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第2节 半群与幺半群

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幺半群的例子

幺半群的例子

幺半群的例子幺半群是一种特殊的代数结构，它由一个非空集合和一个二元运算组成。

该二元运算满足结合律且存在一个单位元素。

下面列举了十个幺半群的例子。

1. 自然数集合上的加法运算：自然数集合{0, 1, 2, 3, ...}上的加法运算是一个幺半群。

单位元素是0，运算满足结合律。

2. 正整数集合上的乘法运算：正整数集合{1, 2, 3, ...}上的乘法运算是一个幺半群。

单位元素是1，运算满足结合律。

3. 有理数集合上的加法运算：有理数集合上的加法运算是一个幺半群。

单位元素是0，运算满足结合律。

4. 实数集合上的乘法运算：实数集合上的乘法运算是一个幺半群。

单位元素是1，运算满足结合律。

5. 矩阵乘法：所有n阶方阵的集合上的矩阵乘法是一个幺半群。

单位元素是n 阶单位矩阵，运算满足结合律。

6. 字符串连接：所有字符串的集合上的字符串连接运算是一个幺半群。

单位元素是空字符串，运算满足结合律。

7. 布尔值集合上的逻辑与运算：布尔值集合{真, 假}上的逻辑与运算是一个幺半群。

单位元素是真，运算满足结合律。

8. 集合的并运算：所有集合的集合上的并运算是一个幺半群。

单位元素是全集，运算满足结合律。

9. 集合的交运算：所有集合的集合上的交运算是一个幺半群。

单位元素是空集，运算满足结合律。

10. 函数的复合运算：所有函数的集合上的函数复合运算是一个幺半群。

单位元素是恒等函数，运算满足结合律。

以上是十个幺半群的例子，它们分别来自于不同的数学领域和实际应用中。

幺半群在代数学、计算机科学、物理学等领域中具有重要的应用价值，深入研究幺半群的性质和结构有助于理解和解决实际问题。

半群,幺半群和群的关系ppt课件

半群,幺半群和群的关系ppt课件
例如,全体偶数构成的集合2Z,对普 通数的乘法构成半群,但不是幺半群 .
11
群的定义
定义（群的定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
（3） {G,}中有左单位元 e ，（即 G, 是幺半群）；
（譬如群 Z, 中的零元为 0，3 的负元为-3）
27
不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“ ”并不
是一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词 汇而已。同理加法群中的相加，并非一定是数的相加， 更多的表示“抽象加法”的含义。
例 9 一种重要的群：我们应该能回忆得起第 3 讲
中曾出现过的模 n 的剩余类集合
22
定义 4（等价定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
（3） {G,}中有右单位元 e ，（即 G, 是 monoid）；
（4） {G,} 中每个元都有右逆元（即 G, 是群）。
（Galois ,E[法] 1811—1832） 的基础。
4
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对 象就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一 些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群” 和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位 元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必 要明白其脉络。教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系 必须清楚。
（4） {G,} 中每个元都有左逆元（即 G, 是群）。

二、半群和独异点、群与子群

二、半群和独异点、群与子群

五.
定义
有限群
设<G，*>是一个群。如果G是有限集，那末称<G,*>为
有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记 为|G|；如果G是无限集，则称<G,*>为无限群。
定理
证明
群中不可能有零元。 当群的阶为1时，它的唯一元素视为幺元。 设|G|>1且群<G,*>有零元θ 。那么群中任何元素x∈G， 都有x*θ= θ*x= θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，这 <G,*>是群相矛盾。
例 <I,+>是一个群，设IE={x|x=2n,n∈I}，证明<IE,+>是<I,+> 的一个子群。 分析 1）+在IE上封闭。 2）+在IE上可结合。 3） <IE,+> 有幺元。 4） IE中的每个元素都有逆元。
七. 定义
平凡子群 设<G，*>是一个群， <S，*>是<G,*>的子群，如果
S={e}，或者S=G，则称<S，*>是<G,*>的平凡子群。
定义 设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为
S的一个置换。
定理 群<G,*>的运算表中的每一行或每一列都是G的元
素的一个置换。 证明见书Ｐ193
等幂元 定义 定理
证明 代数系统<G, * >中，如果存在a∈G，有a * a=a， 则称a为等幂元。 在群<A,*>中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元。 因为e * e=e，所以e是等幂元。 假设存在a∈A,a≠e且a * a=a 则有 a=e * a=(a-1 * a) * a=a-1 *(a * a)=a-1 * a=e 与假设a ≠ e相矛盾。

