第一轮一元二次不等式及其解法详细过程

一元二次不等式解法步骤步骤1：将不等式转化为标准形式首先，将不等式化为标准形式，即将不等式左边化为一个关于x的二次多项式。

如果不等式是大于号（>），则需要将不等式变形为ax^2+bx+c>0的形式。

如果不等式是小于号（<），则需要将不等式变形为ax^2+bx+c<0的形式。

如果不等式左边已经是一个关于x的二次多项式，那么可以直接进行下一步。

步骤2：判断二次函数的凹凸性为了求出二次函数的解，首先需要判断二次函数的凹凸性。

由于二次函数是一个抛物线，凹凸性可以通过二次项系数a的正负来判断。

如果a大于0，则抛物线开口朝上，函数是凹的；如果a小于0，则抛物线开口朝下，函数是凸的。

步骤3：求出二次函数的零点接下来，需要求出二次函数的零点。

将ax^2+bx+c=0化简，可以得到一个或两个解。

这些解称为二次函数的零点，也就是函数与x轴交点的横坐标。

步骤4：画出二次函数的图像根据二次函数的凹凸性和零点，可以画出二次函数的图像。

如果函数是凹的，开口朝上，则函数图像是向上开口的抛物线，图像低点在两个零点的中点上方。

如果函数是凸的，开口朝下，则函数图像是向下开口的抛物线，图像高点在两个零点的中点下方。

步骤5：确定不等式的解集根据二次函数的图像，可以确定不等式的解集。

如果是大于号（>）的不等式，则解集是函数图像在x轴上方的区域；如果是小于号（<）的不等式，则解集是函数图像在x轴下方的区域。

解集可以用区间表示。

步骤6：检验解集的正确性最后，需要检验解集的正确性。

将解集中的一个任意值代入原始不等式中，如果代入后不等式成立，则说明解集的选择是正确的。

反之，如果代入后不等式不成立，则说明解集的选择错误，需要重新确定解集。

需要注意的是，解一元二次不等式的关键步骤是确定二次函数的凹凸性和求出零点。

根据二次函数的凹凸性和零点，可以确定函数图像的形状，进而确定不等式的解集。

在解题过程中，还需要注意符号的保持和不等式的变化法则。

一元二次不等式解题步骤三步嘿，咱今儿就来唠唠一元二次不等式的解题步骤这码事儿。

你可别小瞧了这三步，就跟那孙悟空的三根救命毫毛似的，关键时刻那可老有用啦！咱先说第一步，那就是把一元二次不等式化成标准形式。

就好比你要去参加个派对，总得先把自己收拾得整整齐齐的吧！把那些个式子都摆好，该在左边的放左边，该在右边的放右边，一个都别乱套。

你想想，要是式子都乱糟糟的，那还怎么解题呀，那不就跟那一团乱麻似的，找不着头也找不着尾。

第二步呢，就是求根啦！这就好比是在茫茫人海中找那几个关键人物。

通过求解方程，找到那些能让式子等于零的根。

这可重要啦，这些根就像是一个个的里程碑，指引着你解题的方向呢。

第三步，根据二次函数的图像来确定解集。

这就好比是看着地图找路一样。

二次函数的图像就像是一张地图，那些根就是地图上的标记点，你根据图像的走势，就能清楚地知道解集在哪些地方啦。

比如说图像在上面，那解集就在上面那一块儿；要是图像在下面，那解集自然就在下面啦。

你说这三步简单不？其实啊，只要你用心去学，就跟那吃饭睡觉一样自然。

就好比你学会了骑自行车，一开始可能摇摇晃晃的，但一旦掌握了技巧，那还不是骑得呼呼生风呀！学一元二次不等式的解题步骤也是这样，刚开始可能会觉得有点难，但只要你多练几遍，多琢磨琢磨，就会发现其实也没那么难嘛。

