ｓ　一　３ｎ　Ｈ　因Ｓ　一昙［２＋（　一１）ｄ］，　Ｓ　一　［２＋（３　一１）　，　把它们代入上式，化简整理得　ｄ（１—８　）　＋２—４　＋（２　一１）ｄ＝０．　要使该等式成为恒等式的充要条件是　ｄ（１—８　）一２—４３．＋（２　一１）ｄ一０．　因为ｄ≠０，所以　一言，此时ｄ一２・　故存在这样的等差数列｛口　），其通项公式为　口　一２ｎ一１，常数　一告．　【Ｊ　３　从函数入手。注意合理转化　数列是特殊函数，既具有函数的一般性质，又　具有自然数连续传递关系等特性，因而利用函数　思想合理转化，也是解决数列问题的重要策略．　例３　已知对于大于１的自然数　，不等式　＋　＋…＋　＞　疽成立，求满足条件　的最大正整数　．　解：令，（　）一　＋　＋…＋．　１，则　十上　十　．ｆ（ｎ＋１）一　＋　＋…＋　，　因为厂（　＋１）一，（　）＝　＋　１＿　一　一　２　２　ｎ音百　＞ｏ．　＋１　（＋１）（鲍＋１

高考选择填空专练（试题精选）

数列

一、选择题

1．（广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为

A.5 B.4 C. 3 D. 2

2．（湖北卷）若互不相等的实数,,abc成等差数列，,,cab成等比数列，且310abc，则a

A．4 B．2 C．－2 D．－4

3．（全国卷I）设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa

A．120 B．105 C．90 D．75

4．（全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12＝

（A）310 （B）13 （C）18 （D）19

5．（全国II）已知等差数列na中，247,15aa，则前10项的和10S＝

（A）100 (B)210 (C)380 (D)400

6．(陕西卷)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )

A.18 B.27 C.36 D.45

7．（天津卷）已知数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba．设nbnac（*Nn），则数列}{nc的前10项和等于（ ）

A．55 B．70 C．85 D．100

8．（天津卷）设na是等差数列，1359aaa，69a，则这个数列的前6项和等于（ ）

1 数论中的存在性问题

知识要点与基本方法

在数论问题中回答满足一些条件的某对象存在或不存在的问题我们称之为数论存在性问题．它与其它数学存在性问题在理论上是一样的，区别是，其内容是数论知识方面的．

基本方法:

解决数论存在性问题没有什么死的方法，也没有什么固定的程式，所用知识是普遍的，采取的方法也是灵活多样的．

但由于数论存在性问题是数学竞赛中难度较大的，并且又是常见的题型，因此，对其解决的方法我们给出大致的归纳如下：

1．反证法．

2．数学归纳法．

3．按模分类．

4．高斯函数．

5．试验，猜想，证明．

6．构造法．

（1）按归纳方式构造

（2）用阶乘构造

（3）用非十进制记数构造

7．数论知识的综合运用．

赛题精讲

1．关于反证法

例1 已知n是已确定的正整数，)(kfr是使满足nr1的整数r与满足nk1的整数k对应的函数，且当21kk时，恒有)()(21kfkf．证明：存在整数)1(nmm，使mmf)(恒成立．

【分析】 因n的大小不知道，函数f的对应关系情况复杂，故很难确定符合条件的m，不妨用反证法．

证明：若对任何nm1的m，均有mmf)(，则由1)1(f和1)1(f，可知2)1(f．于是，2)1()2(ff，即2)2(f，又2)2(f．故3)2(f，同理可得4)3(f，„，nnf)1(，1)(nnf．这与nnf)(1矛盾．

故，存在整数)1(nmm，使mmf)(．

2 2．关于数学归纳法

例2 在黑板上依次写出数a1=1，a2，a3，„，法则如下：如果2na为自然数且未写出过，则写21nnaa，否则就写31nnaa，证明：所有出现在该序列中的完全平方数都是由写在它前面的那个数加3得到的．

【分析】 关键是根据在黑板上写数的法则，归纳证明：mk5时，55kkaa，继而，考虑平方数被5除的余数特征．