第二章 群论

第二章 群论
(2) oe 1
(3) 群的阶和元素的阶不是一回事.
元素的阶有如下常见性质：
(1) oa o a 1

(1) (2) (2) 若 o(a) m, 则 (3) (4)
a n e m | n； a h a k m | (h k )； e a 0 , a 1 , a m 1两两不等； m r Z , O a r . m, r
则称G 为 一个群(group).运算满足交换律的群称为交 换群或Abel群.
注: (1) 对(幺)半群,也有Abel(幺)半群的概念,即群的
Abel性仅对运算而言的. (2) Abel群 G的运算通常用“+”表示,并称 G为加群.
(3)
半群
单位元(幺元) 每一个元素均可逆
非空集合，运算封 闭且满足结合律
幺半群
运算满足交换律
群
运算满足交换律
交换 幺半群 交换群
每一个元素均可逆
定义2.2.2 若群G 所含的元素个数有限,则称 G 是有限群，
否则称 G为无限群. 一个有限群 G 所含的元素个数 |G | 称 为群G 的阶.
定理2. 2.1设G 为一个半群.则下列陈述等价:
(1) G 是群; (2)G 有左单位元 l ,而且 a G 关于这个左单位元 l 都 是左可逆 ; i.e.a G, b G, s.t.ba l (3) G 有右单位元 r,而且 a G关于这个右单位元 r都 是右可逆 ; i.e.a G, b G, s.t.ab r (4) a G 方程 ax b, ya b在 G 中都有解.

(1) (2) (3) 若 o(a) , 则 (3) (4)

离散数学 半群与含幺半群(独异点)

离散数学 半群与含幺半群(独异点)
例： < R, • >是半群，<{2,4}, •}是否是半群？ < (0,1), •>是否是半群？
∵区间 (0,1) R，且•在(0,1)上封闭可结合， ∴< (0,1), •>是<R, •>的子半群
3
定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,则必有aS，使a*a=a。
证明：对 bS ∵<S,*>是半群，*在S上封闭，∴b*b S 记 b2=b*b， 则 b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2 记 b3=b2*b=b*b2 则b3*b=b2*b*b=b*((b*b)*b)=b*(b2*b)=b*b3
主要内容 1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 陪集与拉格朗日定理 5 同态与同构 6 环与域
1
定义1：<S,*>是一个代数系统，S为非空集合，*是定义在S上的二元运算：
• *是封闭的， <S,*>称为广群； • *可结合的广群称为半群； • 含有幺元的半群，称为独异点（含幺半群）； • * 可交换的半群，称为交换半群。
定义3：<G,*>是群，若G是有限集，称<G,*>是有限群； G中元素的个数称为该有限群的阶数，记为 | G |； 若G无限，则<G,*>称为无限群。
定义4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定义元素a的幂为： a，……， an+1 = an * a， 定义：a-n = ( a-1) n (其中a-1是a的逆元)
∴x = b ，即元素 b 必满足 b * b = b
7
作业
• P190 （5）
8

半群,幺半群和群的关系

半群,幺半群和群的关系
其中
[2] [3] [1],[1] [2] [3]
事实上，可用运算表来完全刻划“+” ，可知“+”是 封闭的。
全部子集构成的集合） ， 通常叫做 A 的幂 集。那么 S , 及 S , 都是有限可换半 群。
定义 2：设 G, 是一个半群，如果 G 中含有单位元 e ，那
么称 G, 为幺半群，通常写为 G,, e .
.
思考题：能否举出一个是半群但不是幺半群的例子？
由于本讲知识是群论的最基本部分，照理不该 出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意： （1） 半群，幺半群和群的关系. （2） 本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证 明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路）. （3） 群的阶和群中元素的阶.
本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称 为乘法（这时群也称为乘群） ，特殊情况下， “” 也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群） 。


