经济学中的 “弹性”大全
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1 第二章 弹性分析
影响商品需求的任何因素变动将导致商品需求发生改变，商品销售方渴望知
道，如果他们对商品销售价格进行调整、对商品质量进行改进或者提高售后服务
水平等等，其商品的市场需求将如何变化；同样，政府也想知道，调整税收将如
何影响产品和劳务的市场需求，更一般地说，函数自变量变化能在多大程度上影
响函数因变量变化。为了更好地进行定量分析，经济学家选择了一个被命名为弹
性（）的定量分析指标，弹性描述了函数因变量对自变量变化的敏感程度，即
自变量变化1%个单位时，因变量将变化百分之几个单位。如果函数表达式为
()yfx，那么，我们可以利用数理工具将函数图像上
11(,)Axy和
22(,)Bxy两点
之间的弧．弹性．．刻画如下：
100%
100%y
yxy
xxy
x
因变量变化的百分数
弧弹性()
自变量变化的百分数 （2-1）
当
11(,)Axy、
22(,)Bxy两点无限靠近，即0x时，弧弹性演化成点弹性．．．，
同样，我们可以利用数理工具将点弹性刻画如下：
dyx
dxy因变量变化的百分数
点弹性()
自变量变化的百分数 （2-2）
第一节 弹性的数理刻画与几何意义
面对具有函数关系的变量，比如()yfx，或者
123(,,,...,)
nyfxxxx，经济
学研究中，常常需要考察自变量变化()x对因变量变化()y的影响力度(y
x
)。
如果仅仅研究
11(,)Axy和
22(,)Bxy两个状态，那么，最理想的研究工具当然是y
x
，因为y
x
直观地显示：自变量变化1单位时，因变量变化y
x
单位，但是，这种
比较静态方法没有经济学边际分析意义。 由于导数具有边际分析意义，所以，经济学更多地利用导数()dy
dx刻画自变
量变化()dx对因变量变化()dy的影响力度，但是，对目标函数求导的结果往往是 2 一个不具有经济学含义的导函数，因此，经济学引入弹性概念，用以描述自变量
变化1%个单位时，因变量变化百分之几个单位，即dyx
dxy，或者yx
xy
。
经济学常常利用导数与弹性进行经济分析。经济学利用导数的正负号判断函
数单调性，从而判断经济变量之间表现为同方向变化还是反方向变化；利用弹性
符号替代dyx
dxy，不仅消除了表达式中的微分符号、简化了表达式，而且具有
直观经济学含义。我们首先将注意力聚焦于弹性的数理刻画，然后将视线转移到
弹性的几何意义。
一、需求的价格弹性
需求弹性分为需求的价格弹性、需求的收入弹性和需求的交叉弹性等①。我
们将在下文分别详细探讨。
需求的价格弹性描述了商品需求量对商品价格变化的敏感程度。假设某商品
的需求函数为()QfP，则该商品需求的价格弹性可以表示为：
100%
100%Q
QPQ
PPQ
P
需求量变化的百分数
需求的价格弹性
价格变化的百分数 （2-3）
式（2-3）刻画了某商品的销售价格从
1P变化到
2P时，该商品需求曲线上点
11(,)APQ和点
22(,)BPQ之间的弧弹性大小，其中，
21QQQ，
21PPP，
12()/2QQQ，12()/2PPP。商品价格与商品需求量之间的反方向变化必然导致0QP
PQ
，但是，商品需求量对商品价格变化的敏感程度仅仅取决于
||QP
PQ
的大小，而与QP
PQ
的符号无关，同时，为了方便不同弹性之间进行相
互比较，我们将需求的价格弹性调整为：
① 国内市场大量充斥着假冒伪劣产品的情况下，商品质量对商品需求量的影响甚至超过了价格对商品需求
量的影响，所以，研究商品的质量弹性是件非常有意义的工作，但是，由于商品质量高低程度难以量度和
计量，因此，经济学一般避开了这个“话题”。
3 ||QPQP
PQPQ
需求的价格弹性 （2-4）
式（2-4）刻画了需求曲线上两点之间的弹性大小，因此，我们称之为弧弹性．．．。
如果0P，那么，必然有0Q，当需求曲线上两点之间的变化量无限趋向
于零时，我们称之为点弹性．．．，点弹性的具体表达式为：
0lim||||
PQPdQPdQP
PQdPQdPQ
需求的价格弹性 （2-5） 我们也可以将需求的价格弹性表示为ln
lndQ
dP①，值得注意的是，dQP
dPQ更适合于处理线性问题，ln
lndQ
dP更适合于处理非线性问题。
例题1： 假设某商品的需求函数为bQaP，其中，a和b为非零常数，则需求
的价格弹性为多少？
