2020年数学暑假衔接课小升初数学 专题04 单元练习：数的整除(原卷版)

苏教版暑假小升初数学衔接之知识讲练专题11《有理数的除法》教学目标学习目标:(1) 会将有理数的除法转化成乘法 (2) 会进行有理数的乘除混合运算学习重点：有理数除法运算 学习难点：有理数的乘除混合运算新知引入某周每天上午8时的气温记录如下：星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 -3℃-2℃-3℃0℃-2℃-1℃-3℃这周每天上午8时的平均气温为多少？即 （-14）÷7新课教授你怎样计算上述结果？有几种方法？对于这一算式小丽和小明有两种算法： 因为 （-2）×7= -14 所以 （-14）÷7= -2除法是乘法的逆运算 除以一个数等于乘这个数的倒数新课导入：有理数的除[]7)3()1()2(0)3()2()3(÷-+-+-++-+-+-271)14(-=⨯-请你比较他们的算法是否都正确？你能根据他们的算法总结出有理数除法的规律吗？71)14(7)14(⨯-=÷-有理数除法法则：除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数. 注意：0不能作除数.有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.典例分析【例题】计算（1） 36÷（-9） （2） （-48）÷（-6） （3） （-32）÷4×（-8）（4） 17×(-6)÷(-5) （5） （6）概念总结)()(3221-÷-)16(9449)81(-÷⨯÷-知识点1：有理数的除法1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．知识要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b ab b÷=≠. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识要点：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．知识点2：有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．知识点3：有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．:1．（2020•新会区一模）2020的相反数和倒数分别是( ) A ．2020-，12020-B ．2020-，12020C ．2020，12020- D ．2020，120202．（2020•东营区一模）|2020|-的倒数等于( ) A ．2020B ．2020-C ．12020D ．12020-3．如果1xy =，那么①1x y =；②1y x=；③x ，y 互为倒数；④x ，y 都不能为零．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2020•建邺区一模）3-的相反数是，13的倒数是．5．（2019秋•成都期末）2||5-的相反数是，2||5-的倒数是．6．（2019秋•郧西县期末）如果一个数的倒数是12-，那么这个数的相反数是．7．写出下列各数的倒数：（1）15-；（2）59 -；（3）0.25-；（4）0.17；（5）144；（6）255 -．8．求下列各数的倒数．32(1);(2)2;(3) 1.25;(4)543--．9．最小素数的倒数加上最小合数的倒数，所得的和的倒数是多少？10．（2019秋•海伦市期末）一种蜂蜜水中，蜂蜜占蜂蜜水的110，蜂蜜和水的比是()A．1:10B．1:9C．1:8D．1:1111．（2019秋•浦东新区期末）一零件长2.5毫米．如果画在图纸上为7.5厘米，那么图纸上的尺寸与实际尺寸的比是()A．1:3B．3:1C．1:30D．30:112．（2019秋•北京期末）小芸做50道口算题，错了2道，她口算的正确率是() A．48%B．50%C．96%D．98%13．（2019春•普陀区期中）计算：21(2)52÷-= ． 14．（2020春•甘南县期中）在比例里若两个外项互为倒数，则两个内项一定互为倒数． （判断对错） 15．（2019秋•栾城区期末）点A ，B 在数轴的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ，对于以下结论：①0b a -<②||||a b <③0a b +>④0ba>，其中正确是 ．16．（2019春•浦东新区期中）计算：22( 1.5)3÷-= ．17．（2019秋•朝阳区期末）计算：1( 6.5)(2)()(5)3-⨯-÷-÷-．18．（2019秋•浦东新区期中）计算：122234213÷⨯提优巩固1．（2017秋•启东市校级月考）有以下两个结论： ①任何一个有理数和它的相反数之间至少有一个有理数；②如果一个有理数有倒数，则这个有理数与它的倒数之间至少有一个有理数．则( ) A ．①，②都不对； B ．①对，②不对；C ．①，②都对；D ．①不对，②对2．（2019秋•岱岳区期末）一个有理数的倒数与它的绝对值相等，则这个数是 ． 3．（2019•南京）2-的相反数是 ；12的倒数是 ． 4．（2016秋•渠县校级期中）写出符合下列条件的数： （1）最小的正整数： ； （2）绝对值最小的有理数： ；（3）绝对值大于3且小于6的所有负整数： ； （4）在数轴上，与表示1-的点距离为5的所有数： ； （5）倒数等于本身的数： ；（6）绝对值等于它的相反数的数： ．5．（2020•天津二模）计算(12)(3)-÷-的结果等于( ) A ．15-B ．4-C ．15D ．46．（2019秋•路南区期末）如图，在不完整的数轴上有A 、B 两点，当原点是线段AB 的中点时，下列说法错误的是( )A ．点A 、B 表示的两个数互为相反数 B ．点A 、B 表示的两个数绝对值相等C ．点A 、B 表示的两个数的商为1-D ．点A 、B 表示的两个数互为负倒数7．（2017秋•黄陂区期中）下列说法中：①若0a <时，33a a =-；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③若a 、b 互为相反数，则1ba=-；④当0a ≠时，||a 总是大于0；⑤如果a b =，那么a bc c=，其中正确的说法个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．（2013秋•安阳校级期中）若0ab ≠，则||||||a b aba b ab ++的取值共有( ) A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个9．（2006•临汾）学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为( ) A ．180元B ．202.5元C ．180元或202.5元D ．180元或200元10．（2019秋•浦东新区期末）六年级（5）班共有50名学生，在数学学科的期中考试中，有48人在60~100分之间，有2人在60分以下，那么六年级（5）班在这次期中考试中，数学成绩的及格率为 ． 11．（2017秋•淅川县期末）如果0abc >，则||||||a b ca b c ++= ． 12．（2017秋•夏邑县期中）将12的倒数减去1-，再除以4-的绝对值，结果为 ． 49．（2019秋•昌平区期末）计算：512.5()84-÷⨯-．13．（2019春•黄浦区期中）计算：12(2)( 1.2)(1)75-÷-⨯-．。