你想想，要是你连这都能搞定，那以后再遇到什么难题，那还不都小菜一碟呀！咱可别害怕犯错，谁还没个犯错的时候呀。

就跟走路似的，偶尔摔个跤那也是正常的。

只要咱能爬起来，拍拍身上的土，继续往前走，那肯定能走到目的地。

所以呀，同学们，别犹豫，别退缩，大胆地去学，去练。

一元二次不等式的解题步骤就在那儿等着你去征服呢！加油吧，相信自己，你一定能行！这三步看似简单，实则暗藏玄机，就看你能不能参透其中的奥秘啦！。

一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。

在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。

本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。

一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。

步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。

步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。

通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。

步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。

根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。

步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。

如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。

通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。

二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。

下面我们将介绍一些具体的应用案例。

1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。

例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。

通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。

2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。

例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。

第一节一元二次不等式及其解法(见学生用书第1页)1. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2 •通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3 •会解一元二次不等式•对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图•判别式Δ = b2- 4acΔ>0Δ= 0Δ≤0二次函数y= ax + bx+ C(a>0)的图象ytNd\~o 一兀二次方程ax2+ bx + C= 0(a>0)的根有两相异实根xι, X2(X1<X2)有两相等实根bx1 = XL 扃没有实数根ax2 + bx+ c>0(a>0)的解集{X∣X<X1 或 X>X2}{x∣x≠ x1}R2ax + bx+ c<0(a>0)的解集{ x∣χ1<x<χ2}??23.简单的分式不等式銀裁封颅九席卡删评考纲传真n.∕WA⅛Λ√2(l)f (χ)>0? f(χ)g(χ)>0; g (χ) f (χ)⑵ 亠丄≤ 0? f(x) g(χ)≤ 0 且 g(χ)≠ 0. g (χ):思考感悟ax 2+ bx + c>0(a≠ 0)对一切X ∈ R 恒成立的条件是什么?【提示】2a>0 且 b — 4ac<0.学情自测1.(人教A 版教材习题改编)不等式2χ2 — X- 1> 0的解集是()1A . (-2，1)B . (1 , +∞ )1C . (-∞, 1) U (2, +∞ )D . (-∞,- 2)U (1 , +∞ ) 【解析】 I 2χ2-X- 1 = (X-1)(2χ+ 1)>0,、 1.∙. χ> 1 或 X V — —21故原不等式的解集为(一∞,-2)U (1, + ∞). 【答案】 DX — 12. 不等式 - --- ≤ 0的解集为( )2χ+ 1 1 1A . ( — 2，1]B . {x ∣x ≥ 1 或 X V — 21 1C. [ — 2，1]D. {x ∣x ≥ 1 或 X ≤-2 【解析】 原不等式等价于(x — 1)(2x + 1) V 0 或 x — 1 = 0. •••原不等式的解集为(一2, 1]. 【答案】 A3. _______ (2012福建高考)已知关于X 的不等式x 2— ax+ 2a>0在R 上恒成立，贝U 实数a 的取值 范围是 ____ .【解析】 I x 2— ax+ 2a>0在R 上恒成立，• Δ = a ? — 4 × 2a<0,• 0<a<8.【答案】 (0, 8)1 14. __________________________________________________________________ 一元二次不等式 aχ2+ bχ+ 2> 0的解集是(一2, ^),则a + b 的值是 ____________________________ .2 1 1【解析】 由已知得方程ax 2+ bx+ 2 = 0的两根为一-, b=— 1+1a 2 3(-2)解得a=—12b =— 2,2(见学生用书第2页).∙∙ a + b =— 14.【答案】 -14错误!I t •属解下列不等式(1)3+ 2x — X ≥0； ⑵ X 2 + 3> 2x ;元二次不等式的解法2x x —1.【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法; 式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解.【尝试解答】(1)原不等式化为X 2 — 2x — 3≤ 0,即(x — 3)(x + 1)≤ 0,故所求不等式的解集为｛x|— 1 ≤ x ≤ 3｝. (2)原不等式化为x 2— 2x + 3> 0,•.•△= 4 — 12= — 8V 0,又因二次项系数为正数，•••不等式X 2+ 3>2x 的解集为R . (2)用配方法或用判别⑶ T x —≤1? x —T 1≤0?肖≤0? (x — 1)(x + 1)≤ 0 且 x ≠ 1.•原不等式的解集为［—1, I ).,现律方法&1. 熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解.2. 解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考 虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)写出不等式的解集.________ I _______________㉒哽止训练 鉀卞却才毕卡解下列不等式：(1) — 2x 2— 5x + 3 > 0;2(2) — 1 ≤ X + 2x — 1≤ 2;【解】(1) T — 2x 2— 5x + 3>0, 2• ∙ 2x + 5x — 3 V0,1 •原不等式的解集为｛x|— 3V X V 1.(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组 X 2+ 2x ≥ 0, ① 即2λλX 2+ 2x — 3≤ 0.② 由①得X ≥ 0或X ≤ — 2 ； 由②得一3≤ x ≤ 1.广2X + 2x — 1 ≥ — 1 ,【思路点拨】 先求方程12X 2— ax = a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集【尝试解答】 T 12x 2— ax >a 2, ∙ 12X 2— ax — a 2> 0, 即(4x + a)(3x — a)> 0,令(4x + a)(3x — a)= 0,a a得：χι = —；, χ2 =；・4 3①a>0 时，—4V 3，解集为｛XX V—4或 x> 3｝;②a= 0 时，X2> 0,解集为｛x∣x ∈R 且x≠ 0｝;③a v0时，一a> a,解集为｛xX V舟或x>—a｝.4 3 3 4“综上所述：当a> 0时，不等式的解集为｛xix v—a或x> a》；当a = 0时，不等式的解集为｛xx∈R且x≠ 0｝;当a v0时，不等式的解集为｛xx v3或x> —a4｝.,解含参数的一元二次不等式的步骤(1) 二次项若含有参数应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2) 判断方程实根的个数，讨论判别式△与0的关系.(3) 确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.' '解关于X的不等式x2— (a + 1)x+ a v 0.【解】原不等式可化为(x— a)(x— 1)v 0.当a> 1时，原不等式的解集为(1, a);当a=1时，原不等式的解集为空集；当a V1时，原不等式的解集为(a, 1).•••不等式ax 2+ x+ b v O 的解集为厂!规律方法③ -------------------------（1）给出一元二次不等式的解集， 则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根.（2） 三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法.若关于X 的不等式-a^ V 1的解集是{x ∣x v 1或x> 2},求实数x — 1围.【解】V 1?(a— 1)X+ 1V O? [(a — 1)x + 1](x — 1) V O,由原不等式的解集是{xXx —1 x —1V 1 或 x > 2},a -1V O ,I知 L 1 = 2? a= *L a — 1 •实数a 的取值范围是{1}.若不等式mx 2— mx — 1V O 对一切实数X 恒成立，求实数 m 的取值范围. 【思路点拨】 分m = O 与m≠ O 两种情况讨论，当 m≠ O 时，用判别式法求解. 【尝试解答】 要使mx 2— mx — 1V O 对一切实数X 恒成立， 若m= O ,显然—1 V O;… m V O , 右m≠O ,则* 2解得—4V m V O, Δ= m + 4m V O ,1.不等式ax 2+ bx+ c> O 的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a= O 时，b = O, c> O;Jr a > O, 2 当a≠ O 时，* 不等式ax 2+ bx+ C V O 的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a = O 时，ΔV O; ”a V O ,b = O, C V O ；当 a≠ O 时，1AV O.2. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是 主元，求三个二次的关系土_ 已知关于X 的不等式 x + b V O 的解集.【思路点拨】 X 2+ ax + b V O 的解集（一1, 2）, 试求关于 X 的不等式 ax 2 + 不等式解集的端点值是相应方程的根.【尝试解答】由于x 2+ ax + b v O 的解集是（—1,2）,所以 a =- 1, 故不等式即为一 —1 V O ,∙.∙七△= 1 — 8= — 7vx 2 + X - 2 V O ,J -a + b= O，解得 4+ 2a + b = O , b = —2. β≡πi∣ιι⅛a 的取值范故实数m 的取值范围是（一4, O]. 方法④卜谁的范围，谁就是参数.对任意a ∈ ［ — 1, 1］不等式X 2+ (a — 4)x+ 4 — 2a>0恒成立，则实数 X的取 值范围是 ____ .【解析】 设f(a) = (x — 2)a+ x 2— 4x+ 4,则原问题可转化为一次函数 (或常数函数)f(a)在区间［—1, 1］上恒正时X 应满足的条件，f (— 1 )>0,f (1)> 0. x 2— 5x+ 6 > 0, 即2x 2— 3x+ 2 > 0,(X — 2) ( X — 3)> 0, (x — 1)( x — 2)> 0. 解之，得X V 1或X> 3. 【答案】 X V 1或x>3:名师微博也—个过程解一元二次不等式的一般过程是:一看(看二次项系数的符号),二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集).囤两点联想不等式ax 2+ bx+ c>0(或ax 2 + bx+ C V 0)(a≠ 0)的求解，善于联想：(1)二次函数y= ax 2+ bx + C 的图象与X 轴的交点，(2)方程ax 2+ bx+ C= 0(a≠ 0)的根，运用好“三个二次”间的 关系.囤三个防范1•二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是 否为零的情况.2. 解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若 不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.3•不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述.故应有化为*命题透视从近两年的高考试题来看， 一元二次不等式的解法、 含参数不等式的解法以及二次函数、 一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点. 常与集合、函数、导数等 知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想.思想方法之一巧用一元二次不等式求代数式的最值E!例題（2011浙江高考）设x,y 为实数，若4χ2+ y 2+ Xy= 1 ,则2x+ y 的最大值是 ______ .【解析】 法一 设 2x+ y=t, ••• y= t -2x,代入 4χ2+ y 2+ Xy= 1，整理得 6χ2- 3tx+ t 2—1 = 0.关于 X 的方程有实根，因此 Δ= （— 3t ）2- 4× 6 × （t 2- 1） ≥ 0,解得一 2^10≤t ≤2^105 5则2x+ y 的最大值是響.5法二 ■/ 1 = 4x 2+ y 2+ Xy= (2x+ y)2— 3xy =(2x+ y)2-≥(2x+ y)2-3∙ (2x 2⅛= 5(2x + y)2,∙∙∙(2x+ y)2≤ 8,•-暑2x + y≤即-2510≤ 2x+ y ≤55 5［答案】2510 5阅卷心语易错提示：（1）换元后，不会从关于 X 的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思 维受阻.（2）不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答.防范措施：（1）应熟练掌握一元二次方程与其判别式 △之间的关系，关于 X 的一元二次 不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负.⑵遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知.自生体验1. （2012 天津高考）设 x ∈ R ,则“ x>1”是“ 2x 2+ X-1>0” 的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1【解析】 2x 2+ X- 1>0的解集为{x ∣x>2或x< - 1},育考葆脸・蹈考侑（见学生用书第3页）a-盂兔吐 * ⅛ * * ⅛ *?2 10故由 x>2? 2x2+ X- 1>0,但 2x2+ X- 1>0D? ∕xg.则“x> 1"是“ 2x2+ X- 1> 0”的充分不必要条件.2【答案】A2. (2013清远模拟)不等式ax2+ 4x+ a> 1 - 2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是____________ .【解析】由题意知，不等式 (a+ 2)x2 + 4x + a — 1 > 0对一切 x∈R恒成立，则有a+ 2 > 0,解得a>2.△= 16— 4 (a+ 2)( a— 1 )v 0,【答案】(2, +∞ )。

