新高考总复习 数学 第一章 第3节 相等关系与不等式关系

数的相等与不等关系的规律数的相等与不等关系是数学中的基础概念，它们构成了数学运算和比较的基础。

通过对数的比较和运算规律的研究，我们可以更深入地理解数的性质和数学运算的规则。

本文将探讨数的相等和不等关系的规律，并举例说明其在实际问题中的应用。

一、相等关系的规律相等是指两个数在数值上完全相同，我们用等号“=”表示。

在数的相等关系中，有以下几个基本规律。

1. 反身性：任何数与其自身相等。

例如，对于任意实数a，都有a=a。

这是显而易见的，因为数值相同的两个数当然是相等的。

2. 对称性：如果两个数相等，那么它们的顺序无关紧要。

例如，如果a=b，那么b=a。

这是因为相等是一种对称关系，不受顺序的影响。

3. 传递性：如果第一个数等于第二个数，第二个数等于第三个数，那么第一个数一定等于第三个数。

例如，如果a=b且b=c，那么a=c。

这是因为相等关系是具有传递性质的。

以上规律可以简单地表示为：如果a=b且b=c，则a=c。

这是数的相等关系的基本规律，也是我们在解决数学问题中常常使用的。

二、不等关系的规律不等是指两个数在数值上不相同，我们用不等号“≠”表示。

在数的不等关系中，有以下几个基本规律。

1. 反身性：与相等关系一样，任何数与其自身不相等。

例如，对于任意实数a，都有a ≠ a。

这是显而易见的，因为同一个数不可能与自身不相等。

2. 对称性：如果两个数不相等，那么它们的顺序无关紧要。

例如，如果a ≠ b，那么b ≠ a。

这是因为不等关系也是一种对称关系。

3. 传递性：如果第一个数不等于第二个数，第二个数不等于第三个数，那么第一个数不等于第三个数。

例如，如果a ≠ b且b ≠ c，那么a ≠ c。

这同样是不等关系的传递性质。

以上规律可以简单地表示为：如果a ≠ b且b ≠ c，则a ≠ c。

这是数的不等关系的基本规律，也是我们在进行数学推理和证明时常常使用的。

三、实际问题中的应用数的相等与不等关系的规律在解决实际问题时也有广泛的应用。

相等关系与不等关系相等关系与不等关系是数学中常见的两种关系类型。

它们在数学运算和推理中起着重要的作用，能够帮助我们更好地理解和处理数字的关系。

本文将详细介绍相等关系与不等关系的定义、特点以及在数学中的应用。

一、相等关系相等关系是指两个或多个数彼此相等的关系。

通常用"="来表示两个数相等的关系。

例如，1 + 2 = 3 表示1加2的结果等于3。

相等关系具有以下几个特点：1. 对称性：如果 a = b，那么 b = a。

也就是说，相等关系是具有对称性的。

例如，如果2 + 3 = 5，那么5 = 2 + 3。

2. 反身性：任何数都等于自身。

即 a = a。

例如，4 = 4。

3. 传递性：如果 a = b，且 b = c，那么 a = c。

也就是说，如果两个数分别与第三个数相等，那么这两个数之间也是相等的。

例如，如果2 + 3 = 5，且5 = 5，那么2 + 3 = 5。

相等关系在数学中的应用非常广泛。

它们被用于解方程、推理证明以及描述等式和恒等式等。

通过相等关系，我们可以进行数值的比较和运算，揭示数字之间的联系。

二、不等关系不等关系是指两个数不相等或大小关系不同的关系。

通常用"≠"、"<"、">"等符号表示不等关系。

例如，3 ≠ 4 表示3不等于4，2 < 5 表示2小于5。

不等关系具有以下几个特点：1. 反对称性：如果a ≠ b，则b ≠ a。

也就是说，不等关系是具有反对称性的。

例如，如果3 ≠ 4，那么4 ≠ 3。

2. 不具有传递性：如果 a < b，且 b < c，不一定能得出 a < c。

也就是说，不等关系不具有传递性。

例如，如果1 < 2，且2 < 3，并不能推断出1 < 3。

但是，如果a ≥ b，且b ≥ c，则可得出a ≥ c。

不等关系在数学中同样具有重要的应用。

相等关系认识相等和不等式相等关系：认识相等和不等式相等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个或多个数值、物体、数量等在数值上完全相同的关系。