4.数的整除知识要点梳理一、整除意义整数a除以整数b(b≠O)，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除;或者说b能整除a。

整除的条件:1.除数、被除数都是整数。

2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

二、因数和倍数1.如果a×b=c(且a、b、c均为非0自然数)，那么我们说。

就是a与b的倍数，a与b就是。

的因数，因数和倍数是相互依存的。

我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数。

2.一个数因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身;一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

3.求一个数因数的方法:利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。

如16=1×16=2×8 =4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。

4.求一个数倍数的方法:这个数本身分别乘以1、2、3、4、5…(即正整数)得到的积就是这个数的倍数。

三、常见数的倍数的特征2的倍数的特征:数的个位是0,2,4,6,8。

5的倍数的特征:数的个位是0,5。

3的倍数的特征:数的各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

9的倍数特征:数的各个数位上数字的和是9的倍数。

4或25倍数的特征:数的末两位数是4或25的倍数。

8或125的倍数特征:数的末三位数是8或125的倍数。

7、11、13倍数特征:数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大减小)是7、11或13的倍数。

11倍数特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除，那么它必能被11整除。

四、质数、合数、分解质因数1.若一个数的因数只有1和它本身，这个数就是质数，也叫素数。

最小的质数是2，也是质数中唯一的偶数。

2.若一个数的因数除了1和它本身外还有其他的因数，这个数就是合数。

专题04单元练习：数的整除【内容分析】数的整除是建立在整数的四则运算的基础上的，通过本章的学习，学生需要理解整除的意义，理清因数与倍数、奇数与偶数、素数与合数、公因数与公倍数的概念，掌握求最大公因数和最小公倍数的算理和方法，难点是利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题．目的在于，通过丰富的实例，体验数学与日常生活的密切联系，感受如何运用数学的思维方式去观察、分析并解决生活中的问题，从而增强应用数学的意识，体会数学与生活的联系，了解数学的价值，增进对数学的理解．【知识结构】【选择题】【练习1】下列各数中，第一个数能整除第二个数的是（）A．4和9 B．16和64C．1.6和3.2 D．7.2和3.6【练习2】下列说法中正确的个数是（）（1）一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大；（2）一个正整数的倍数一定能被它的因数整除；（3）一个正整数的因数至少有两个．A．0个B．1个C．2个D．3个【练习3】一个奇数要变成偶数，下面各方法中除（）外都可以A．加上1 B．减去3 C．乘以2 D．除以2【练习4】下列式子中，分解素因数正确的是（）A．90529=⨯⨯⨯=⨯⨯B．633371C．11555=⨯⨯⨯=D．12223【练习5】大于2 的两个素数的乘积一定是（）A．素数B．合数C．素因数D．偶数【练习6】素数中偶数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【练习7】两个不等于1的正整数a与b的积一定是（）A．奇数B．偶数C．合数D．素数【练习8】下列数中是3的倍数的是（）A．370 B．371 C．372 D．373【练习9】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【练习10】下列说法中，正确的个数是（）（1）一个奇数与一个偶数，一定互素；（2）任何一个合数至少有3个因数；（3）两个数有公因数1，这两个数一定互素；（4）两个素数的和一定是偶数；（5）一个自然数不是偶数就是奇数；（6）一个自然数不是素数就是合数．A．1个B．2个C．3个D．4个【练习11】下列说法中，正确的个数是（）（1）能被1和它本身整除的数都是素数；（2）素数的平方一定是合数；（3）一个数是2的倍数，一定是合数；（4）如果两个数互素，就没有公因数；（5）两个素数必定是互素数；（6）两个奇数必定是互素数；（7）两个合数必定不是互素数；（8）两个偶数必定不是互素数．A．1个B．2个C．3个D．4个【练习12】小于10的不是素数的正整数是（）A．2、4、6、8 B．2、4、6、8、1C．4、6、8、9、1 D．