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指一个未知数的二次函数与一个数之间的关系式，其形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。

解一元二次不等式的关键是找到其解集，即满足不等式的所有实数解。

本文将介绍两种常用的一元二次不等式的解法：图像法和区间法。

一、图像法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。

例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。

2. 绘制出对应一元二次函数的图像，并标出顶点。

对于一元二次函数y = ax² + bx + c，其图像是一个抛物线。

顶点的横坐标为-x₀ = -b/2a，纵坐标为y₀ = f(-x₀) = f(-b/2a)。

3. 根据一元二次不等式的符号确定解集。

若a > 0，表示抛物线开口向上，此时对应不等式的解集是(x < x₀) ∪ (x > x₁)。

若a < 0，表示抛物线开口向下，此时对应不等式的解集是(x₀ < x < x₁)。

二、区间法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。

例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。

2. 求出一元二次函数的判别式Δ = b² - 4ac的值，并根据Δ的正负确定解集。

若Δ > 0，则对应不等式的解集是(-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)。

若Δ = 0，则对应不等式的解集是(-∞, x) ∪ (x, +∞)。

若Δ < 0，则对应不等式的解集为空集。

需要注意的是，使用图像法和区间法时必须要了解一元二次函数的图像特征和判别式的意义。

另外，在求解过程中，可以运用一些常用的数学知识，如因数分解、配方法等，以便更快地得到解集。

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指包含一个未知数的二次函数不等式，其解的范围通常是实数集合中的某个区间。

解决一元二次不等式问题需要运用一些基本的数学原理和方法。

本文将介绍几种常见的一元二次不等式的解法。

1. 图形法解一元二次不等式图形法是解决一元二次不等式的一种直观方法。

我们可以通过绘制一元二次函数的图像来观察其解的范围。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）绘制该二次函数的图像，并标出函数图像上的关键点，如顶点、交点等；3）根据函数图像的特征，确定不等式的解的范围。

2. 因式分解法解一元二次不等式因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。

通过将不等式转化为因式的形式，可以更方便地确定解的范围。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将二次函数因式分解为一元一次函数的乘积，得到因式表达式；3）根据因式表达式的性质，确定不等式的解的范围。

3. 完全平方式解一元二次不等式完全平方式也是解决一元二次不等式的一种常用方法。

通过完全平方式，可以将不等式转化为平方形式，从而更容易确定解的范围。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将一元二次函数利用完全平方式转化为平方（二次）表达式；3）根据平方表达式的性质，确定不等式的解的范围。

4. 配方法解一元二次不等式配方法是解决一元二次不等式的另一种有效方法。

通过进行配方法，可以将一元二次不等式转化为二次函数的平方差形式，从而简化求解过程。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）运用配方法，将二次函数转化为平方差的形式；3）根据平方差的性质，确定不等式的解的范围。

综上所述，一元二次不等式的解法包括图形法、因式分解法、完全平方式和配方法等多种方法。

在具体解题过程中，可以根据实际情况选择合适的解法。

学习技巧掌握解一元二次不等式的完整步骤学习技巧：掌握解一元二次不等式的完整步骤解一元二次不等式是数学中的重要知识点，掌握其解题方法和技巧对于学生的学习和应试都具有重要意义。

本文将介绍解一元二次不等式的完整步骤，并提供一些学习技巧，帮助读者更好地掌握这个知识点。

一、一元二次不等式的定义和性质首先，我们来回顾一下一元二次不等式的定义和性质。

一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c 为实数且a≠0。

一元二次不等式的解即是满足不等式的x的取值范围。

在解一元二次不等式时，我们需要注意以下性质：1. 若a>0，则一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）表示的是一个开口向上（或向下）的抛物线所围成的区域。

2. 若a<0，则一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）表示的是一个开口向下（或向上）的抛物线所围成的区域。

3. 一元二次不等式的解可以用区间表示，例如(x1, x2)表示的是解集合[x1, x2]内的所有实数。

二、解一元二次不等式的步骤接下来，我们将介绍解一元二次不等式的完整步骤。

步骤1：将一元二次不等式转化成标准形式首先，将一元二次不等式转化成标准形式，即将不等式右侧移到左侧，得到ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）。

