新教材新高考一轮复习人教B版 第一章 第三节 等式的性质与不等式的性质 作业

课时规范练3 等式性质与不等式性质基础巩固组1.(2023·广东湛江高三检测)下列结论正确的是()A.若√a<√b,则a<bB.若a2>b2,则a>bC.若a>b,则ac2>bc2D.若ac>bc,则a>b答案:A解析:√a<√b,两边平方得a<b,A正确;当a=-1,b=0时,满足a2>b2,但a<b,B错误;若a>b,c=0,则ac2=bc2=0,C错误;若ac>bc,c<0,则a<b,D错误.2.(多选)(2023·浙江温州高三检测)已知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则()A.3<x+y<9B.-1<x-y<3C.2<xy<18D.12<xy<2答案:AC解析:由1<x<6,2<y<3,知3<x+y<9,2<xy<18,A,C正确;-3<-y<-2,故-2<x-y<4,B错误;13<1y<12,故1 3<xy<3,D错误.故选AC.3.(多选)(2022·广东汕头二模)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是() A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac答案:BCD解析:因为a,b,c满足c<a<b,且ac<0,所以c<0,a>0,b>0,a-c>0,b-a>0,所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,cb2<ab2,ab>ac.故选BCD.4.(多选)(2023·重庆巴蜀中学高三检测)下列命题正确的是()A.若ca >cb,则a<bB.若a<b且ab>0,则1a >1bC.若a<b<0,则a2<ab<b2D.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd 答案:BD解析:对选项A,可取a=3,b=2,c=-1,则满足ca >cb,但此时a>b,所以选项A错误;对选项B,因为ab>0,a<b,所以若b>a>0,则1a >1b;若a<b<0,则1a>1b,所以选项B正确;对选项C,若a<b<0,则a2>ab,所以选项C错误;对选项D,若c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0,所以-ac>-bd,所以ac<bd,所以选项D正确.5.已知m5=4,n8=9,0.9p=0.8,则正数m,n,p的大小关系为()A.p>m>nB.m>n>pC.m>p>nD.p>n>m答案:A解析:由m5=4,得m=415=225<√2,由n8=9,得n=918=314,因此mn =225314=225×20314×20120=2835120=256243120>1,即√2>m>n.由0.9p=0.8,得p=log0.90.8>log0.90.81=2,于是得p>m>n.所以正数m,n,p的大小关系为p>m>n.6.已知0<x<4,0<y<6,则2x-y的取值范围是.答案:(-6,8)解析:因为0<x<4,0<y<6,所以0<2x<8,-6<-y<0,所以-6<2x-y<8.7.P=a2+a+1,Q=1a2-a+1,a∈R,则P,Q的大小关系为. 答案:P≥Q解析:P=a2+a+1=a+122+34>0,因为a2-a+1=a-122+34>0,所以Q>0,由PQ=(a2+a+1)(a2-a+1)=(a2+1)2-a2=a4+a2+1≥1,所以P≥Q.综合提升组8.(多选)(2023·湖南益阳高三检测)已知a,b,c,d均为实数,下列不等关系推导不一定成立的是()A.若a>b,c<d,则a+c>b+dB.若a>b,c>d,则ac>bdC.若a>b>0,c>d>0,则√ad >√bcD.若bc-ad>0,ca −db>0,则ab<0答案:ABD解析:对于A,若a=2,b=1,c=-2,d=-1,则a+c=b+d=0,所以A符合题意,对于B,若a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=bd=-2,所以B符合题意,对于C,因为c>d>0,所以ccd >dcd>0,即1d>1c>0,因为a>b>0,所以ad >bc>0,所以√ad>√bc>0,所以C不符合题意,对于D,若a=1,c=2,b=2,d=1,满足bc-ad>0,ca−db>0,而此时ab=2>0,所以D符合题意.故选ABD.9.(2023·辽宁沈阳二中月考)已知a,b∈R且满足{1≤a+b≤3,-1≤a-b≤1,则4a+2b的取值范围是()A.[0,12]B.[4,10]C.[2,10]D.[2,8] 答案:C解析:设4a+2b=A(a+b)+B(a-b),可得{A+B=4, A-B=2,解得{A=3,B=1,所以4a+2b=3(a+b)+(a-b),因为{1≤a+b≤3,-1≤a-b≤1,所以{3≤3(a+b)≤9,-1≤a-b≤1,所以2≤4a+2b≤10.10.已知2<x<4,-3<y<-1,则xx-2y的取值范围是.答案:14,2 3解析:xx-2y =11-2yx,∵-3<y<-1,∴2<-2y<6,又2<x<4,∴14<1x<12,∴12<-2yx<3,∴32<1-2yx<4,∴14<xx-2y<23.创新应用组11.(多选)(2022·山东日照三模)某公司通过统计分析发现,工人工作效率E与工作年限r(r>0),劳累程度T(0<T<1),劳动动机b(1<b<5)相关,并建立了数学模型E=10-10T·b-0.14r,已知甲、乙为该公司的员工,则下列结论正确的是()A.甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限长、劳累程度弱,则甲比乙工作效率高B.甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限长、劳动动机高,则甲比乙工作效率低C.甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率高、工作年限短,则甲比乙劳累程度弱D.甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高、劳动动机低,则甲比乙劳累程度强答案:AC解析:设甲、乙的工作效率为E1,E2,工作年限为r1,r2,劳累程度为T1,T2,劳动动机为b1,b2,对于A,b1=b2,r1>r2,T1<T2,1<b<5,0<b-0.14<1,∴b2-0.14r2>b1-0.14r1,T2>T1>0,则E1-E2=10-10T1·b1-0.14r1-(10-10T2·b2-0.14r2)=10(T2·b2-0.14r2-T1·b1-0.14r1)>0,∴E1>E2,即甲比乙工作效率高,故A正确;对于B,T1=T2,r1>r2,b1>b2,∴1>b2-0.14>b1-0.14>0,b2-0.14r2>b1-0.14r2>b1-0.14r1,∴E1-E2=10-10T1·b1-0.14r1-(10-10T2·b2-0.14r2)=10T1(b2-0.14r2−b1-0.14r1)>0,∴E1>E2,即甲比乙工作效率高,故B错误:对于C,b1=b2,E1>E2,r1<r2,∴E1-E2=10(T2·b2-0.14r2-T1·b1-0.14r1)>0,∴T2·b2-0.14r2>T1·b1-0.14r1>0,∴T2T1>b1-0.14r1b2-0.14r2=b1-0.14(r1-r2)>1,∴T2>T1,即甲比乙劳累程度弱,故C正确;对于D,r1=r2,E1>E2,b1<b2,0<b1b2<1,∴E1-E2=10(T2·b2-0.14r2-T1·b1-0.14r1)>0,∴T2·b2-0.14r2>T1·b1-0.14r1>0,∴T2 T1>b1-0.14r1b2-0.14r2=(b1b2)-0.14r1>1,∴T2>T1,即甲比乙劳累程度弱,故D错误.。