4、6、8、9【练习13】下列说法中，正确的个数是（）（1）相邻两个正整数的乘积，就是它们的最小公倍数；（2）甲数和乙数都是它们的最小公倍数的因数；（3）因为4276÷=，所以42是倍数，7是因数；（4）自然数除了1和0之外，不是素数，就是合数；（5）1与任何自然数都是互素数；（6）数a除以数b，如果商是5，那么数a一定能被数b整除．A．1个B．2个C．3个D．4个【练习14】已知235m=⨯⨯，则m的因数共有（）个A．3 B．5 C．8 D．10 【练习15】16、24和30的公因数有（）个A．0 B．1 C．2 D．3【练习16】下列各数中，不是12和15的公倍数的是（）A．60 B．120 C．300 D．30【练习17】下列各组数中，最大公因数最小的是（）A．2和6 B．15和25C．100和101 D．9和18【练习18】下列各组数中，不是互素数的是（）A．28和29 B．97和100C．66和154 D．37和97【练习19】幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友．按班分组，三个班的各组人数一样多，则每组最多有（）个小朋友A．69 B．46 C．23 D．6【练习20】一筐苹果，2个一拿还剩1个，3个一拿还剩2个，4个一拿还剩3个，5个一拿还剩4个，则这筐苹果最少应有（）A．31 B．59 C．61 D．121【填空题】【练习21】4.80.224÷=，所以说4.8能被0.2 ______．（填“整除”或“除尽”或“除不尽”）【练习22】能整除6的数有____________．【练习23】能同时被2、3、5整除的最小的三位数是______；在200内，能同时被3和5整除的最大奇数是______．【练习24】一个奇数与一个偶数的差一定是______．（“奇数”或“偶数”）【练习25】10以内的素数中，减去2后还是素数的有____________．【练习26】一个数百位上数字是最小的合数，十位上数字是最小的素数，个位上数字是最小的自然数，那么这个三位数是______．【练习27】已知2235B=⨯⨯⨯，那么A、B两数的最大公因数是______，最小公倍数A=⨯⨯⨯，2337是______．【练习28】一个数能被3、6、7整除，这个数最小是______．【练习29】已知23B m=⨯⨯，如果A、B的最大公因数是14，则m =______．=⨯⨯，25A m【练习30】三个连续奇数的和是111，夹在这三个奇数之间的两个偶数分别是_________．【练习31】由0、4、1三个数字组成的数字不重复的三位数中，能被5整除的有___个．【练习32】两个素数的和是21，那么这两个素数的积是______．【练习33】28和42相同的素因数是____________．【练习34】三个正整数的积是84，其中两个数的和等于第三个数，那么这三个数分别是___________________．【练习35】在小于10的正整数中，两个互素的合数有_____________________．【练习36】一对互素数的最小公倍数是36，那么这两个数的和是______．【练习37】有3个不同的自然数组成一个等式：□＋△＋○＝□×△－○，这三个数中最多有______个奇数．【练习38】用96朵红花和72朵黄花做成花束，如果各束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，那么每束花里至少有______朵花．【练习39】一个房间长和宽分别是360厘米、450厘米，如用正方形地砖铺设，为使地砖都整块使用，且地砖的表面积尽量大（边长不超过1米），则应用边长为______厘米的地砖铺设．【练习40】9月9日，哥哥从学校打电话向奶奶问好，姐姐来看望奶奶，妹妹为奶奶打扫房间．如果妹妹每隔3天打扫一次房间，哥哥每隔5天打一次电话，姐姐每隔6天看望奶奶一次，则下次是____月____日，问好、看望、打扫这三件事在同一天发生．【解答题】【练习41】一个两位数，其中个位上的数字比十位上的数字大2，且能被5整除，试求符合条件的两位数．【练习42】六年级4个小组帮果农收橘子，第一小组收了127千克，第二小组收了149千克，第三小组收了238千克，第四小组只收了95千克．问，最少还应收多少千克，就可以把全部的橘子平均分成4份？并求出每份的重量．【练习43】商店将积压的圆珠笔降价到每支不足0.4元出售，共卖得31.93元．问：商店共卖出多少支圆珠笔？【练习44】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个是48，求另一个数．【练习45】初中年级某学生参加计算机操作技能比赛（满分100分），他获得的名次，他的年龄，他得的分数的乘积是2910，试问这个学生得第几名？成绩是多少？【练习46】在长2.4千米的公路一边，等距离种树（两端都种）．开始每隔6米种一棵，后来改成每隔8米种一棵，不用改种的树有多少棵？【练习47】一个矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每相邻两棵树之间的距离相等，最少要种多少棵树？【练习48】有一批书平均分给6个小朋友，结果多1本；平均分给8个小朋友也多一本；平均分给9个小朋友还是多1本．这批书最少有多少本？【练习49】大雪后的一天，小智和爸爸共同步测一个圆形花园的周长，他俩走的起点和方向完全相同，小智每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花园的周长．【练习50】在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？。