都是可换半群。
例 2 取 F 为任一数域， M n (F ) 为 F 上一切 n 阶方阵组成的集合。
若“+”和“ · ”均为通常矩阵的加法和乘法，那么 M n ( F ), 和
M n ，而当 n 1 时 ，
课堂训练 ：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是
群？为什么？
1、 Z , 2、 Z , 3、 Q, 4、 Q, 5、 Q, 6、 R, 7、 R,


8、 R , 9、 C, 10、 C ,

11、 C , 12、 N , 13、 N , 14、 N ,
从而 a a aa e .
1
1

离散数学课件第六章(第2讲)

离散数学课件第六章(第2讲)

《定理》：设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n
I+有（1）xmxn=xm+n
（2）(xm)n=xmn
证明： （1） xmxn= (xm x) x… x = (xm+1 x) x… x
n

n-1
=….= xm+n
（2）(xm)n= xm … xm= xm+m xm … xm=…=xmn
n
例：设M= {0º,60º,120º,240º,300º,180º}表示平面上几何图形 顺时针旋转的六种位置，定义一个二元运算*，对M中任一 元素a,b有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到 360º时即为0º，试验证<M ,*>是一个群。
* 0º 60º 120º 180º 240º 300º 0º 0º 60º 120º 180º 240º 300º 60º 60º 120º 180º 240º 300º 0º 120º 120º 180º 240º 300º 0º 60º 180º 180º 240º 300º 0º 60º 120º 240º 240º 300º 0º 60º 120º 180º 300º 300º 0º 60º 120º 180º 240º
例： <I ,max>，其中max(x1,x2)取二者之大值；<I ,min>， 其中min(x1,x2)取二者之小值，均不为独异点（不存在幺 元）。<N ,max>则为独异点，其中 e =0
《定义》：设< S ,* >是一半群，TS，且*在T上是封闭的， 那么< T ,* >也是半群，称< T ,* >是< S ,* >的子半群。

近代代数知识点总结

近代代数知识点总结

近代代数知识点总结近代代数是代数学的一个重要分支，它涉及了一系列复杂的数学概念和技巧。

近代代数的研究对象是数学结构及其性质，主要包括代数系统、线性代数、群论、环论、域论等。

本文将重点总结近代代数的几个重要知识点，包括代数系统的基本概念、线性代数、群论、环论和域论等内容。

一、代数系统的基本概念代数系统是近代代数的基础，它包括了一系列代数结构，如半群、幺半群、群、环、域等。

代数系统的研究是为了更好地理解和描述代数结构之间的联系和性质，为其他分支的发展奠定了基础。

1.1 半群和幺半群半群是代数系统中最基本的结构之一。

一个半群是一个集合S，其上定义了一个二元运算∗，满足封闭性、结合律。

即对于任意a，b，c∈S，有(a∗b)∗c=a∗(b∗c)。

当半群中存在一个元素e，使得对于任意a∈S，都有e∗a=a∗e=a时，这个半群称为幺半群。

1.2 群群是代数系统中最重要的结构之一。

一个集合G上的一个二元运算∗称为一个群，如果满足以下四个性质：封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性。

即对于任意a，b∈G，都有a∗b∈G，且存在一个元素e∈G，对于任意a∈G，都有e∗a=a∗e=a，对于任意a∈G，存在一个元素b∈G，使得a∗b=b∗a=e。

1.3 环环是一个包含了加法和乘法运算的代数结构，它满足一定的性质。

一个集合R上定义了两个二元运算+和∗，如果满足以下性质，则称为一个环：加法封闭性、加法结合律、加法交换律、加法单位元存在性、加法逆元存在性、乘法封闭性、乘法结合律、乘法分配律。

1.4 域域是一个更为抽象和严格的代数结构，它包含了加法和乘法运算，并且满足一定的性质。

一个集合F上定义了两个二元运算+和∗，如果满足以下性质，则称为一个域：加法和乘法满足环的所有性质，乘法交换律、乘法单位元存在性、乘法逆元存在性。

以上是代数系统的基本概念，对于这些概念的理解和应用将对后续的代数学习起到重要的指导作用。

二、线性代数线性代数是代数系统中的一个重要分支，它主要研究向量空间、线性变换和矩阵等内容。

第九章 半群与群(Semigroups and Groups)

第九章 半群与群(Semigroups and Groups)