步骤2：确定一元二次函数的图像形状根据一元二次不等式的性质，确定一元二次函数的图像形状是开口向上还是开口向下，以及开口的方向。

步骤3：求出一元二次函数的零点将一元二次函数ax^2+bx+c=0转化成一元二次方程，求出其根或零点。

此处注意：一元二次不等式的解集是以零点为界限的某个区间。

步骤4：根据图像形状和零点确定解集根据一元二次函数的图像形状和零点，确定不等式的解集。

注意，需要考虑到原不等式的等号部分（大于、小于或等于）对解集的影响。

步骤5：将解集用区间表示最后，将解集用区间的形式表示出来，即得到不等式的解。

解一元二次不等式的方法步骤嘿，咱今儿个就来讲讲解一元二次不等式的方法步骤，这可有意思啦！一元二次不等式啊，就像是个调皮的小怪兽，咱得有法子降住它。

首先呢，咱得把它摆出来，看清它的模样。

比如说，给咱一个不等式ax²+bx+c＞0 或者 ax²+bx+c＜0 这样的。

然后呢，咱就来瞅瞅它对应的一元二次方程 ax²+bx+c=0 呗。

为啥要瞅这个方程呢？嘿嘿，这就好比是找到小怪兽的弱点呀！咱解出这个方程的根，这可就是关键的节点啦。

接下来，咱就根据这根的情况来分情况讨论咯。

要是这方程没根，那这一元二次不等式的解集可就简单啦，要么恒大于0，要么恒小于0。

这就好比是小怪兽没了弱点，那咱就好对付多啦，直接就知道结果啦。

要是有根呢，那可就有点复杂咯。

咱得好好琢磨琢磨。

就像你走在路上，看到两条岔路，得选一条走呀。

咱得根据根的大小，把数轴分成几段，然后一段段地看，这一段是大于 0 的，那一段是小于 0 的。

这感觉就像在给小怪兽划分地盘似的，哈哈。

举个例子吧，比如说 x²-3x+2＞0，咱先解出对应的方程 x²-3x+2=0的根，是 1 和 2 吧。

那咱就在数轴上把 1 和 2 标出来，分成三段。

然后呢，咱试试在每一段上取个数代进去，看看不等式是不是成立。

一试就知道啦，小于 1 或者大于 2 的时候不等式成立呀。

解一元二次不等式可不就是这么个有趣的过程嘛！就跟玩游戏似的，一步步找到答案。

别觉得它难呀，多练几遍，你就会发现，这小怪兽也不过如此嘛！咱肯定能轻松搞定它。

大家想想，要是连个一元二次不等式都搞不定，那以后遇到更复杂的数学问题可咋办呀？所以呀，咱得把这个基础打好咯。

就像盖房子，根基不稳可不行。

这解一元二次不等式就是咱数学大厦的一块重要基石呀！总之呢，解一元二次不等式就是这么个事儿，大家只要按照步骤来，多练练，肯定没问题的。

加油吧，小伙伴们！让我们一起把这些小怪兽都打得落花流水！。

第一节一元二次不等式及其解法(见学生用书第1页)考纲传真1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式．对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程3．简单的分式不等式 (1)f （x ）g （x ）＞0⇔f (x )·g (x )＞0； (2)f （x ）g （x ）≤0⇔f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的条件是什么？ 【提示】 a >0且b 2－4ac <0.1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．【答案】 D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12}【解析】 原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)＜0或x －1＝0.∴原不等式的解集为(－12，1]．【答案】 A 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8. 【答案】 (0，8)4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14. 【答案】－14(见学生用书第2页)一元二次不等式的解法解下列不等式 (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2＋3＞2x ；(3)2x x －1≤1. 【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．【尝试解答】 (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式化为x 2－2x ＋3＞0，∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数， ∴不等式x 2＋3＞2x 的解集为R . (3)∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0⇔x ＋1x －1≤0 ⇔(x －1)(x ＋1)≤0且x ≠1. ∴原不等式的解集为[－1，1)．,1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解． 2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．解下列不等式：(1)－2x 2－5x ＋3＞0； (2)－1≤x 2＋2x －1≤2；【解】 (1)∵－2x 2－5x ＋3＞0，∴2x 2＋5x －3＜0， ∴(2x －1)(x ＋3)＜0，∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ②由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1.故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.含参数的一元二次不等式的解法 求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．【思路点拨】 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 【尝试解答】 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－a 4}．,解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0.【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0. 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，1)．三个二次的关系 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集．【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．【尝试解答】 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0，∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0 ∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根． (2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．若关于x 的不等式axx －1＜1的解集是{x |x ＜1或x ＞2}，求实数a 的取值范围．【解】 axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x＜1或x ＞2}，知⎩⎨⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}．不等式恒成立问题 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路点拨】 分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解． 【尝试解答】 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0，故实数m 的取值范围是(－4，0]．,1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．【解析】 设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0.解之，得x ＜1或x ＞3. 【答案】 x ＜1或x ＞3一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．(见学生用书第3页)从近两年的高考试题来看，一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点．常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想．思想方法之一 巧用一元二次不等式求代数式的最值(2011·浙江高考)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．【解析】 法一 设2x ＋y ＝t ，∴y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，整理得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0.关于x 的方程有实根，因此Δ＝(－3t )2－4×6×(t 2－1)≥0，解得－2105≤t ≤2105.则2x ＋y 的最大值是2105.法二 ∵1＝4x 2＋y 2＋xy ＝(2x ＋y )2－3xy＝(2x ＋y )2－32(2x )·y≥(2x ＋y )2－32·(2x ＋y 2)2＝58(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴－85≤2x ＋y ≤ 85，即－2105≤2x ＋y ≤2105.【答案】 2105易错提示：(1)换元后，不会从关于x 的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思维受阻．(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答． 防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之间的关系，关于x 的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负．(2)遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知．1．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12.则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件．【答案】 A 2．(2013·清远模拟)不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2. 【答案】 (2，＋∞)。

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0 (或ax^2 + bx + c < 0)的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

要解一元二次不等式，需要通过一系列的步骤来确定其解集。

步骤一：将一元二次不等式的左边转化为一个二次函数f(x)。

根据一元二次不等式的形式，我们可以将其左边的项看作是二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。

这个二次函数的图像可能是一个抛物线开口向上，也可能是开口向下。

步骤二：求出二次函数f(x)的零点。

为了求出二次函数f(x)的零点，我们需要将其转化为标准形式。

标准形式是指f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。

步骤三：根据二次函数f(x)的开口方向，确定一元二次不等式的解集。

如果二次函数f(x)开口向上，即a > 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线上方的区域。

如果二次函数f(x)开口向下，即a < 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线下方的区域。

步骤四：根据一元二次不等式的形式，找出它的解集。

通过分析图像和零点，我们可以进一步确定一元二次不等式的解集。

例如，考虑不等式x^2 - 3x + 2 > 0。

首先，我们将不等式左边的项转化为二次函数f(x) = x^2 - 3x + 2，然后求出其零点。

将f(x)转化为标准形式可以得到f(x) = (x - 1)(x - 2)，则它的零点是x = 1和x = 2。

这意味着抛物线与x轴相交于点(1, 0)和(2, 0)。

由于a = 1 > 0，我们知道抛物线开口向上。

因此，不等式的解集是抛物线上方的区域。

我们可以通过测试f(x)在零点以及零点左右的取值来进一步确定解集。

当x < 1时，抛物线在x轴上方，因此f(x) > 0；当1 < x < 2时，抛物线在x轴下方，因此f(x) < 0；当x > 2时，抛物线再次在x轴上方，因此f(x) > 0。