辽宁省2020年小升初衔接培优训练二：数的整除姓名:________ 班级:________ 成绩:________小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！一、填空题 (共6题；共27分)1. （3分）学校举行武术操比赛，五（1）班派若干名同学参加．领操一人，其余参赛学生无论是每排6人还是每排8人都没有剩余．五（1）班至少派________人参加比赛．2. （6分）育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行，这个班至少有学生________人．3. （6分）(2012·广州模拟) 12、30、24的最小公倍数是________．4. （6分）根据36÷9＝4，我们就说________能被________整除，或者说________能整除________．也可以说________是________的倍数，________是________的约数．5. （3分）(2015·北京) 1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有________个．6. （3分）一个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123，那么这样的整数中最小的是________ ．二、单选题 (共5题；共15分)7. （3分）一个两位数除以8和9都余7，这个两位数是（）A . 72B . 79C . 65D . 778. （3分）(2010·安徽) 两个自然数都是两位数，它们的最大公约数是6，最小公倍数是90，这两个自然数的和是（）.A . 48B . 60C . 96D . 1209. （3分）下面说法正确的是（）A . 3和5都是互质数B . 两个质数的积一定是合数C . 假分数的倒数一定小于1D . 1.5能被0.3整除10. （3分）一筐苹果，2个2个地拿，3个3个地拿，4个4个地拿，5个5个地拿都正好拿完没有余数，这筐苹果最少应有（）个．A . 120B . 90C . 60D . 3011. （3分）下面算式中，能整除的算式是（）A . 180÷60B . 391÷2C . 481÷23D . 499÷50三、综合题 (共9题；共58分)12. （5分）根据要求把下列各算式分别填入方框内：42÷5；63÷21；13÷4；17÷（﹣4）；28÷7；57÷913. （5分）从0、1、2、4、7五个数字中，任意取出三个组成不同的三位数，其中能被3整除的三位数有多少个．14. （5分）已知四个连续自然数，从小到大依次能被4，9，25，49整除．写出这样的最小的一组自然数．15. （5分）五年级有108人，五年级有96人，把两个年级的学生平均分成人数相等的小队，每个小队最多是多少人？16. （5分）如图，7个小朋友围成一圈依次报数，小强报1，小兵报2，小丽报3…照这样谁最先报到7的倍数？其他小朋友有可能报出7的倍数吗？17. （5分） (2015五下·临翔期中) 桑老师买来48本笔记本和36支铅笔作“童话邹城”绘画比赛的奖品，每样都平均分给每一位获奖同学，而且都正好分完．最多有多少个同学获奖？18. （8分）少先队员排队做操，无论每列是5人还是6人，都能排成一个长方形队伍且没有剩余。