第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。

群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。

群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。

2－1 半群与含幺半群定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=<S,*>称为半群。

例2－1.1 <N,+>,<N,×>,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。

例2－1.2 <Nm ,+m>和<Nm,×m>都是半群。

例2－1.3 <M2(I),+>和<M2(I),·>都是半群。

定义2－1.2含幺元e的半群U=<S,*>称为含幺半群，常记作U=<S,*,e>。

在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。

例2－1.4 设S是任意非空集合，则<p(S),∪>和<p(S),∩>都是含幺半群。

例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。

字母表中字符的n 重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m的字符串。

长度为0的字符串称为空串，用来表示。

如对V={a,b}, =aa和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab 和δ=bab都是长度为3的字符串。

我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。

设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然<V+,*>是半群，<V+,*, >是含幺半群。

定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。

半群与群

半群与群

第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。

群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。

群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。

2－1 半群与含幺半群定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=<S,*>称为半群。

例2－1.1 <N,+>,<N,×>,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。

例2－1.2 <Nm ,+m>和<Nm,×m>都是半群。

例2－1.3 <M2(I),+>和<M2(I),·>都是半群。

定义2－1.2含幺元e的半群U=<S,*>称为含幺半群，常记作U=<S,*,e>。

在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。

例2－1.4 设S是任意非空集合，则<p(S),∪>和<p(S),∩>都是含幺半群。

例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。

字母表中字符的n重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m 的字符串。

长度为0的字符串称为空串，用来表示。

如对V={a,b}, =aa 和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab和δ=bab都是长度为3的字符串。

我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。

设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然<V+,*>是半群，<V+,*, >是含幺半群。

定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。

离散数学同态与同构

离散数学同态与同构

❖同态、同态映射、同态象
例题2： f:NNk，对xN：f(x)=x mod k，验证f是 从<N,+>到<Nk,+k>的满同态。(Nk={0,1,2,…,k-1})
说明：对例如：k=5，则N5={0,1,2,3,4} 。 k1,k2 Nk：
k1 +k k2 =
k1 + k2 k1 + k2 - k
<A,>
A
a
b c
ac
f: AB
<B,*>
f(a)
f(A)
f(b)
f(c)
f(a)*f(c)
bc
f(b)*f(c)
❖同态、同态映射、同态象
定义1：<A,>和<B,*>是两个代数系统, f是从A到B的一个映射, 对a1,a2A , 有：f (a1a2) = f(a1) * f(a2), 则称f 为由<A,>到<B,*>的一个同态映射；称 <A,> 同态于<B,*>，记为A~B；<f(A),*>为<A, >的一个同态象;
❖同构
例题5：有三个代数系统如下： 它们彼此是同构的。
a b <{a, b}, >
aab
bba
★ 偶 奇 <{偶, 奇}, ★>
偶偶奇 奇奇偶
这3个系统运算规律 相同，只是符号不同。
* 0 180 <{0, 180}, *>
0 0 180 180 180 0
❖同态与同构
定义3： <A,*> 是一个代数系统， 若f是由<A,*>到<A,*>的同态映射，则称f是自同态； 若f是由<A,*>到<A,*>的同构映射，则称f是自同构。

半群

半群

Δ
a
b
c
a
a
b
c
b
aLeabharlann bcca
b
c
验证<S, Δ>是一个半群。
解 从表5-3.1中可知运算Δ是封闭的，同时a,b和c都是左幺 元。所以，对于任意的x,y,zS，都有
xΔ(yΔz)=xΔz=z=yΔz=(xΔy)Δz 因此，<S, Δ>是半群。
明显地，代数系统<I+，->和<R，/>都不是半群，这里，和/分别是普通的减法和除法。
当k=4时， *k的运算表如下：
*k 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
找出<Nk，*k>中的等幂元。 0和1都是等幂元。
例题2 设S={a,b,c}，在S上的一个二元运算Δ 定义如表5-3.1 所示。 表5-3.1：
Δ
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
a
b
c
验证<S, Δ>是一个半群。
因S是一个有限集合，所以必存在 j>i，使得
bi = bj
令
p=j-i 即 j =p+i 代入上式：bi = bp bi
所以， bq = bp bq i≤q
因为p≥1所以总可以找到k≥1，使得 kp≥i ,
对于bkp S，就有 bkp = bp bkp = bp (bp bkp )
本例题的实例见 表5-3.2和表5-3.3
(1)由运算+m和×m的定义，可知它们在Zm上都是封闭的。
(2)对于任意[i]，[j]，[k]Zm ([i]+m[j])+m[k]=[i]+m([j]+m[k])