一元二次不等式的解法过程一元二次不等式是指含有一个未知数的二次函数，其解的集合为一段数轴上的区间。

解一元二次不等式的步骤如下：1. 将一元二次不等式转化为标准形式：将不等式中的所有项都移到一边，使不等式的右边为零。

例如，对于不等式3x^2 - 4x + 1 < 0，将其转化为3x^2 - 4x + 1 - 0 < 0。

2. 求解一元二次方程：将不等式中的等号改为不等号，即求解3x^2 - 4x + 1 = 0的解。

使用求根公式或配方法求得方程的解，得到x1和x2。

3. 根据一元二次函数的图像判断不等式的解集：a) 如果a > 0（a为二次项的系数），则抛物线开口向上。

当x在x1和x2之间时，函数的值小于零，即解集为(x1, x2)。

b) 如果a < 0，则抛物线开口向下。

当x在x1和x2之间时，函数的值大于零，即解集为(-∞, x1)并(x2, +∞)。

c) 如果a = 0，则不是一元二次不等式。

4. 检验解的有效性：将不等式中的x值代入原始不等式中，验证不等式的成立性。

若成立，则解有效；若不成立，则解无效。

5. 表示解集：根据步骤3和4得到的解，将解集用数轴上的区间表示。

例如，解集为(x1, x2)时，在数轴上用一个开区间表示。

下面以一个具体的例子来说明一元二次不等式的解法过程：例题：解不等式x^2 - 5x + 6 > 0。

解法如下：1. 将不等式转化为标准形式：x^2 - 5x + 6 - 0 > 0。

2. 求解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

通过因式分解或求根公式得到x1 = 2和x2 = 3。

3. 根据一元二次函数的图像判断解集：由于a = 1 > 0，抛物线开口向上。

当x在2和3之间时，函数的值小于零，即解集为(2, 3)。

4. 检验解的有效性：将x = 2.5代入不等式x^2 - 5x + 6 > 0中，得到2.5^2 - 5(2.5) + 6 = 2.25 - 12.5 + 6 = -4.25，小于零，验证了解的有效性。

一元二次不等式的求解步骤求解一元二次不等式（形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0）的基本步骤如下：1. 标准化不等式首先，确保不等式是一元二次的，并且二次项系数a不为零（如果a=0，则不等式退化为一元一次不等式）。

2. 计算判别式计算判别式Δ=b2−4ac。

这个值将决定二次方程的根的性质（即实数根、重根或无实数根）。

3. 求解二次方程。

求解对应的二次方程ax2+bx+c=0的根。

使用求根公式x=−b±√Δ2a●如果Δ>0，方程有两个不相等的实数根x1和x2。

●如果Δ=0，方程有一个重根x1=x2。

●如果Δ<0，方程无实数根。

4. 利用数轴标根法确定解集●当Δ≥0时，将根x1和x2（如果它们存在且不相等）按从小到大的顺序排列在数轴上。

●如果不等式是ax2+bx+c>0，则解集是两根之外的区间（即x<x1或x>x2，如果Δ>0；或x≠x1，如果Δ=0）。

注意，当a<0时，解集会反过来，因为二次函数开口向下。

●如果不等式是ax2+bx+c<0，则解集是两根之间的区间（即x1<x<x2，如果Δ>0；或无解，如果Δ≤0和a>0；或所有实数，如果Δ<0和a< 0）。

●当Δ<0时，不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0）的解集是整个实数集（或空集），具体取决于a的符号（因为此时二次函数没有实数根，且图像在x轴上方或下方）。