高三数学第一轮复习：4－5 第一章 不等式的基本性质（理）人教实验B 版【本讲教育信息】一. 教学内容：4－5 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a ，b ，有000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 【单向性】（1）c a c b ,b a >⇒>>（2）d b c a d c ,b a +>+⇒>> （3）bc ac 0c ,b a >⇒>> （4）bc ac 0c ,b a <⇒<>（5）bd ac 0d c ,0b a >⇒>>>>（6）n n b a R n ,0b a >⇒∈>>+ 【双向性】（1）000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩（2）a b b a >⇔<（3）a b a c b c >⇔+>+单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如nx a >的高次不等式时，若n 为偶数时要注意讨论． 3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“11,0a b ab a b>>⇒<”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得11a b a b>⇒<，要么是强化了条件，而得110a b a b>>⇒<【基本不等式】定理1 设R b ,a ∈，则ab 2b a 22≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．若x <a <0，则一定成立的不等式是()A ．x 2<ax <0B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<0D ．x 2>a 2>ax2．若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是()A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2C ．若a <b <0，则1a <1b D ．若a <b <0，则b a >ab3．若a >b >0，c <d <0，则一定有()A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是()A ．d >b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b5．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则P ＝ac ＋bd ，Q ＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)的大小关系为()A ．P ≥QB ．P >QC ．P <QD ．P ≤Q6．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1＋1＋1的值()A ．一定是正数B ．一定为负数C ．可能为0D ．正负不定7．已知a >0，b >0，c >0，若c a ＋b <a b ＋c <bc ＋a ，则有()A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室()A ．甲B ．乙C ．同时到达D ．无法判断二、填空题9．已知若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”)10．已知α，β满足1≤α＋β≤1，≤α＋2β≤3，则z ＝α＋3β的取值范围是．三、解答题11．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db ；③bc >ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．12．(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．(2)已知a >0，b >0，x >0，y >0且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b.13．(多选题)设a ，b 为正实数，则下列命题中为真命题的是()A ．若a 2－b 2＝1，则a －b <1；B ．若1b －1a ＝1，则a －b <1；C ．若|a －b |＝1，则|a －b |<1；D ．若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.14．某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2枝玫瑰所需费用为A 元，购买3枝康乃馨所需费用为B 元，则A ，B 的大小关系是()A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A ，B 的大小关系不确定15．某公司有20名技术人员，计划开发A 、B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A 类127.5B 类136今制定计划欲使总产值最高，则A 类产品应生产件，最高产值为万元．16．若a >b >0，c <d <0，|b |>|c |.(1)求证：b ＋c >0；(2)求证：b ＋c (a －c )2<a ＋d(b －d )2；(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足b ＋c(a －c )2<所求a＋d (b－d)2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．式<2025年高考数学一轮复习-1.3-等式性质与不等式性质-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．若x <a <0，则一定成立的不等式是(B )A ．x 2<ax <0B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<0D ．x 2>a 2>ax解析：取x ＝－2，a ＝－1，则x 2＝4，a 2＝1，ax ＝2，∴x 2>ax ，可排除A ，显然C 不正确．又a 2＝1，∴ax >a 2.∴排除D ，故选B.2．若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是(B )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2C ．若a <b <0，则1a <1b D ．若a <b <0，则b a >ab解析：∵a >b ，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故A 错．∵a <b <0，∴a 2>ab ，b 2<ab ，1a >1b ，a b >1，b a <1，即b a <ab ，∴B 正确，C ，D 错误．3．若a >b >0，c <d <0，则一定有(D )A.a c >bd B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c解析：方法一：∵c <d <0，∴－c >－d >0，∴1－d >1－c>0.又a >b >0，∴a －d >b －c，∴a d <bc .方法二：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2.则a c ＝－1，bd ＝－1，排除选项A ，B.又a d ＝－32，b c ＝－23，∴a d <bc，排除选项C.4．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(A )A ．d >b >a >cB ．b >c >d >aC ．d >b >c >aD ．c >a >d >b解析：∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，∴a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .∴b <d .又a ＋c <b ，∴a <b .综上可得，d >b >a >c .5．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则P ＝ac ＋bd ，Q ＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)的大小关系为(D )A ．