小学数学小升初衔接培优训练二：数的整除姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、填空题 (共6题；共27分)1. （3分）小明给一个分数约分时，约了两次2，一次3，得，原来这个分数的分子与分母最大公约数是，最小公倍数是．2. （6分）把一张长40厘米、宽30厘米的长方体纸裁成同样大的正方形。

如果要求纸没有剩余，裁处的正方形的边长最大是厘米。

3. （6分） 24的全部因数有，18的全部因数有；24和18公因数有，24和18最大公因数是．4. （6分） 365的17倍是，185是5的倍。

5. （3分）有一个整数，用它去除70，110，160所得的3个余数的和是50，那么这个整数是．6. （3分）有0，1，2，4，7五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数，把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来是．二、单选题 (共5题；共15分)7. （3分） A，N两只青蛙进行跳跃比赛，A每次跳10厘米，B每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，在比赛途中，每隔12厘米有一个陷阱，当它们中的一只掉进陷阱时，另一只距离它最近的陷阱有（）厘米．A . 2B . 4C . 6D . 88. （3分）(2013·成都) 某砖长24厘米，宽12厘米，高5厘米，用这样的砖堆成一个正方体用砖的块数可以为（）A . 40B . 120C . 1200D . 24009. （3分）下面说法正确的是（）A . 3和5都是互质数B . 两个质数的积一定是合数C . 假分数的倒数一定小于1D . 1.5能被0.3整除10. （3分）从1到2000共2000个整数里，是3的倍数但不是5的倍数的数有（）个．A . 532B . 533C . 53411. （3分） (2019五下·京山期末) 把从1到200这200个自然数中既不是3的倍数，又不是5的倍数的数从小到大排成一排，那么第100个数是（）A . 188B . 187C . 184D . 182三、综合题 (共9题；共58分)12. （5分）已知四个连续自然数，从小到大依次能被4，9，25，49整除．写出这样的最小的一组自然数．13. （5分）如果能整除，那么自然数n的最小值是多少？14. （5分）根据要求把下列各算式分别填入方框内：42÷5；63÷21；13÷4；17÷（﹣4）；28÷7；57÷915. （5分）少先队员排队做操，无论每列是5人还是6人，都能排成一个长方形队伍且没有剩余。

吉林省长春市数学小升初衔接培优训练二：数的整除姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、填空题 (共6题；共27分)1. （3分）数A、3×3×5，数B=2×2×3×5，数C=2×3×3×5，A、B、C三个数的最大公约数是________，最小公倍数是________．2. （6分）有一箱苹果，3个3个数多1个，4个4个数也多1个，5个5个数还多1个，这箱苹果至少________个．3. （6分）(2010·南京模拟) 如果A=2×2×2×3，B=2×2×3×5，那么A、B两数的最大公约数是________，最小公倍数是________．4. （6分）根据28÷7=4，我们说________ 能被________ 整除．5. （3分）有一个整数，用它去除70，110，160所得的3个余数的和是50，那么这个整数是________ ．6. （3分）有0，1，2，4，7五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数，把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来是________ ．二、单选题 (共5题；共15分)7. （3分） (2019五下·郾城期末) 老师给同学们分糖果，不管是每人分3颗还是每人分5颗，最后都还剩余1颗。