解答： 方法①：ln
lnlnln
lnbdQ
QaPQabPb
dP 方法②：11bb
bdQdQPP
abPabPb
dPdPQaP
心得体会：面对非线性问题时，首先对需求函数两边同时取对数，将之转换为线性形式，然后利用ln
lndQ
dP求弹性，可以大大简化运算过程。
①证明1：利用微分方法：
1lnln
ln1lndQdQdQdQdQQQQ
dPdPdPdPdPPPP
证明2：利用导数方法：
ln1lnln
lnln1lndQdQdQdQPdQdQQQ
dPQdPdPdPdPdPPP
证明3：利用链式法则：
ln1
lnln1lnlnln
lnln1lnlnln
lnlnlndQdQdPdQdQdQPdQdQdQdQPdQdPdPdPdPPdPdP
dQdQdQdQdPdQdPQdPQdP
dPdQdPQdP
4 二、需求的收入弹性
需求的价格弹性描述了商品需求量对该商品价格变化的敏感程度，但是，政
府决策部门和经济学理论研究人员都想知道商品需求量（Q）对消费者收入（M）
变化的敏感程度，于是我们引入需求的收入弹性。与需求的价格弹性完全类似，
我们可以将需求的收入弹性刻画如下：
dQM
dMQ需求的收入弹性 ( 2-6) 如果0dQ
dM，那么，表明消费者对该商品的需求随着收入的增加而增加，
我们称这类商品为正常品．．．；如果0dQ
dM，那么，表明消费者对该商品的需求随
着收入的增加而减少，我们称这类商品为低等品．．．；如果0dQ
dM，那么，表明消
费者对该商品的需求与收入无关，我们称这类商品为中性品．．．。我们可以将上述分
析归纳如下：
0
0
0dQ
dM
dQ
dM
dQ
dM
我们将此类商品称为正常品
我们将此类商品称为中性品
我们将此类商品称为低等品，；
，；
，。
0MdQ
QdM与dQM
dMQ的符号相同，因此，我们可以借用需求的收入弹性
作为分类标准，对商品分类①进行如下刻画：
0
低等品()
商品中性品(=0)
必需品(01)
正常品
奢侈品(1)
① 特别注意：将商品分类为低等品、正常品和中性品的唯一标准是需求的收入弹性，与任何其它指标无关，
这对掌握好收入效应非常紧要！另外，没有哪种商品天然就是低等品或正常品。对某个消费是低等品的商
品对另一个消费者可能是正常品，对同一个消费者来说，某商品在某时期是正常品，但在另一时期可能是
低等品，在某一时期的低等品，但在另一时期也可能是正常品。 5 例题2：证明：两商品模型中，如果其中一种商品为劣等品，那么，另一种
商品必为奢侈品。
解答：
我们知道：劣等品的收入弹性小于0，正常品的收入弹性大于0，奢侈品的
收入弹性大于1。在两商品模型中，假设商品X为劣等品，另一种商品为Y，则有/
0
/dXX
dMM，消费者预算约束方程
XYXPYPM两边同时对M求导数，得
1
XYdXdY
PP
dMdM，对其进行整理可得//
1
//XYXPYPdXXdYY
dMMMdMMM，由于
/
0
/dXX
dMM，所以，必有/
1
/YYPdYY
dMMM，又因为01YYP
M，因此，必有
/
1
/dYY
dMM，即Y商品的收入弹性大于1，从而命题得证。
心得体会：因为我们将商品分类的标准是需求的收入弹性，所以，在具体分
析时必须“凑”出需求的收入弹性表达式，否则分析过程便难以为继。这种“凑”
弹性表达式的方法在经济学分析中得到了广泛应用，希望读者好好体会。
三、需求的交叉弹性
即使与被研究商品相关的所有其它条件保持不变，相关商品价格发生变化也
会影响消费者对被研究商品的需求量。与被研究商品相关的商品包括替代品和互
补品。
在消费中可以相互替代以满足消费者某种欲望的商品被称为替代品．．．，如雪碧
和可乐、王老吉与加多宝等。在其它条件不变的情况下，对被研究商品而言，如
果替代品价格上涨，那么，消费者对被研究商品的需求量增加；如果替代品价格
下跌，那么，消费者对被研究商品的需求量减少。
消费者将某两种商品相互捆绑使用，以满足消费者某种欲望的商品被称为互．
补品．．，如汽车与汽油、左脚鞋与右脚鞋等。在其它条件不变的情况下，对被研究
商品而言，如果其互补品价格上涨，那么，消费者对被研究商品的需求量减少；
如果其互补品价格下跌，那么，消费者对被研究商品的需求量增加。
因为替代品和互补品的价格变动影响商品需求量，为了对这类经济现象进行
定量分析，我们不得不提及商品需求的交叉弹性。
/
/AA
BBQQA
BPP
商品需求量变化率
需求的交叉弹性
商品价格变化率