P ≥QB ．P >QC ．P <QD ．P ≤Q解析：P 2－Q 2＝(ac ＋bd )2－(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2－(a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2)＝－a 2d 2＋2abcd －b 2c 2＝－(ad －bc )2≤0，所以P 2≤Q 2，又Q ≥0，所以P ≤Q .6．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值(B )A ．一定是正数B ．一定为负数C ．可能为0D ．正负不定解析：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝0，且a 2＋b 2＋c 2>0(由abc >0知abc 均不为0)．∴ab ＋bc ＋ac <0.∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc<0.7．已知a >0，b >0，c >0，若c a ＋b <a b ＋c <bc ＋a ，则有(A )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a解析：由c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a 可得c a ＋b ＋1<a b ＋c ＋1<b c ＋a＋1，即a ＋b ＋c a ＋b <a ＋b ＋c b ＋c <a ＋b ＋c c ＋a .因为a >0，b >0，c >0，所以a ＋b >b ＋c >c ＋a .由a ＋b >b ＋c ，可得a >c .由b ＋c >c ＋a ，可得b >a .于是有c <a <b .8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则谁先到教室(B )A ．甲B ．乙C ．同时到达D ．无法判断解析：设寝室到教室的路程为s ，步行速度v 1，跑步速度v 2，则甲用时t 1＝12s v 1＋12s v 2，乙用时t 2＝2s v 1＋v 2，t 1－t 2＝s2v 1＋s2v 2－2sv 1＋v 2＝＝(v 1＋v 2)2－4v 1v 22v 1v 2(v 1＋v 2)·s ＝(v 1－v 2)2·s 2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，∴甲用时多．二、填空题9．已知若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac >0.(填“>”“<”或“＝”)解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )，∴b 2＝a 2＋c 2＋2ac .∴b 2－4ac ＝a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2.∵a >c ，∴(a －c )2>0，∴b 2－4ac >0.10．已知α，β1≤α＋β≤1，≤α＋2β≤3，则z ＝α＋3β的取值范围是{z |1≤z ≤7}．解析：设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β)＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β(λ，v ∈R )，＋v ＝1，＋2v ＝3，＝－1，＝2，所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．又－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，所以1≤α＋3β≤7.故z ＝α＋3β的取值范围是{z |1≤z ≤7}．三、解答题11．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db ；③bc >ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并写出推理过程．解：答案不唯一．命题一：若ab >0，且c a >db ，则bc >ad .证明：因为c a >db ，且ab >0，所以c a ·ab >d b·ab ，即bc >ad .命题二：若ab >0，且bc >ad ，则c a >d b .证明：因为ab >0，所以1ab >0，又bc >ad ，所以bc ·1ab >ad ·1ab ，即c a >db.12．(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小．(2)已知a >0，b >0，x >0，y >0且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b .解：(1)方法一：(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0所以－2xy (x －y )>0，所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．方法二：因为x <y <0，所以x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0.所以(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0，所以0<(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy <1，所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)证明：x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ).因为1a >1b 且a >0，b >0，所以b >a >0，又因为x >y >0，所以bx >ay >0，所以bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，所以x x ＋a >yy ＋b .13．(多选题)设a ，b 为正实数，则下列命题中为真命题的是(AD )A ．若a 2－b 2＝1，则a －b <1；B ．若1b －1a ＝1，则a －b <1；C ．若|a －b |＝1，则|a －b |<1；D ．若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.解析：对于A ，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b ≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a －b <1成立．对于B ，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1.对于C ，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1.对于D ，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0，∴a ≠b ，不妨设a >b >0.∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2，即a 3－b 3>(a －b )3>0，∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0，∴0<a －b <1，即|a －b |<1.因此正确．14．