相等关系在日常生活中随处可见，而在数学中，它具有广泛的应用。

除了相等关系，数学中还有不等式关系，它描述了数值上的大小关系。

本文将着重探讨相等关系和不等式关系的认识和理解。

1. 相等关系的定义与性质相等关系通常用等号“=”来表示。

当两个数、物体或量在数值上完全相同时，它们可以被称为“相等的”。

例如，2 + 3 = 5，表示2加3的和等于5，这是一个相等关系。

相等关系具有以下性质：1.1 反身性：任何数与其自身相等，即a = a。

1.2 对称性：如果a = b，则b = a。

1.3 传递性：如果a = b且b = c，则a = c。

这些性质使得相等关系在数学中成为一种基础关系。

相等关系的性质可以应用于等式的推导和证明过程中。

2. 不等式关系的定义与性质不等式关系用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”等来表示。

当两个数或物体在数值上有大小关系时，不等式关系可以用来描述它们的大小关系。

例如，2 < 3，表示2小于3；4 ≥ 3，表示4大于等于3。

不等式关系具有以下性质：2.1 反身性：对于任意的数a，都有a ≤ a和a ≥ a成立。

2.2 对称性：如果a < b，则b > a；如果a ≤ b，则b ≥ a。

2.3 传递性：如果a ≤ b且b ≤ c，则a ≤ c。

不等式关系在数学中常用于描述实数集合中的顺序关系。

它们在求解问题时具有重要的应用，例如解方程、优化问题等。

3. 相等关系与不等式关系的联系与区别相等关系与不等式关系都是描述数值间的关系，但它们在表达方式和数值约束方面存在一些区别：3.1 表达方式：相等关系使用等号“=”表示，而不等式关系则使用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。