5. 验证解的正确性（可选）最后，可以通过选取解集中的一些点代入原不等式来验证解的正确性。

但这通常不是必需的，因为上述步骤已经足够严谨。

示例考虑不等式x2−4x+3<0。

1.判别式Δ=(−4)2−4∙1∙3=16−12=4>0。

2.解二次方程x2−4x+3=0，得到根x1=1和x2=3。

3.因为不等式是x2−4x+3<0且a=1>0，所以解集是两根之间的区间，即1<x<3。

第4讲 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ． 2．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的 图象一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0(a >0)的根有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等实 根x 1＝x 2 ＝－b2a没有实 数根一元二次不等 式ax 2＋bx ＋c >0(a >0) 的解集 {x |x >x 2 或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0(a >0) 的解集 {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅常用结论1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0， b 2－4ac <0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0， b 2－4ac <0.➢考点1 一元二次不等式的解法[名师点睛](1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系； ③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集． [典例]1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式2210x x --<解集为（ ） A ．{x |1<x <2}B ．{x |－2<x <1 }C ．{x |x >2或x <1}D ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x 的不等式： (1)231x ≤-； (2)()22120ax a x +--<（0a <）.[举一反三]1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．(]1,3-B ．[)1,3C ．(]1,5-D ．(]3,52．（2022·全国·模拟预测）设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -≤≤C ．{4x x ≤或}5x ≥D ．{2x x ≤或}5x ≥3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于x 的不等式：2(1)(23)20(1)a x a x a +-++<≥-.4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2． (1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．➢考点2 一元二次不等式恒成立问题[名师点睛]1.一元二次不等式在R 上恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≥0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≤0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)当a <0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α<0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β<0或Δ<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f β>0，f α>0. (2)当a >0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f β<0，fα<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α>0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β>0或Δ<0.3.转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）不等式()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．15a << B ．51a -<<- C ．51a -<≤-D ．31a -<≤-2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于x 的不等式2210x ax ++在[0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．()0,∞+B ．[)1,-+∞C ．[]1,1-D ．[)0,∞+3．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(-∞，2)(3，)∞+ B ．(-∞，1)(2，)∞+C ．(-∞，1)(3，)∞+D ．(1,3)[举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(),2-∞- C ．(],0-∞D ．(),0∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知a R ∈，“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是（ ） A ．10a -<<B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．()1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， D ．(]1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， 4．（2022·全国·高三专题练习）不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数2()1f x x ax =--，当[]0,3x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的不等式3231012xkx x x ->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________．8．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数2()1f x mx mx =--． (1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围.➢考点3 一元二次方程根的分布问题[名师点睛]1.设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数，则一元二次方程根和k 的分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理．定理1：x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0.定理2：k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a >k .定理3：x 1≤x 2<k (即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a <k .2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b ，c ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.[典例]1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程240x ax -++=的两实根中一个小于1-，另一个大于2，则 a 的取值范围是（ ） A ．()0,3B ．[]0,3C ．()3,0-D ．(,1)(3,)-∞+∞2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+3．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（ ） A ．13 B ．18 C ．21 D ．26[举一反三]1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是（ ）A ．(,)-∞-⋃+∞B ．(6,--C ．(6,2))--⋃+∞D ．(,2)-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤4．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞-B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为_______6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____．7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21f x mx mx =--，若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为_____.9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数2()(23)6()f x ax a x a R =-++∈． （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点； （2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>；（3）当1a =时，函数()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，求实数m 的取值范围第4讲 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ． 2．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的 图象一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0(a >0)的根 有两个相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等实 根x 1＝x 2 ＝－b 2a没有实 数根一元二次不等 式ax 2＋bx ＋c >0(a >0){x |x >x 2 或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2aR的解集 ax 2＋bx ＋c <0(a >0) 的解集 {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅常用结论1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.2．两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0. (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0， b 2－4ac <0.➢考点1 一元二次不等式的解法[名师点睛](1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤[典例]1．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）不等式2210x x --<解集为（ ） A ．{x |1<x <2} B ．{x |－2<x <1 }C ．{x |x >2或x <1}D ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】∵2210x x --<，∴112x -<<，∴不等式2210x x --<解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故选：D.2．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）解下列关于x 的不等式： (1)231x ≤-； (2)()22120ax a x +--<（0a <）.【解】(1)由231x ≤-，得2301x -≤-，即5301x x -≤- 则(53)(1)0x x --≤且1x ≠，解得：5(,1)[,)3-∞+∞(2)当12a =-时，原不等式1(1)(2)02x x ⇔--+<，解的{|2}x x ≠-；当12a <-时，原不等式(1)(2)0ax x ⇔-+<，又12a >-所以解集为1(,2)(,)a -∞-+∞；当102a -<<时，因为12a <-所以解集为1(,)(2,)a-∞-+∞.综上有，12a =-时，解集为{|2}x x ≠-；12a <-时，解集为1(,2)(,)a -∞-+∞；102a -<<时，解集为1(,)(2,)a-∞-+∞. [举一反三]1．（2022·浙江宁波·二模）已知集合{}2230A x x x =--<，{}15B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．(]1,3-B ．[)1,3C ．(]1,5-D ．(]3,5【答案】B【解析】由题意，{}2230{|13}A x x x x x =--<=-<<，故{}{|13}15{|13}A B x x x x x x ⋂=-<<⋂≤≤=≤<， 故选：B2．（2022·全国·模拟预测）设集合402x A xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}27100B x x x =-+≥，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -≤≤C ．{4x x ≤或}5x ≥D ．{2x x ≤或}5x ≥【答案】B 【解析】由不等式402x x ->+，解得2x <-或4x >，所以{|2A x x =<-或4}x >， 又由不等式27100x x -+≥，解得2x ≤或5x ≥，所以{|2B x x =≤或5}x ， 可得R{|24}A x x =-≤≤，所以()R A B ⋂={}22x x -≤≤. 故选：B.3．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）解关于x 的不等式：2(1)(23)20(1)a x a x a +-++<≥-.【解】当a ＋1=0即 a ＝-1时，原不等式变为－x ＋2<0，即x >2. 当a>-1时，原不等式可转化为()1201x x a ⎛⎫--< ⎪+⎝⎭， ∴方程()1201x x a ⎛⎫--= ⎪+⎝⎭的根为1,21a +. 若-1<a<12-，则11a +>2，解得2<x <11a +；若a ＝12-，则11a +＝2，解得x ∈∅；若a >12-，则11a +<2， 解得11a +<x <2.综上，当a >12-时，原不等式的解集为{x |11a +<x <2}； 当a ＝12-时，原不等式的解集为∅；当-1<a <12-时，原不等式的解集为{x |2<x <11a +}. 当a ＝-1时，原不等式的解集为{x |x >2}.4．（2021·广东·普宁市大长陇中学高三阶段练习）已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2． (1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0． 【解】(1)由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根， 所以132(1)3b aa a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；(2)当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0， 即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-； 当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.➢考点2 一元二次不等式恒成立问题[名师点睛]1.一元二次不等式在R 上恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≥0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≤0；②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)当a <0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α<0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β<0或Δ<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ fβ>0，f α>0.(2)当a >0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f β<0，f α<0. f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a <α，f α>0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f β>0或Δ<0.3.