某学习小组在调查鲜花市场的鲜花价格后得知，购买2枝玫瑰与1枝康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4枝玫瑰与5枝康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2枝玫瑰所需费用为A 元，购买3枝康乃馨所需费用为B 元，则A ，B 的大小关系是(A )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A ，B 的大小关系不确定解析：设每枝玫瑰的价格为x 元，每枝康乃馨的价格为y 元，则由题意得x ＋y >8，x ＋5y <22，2x ＝A,3y ＝B ，整理得x ＝A 2，y ＝B3，将其代入不等式组得，＋B3>8，A ＋5B3<22，将A ＋B 3>8乘以－2与2A ＋53B <22相加，解得B <6，将B <6代入A >8－B3中，解得A >6，故A >B .15．某公司有20名技术人员，计划开发A 、B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A 类127.5B 类136今制定计划欲使总产值最高，则A 类产品应生产20件，最高产值为330万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x 3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以应开发A 类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．16．若a >b >0，c <d <0，|b |>|c |.(1)求证：b ＋c >0；(2)求证：b ＋c (a －c )2<a ＋d (b －d )2；(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足b ＋c (a －c )2<所求式<a ＋d (b －d )2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．解：(1)证明：因为|b |>|c |，且b >0，c <0，所以b >－c ，所以b ＋c >0.(2)证明：因为c <d <0，所以－c >－d >0.又a >b >0，所以由同向不等式的可加性可得a －c >b －d >0，所以(a －c )2>(b －d )2>0，所以0<1(a －c )2<1(b －d )2①.因为a >b ，d >c ，所以由同向不等式的可加性可得a ＋d >b ＋c ，所以a ＋d >b ＋c >0②.①②相乘得b ＋c (a －c )2<a ＋d(b －d )2.(3)因为a ＋d >b ＋c >0,0<1(a －c )2<1(b －d )2，所以b ＋c (a －c )2<b ＋c (b －d )2<a ＋d (b －d )2或b ＋c (a －c )2<a ＋d (a －c )2<a ＋d(b －d )2.(只要写出其中一个即可)。

第一章 第一节 集合基础夯实练1．(2021·北京人大附中摸底测试)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}．故选C. 2．(2021·河北衡水中学联考)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x ∈Z |1<x <5}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{1,2,3}解析：选C ∵A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x ∈Z |1<x <5}＝{2,3,4}，∴A ∩B ＝{2,3}．故选C.3．(2021·辽宁辽阳联考)已知集合A ＝{x |x 2－4x －5<0}，B ＝{x ||x |>2}，则A ∩B ＝( ) A ．(5，＋∞) B ．(1，2) C ．(－2，5)D ．(2，5)解析：选D ∵A ＝{x |x 2－4x －5<0}＝(－1,5)，B ＝{x ||x |>2}＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴A ∩B ＝(2，5)．故选D.4．已知集合A ＝{4，a }，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩(∁Z B )≠∅，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2或4D ．2或3解析：选D 因为B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4≥0}，所以∁Z B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4＜0}＝{2,3}，又集合A ＝{4，a }，若A ∩(∁Z B )≠∅，则a ＝2或a ＝3，故选D.5．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)＜1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C ∵log 2(x －1)＜1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1＜2，即1＜x ＜3，则N ＝{x |1＜x ＜3}，∵U ＝R ，∴∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又∵M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，∴－2a ＝1，解得a ＝－12.故选C.6．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪12<2x ＋1<16，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若1∈A ∩B ，则A ∪B ＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}解析：选D ∵1∈A ∩B ，∴1∈B ，则1－4＋m ＝0，解得m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．∵集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪12<2x ＋1<16＝{0,1,2}，∴A ∪B ＝{0,1,2,3}．故选D. 7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(1－x )}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝1x ，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 通解：∵A ＝{x |y ＝lg(1－x )}＝{x |1－x >0}＝(－∞，1)，∴∁U A ＝[1，＋∞)．∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝1x ＝(0，＋∞)，∴(∁U A )∩B ＝[1，＋∞)．故选D. 快解：若x ∈(∁U A )∩B ，则x ∉A ，由此排除B ，C 项；观察A ，D 项，1∉A,1∈B ，∴1∈(∁U A )∩B .故选D.8．若A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2,3}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. 解析：因为A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}，A ∩B ＝{1,2}． 答案：{0,1,2,3} {1,2}9．若集合A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x ≤m ＋1}，A ∪B ＝R ，则实数m 的取值范围为________. 解析：∵A ∪B ＝R ，A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x ≤m ＋1}，∴m ＋1 ≥2，解得m ≥3.