3.2 数值约束：相等关系表示两个数值完全相等，即没有大小之分；而不等式关系则表示数值的大小关系，可以是小于、大于、小于等于或大于等于。

§1.3等式性质与不等式性质考试要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b .(a ，b ∈R )2．等式的性质性质1对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3可加(减)性：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4可乘性：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5可除性：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.3．不等式的性质性质1对称性：a >b ⇔b <a ；性质2传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2．若a >b >0，m >0⇒b a <b ＋ma ＋m ；若b >a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(√)(2)若ba >1，则b >a .(×)(3)若x >y ，则x 2>y 2.(×)(4)若1a >1b ，则b <a .(×)教材改编题1．如果ac >bc ，那么下列不等式中，一定成立的是()A ．ac 2>bc 2B ．a >bC ．a ＋c >b ＋c D.a c >b c答案D解析若c <0，则a <b ，所以ac 2<bc 2，a ＋c <b ＋c ，A ，B ，C 均错；因为ac >bc ，则c 2>0，因为ac >bc ，则ac c 2>bc c 2，即a c >bc ，故D 正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案M >N解析∵M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．若1<a <2,2<b <3，则ab 的取值范围是________．答案13，1解析由2<b <3，得13<1b <12，又1<a <2，∴1×13<a ×1b <2×12，即13<a b<1.题型一数(式)的大小比较例1(1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为()A ．M <NB ．M >NC ．M ≤ND ．M ≥N答案B解析因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >b >1，P ＝a e b ，Q ＝b e a ，则P ，Q 的大小关系是()A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．不能确定答案C解析P ，Q 作商可得P Q ＝a e bb e a ＝e bb e aa，令f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝e x (x －1)x2，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上单调递增，因为a >b >1，所以e b b <e aa，又e b b >0，e a a >0，所以PQ ＝e bb e aa <1，所以P <Q .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1(1)已知a ，b 为不相等的实数，记M ＝a 2－ab ，N ＝ab －b 2，则M 与N 的大小关系为()A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．不确定答案A解析因为M －N ＝(a 2－ab )－(ab －b 2)＝(a －b )2，又a ≠b ，所以(a －b )2>0，即M >N .(2)已知M ＝e 2021＋1e 2022＋1，N ＝e 2022＋1e 2023＋1，则M ，N 的大小关系为________．答案M >N 解析方法一M －N ＝e 2021＋1e 2022＋1－e 2022＋1e 2023＋1＝(e 2021＋1)(e 2023＋1)－(e 2022＋1)2(e 2022＋1)(e 2023＋1)＝e 2021＋e 2023－2e 2022(e 2022＋1)(e 2023＋1)＝e 2021(e －1)2(e 2022＋1)(e 2023＋1)>0.∴M >N .方法二令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e(e x ＋1＋1)＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1，显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2021)>f (2022)，即M >N .题型二不等式的性质例2(1)已知a >b >c >0，下列结论正确的是()A ．2a <b ＋cB ．a (b －c )>b (a －c )C.1a －c >1b －cD ．(a －c )3>(b －c )3答案D解析∵a >b >c >0，∴2a >b ＋c ，故A 错误；取a ＝3>b ＝2>c ＝1>0，则a (b －c )＝3<b (a －c )＝4，故B 错误；由a >b >c >0可知，a －c >b －c >0，∴1a －c <1b －c，(a －c )3>(b －c )3，故C 错误，D 正确．(2)(多选)若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论正确的是()A ．ad >bcB.a d ＋b c<0C ．a －c >b －dD ．a (d －c )>b (d －c )答案BCD解析因为a >0>b ，c <d <0，所以ad <0，bc >0，所以ad <bc ，故A 错误；因为0>b >－a ，所以a >－b >0，因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以a (－c )>(－b )(－d )，所以ac ＋bd <0，cd >0，所以ac ＋bd cd＝a d ＋bc <0，故B 正确；因为c <d ，所以－c >－d ，因为a >b ，所以a ＋(－c )>b ＋(－d )，即a －c >b －d ，故C 正确；因为a >0>b ，d －c >0，所以a (d －c )>b (d －c )，故D 正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是()A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c 2>bc 2，则a <bC ．若a <b <c <0，则b a <b ＋ca ＋c D ．若a >b ，则a 2>b 2答案C解析对于A 选项，当c ＝0时不满足，故错误；对于B 选项，由不等式性质知，a c 2>bc2两边同时乘以c 2>0，可得a >b ，故错误；对于C 选项，若a <b <c <0，则a ＋c <0，b －a >0，(b －a )c <0，a (a ＋c )>0，故b a －b ＋ca ＋c ＝b (a ＋c )－a (b ＋c )a (a ＋c )＝(b －a )c a (a ＋c )<0，即b a <b ＋ca ＋c ，故正确；对于D 选项，取a ＝－1，b ＝－2，可得a 2<b 2，故错误．(2)(多选)若1a <1b <0，则下列不等式正确的是()A.1a ＋b <1abB ．|a |＋b >0C ．a －1a >b －1b D ．ln a 2>ln b 2答案AC解析由1a <1b<0，可知b <a <0.A 中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<0，1ab >0.则1a ＋b <1ab，故A 正确；B 中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故B 错误；C 中，因为b <a <0，又1a <1b<0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故C 正确；D 中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故D 错误．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是__________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，＋n ＝3，－n ＝2，＝52，＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y －32，(2)已知3<a <8,4<b <9，则ab 的取值范围是________．答案解析∵4<b <9，∴19<1b <14，又3<a <8，∴19×3<a b <14×8，即13<a b <2.