糖果总数可能是（）颗。

A . 60B . 61C . 628. （3分）一个数除以6和除以7的余数都是1，这个数最小是（）．A . 8B . 13C . 43D . 859. （3分）下面除法算式中，整除的是（）A . 16÷5=3 (1)B . 4÷8=0.5C . 144÷12=12D . 10÷0.4=2510. （3分）从1到2000共2000个整数里，是3的倍数但不是5的倍数的数有（）个．A . 532B . 533C . 53411. （3分）下面说法中，①两个质数的积一定是合数；②两个自然数的积一定是合数；③若mn=30，则30一定能被m整除；④分数单位大的分数值一定大；⑤在小数点的后面添上或去掉0，小数的大小不变；正确的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个三、综合题 (共9题；共58分)12. （5分）已知四个连续自然数，从小到大依次能被4，9，25，49整除．写出这样的最小的一组自然数．13. （5分）把1至9的九个数字，排列成可被99整除的最大九位数．14. （5分）根据要求把下列各算式分别填入方框内：42÷5；63÷21；13÷4；17÷（﹣4）；28÷7；57÷915. （5分）一筐苹果，6个6个的拿，剩4个，7个7个的拿，剩5个，8个8个的拿剩6个，这筐苹果至少有多少个？16. （5分）现在有香蕉42千克，苹果112千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了这两种水果各多少千克？17. （5分） (2018五上·福田期末) 五(1)班的同学去郊游坐缆车，去时12人坐一辆车刚好坐满，回来时8人坐一辆车也刚好坐满。

小升初总复习数与代数篇
少？
A、B两数的最小公倍数就是这两个数的全部公有质因数及各自独有质因数的积，也就是2×3×m×11
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把5个装一包还是少一个说明糖果的总个数比5的倍数少1个。

所以这些糖果的总个数比5、6、8的公
多少个？
刷至少几个，牙膏至少几个？2·1·c·n·j·y
盒数应是36和60的公因数，又因为每盒里牙刷、牙膏最少，也就是礼盒数最多，所以礼盒数是36和量的本子。

结果圆珠笔多5支，本子多1本。

这次测试有进步的同学有几人？21教育名师原创作品
4.从1,0,3,5这四张卡片中选出三张组成一个数，这个数既是2和3的倍数，又是5的倍
数，这个数最大是（），最小是（）。

【
5.3路公交车和24路车每天早上700同时从同一起点站发车，3路车每5分钟发一班车，24路车每8分钟发一班车，至少经过（）分钟两车又同时发车。

还有多少盆不需要移动？（10分）21世纪教育网版权所有】
1740 4170 4710 7140 7410 21·世纪*教育网。

数学小升初衔接培优训练二：数的整除1. 有一张长48厘米，宽36厘米的长方形纸，如果要裁成若干同样大小的正方形而无剩余，裁成的小正方形的边长最大是__________厘米．2. A=2×3×5，B=3×5×7，A和B的最大公因数是__________，最小公倍数是__________．3. 如果a÷b=10，（a、b都是非0自然数），则a和b的最大公约数是__________，最小公倍数是__________A．a B．b C.10 D.1．4. 一个五位数8□35△，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么□代表的数字是__________，△代表的数字是__________．5. 有一个四位数3AA1能被9整除，A是__________．6. 有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，请写出一组符合条件的数__________．（答案不唯一）二、单选题7. 用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米．要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸（）A . 4张B . 6张C . 8张8. 甲每3天去少年宫一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同时去少年宫，则下次同去少年宫应是（）A . 6月12日B . 6月13日C . 6月24日D . 6月25日9. 下列各组数中，第二个数能被第一个数整除的是（）A . 2.5和5B . 4和10C . 0.4和1.2D . 5和2510. 车库里面有8间车房，顺序编号为1，2，3，4，5，6，7，8．这车房里所停的8辆汽车的车号均为三位数且恰好是8个连续整数．已知每辆车的车房号都能被自己的车号整除，车号尾数是3的汽车车号为（）A . 853B . 843C . 86311. 有5张卡片上面的数字分别是0，4，5，6，7，从中抽出3张组成所有三位数中能被4整除的有（）A . 11B . 12C . 10D . 15三、综合题12. 四位数A752是24的倍数，A最大是几？13. 若“AB59A”能被198整除，求（A+B）的和．14. 食品店买来85个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？15. 小红和妈妈在中心广场锻炼，妈妈跑一圈用6分钟，小红跑一圈用8分钟．她们同时从起点出发，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？16. 如图，7个小朋友围成一圈依次报数，小强报1，小兵报2，小丽报3…照这样谁最先报到7的倍数？其他小朋友有可能报出7的倍数吗？17. 两根钢筋分别长为24米和18米，现把它截成同样长的小段，且无剩余，每段最长可截成多少米？一共可截成多少段？18. 老师买回一些学习用品（数量相同）．老师付给营业员100元，找回28元，请问找回的钱对不对，你是怎么判断出来的？19. 有7袋米，它们的重量分别是12、15、17、20、22、24、26公斤．甲先取走一袋，剩下的由乙、丙、丁取走．已知乙和丙取走的重量恰好一样多，而且都是丁取走重量的2倍．那么甲先取走的那一袋的重量是多少公斤？20. 一个房间的长是3.6米，宽是2.4米．现在要在这个房间铺上相同的方砖．（1）每块方砖的边长最大是多少分米？（2）这间房间一共需要多少块这样的方砖？。