∴实数m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)综合提升练10．已知全集U ＝{x ∈N |－1≤x ≤9}，集合A ＝{0,1,3,4}，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,7}B ．{－1,5,7,9}C ．{5,7,9}D ．{－1,1,2,3,4,5,6,7,8,9}解析：选C 法一：因为U ＝{x ∈N |－1≤x ≤9}，所以U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．因为集合A ＝{0,1,3,4}，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，所以B ＝{0,2,6,8}．所以∁U A ＝{2,5,6,7,8,9}，∁U B ＝{1,3,4,5,7,9}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{5,7,9}，故选C.法二：因为U ＝{x ∈N |－1≤x ≤9}，所以U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．因为集合A ＝{0,1,3,4}，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，所以B ＝{0,2,6,8}．所以A ∪B ＝{0,1,2,3,4,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{5,7,9}，故选C.11．集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝∅，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B 由集合M ＝{x |2x 2－x －1＜0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，可得M ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，∁U N ＝⎝⎛⎦⎤－∞，－a 2.要使M ∩(∁U N )＝∅，则－a 2≤－12，解得a ≥1，故选B. 12．(多选题)设全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{0,1,4}，B ＝{0,1,3}，则( ) A ．A ∩B ＝{0,1} B ．∁U B ＝{4} C ．A ∪B ＝{0,1,3,4} D ．集合A 的真子集个数为8解析：选AC 由题意，得A ∩B ＝{0,1}，∁U B ＝{2,4}，A ∪B ＝{0,1,3,4}，集合A 的真子集个数为23－1＝7，故A ，C 正确，B ，D 不正确．选AC.13．(多选题)设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．若A ∩B ＝B ，则实数a 的值可以为( )A.15 B ．0 C ．3D.13解析：选ABD 法一：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∵A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}，∴B ＝∅或B ＝{3}或B ＝{5}或B ＝{3,5}．当B ＝∅时，满足a ＝0即可；当B ＝{3}时，满足3a －1＝0，∴a ＝13；当B ＝{5}时，满足5a －1＝0，∴a ＝15；当B ＝{3,5}时，显然不符合题意．∴a 的值可以是0，13，15.故选ABD.法二：A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．对于集合B ，当a ＝0时，B ＝∅，符合题意；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a .又∵A ∩B ＝B ，∴1a ＝3或1a ＝5，解得a ＝13或a ＝15.∴a 的值可以是0，13，15.故选ABD.14．(多选题)设A ，B ，I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中正确的是( ) A ．(∁I A )∪B ＝I B ．(∁I A )∪(∁I B )＝I C ．A ∩(∁I B )＝∅ D ．(∁I A )∩(∁I B )＝∁I B解析：选ACD 法一：∵A ，B ，I 满足A ⊆B ⊆I ，先画出Venn 图，根据Venn 图可判断出A ，C ，D 项都是正确的，故选ACD.法二：设非空集合A ，B ，I 分别为A ＝{1}， B ＝{1,2}，I ＝{1,2,3}，且满足A ⊆B ⊆I .根据设出的三个特殊的集合A ，B ，I 可判断出A ，C ，D 项都是正确的，故选ACD. 15．(多选题)给定数集M ，若对于任意a ，b ∈M ，有a ＋b ∈M ，且a －b ∈M ，则称集合M 为闭集合，则下列说法不正确的是( )A ．集合M ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合B ．正整数集是闭集合C ．集合M ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合D ．若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合解析：选ABD 对于A 项，当集合M ＝{－4，－2,0,2,4}时，2,4∈M .而2＋4∉M ，所以集合M 不是闭集合；对于B 项，设a ，b 是任意的两个正整数．当a <b 时，a －b <0不是正整数，所以正整数集不是闭集合；对于C 项，当M ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }时，设a ＝3k 1，b ＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则a ＋b ＝3(k 1＋k 2)∈M ，a －b ＝3(k 1－k 2)∈M ，所以集合M 是闭集合；对于D 项，设A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }．由C 项可知，集合A 1，A 2均为闭集合，但2,3∈A 1∪A 2，而2＋3∉A 1∪A 2，此时A 1∪A 2不是闭集合．故选ABD.16．已知集合A ＝{1,2,3,4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，则a 的值是________.解析：因为集合A ＝{1,2,3,4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，所以a ＝5.答案：517．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝__________.解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，若1a ＝12，则a ＝4；若1a＝1，则a ＝1.当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意；当a ＝1时，M ＝{－1,1}，满足题意．故a ＝1.答案：1。