半群,幺半群和群的关系 ppt课件

半群,幺半群和群的关系 ppt课件
例如,全体偶数构成的集合2Z,对普 通数的乘法构成半群,但不是幺半群 .
群的定义
定义（群的定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
（3） {G,}中有左单位元 e ，（即 G, 是幺半群）；
若
•
M
(F
)
表示一切非零矩阵（
n
阶）组成的集合，那么
•
M
n
(F
),
•
和 M n (F), 都不是半群了（为什么？）
提示：A≠0，B≠0，但 可能A+B=0，AB=0。
定义 2：设 G, 是一个半群，如果 G 中含有单位元 e ，那
么称 G, 为幺半群，通常写为 G,, e . .
思考题：能否举出一个是半群但不是幺半群的例子？
从而 a1a aa1 e .
注意：如果将群的定义中的“左”换成 “右”，显然又得到“群的等价定义” 。
第二章 群 论
第5讲
第二章 群 论
§1 群的定义 （2课时）
例 2 取 F 为任一数域， M n (F ) 为 F 上一切 n 阶方阵组成的集合。 若“+”和“ · ”均为通常矩阵的加法和乘法，那么 Mn (F), 和
M n (F ), 均 为 半 群 ， 但 M n (F), 为 可 换 半 群 ， 而 当 n 1 时 ， M n (F ), 不是可换半群。
（4） {G,} 中每个元都有左逆元（即 G, 是群）。
群的基本性质
定理 l 群G 的元素 a 的左逆元 a1也是 a 的一个右逆元， a ，有左逆元 a1 G ,而a1在G 中

群的性质元素的阶证明

群的性质元素的阶证明
解 (1) S关于V1构成子半群和子独异点，但是关于V2仅构成子
半群 (2) S关于V1不构成子半群也不构成子独异点，S关于V2构
成子半群和子独异点 (3) S关于V1不构成子半群和子独异点，关于V2构成子半群
和子独异点
20
练习3
3. 设Z18 为模18整数加群, 求所有元素的阶. 解： |0| = 1, |9| = 2， |6| = |12| = 3, |3| = |15| = 6, |2| = |4| = |8| = |10| = |14| = |16| = 9, |1| = |5| = |7| = |11| = |13| = |17| =18,
证明 (1) (a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元. 根据逆元唯一 性，等式得证.
(2) (b1a1)(ab)= b1(a1a)b = b1b = e, 同理 (ab)( b1a1)=e， 故b1a1是ab的逆元. 根据逆元的唯一性等式得证.
9
群的性质：方程存在惟一解
8
群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1（推广） (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法 (3) <P(B),>为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算 (4) <Zn, >为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}，
为模n加法 (5) <AA,◦>为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算 (6) <R*,◦>为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如

第2节 半群与幺半群

第2节 半群与幺半群
定理1如果半群s既有左单位元素又有右单位元素则左单位元素与右单位元素相等从而半群s有单位元素即半群s成为幺半群且单位元素是唯一的
近世代数
第2节 半群与幺半群
主要内容: 半群与幺半群 子半群、子幺半群 理想
1/13
近世代数
半群与幺半群
定义1 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足 结合律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点(S, ∘) 记作 (S,∘,e). (3)如果(幺)半群S中的运算∘满足交换律，则称(幺)半 群S为交换(幺)半群或可换(幺)半群. (4)只含有有限个元素的(幺)半群S称为有限(幺)半群， 否则称为无限(幺)半群. 通常把S的基数称为(幺)半群S的阶.
性质3 由A生成的的子半群是半群S包含A的最小子 (幺)半群. 由A生成的的子幺半群是幺半群S包含A的最小子幺 半群. 10/13
近世代数
理想
定义5 设A是半群(S,∘)的一个非空子集. 如果r∈S有 rA A(Ar A)，则称A是半群S的左(右)理想. 如果A既是S的左理想，又是S的右理想，则称A是S的 理想.
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近世代数
生成子(幺)半群
定义4 设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集. 由S的 包含A的所有子半群的交集所作成的子半群称为由 A生成的的子半群，记为(A).
设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集. 由S的包 含A的所有子幺半群的交集所作成的子幺半群称为 由A生成的的子幺半群，记为(A).
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近世代数
幂运算
在幺半群(S,∘,e)中可以定义非负整数次幂的运算. a S， a0=e , an+1=an ∘a , n≥0.