小升初数学试卷：数的整除
数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，所以的符号“∴”;
二、整除判断方法：
1. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

2能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数
之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

3. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的
数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

4. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

5. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25
整除。

6. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

小升初总复习数与代数篇第一单元数的认识第2节数的整除【例1】把自然数A和B分解质因数后分别是A=2×3×11×m，B=2×3×7×m。

A、B 两数的最大公因数是78，这两个数的最小公倍数是多少？【分析】这里要明白最大公因数和最小公倍数的意义，A、B两数的最大公因数就是这两个数的全部公有的质因数的积，也就是2×3×m；A、B两数的最小公倍数就是这两个数的全部公有质因数及各自独有质因数的积，也就是2×3×m×11×7.根据两个数的最大公因数是78，求出m的值，本题便迎刃而解。

【解】因为2×3×m=78，所以m=78÷2×3=13，因此2×3×m×11×7=78×11×7=155。

答：这两个数的最小公倍数是155.即时演练1.25和30的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

2. 把自然数A和B分解质因数后分别是A=2×3×m，B=2×7×m。

A、B两数的最大公因数是22，这两个数的最小公倍数是多少？3.两个数的最小公倍数是150，最大公因数是15.这两个数分别是（）和（）。

【例2】有一些糖果，如果把6个装一包少1个；如果8个装一包也少一个；如果把5个装一包还是少一个。

这些糖果至少有多少个？【分析】这些糖果，把6个装一包少1个说明糖果的总个数比6的倍数少1个；8个装一包也少一个说明糖果总个数比8的倍数少1个；把5个装一包还是少一个说明糖果的总个数比5的倍数少1个。