课时规范练3 等式性质与不等式性质基础巩固练1.(2024·天津河西模拟)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是()A. B.a2<b2C. D.a|c|>b|c|2.(2024·河南许昌模拟)已知x=-a2-2a+3,y=4-3a,则()A.x<yB.x=yC.x>yD.x与y的大小无法推断3.(2024·福建厦门模拟)已知1≤a≤2,-1≤b≤4,则a-2b的取值范围是()A.[-7,4]B.[-6,9]C.[6,9]D.[-2,8]4.(2024·江西赣州模拟)“x>y”的一个充分条件可以是()A.2x-y>B.x2>y2C.>1D.xt2>yt25.(2024·江苏南通模拟)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则4a-2b的取值范围是()A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]6.(多选题)(2024·河北唐山检测)已知a>b>0>c,则下列不等式正确的是()A. B.a3c<b3cC. D.lg>07.(2024·江苏宿迁模拟)已知m,n∈R,设a=(m2+1)(n2+4),b=(mn+2)2,则a b.(填<,≤,≥,>中的一种)8.(2024·北京房山模拟)能够说明“设a,b,c是随意实数,若a<b<c,则ac<bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.9.已知2<x<4,-3<y<-1,则的取值范围是.综合提升练10.(2024·辽宁抚顺模拟)已知x>y>1>z>0,a=,b=,c=,则必有()A.a>c>bB.b>c且a>cC.b>c>aD.a>b且a>c11.(2024·辽宁沈阳模拟)已知实数x,y满意|x+1|+|x-1|+|y+2|+|y-2|=6,则2x+y的取值范围是()A.[-3,3]B.[-3,4]C.[-4,4]D.[-6,6]12.(多选题)(2024·福建龙岩模拟)已知a2+1≥b≥2a≥>0,则下列结论正确的是()A.b≥2B.a≥2C.ab≥2D.a2+b2的最小值为613.(多选题)已知a,b,c,d均为实数,下列不等关系推导不愿定成立的是()A.若a>b,c<d,则a+c>b+dB.若a>b,c>d,则ac>bdC.若a>b>0,c>d>0,则D.若bc-ad>0,>0,则ab<014.已知a,b∈R且满意则4a+2b的取值范围是()A.[0,12]B.[4,10]C.[2,10]D.[2,8]创新应用练15.(2024·安徽阜阳模拟)设a=log0.20.3,b=log20.3,则a+b与ab的大小关系是.课时规范练3等式性质与不等式性质1.C解析对于A,取a=1,b=-1,满意a>b,但,故A错误;对于B,取a=1,b=-1,满意a>b,但a2=b2,故B错误;对于D,取c=0,则a|c|=b|c|,故D错误;对于C,因为c2+1≥1>0,则>0,又a>b,所以,故C正确.故选C.2.A解析因为x=-a2-2a+3,y=4-3a,所以x-y=-a2+a-1=-(a-)2-<0,故x<y,故选A.3.A解析因为-1≤b≤4,所以-8≤-2b≤2,由1≤a≤2,得-7≤a-2b≤4,故选A.4.D解析对选项A,当x=0,y=1时,2x-y=,但此时x<y,故A错误;对选项B,由x2>y2,则x2-y2>0⇒(x+y)(x-y)>0,则故B错误;对选项C,>1-1>0>0⇒y(x-y)>0,则故C错误;对选项D,由xt2>yt2,t2>0,所以x>y,成立,故D正确,故选D.5.B解析设4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,所以解得所以4a-2b=3(a-b)+(a+b),又a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],所以3(a-b)∈[0,3],4a-2b∈[2,7],故选B.6.BD解析由题意,a>b>0>c,>0>,故A错误;a3>b3,a3c<b3c,故B正确;a2>b2,当a>b>1时,,故C错误;a-c>0,b-c>0,>1,>1,∴lg>0,故D正确,故选BD.7.≥解析由于a-b=(m2+1)(n2+4)-(mn+2)2=4m2+n2-4mn=(2m-n)2≥0,故a≥b.8.-2,-1,0(答案不唯一)解析若a<b,当c>0时,ac<bc;当c=0时,ac=bc;当c<0时,ac>bc;“设a,b,c是随意实数,若a<b<c,则ac<bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为-2,-1,0(答案不唯一).9.()解析,∵-3<y<-1,∴2<-2y<6,又2<x<4,,<-<3,<1-<4,10.D解析因为x>y>1>z>0,所以,x-y>0,x-z>0,y-z>0,所以a=x+,b=y+,c=z+,a-b=x+-y-=(x-y)+>0,所以a>b,a-c=x+-z-=(x-z)+>0,所以a>c,c-b=z+-y-=(z-y)+符号不能确定,所以b,c的大小不能确定,所以a>b且a>c,故选D.11.C解析因为|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2,当且仅当(x+1)(x-1)≤0,即-1≤x≤1时,等号成立,|y+2|+|y-2|≥|(y+2)-(y-2)|=4,当且仅当(y+2)(y-2)≤0,即-2≤y≤2时,等号成立,所以|x+1|+|x-1|+|y+2|+|y-2|≥6,当且仅当-1≤x≤1且-2≤y≤2时,等号成立,所以|x+1|+|x-1|+|y+2|+|y-2|=6等价于-1≤x≤1且-2≤y≤2,所以-2≤2x≤2,所以-4≤2x+y≤4,故选C.12.AC解析对于A,b,b>0⇒b2≥4,所以b≥2,故A正确;对于B,b=2,a=1明显满意条件,故B错误;对于C,2a,b>0⇒ab≥2,故C正确;对于D,a2+b2≥b2+b-1,由于函数f(b)=b2+b-1在区间[2,+∞)上单调递增,故f(b)的最小值为f(2)=5,D错误,故选AC.13.ABD解析对于A,若a=2,b=1,c=-2,d=-1,则a+c=b+d=0,所以A符合题意;对于B,若a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=bd=-2,所以B符合题意;对于C,因为c>d>0,所以>0,即>0,因为a>b>0,所以>0,所以>0,所以C不符合题意;对于D,若a=1,c=2,b=2,d=1,满意bc-ad>0,>0,而此时ab=2>0,所以D符合题意.故选ABD.14.C解析设4a+2b=A(a+b)+B(a-b),可得解得所以4a+2b=3(a+b)+(a-b),因为所以所以2≤4a+2b≤10.15.a+b>ab 解析因为a=log0.20.3>0,b=log20.3<0,所以ab<0,=log0.32+log0.30.2=log0.30.4<log0.30.3=1<1,而ab<0,所以a+b>ab.。

课时规范练3 等式性质与不等式性质基础巩固组1.(2021河南郑州高三月考)已知实数a ,b 满足a<b ,则下列关系式一定成立的是( ) A.a 2<b 2B.ln(b-a )>0C.1a >1aD.2a<2b2.(2021广东高三二模)已知a ,b ∈R ,且满足ab<0,a+b>0,a>b ,则( ) A.1a <1a B.a a +aa >0 C.a 2>b 2D.a<|b|3.(2021辽宁锦州高三期中)已知a>b ,c>d ,则下列关系式正确的是( ) A.ac+bd>ad+bcB.ac+bd<ad+bcC.ac>bdD.ac<bd4.(2021山西临汾一中高三期中)已知1≤a+b ≤5,-1≤a-b ≤3,则3a-2b 的取值范围是( ) A.[-6,14] B.[-2,14] C.[-6,10]D.[-2,10]5.(2021浙江湖州高三月考)已知a ,b ,c ∈(0,+∞),若a a +a<a a +a<aa +a,则有( )A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a6.(2021天津高三一模)已知x>0,y>0,ln a a>lg a a,则 ( )A.1a>1aB.sin y>sin xC.aa<a aD.e a a >10a a7.(2021广东实验中学高三模拟)已知正数x ,y ,z 满足x ln y=y e z=zx ,则x ,y ,z 的大小关系为( ) A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.z>y>x8.(多选)(2021山东潍坊高三二模)下列说法正确的是()A.若a<b<0,则a|a|<b|b|B.若a>0,b>0,c>0,则aa <a+aa+aC.若a>0,b>0,则a+aa +4aa≥4D.若a>0,b∈R,则a≥2b-a2a9.