转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）不等式()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．15a <<B ．51a -<<-C ．51a -<≤-D ．31a -<≤-【答案】C【解析】当10a +=，即1a =-时，()()21110a x a x +-+-<可化为10-<，即不等式10-<恒成立；当10a +≠，即1a ≠-时，因为()()21110a x a x +-+-<对一切实数x 恒成立，所以()()2101410a a a +<⎧⎪⎨+++<⎪⎩，解得51a -<<-； 综上所述，51a -<≤-. 故选：C.2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于x 的不等式2210x ax ++在[0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．()0,∞+B ．[)1,-+∞C ．[]1,1-D ．[)0,∞+【答案】B【解析】解：当0x =时，不等式10恒成立； 当0x >时，由题意可得12a x x-+恒成立， 由11()22f x x x x x=+⋅=，当且仅当1x =时，取得等号． 所以22a -，解得1a -．综上可得，a 的取值范围是[)1,-+∞． 故选：B ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(-∞，2)(3，)∞+ B ．(-∞，1)(2，)∞+C ．(-∞，1)(3，)∞+D ．(1,3)【答案】C【解析】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x ∴的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ． [举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(),2-∞- C ．(],0-∞ D ．(),0∞-【答案】A【解析】由题意，当x ∈R 时，不等式2210x x a ---≥恒成立，故2(2)4(1)0a ∆=-++≤ 解得2a ≤-，故实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知a R ∈，“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是（ ） A ．10a -<< B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤【答案】B【解析】当0a =时，221=10ax ax +--<，对x R ∀∈恒成立； 当0a ≠时，若2210ax ax +-<，对x R ∀∈恒成立，则必须有2(2)4(1)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩，解之得10a -<<， 综上，a 的取值范围为10a -<≤.故“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是10a -<≤， 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1124⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．()1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， D ．(]1124⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， 【答案】B【解析】∵不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ， 当a -2＝0，即a ＝2时，不等式为3>0恒成立，故a ＝2符合题意； 当a ﹣2≠0，即a ≠2时，不等式224(2)30a x a x -+-+（）＞的解集为R ， 则()()220Δ424230a a a ->⎧⎪⎨⎡⎤=---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得1124a <<， 综合①②可得，实数a 的取值范围是1124⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．故选：B ．4．（2022·全国·高三专题练习）不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ， 或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ， 解得4x ≤-或x >12≤xx =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,4]-∞ D ．(,2]-∞【答案】A【解析】解：因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立， 所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立， 因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max 2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-，即m 的取值范围是[4,)+∞ 故选：A6．（2021·江苏常州·高三阶段练习）已知函数2()1f x x ax =--，当[]0,3x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】[1,4]【解析】2|()|5515f x x ax ⇔-≤--≤， ①当0x =时，a R ∈；②当0x ≠时，2|()|5515f x x ax ⇔-≤--≤64x a x x x⇔-≤≤+， min 44242x x ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，max 6321x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴14a ≤≤， 综上所述：14a ≤≤. 故答案为：[]1,4.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的不等式3231012xkx x x->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________． 【答案】[]0,1【解析】由题意知：2302kx x x +->，即22>-k x x 对任意的()0,2x ∈恒成立，0k ∴≥ 当()0,2x ∈，3231012x kx x x->+-得： 233210kx x x x <+--，即200+21x kx <-对任意的()0,2x ∈恒成立，即210210=2x k x x x-<-对任意的()0,2x ∈恒成立， 令()102f x x x=-，()f x 在()0,2x ∈上单减，所以()()21f x f >=，所以1k ≤ 01k ∴≤≤.故答案为：[]0,18．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设函数2()1f x mx mx =--． (1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围. 【解】(1)解：由已知，210mx mx --<对于一切实数x 恒成立， 当0m =时，10-<恒成立,符合题意，当0m ≠时，只需20Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<， 综上所述，m 的取值范围是(4-，0]；(2)解：由已知，215mx mx m --<-+对[1x ∈，3]恒成立， 即2(1)6m x x -+<对[1x ∈，3]恒成立，22131()024x x x -+=-+>，∴261m x x <-+对[1x ∈，3]恒成立，令2()1g x x x =-+，则只需min6()m g x ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦即可， 而()g x 在[1x ∈，3]上是单调递增函数，()[1g x ∴∈，7]，∴66[,6]()7g x ∈，67m ∴<， 所以m 的取值范围是6(,)7-∞.➢考点3 一元二次方程根的分布问题[名师点睛]1.设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数，则一元二次方程根和k 的分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理．定理1：x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0.定理2：k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a >k .定理3：x 1≤x 2<k (即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af k >0，－b2a <k .2.一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b ，c ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2—4ac >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b ，c ∈R .3.在区间内有解，可以参变分离为a >f (x )或a <f (x )的形式，转化为a >f (x )min 或a <f (x )max ；也可以通过对立命题转化为在区间内无解，从而转化为恒成立问题.[典例]1．（2022·重庆一中高三阶段练习）若方程240x ax -++=的两实根中一个小于1-，另一个大于2，则 a 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．[]0,3 C ．()3,0-D ．(,1)(3,)-∞+∞【答案】A【解析】因为方程24=0x ax -++有两根，一个大于2,另一个小于1-，所以函数 ()24f x x ax =-++有两零点，一个大于2，另一个小于1-，由二次函数的图像可知，()()2010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩ ，即:()()2222401140a a ⎧-+⋅+>⎪⎨--+⋅-+>⎪⎩ 解得:0<<3a 故选:A.2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．34⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【答案】B【解析】因为不等式220x x m --<在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以不等式22m x x >-在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 令()22211t x x x =-=--，则min 1t =-，所以1m >-，所以实数m 的取值范围是()1,-+∞ 故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（ ） A ．13 B ．18C ．21D ．26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线， 根据题意可得，3640a ∆=->，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a -+≤⎧⎨-+>⎩，解得58a <≤，又,a Z ∈ 所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21. 故选： C[举一反三]1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是（ ）A ．(,25)(25,)-∞-⋃+∞B ．(6,25]--C ．(6,2)(25,)--⋃+∞D ．(,2)-∞-【答案】B【解析】解：∵关于x 的方程2(2)60x m x m +-+-=的两根都大于2，令2()(2)6f x x m x m =+-+-，可得2(2)4(6)0222(2)42(2)60m m m f m m ⎧∆=---≥⎪-⎪->⎨⎪=+-+->⎪⎩，即252526m m m m ⎧≥≤-⎪<-⎨⎪>-⎩或， 求得625m -<≤- 故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A【解析】2(]0,x ∈时，不等式可化为22244x a x x x<=++；令2()4f x x x =+，则max 1()2a f x <==，当且仅当2x =时，等号成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A ．3．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤【答案】D【解析】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤， 所以实数a 的取值范围为52a ≤， 故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(],2-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】A【解析】不等式等价于存在()1,4x ∈，使242a x x <--成立，即()2max42a x x <--设()224226y x x x =--=-- 当()1,4x ∈时，[)6,2y ∈--所以2a <- . 故选：A5．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为_______【答案】52⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】解：由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解， 设1()f x x x =+，则函数1()f x x x=+在[]1,2上单调递增，所以5(1)()(2)2f f x f ≤≤=，所以实数a 的取值范围为52⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意；当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解，则需满足440∆=->a ，可得1a <， 所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(),1-∞， 故答案为：(),1-∞.7．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+【解析】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()21f x mx mx =--，若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为_____.【答案】57m <【解析】若对于任意的13{|}x x x ∈≤≤，()4f x m <-+恒成立， 即可知：250mx mx m -+-<在13{|}x x x ∈≤≤上恒成立，令()25g x mx mx m =-+-，当0m =时，50-<恒成立， 当0m ≠时，对称轴为12x =. 当0m <时，有()g x 开口向下且在[]1,3上单调递减，∴在[]1,3上()()max 150g x g m ==-<，得5m <，故有0m <. 当0m >时，有()g x 开口向上且在[]1,3上单调递增，∴在[]1,3上()()max 3750g x g m ==-<， ∴507m <<， 综上，实数m 的取值范围为57m <， 故答案为：57m <9．（2021·江苏·仪征市第二中学高三阶段练习）已知函数2()(23)6()f x ax a x a R =-++∈． （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点； （2）解关于x 的不等式()0(0)f x a <>；（3）当1a =时，函数()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，求实数m 的取值范围． 【解】解：（1）当1a =时，2()56(2)(3)f x x x x x =-+=--， 所以函数()y f x =的零点为2，3.（2）由2()(23)60f x ax a x =-++<可得(3)(2)0ax x --<， 当302a <<时，解得32x a <<；当32a =时，x 不存在，不等式的解集为∅； 当32a >时，解得32x a <<.综上，当302a <<时，不等式的解集3{|2}x x a <<，当32a =时，不等式的解集∅， 当32a >时，不等式的解集3{2}x x a<<. （3）1a =时，()(5)3f x m x m -+++在[2,2]-有解，即230x mx m ++-在[2,2]-有解，因为23y x mx m =++-的开口向上，对称轴2m x =-， ①22m --即4m ，2x =-时，函数取得最小值4230m m -+-即73m， 4m ∴. ②222m -<-<即44m -<<时，当2m x =-取得最小值，此时2304m m -+-，解得24m <. ③当22m-即4m -时，当2x =时取得最小值，此时4230m m ++-， 解得7m -，综上，2m 或7m -。