所以这些糖果的总个数比5、6、8的公倍数少1，这里求至少有糖果多少个，就是求比5、6、8的最小公倍数少1的数。

【解】5、6、8的最小公倍数是120.120-1=119（个）答：这些糖果至少有119个。

专题01整数和整除【内容分析】整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础．【知识结构】模块一：整数的意义和分类1、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．（1）最小的自然数是1；（2）最小的整数是0；（3）非负整数是自然数；（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数．【例2】把下列各数放入相应的圈内：15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，35．【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；（2）试比较正整数、负整数、零的大小；（3）试比较负整数、自然数的大小．【例4】五个连续的自然数，已知中间数是a，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．【例5】有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：()()()152-=÷=+，试求这三个自然数．模块二：整除的意义1、整除的意义整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【例6】老师问：“当 4.5b=时，a能被b整除吗？”a=时，0.9一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a能被b整除．”你认为对吗？【例7】下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（）15和30（）0．4和4（）14和6（）17和35（）9和0．5（）师生总结【例8】已知下列除法算式：57÷7=8……1；21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．（1）表示能除尽的算式有哪几个？（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【例9】把表示下列算式的序号填入适当的空格内．（1）30÷10；（2）7÷25；（3）35÷0．1；（4）18÷3；（5）0．4÷2；（6）3．9÷0．3；（7）27÷9；（8）16÷4．除数能整除被除数的：________________________________________；能够除尽的：________________________________________________．师生总结1、整除与除尽有什么相同点？2、除与除尽有什么不同点？【例10】若两个整数a 、b (a b )都能被整数c 整除，它们的和、差、积也能被c 整除吗？为什么？【例11】一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数．【例12】15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？【例13】2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？【例14】学校有10个兴趣小组，各组的人数如下表：一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已知有9个小组去听讲座，其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？组别12345678910人数31168101247138模块三：因数和倍数的意义1、因数和倍数的意义整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．【例15】有一个算式6379÷=，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数．【例16】分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依次写3个）．【例17】在圈内填写满足条件的数：【例18】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．（1）6和9；（2）27和51．【例19】从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________；其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．【例20】已知：235B=⨯⨯，则A和B相同的因数有哪些？A=⨯⨯，335【例21】一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？【例22】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？【例23】1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？【例24】李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次．现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？【例25】用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？师生总结1、求一个整数的因数的方法有哪些？2、求一个整数的倍数的方法有哪些？3、一个正整数的最小的因数和最大的因数是什么？4、一个正整数最小的倍数是什么？【例26】一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？【例27】小明有一本共126张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两面编页码，即由第1页一直编到252页．如果从这本记事本中撕下31张纸，并将它们的页码相加，和是否可能等于2010？【例28】我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个正整数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是4(125)105++÷=．一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是7(124)88++÷=，10的“完美指标”是45，因为78比45更接近1，所以我们说8比10完美．根据上述材料，回答下面问题：（1）5的“完美指标”是____________；（2）6的“完美指标”是____________；（3）9的“完美指标”是____________．（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．模块四：能被2、5整除的数1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．2、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．3、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．【例29】已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？【例30】已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_____________．【例31】在圈内写出满足条件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．【例32】三个连续的偶数的和是54，则其中最小的一个是______．【例33】请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“√”，奇数则打“×”．86-（）86+（）86⨯（）96-（）96+（）96⨯（）157-（）157+（）157⨯（）【例34】12399910001001+++⋅⋅⋅+++的和是奇数还是偶数？请说明理由．师生总结1、奇数偶数的运算性质有哪些？【例35】用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数，要使这个数有因数2，有几种不同的排法？要使这个数能被5整除，有几种不同的排法？【例36】下面的乘式的积中，末尾有多少个0？⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯．1232930随堂检测【习题1】先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．【习题2】一个三位数46，能被2整除时，中最大填______；能被5整除时，中最小填______．【习题3】判断题：(1)若2m n÷=，则n一定能整除m．（）(2)整数a的最大因数正好等于整数b的最小倍数，则a一定大于b．（）(3)因为6.370.9÷=，所以6.3是7的倍数．（）(4)因为整数7421中包含了数字2，所以7421一定能被2整除．（）【习题4】已知2357A=⨯⨯⨯，那么A的全部因数的个数是（）A．10个B．12个C．14个D．16个【习题5】一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？【习题6】如果()n表示n的全部因数的和，如(4)1247-=_________．=++=，则(18)(21)【习题7】用0、2、5、8这四个数字组成的四位数中，能被2整除的数有多少个？【习题8】先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将和数的末位数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样继续下去，直到能够很容易看出和数是不是13的倍数为止．若是13的倍数，则这个数就是13的倍数．试判断下列各数，哪些是13的倍数？（写出具体过程）（1）9062；（2）12805；（3）158506．课后作业【作业1】是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数．【作业2】78的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填入相应的圈内．【作业3】求26以内能被5整除的所有数的和．【作业4】在黑板上，先写出三个自然数1、3、5，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和．照这样进行100次后，黑板上留下的三个数中有几个奇数？它们的乘积是奇数还是偶数？【作业5】求1000以内能同时被3、5整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和．【作业6】一个大于1的自然数a，只有两个因数，那么3a有几个因数？【作业7】张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，她习惯把钱都放在车厢售票员位置的小桌上，这样就可以随时算出有没有差错．有一次她数了数桌上的硬币，是36枚1角．她对司机说：“我今天我肯定出了差错了”，你知道为什么吗？【作业8】凡一个数的奇位数字的和同它的偶位数字的和相减（大的和减去小的和），所得的差是0或是11的倍数时，这个数就是11的倍数．下列各数，哪些是11的倍数？(1)64273(2)208549(3)77360822。