离散数学第五章第二节

离散数学第五章第二节
<I,+>的幺元为1,x-1=-x。<Q+,*>的幺元为1,x-1=1/x。<R-{0},*>的幺元为 1,x-1=1/x。
<N,+>、<R,*>不是群,N中除幺元0外,其余元素无逆元。R中0无逆元。
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3、群的定义(dìngyì)
（2）
例3 设G={a,b,c,d}, G上的二元运算(yùn suàn)*由下表给出，证 明<G,*>是群。
证：因<S,*>是半群，运算封闭且可结合，所以可定义半群中任 意(rènyì)元素b的幂： b2=b*b, b3=b2*b=b*b*b, ...。
因S为有限集，在幂的序列中，必存在j>i,使 bi=bj。 令p=j-i1,则bi=bp*bi，此式两边不断右*b,可使
bkp =bp*bkp（k1为正整数） 这样bkp=bp*bkp
x*y=c=x*z(如右下图所示)。按群的消去律(定理5)y=z,但这是不可能的！说明 一行中不能有两个相同的元素。对列也是一样。
(3) G中每个元素必出现在群表的任 一行和任一列。
设任意x,wG,那么x-1*w是G中的元素， 它应出现在群表的顶行；另一方面， x*(x-1*w)=(x*x-1)*w=w，所以w必出现在x
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2、独异点(1)
定义3 含有(hán yǒu)幺元的半群叫独异点。也称为含幺半群。
例如，<Z+,+>，<N，+>，<Q，+>都是半群，其中+是普通加法。 Z+、N、Q 分别(fēnbié)是正整数集、自然数集和有理数集。这些半群中除<Z+,+>外都 是独异点

群(离散数学)(1)