解一元二次不等式的基本步骤1. 认识一元二次不等式一元二次不等式，这个名字听起来就像是一道复杂的数学题，但其实，咱们可以把它拆开来看，就像拆解一份大礼物，里面的东西并没有那么复杂。

简单来说，一元二次不等式就是形如 ( ax^2 + bx + c > 0 ) 或者 ( ax^2 + bx + c leq 0 ) 的不等式，其中的( a )、( b )、( c ) 是常数，( x ) 是你要解决的未知数。

这种不等式的特点是，变量 ( x )的最高次方是2，这就是“二次”这个词的由来。

看吧，记住这个结构，你就离破解它更近一步了。

2. 解一元二次不等式的步骤2.1 找到一元二次方程的根首先，你得找到那个二次方程的根。

这一步就像在挖掘宝藏，要找出方程的“秘密位置”。

你需要解方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，这个方程是它的“标准形”。

可以用公式法，公式是这样的：( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )。

你只要把 ( a )、( b )、( c ) 代进去，算出来的就是方程的根了。

如果你用的是平方根法或者配方法，算出来的也一样。

2.2 判断不等式的解集找到了根之后，接下来的步骤就是判断不等式的解集。

简单点说，就是你需要知道哪些 ( x ) 的值会让不等式成立。

想象一下，一条直线把数轴分成了几个区域，你的任务就是找出不等式在哪些区域里成立。

要做到这一点，你可以选择一个测试点，代入到不等式中，看看它的值是符合要求的还是不符合的。

3. 绘制图像并总结解集3.1 绘制抛物线为了更直观地理解不等式的解集，绘制抛物线是个好主意。

二次方程的图像是一条抛物线，开口朝上还是朝下取决于 ( a ) 的符号。

把根标在图像上，然后看一下哪些区域是在不等式成立的区域。

这就像是看电影的时候，你要留意剧情的发展，找到那个让你感到满意的结局。

3.2 总结解集最后，你要总结解集。

这个步骤就像是在电影结束后的讨论，你要把所有的信息整理好，把“好”的区域记录下来。

一元二次次不等式解法一、一元二次不等式的基本形式一元二次不等式的一般形式为ax^2+bx + c>0或ax^2+bx + c<0（a≠0），例如x^2-2x - 3>0， - x^2+3x+4<0等。

二、一元二次不等式的解法步骤（以ax^2+bx + c>0为例，a> 0）1. 将不等式化为标准形式- 确保二次项系数a>0。

如果原不等式是ax^2+bx + c<0且a<0，则先将不等式两边同时乘以-1，改变不等号方向，化为-ax^2-bx - c>0，此时二次项系数变为正数。

2. 求解对应的一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}求出方程的根x_{1},x_{2}（假设x_{1}<x_{2}）。

- 例如对于方程x^2-2x - 3 = 0，其中a = 1，b=-2，c=-3，根据求根公式x=frac{2±√((-2)^2)-4×1×(-3)}{2×1}=(2±√(16))/(2)，解得x_{1}=-1，x_{2}=3。

3. 根据二次函数y = ax^2+bx + c的图象确定不等式的解集- 因为a>0，二次函数y = ax^2+bx + c的图象开口向上。

- 当ax^2+bx + c>0时，不等式的解集为x<x_{1}或x>x_{2}；对于x^2-2x - 3>0，其解集为x < - 1或x>3。

- 当ax^2+bx + c<0时，不等式的解集为x_{1}<x<x_{2}；例如对于x^2-2x - 3<0，其解集为-1<x<3。

三、特殊情况1. 判别式Δ=b^2-4ac = 0时- 对于方程ax^2+bx + c = 0，此时方程有且仅有一个根x =-(b)/(2a)。

一元二次不等式标准解题过程一元二次不等式标准解题过程一元二次不等式是数学中常见的一种类型，解题过程相对复杂，需要有一定的技巧和方法。

在本文中，我将细致地分析一元二次不等式的标准解题过程，并共享一些我个人对这个主题的观点和理解。

一、一元二次不等式的基本概念在开始讨论解题过程之前，首先要明确一元二次不等式的基本概念。

一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0、≥ 0、≤ 0）的不等式，其中a、b、c是实数且a不等于0。

要解一元二次不等式，就是要找出满足这个不等式的x的取值范围。

二、解一元二次不等式的标准步骤解一元二次不等式的标准步骤可以简单概括为以下几个关键步骤：1. 移项化简：将不等式的所有项移至一边，使得不等式的标准形式为ax^2 + bx + c > 0。

2. 求解方程：将不等式化为对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0，并求出方程的根（即判别式△=b^2-4ac，根的判别式△>0有两个不相等实根，△=0一个重根，△<0无实根）。

3. 划分区间：根据二次函数的凹凸性质，将x轴分为不同的区间。

4. 确定符号：在每个区间内确定不等式的符号，从而得出不等式的解集。

以上步骤是解一元二次不等式的基本标准步骤，通过这些步骤的有序进行，可以有效地解决一元二次不等式的问题。

三、我对一元二次不等式解题过程的个人观点和理解在我看来，解一元二次不等式是一项需要耐心和细致的工作。

在整个解题过程中，我们需要不断地运用数学知识和技巧，以确保每一步都是准确和有效的。

尤其需要注意的是在确定符号的过程中，对二次函数的凹凸性质的理解至关重要。

只有在掌握了这些关键的概念和方法之后，我们才能更加准确地解出一元二次不等式的解集。

四、总结解一元二次不等式是数学学习中的重要内容之一，也是考验学生分析问题和解决问题能力的重要途径之一。

通过掌握一元二次不等式的标准解题过程，我们不仅能够更深入地理解二次函数的性质，也能提高自己的数学解题能力。

解不等式的过程：解不等式的过程就是将不等式进行同解变形，化为最简形式的同解不等式的过程．变形时要注意条件的限制，比如：分母是否有意义，定义域是否有限制等．解一元二次不等式的一般步骤为：(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集．一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式解法有公式法、配方法、图像法、数轴穿根。

数轴穿根步骤：把二次项系数变成正的；画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根；从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过。

一元二次不等式怎么解数轴穿根用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x的值的集合，小于零的则相反。

这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。

口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。

”注：该方法适用于所有的不等式。

步骤：1）把二次项系数变成正的；2）画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根；3）从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含x的项是奇次幂就穿过，偶次幂就跨过)；4）注意看看题中不等号有没有等号，没有的话还要注意舍去使不等式为0的根。

图像法一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。

通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。

求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。

解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。