(多选)(2021广东惠州高三模拟)已知a>b>0,且a3-b3=3(a-b),则以下结论正确的是()A.a>1B.ab<1C.a+b>2D.log a b+log b a>2综合提升组10.(2021湖南师大附中高三期中)已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则8x·14y的取值范围是() A.[4,128] B.[8,256]C.[4,256]D.[32,1 024]11.已知a,b∈R,则“|a-b|>|b|”是“aa <12”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.(多选)(2021山东济宁高三期末)若1≤x≤3≤y≤5,则()A.4≤x+y≤8B.x+y+1a +16a的最小值为10C.-2≤x-y≤0D.x+1a y+4a的最小值为913.(2021湖北荆门高三期中)正实数a ,b ,c 满足1a+1a=1,1a +a+1a=1,则实数c 的取值范围是 .创新应用组14.(2021湖南岳阳高三期中)已知2<x<4,-3<y<-1,则aa -2a的取值范围是( )A.110,14B.14,23C.15,1 D.23,215.(多选)(2021江苏镇江高三月考)已知a ,b 均为正数,且a-b=1,则( ) A.2a -2b>1B.a 3-b 3<1 C.4a −1a ≤1D.2log 2a-log 2b<2课时规范练3 等式性质与不等式性质1.D 解析:对于A,a=-3,b=2满足a<b ,但是a 2=9,b 2=4,所以a 2>b 2,故A 错误;对于B,a=1,b=32满足a<b ,但是b-a=12,所以ln(b-a )<0,故B 错误;对于C,a=-3,b=2满足a<b ,但是1a =-13,1a =12,所以1a <1a ,故C 错误;对于D,因为函数y=2x 在R 上单调递增,且a<b ,所以2a <2b,故D 正确.故选D .2.C 解析:因为ab<0,a>b ,所以a>0,b<0,1a >0,1a <0,故A 不正确;a a <0,a a <0,则a a +aa <0,故B 不正确;又a+b>0,即a>-b>0,所以a 2>(-b )2,即a 2>b 2,故C 正确;由a>-b>0得a>|b|,故D 不正确.故选C . 3.A 解析:∵a>b ,c>d ,∴ac+bd-(ad+bc )=(a-b )(c-d )>0,故A 正确,B 错误;对于C,当b=0,c<0时,ac<0,bd=0,故C 错误;对于D,当a>b>0,c>d>0时,ac>bd ,故D 错误.故选A .4.D 解析:令3a-2b=m (a+b )+n (a-b )(m ,n ∈R ),则{a +a =3,a -a =-2,解得{a =12,a =52.又因为1≤a+b ≤5,-1≤a-b ≤3,所以12≤12(a+b )≤52,-52≤52(a-b )≤152,故-2≤3a-2b ≤10. 5.A 解析:由aa +a<a a +a<a a +a 可得a a +a +1<a a +a +1<a a +a +1,即a +a +aa +a<a +a +aa +a<a +a +aa +a,所以a+b>b+c>c+a.由a+b>b+c 可得a>c ,由b+c>c+a 可得b>a ,于是有c<a<b.6.A 解析:∵ln a a >lg aa ,∴ln y-ln x>lg x-lg y ,∴ln y+lg y>ln x+lg x ,∴y>x>0(函数y=ln x+lg x 为增函数).对于A,y>x>0⇒1a>1a,故正确;对于B,取y=π,x=π2,sin y=0<sin x=1,故错误;对于C,取y=2,x=1,显然不成立,故错误;对于D,假设e aa >10aa 成立,则ln e aa >ln 10aa ,即a a >aa ln10,可得y 2>x 2ln10,而当y>x>0时,不能一定有y 2>x 2ln10,故不成立.故选A .7.A 解析:由x ln y=zx ,得z=ln y ,即y=e z ,令f (z )=e z -z (z>0),则f'(z )=e z-1>0,所以函数f (z )在(0,+∞)上单调递增,所以f (z )>f (0)=e 0-0=1,所以e z >z ,即y>z.由y e z =zx ,得e z ·e z=zx ,即x=e 2aa,所以x-y=e 2aa-e z=e 2a -a e aa=e a (e a -a )a>0,所以x>y.综上,x>y>z ,故选A .8.ACD 解析:对于A,由a<b<0,得a|a|=-a 2,b|b|=-b 2,且a 2>b 2,则-a 2<-b 2,即a|a|<b|b|,正确;对于B,a +aa +a −aa =aa +aa -aa -aaa (a +a )=a (a -a )a (a +a ),显然当b<a 时,a a >a +aa +a ,错误;对于C,由a>0,b>0,则a+a a +4aa =a 2+a 2+a a +4aa ≥4√a 2·a 2·a a ·4aa 4=4,当且仅当a2=b a=4ab,即a=b=2时,等号成立,正确;对于D,a>0,b ∈R ,而(a-b )2≥0,即a 2≥2ab-b 2,故a ≥2b-a 2a ,正确.故选ACD .9.AB 解析:由立方差公式可得a 3-b 3=(a-b )(a 2+ab+b 2)=3(a-b ),则a 2+ab+b 2=3,又a>b>0,∴a 2+a 2+a 2>a 2+ab+b 2=3,即a 2>1,a>1,故A 正确;∵a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时,等号成立,∴a 2+b 2>2ab ,则a 2+ab+b 2>3ab ,即ab<1,故B 正确;∵(a+b )2=a 2+2ab+b 2=3+ab<4,∴a+b<2,故C 错误;∵a>1,ab<1,∴0<b<1,则log a b<0,log b a<0,则log a b+log b a<0,故D 错误. 10.C 解析:8x·14y=23x-2y .设3x-2y=m (x+y )-n (x-y )=(m-n )x+(m+n )y (m ,n ∈R ),则有{a -a =3,a +a =-2,解得{a =12,a =-52.故3x-2y=12(x+y )+52(x-y ).因为-1≤x+y ≤1,1≤x-y ≤3,所以3x-2y=12(x+y )+52(x-y )∈[2,8].因为y=2x在R 上单调递增,所以z=23x-2y∈[4,256],故选C .11.C 解析:由|a-b|>|b|得a 2+b 2-2ab>b 2,∴a (a-2b )>0,∴a -2a a >0,∴1-2a a >0,∴aa<12.反之,也成立.故“|a-b|>|b|”是“aa <12”的充要条件,故选C .12.AB 解析:因为1≤x ≤3≤y ≤5,所以4≤x+y ≤8,-4≤x-y ≤0,故A 正确,C 错误;因为x+y+1a+16a=x+1a +y+16a ≥2√a ·1a +2√a ·16a =10,当且仅当x=1,y=4时,等号成立,所以x+y+1a +16a 的最小值为10,故B 正确;因为x+1ay+4a =xy+4aa +5≥2√4+5=9,当且仅当xy=2时,等号成立,但1≤x ≤3≤y ≤5,xy 取不到2,所以x+1a y+4a 的最小值不是9,故D 错误.故选AB .13.1,43解析:因为正实数a ,b ,c 满足1a +1a =1,1a +a +1a =1,所以c>1.又(a+b )1a+1a=2+aa +a a ≥2+2√a a ·a a=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以a+b ≥4,则0<1a +a ≤14,即0<1-1a ≤14,解得1<c ≤43.14.B 解析:a a -2a =11-2aa,由已知得2<-2y<6,所以24<-2a a <62,即12<-2a a <3,所以32<1-2a a <4,所以14<11-2aa<23,故选B .15.AC解析:对于A,因为a-b=1,所以2a-2b=2b+1-2b=2b(2-1)=2b>1,故A正确;对于B,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=a2+ab+b2=(b+1)2+(b+1)b+b2=3b2+3b+1>1,故B错误;对于C,4a −1a=4a−1a(a-b)=4+1-aa −4aa=5-aa+4aa≤5-2√aa·4aa=1,当且仅当aa=4aa,且a-b=1,即a=2,b=1时,等号成立,故C正确;对于D,2log2a-log2b=log2a2-log2b=log2a2a =log2(a+1)2a=log2b+1a+2≥log24=2,当且仅当b=1a,即b=1时,等号成立,故D错误.故选AC.。