群(离散数学)(1)
2013-7-16
所以“5”是<6, +6>的生成元。
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例13.2.8（续）
因此，含幺半群<6, +6>有两个生成元“1”、 “5”，则<6, +6>是循环含幺半群。
另解 不妨设a∈6是生成元，则 x∈6，m∈N，有x = am = ma (mod 6)， 特别地，当x = 1时，有1 = ma (mod 6)，即 k∈Z，使得ma = 6k + 1，即 ma + (k)6 = 1。
因此，(a, 6) = 1，即a与6的最大共因子为1。
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例13.2.8（续）
反之，对 a∈6，如果(a, 6) = 1，则
k∈Z，使得1 = ma + 6k，
因此，对x∈6，有
x = (xm)a + 6(xk)，xm，xk∈Z，
根据“+6”的定义，则 x = axm，xm∈Z， 因此，a是生成元。
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13.3 群及其性质
定义13.3.1 质： 设<G, >为二元代数系统，满足如下性
（1）“”在G中满足结合律，即a, b, c∈G，有 (ab) c = a (bc)； （2）G中存在关于“”的幺元e，即e∈G，使得 a∈G，ea = ae = a； （3）G中每个元素a都有逆元a1，即a∈G，都
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例13.2.8（续）
②、2º = 0, 2¹ = 2, 2² = 0, 2³ = 2,„„，
所以“2”不是<6, +6>的生成元；
③、3º = 0, 3¹ = 3, 3² = 0, 3³ = 3,„„，
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近世代数
实 例
例1 (1) (N,+), (Z+,+),(Z,+),(Q,+),(R,+)都是半群，其 中+是普通加法. 这些半群中除(Z+,+)外都是幺半群. (2) 设n是大于1的正整数，(Mn(R),+)和(Mn(R),· )都是 半群，也都是幺半群，其中+和· 分别表示矩阵加法 和矩阵乘法. (3) (P(B),)为半群，也是幺半群，其中为集合对 称差运算.
例3 半群(N,+)=(1); 幺半群(N0,+)=(1)，其中N0=N∪{0}.
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近世代数
总 结
主要内容： (幺)半群的定义与实例 子(幺)半群的定义与性质
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近世代数
子半群、子幺半群
定义2 设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集. 如果 x, yB，有x∘yB，则称(B,∘)是(S,∘)的一个子半 群，简称B是S的子半群. 定义3 设(S,∘,e)是幺半群，P S. 如果eP 且P是S 的子半群，则称P是S的子幺半群. 定理4 (1) 设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集. B是S的子半群 B∘B B. (2) 设(S,∘,e)是幺半群，P S. P是S的子幺半群 eP且 P∘P P.
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近世代数
实 例
(4) (Zn, )为半群，也是幺半群，其中 Zn={0,1,…,n1}，为模n加法. (5) (AA,◦)为半群，也是幺半群，其中◦为映射的合成 运算.
(6) (R*,◦)为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算 定义如下：x, yR*, x◦y=y.
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近世代数 [注意] 有单位元素并不是半群的固有性质. 在没有单 位元素的半群中可能有左单位元素，或有右单位元 素，而且左(右)单位元素也可能不只一个，甚至可能 有无穷多个. 定理1 如果半群(S,∘)既有左单位元素又有右单位元 素，则左单位元素与右单位元素相等，从而半群S有 单位元素(即半群S成为幺半群)且单位元素是唯一的. 定理2 有限半群(S,∘)为一个幺半群存在s,tS使得 sS=S，St=S.
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幂运算
在幺半群(S,∘,e)中可以定义非负整数次幂的运算. a S， a0=e , an+1=an ∘a , n≥0.
定理3 设 (S,∘,e)是一个幺半群，m,n是任意的非负整 数，则 (1)aS，am ∘ an =am+n , (am)n =amn . (2)若(S,∘,e)是可换的，则任意a,bS，(a ∘ b)n =an ∘ bn.
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近世代数
子(幺)半群的实例
例2 (Z, ×)是半群，也是幺半群， {0,1}Z，则 ({0,1}, ×)是(Z, ×)是子半群，也是子幺半群. [注意] (1)幺半群的子半群如果有单位元，且和幺半群的单 位元相同，才能被称为子幺半群. 换句话说，也就是幺半群的一个子半群如果有单位 元，但和幺半群的单位元不同，它也不能被称为子 幺半群.（会有这种情况吗？） (2)幺半群有无单位元(不管此单位元是否和幺半群的 单位元相同)的子半群.
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近世代数
循环(幺)半群
定义5 一个半群称为循环半群，如果这个半群是由 其中的某个元素生成的半群. 由元素a生成的循环半 群记为(a). 一个幺半群称为循环幺半群，如果这个幺半群是由 其中的某个元素生成的幺半群. 由元素a生成的循环 幺半群记为(a). 定理5 循环半群(幺半群)必是可交换循环半群(幺半群).
性质3 由A生成的的子半群是半群S包含A的最小子 (幺)半群. 由A生成的的子幺半群是幺半群S包含A的最小子幺 半群. 10/13
近世代数
ห้องสมุดไป่ตู้理想
定义5 设A是半群(S,∘)的一个非空子集. 如果r∈S有 rA A(Ar A)，则称A是半群S的左(右)理想. 如果A既是S的左理想，又是S的右理想，则称A是S的 理想.
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近世代数
生成子(幺)半群
定义4 设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集. 由S的 包含A的所有子半群的交集所作成的子半群称为由 A生成的的子半群，记为(A).
设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集. 由S的包 含A的所有子幺半群的交集所作成的子幺半群称为 由A生成的的子幺半群，记为(A).
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第2节 半群与幺半群
主要内容: 半群与幺半群 子半群、子幺半群 理想
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近世代数
半群与幺半群
定义1 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足 结合律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点(S, ∘) 记作 (S,∘,e). (3)如果(幺)半群S中的运算∘满足交换律，则称(幺)半 群S为交换(幺)半群或可换(幺)半群. (4)只含有有限个元素的(幺)半群S称为有限(幺)半群， 否则称为无限(幺)半群. 通常把S的基数称为(幺)半群S的阶.
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近世代数
子(幺)半群的性质
性质1 一个半群S的任意多个子半群的交集还是S的 子半群. 一个幺半群S的任意多个子幺半群的交集还是S的子 幺半群. 性质2 设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集，则S 的一切包含A的子半群的交集也是S的子半群. 设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集，则S的 一切包含A的子幺半群的交集也是S的子幺半群.