思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)已知1≤a ≤2，－1≤b ≤4，则a －2b 的取值范围是()A ．[－7,4]B ．[－6,9]C ．[6,9]D ．[－2,8]答案A解析因为－1≤b ≤4，所以－8≤－2b ≤2，由1≤a ≤2，得－7≤a －2b ≤4.(2)已知实数a ，b ，c ，满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么ca 的取值范围是________．答案－2<c a <－12解析由于a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－a －c ，－a －c <a,2a >－c ，ca >－2，－a －c >c ，－a >2c ，c a <－12，所以－2<c a <－12.课时精练1．(2023·长春模拟)已知a>0，b>0，M＝a＋b，N＝a＋b，则M与N的大小关系为() A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小关系不确定答案B解析M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2ab)＝－2ab<0，∴M<N.2．已知a，b∈R，若a>b，1a <1b同时成立，则()A．ab>0B．ab<0 C．a＋b>0D．a＋b<0答案A解析因为1a<1 b，所以1a－1b＝b－aab<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.3．(多选)已知a<b<0，则下列结论正确的是()A．b2<ab B.1a <1 bC．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b)答案AD解析对于A，因为a<b<0，所以b－a>0，则b2－ab＝b(b－a)<0，即b2<ab，故选项A正确；对于B，因为a<b<0，所以ab>0，则aab<bab，即1b<1a，故选项B错误；对于C，因为a<b<0且函数y＝2x是增函数，所以2a<2b，故选项C错误；对于D，因为a<b<0，所以1－a>1－b>1，又因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln(1－a)>ln(1－b)，故选项D正确．4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是()A．－2π<α－β<2πB．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0D．{0}答案C解析∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.5．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则()A ．cos x －cos y >0B ．cos x ＋cos y >0C ．ln x －ln y >0D ．ln x ＋ln y >0答案C解析对于A ，y ＝cos x 在(0，＋∞)上不是单调函数，故cos x －cos y >0不一定成立，A 错误；对于B ，当x ＝π，y ＝π2时，cos x ＋cos y ＝－1<0，B 不一定成立；对于C ，y ＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，若x >y >0，则ln x >ln y ，必有ln x －ln y >0，C 正确；对于D ，当x ＝1，y ＝12时，ln x ＋ln y ＝ln 12<0，D 不一定成立．6．(多选)(2023·汕头模拟)已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0，那么下列各式中一定成立的是()A ．ac (a －c )>0B ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ab >ac答案BCD解析因为a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac <0，所以c <0，a >0，b >0，a －c >0，b －a >0，所以ac (a －c )<0，c (b －a )<0，cb 2<ab 2，ab >ac .7．(多选)设a ，b ，c ，d 为实数，且a >b >0>c >d ，则下列不等式正确的有()A ．c 2<cdB ．a －c <b －dC ．ac <bd D.c a －db>0答案AD解析因为a >b >0>c >d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 正确；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故选项C错误；对于D，因为a>b>0，d<c<0，则ad<bc，所以ca>d b，故ca－db>0，故选项D正确．8．(多选)(2022·沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是()A．a2>b2＋1B．2a>2b＋1C．a2>4b D.|ab | >b＋1答案ABC解析对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，则a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，此时|ab|＝53<b＋1＝4，故D不一定成立．9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)答案>解析M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.10．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．答案－3，－1,0(答案不唯一)解析令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题．11．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．答案(2,10)解析∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.12．e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案e π·πe <e e ·ππ解析e π·πe e e ·ππ＝e π－e ππ－e ＝－e ，又0<e π<1,0<π－e<1，－e <1，即e π·πe e e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.13．已知0<a <b <1，设m ＝b ln a ，n ＝a ln b ，p ＝m ，n ，p 的大小关系为()A ．m <n <pB ．n <m <pC ．p <m <nD ．p <n <m 答案A 解析因为0<a <b <1，则b a >1，且ln a <ln b <0，即有ln a ln b>1，因此，，即p >0，又m <0，n <0，则m n ＝b ln a a ln b ＝b a ·ln a ln b>1，于是得m <n <0，所以m <n <p .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .那么a ，b ，c ，d 的大小关系是________．答案b >d >c >a 解析由题意知d >c ①，由②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d 及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．(多选)(2023·长沙模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是()A．c<b B．b≥1C．b≤a D．a<c答案BD解析b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，两式相减得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝a－12＋34>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b>a.16．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则() A．a＞0＞b B．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a答案A解析∵9m＝10，∴m∈(1,2)，令f(x)＝x m－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mx m－1－1，∵x>1且1<m<2，∴x m－1>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)<f(9)<f(10)，即b<0<a.。