第3讲等式性质与不等式性质1.两个实数比较大小的方法1.a＞b＞0⇒√a＞√b.2.（1）a＞b，ab＞0⇒1a ＜1b；（2）a＞b＞0，d＞c＞0⇒ac＞bd.3.a＞b＞0，m＞0⇒ba ＜b＋ma＋m，ab＞a＋mb＋m.1.已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则（）A.t＞sB.t≥sC.t≤sD.t＜s2.[易错题]设a ，b ∈[0，＋∞），A ＝√a ＋√b ，B ＝√a ＋b ，则A ，B 的大小关系是（ ） A.A ≤BB.A ≥BC.A ＜BD.A ＞B3.[多选]下列说法不正确的是（ ）A.一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数，不等号方向不变B.若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ad＞bcC.若ab ＞0，a ＞b ，则1a＜1bD.若x ＞y ，则x 2＞y 24.[教材改编]已知2＜a ＜3，－2＜b ＜－1，则2a －b 的取值范围是 .【例题精讲】命题点1 比较两个数（式）的大小例1 （1）[2024湖北襄阳宜城第一中学模拟]已知0＜a ＜12，若A ＝1＋a 2，B ＝11－a，则A与B 的大小关系是（ ） A.A ＜BB.A ＞BC.A ＝BD.不确定（2）e π·πe与e e·ππ的大小关系为 . 方法技巧比较数（式）大小的常用方法1.作差法：（1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）得出结论.2.作商法：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小关系；（4）得出结论.3.构造函数， 利用函数的单调性比较大小.训练1 （1）若a ＞b ＞1，P ＝a e b ，Q ＝b e a ，则P ，Q 的大小关系是（ ） A.P ＞QB.P ＝QC.P ＜QD.不能确定（2）[多选/2023江苏省南京市调研]已知a ＞b ＞0，则（ ） A.1b ＞1a B.a －1b ＞b －1aC.a 3－b 3＞2（a 2b －ab 2）D.√a +1－√b +1＞√a －√b命题点2 不等式的性质及其应用 角度1 不等式的性质例2 （1）[全国卷Ⅱ]若a ＞b ，则（ ） A.ln （a －b ）＞0B.3a ＜3bC.a3－b3＞0D.｜a｜＞｜b｜（2）[多选/2023湖南省邵阳二中模拟]如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列结论一定正确的是（）A.ab＞acB.cb2＜ab2C.c（b－a）＞0D.ac（a－c）＜0角度2不等式性质的综合应用例3 （1）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则ca的取值范围是（）A.（－3，－1）B.（－1，－13）C.（－2，－1）D.（－1，－12）（2）[2024湖北孝感部分学校模拟]已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，则3a－2b的取值范围为.训练2 （1）[2024吉林长春东北师范大学附属中学模拟]设a≥b≥c，且1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个实根，则ca的取值范围是（）A.[－2，－12]B.（－2，－12）C.（－∞，－2）∪（－12，＋∞）D.（－∞，－2]∪[－12，＋∞）（2）[多选/2024山东省鄄城县第一中学模拟]已知a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是（）A.若bc2＜ac2，则b＜aB.若a3＞b3且ab＜0，则1a ＞1bC.若a＞b＞c＞0，则ab ＞a＋cb＋cD.若c＞b＞a＞0，则ac－a ＞bc－b【课后作业】1.[2024四川广安模拟]已知P＝a2＋3，Q＝4a－1，则P，Q的大小关系是（）A.P≥QB.P＞QC.P≤QD.P＜Q2.[2022上海高考]已知实数a ，b ，c ，d 满足：a ＞b ＞c ＞d ，则下列选项中正确的是（ ） A.a ＋d ＞b ＋c B.a ＋c ＞b ＋d C.ad ＞bcD.ac ＞bd3.[2024陕西西安模拟]若a ＜b ＜0＜c ＜d ，则（ ） A.ac ＜ad B.a －c ＞b －d C.ca ＞dbD.a ＋c b＞b ＋d c4.已知0＜a ＜b ＜1，设m ＝b ln a ，n ＝a ln b ，p ＝ln （lnalnb ），则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A.m ＜n ＜p B.n ＜m ＜p C.p ＜m ＜nD.p ＜n ＜m5.[2024山东烟台模拟]已知x ＞y ＞z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是（ ） A.xy ＞yz B.xy ＞xzC.xz ＞yzD.x ｜y ｜＞｜y ｜z6.[2024广西柳州模拟]一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应该不小于10％，而且这个比值越大，采光效果越好.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果（ ） A.变坏了 B.变好了 C.不变D.无法判断7.[多选]若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A.ad ＞bcB.ad＋bc ＜0C.a －c ＞b －dD.a （d －c ）＞b （d －c ）8.[多选]若a ＞0，b ＞0，则使a ＞b 成立的充要条件是（ ） A.a 2＞b 2 B.a 2b ＞ab 2 C.ba ＞b+1a+1D.a ＋1b＞b ＋1a9.[多选/2024安徽模拟]已知2＜x ＜3，－2＜y ＜1，则下列选项正确的是（ ） A.－23＜yx＜12B.2＜xy 2＜12C.－6＜xy ＜3D.3＜2x －y ＜810.[2024安徽省淮南市模拟]已知1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，则4a －2b 的取值范围是 .11.若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则（ ）A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.c ＜a ＜bD.b ＜a ＜c12.[2024河南郑州模拟]某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价a ％，再降价b ％；②先降价a ＋b 2％，再降价a ％；③先降价a ＋b 2％，再降价a ＋b 2％；④一次性降价（a ＋b ）％.其中a ＞b ＞0，则最终降价幅度最小的方案是（ ） A.①B.②C.③D.④13.[多选/2024广东名校联考]若a ＝ln b ＋1，c ＝e b －1，则（ ） A.a ≤bB.c ≤bC.a ＜cD.b ＜c14.b 克糖水中有a 克糖（b ＞a ＞0），若再添加m 克糖（m ＞0），就会使糖水变得更甜，试根据这个事实提炼出一个不等式： .15.[多选/2024山东菏泽模拟]下列结论一定正确的有（ ） A.若ln a 2＞ln b 2，则2｜a ｜＞2｜b ｜B.若｜a ｜a 2＞｜b ｜b 2，则2a ＜2bC.若b ＞a ＞e ，则a b ＜b aD.若0＜2a ＜b ＜3－a 2，则sin a ＜sin b2。