一模错题静安恒高数学高考补习班

2022届上海市静安区高三一模数学试题一、单选题 1．方程2log 139x =的解是（ ）A ．14x =B ．x =C ．x =D ．4x =【答案】A【分析】先化简为2log 2x =-，再通过对指互化即得解. 【详解】由题得2log 222133,log 2,24xx x --=∴=-∴==. 故选：A2．以坐标原点为中心的椭圆的长轴长等于8，且以抛物线212x y =的焦点为一个焦点，则该椭圆的标准方程是（ ） A ．2215564x y +=B ．2212864x y +=C ．221167x y +=D ．221716x y +=【答案】D【分析】求出抛物线的焦点坐标，得椭圆的焦点坐标，c 值，再由长轴长2a 求得b ，从而得椭圆方程．【详解】由抛物线方程知，抛物线焦点坐标为(0,3)，所以椭圆中3c =，又28a =，4a =，所以2227b a c =-=，焦点在y 轴， 所以椭圆方程为221167y x +=．故选：D ．3．函数2|lg(|1y x x =++的图像关于（ ）对称． A ．原点 B ．x 轴 C ．y 轴D ．直线y x =【答案】C【分析】分析给定函数的性质，再借助性质即可判断作答.【详解】令2()|lg(|1y f x x x ==++，因R x ∀∈||x x ≥-，即0x >恒成立，函数()f x 的定义域是R ，22()()|lg(|1|1()f x x x x f x -=-+-+=++=，因此，函数()f x 是R 上的偶函数，所以函数2|lg(|1y x x =++的图像关于y 轴对称.故选：C4．已知直线0ax by c 的斜率大于零，其系数a 、b 、c 是取自集合{2,1,0,1,2}--中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】A【分析】根据直线0ax by c 的斜率大于零，得到0ab <，再分0c ，0c <，0c >三种情况分类求解.【详解】因为直线0ax by c 的斜率大于零， 所以0ab <，当0c ，a 有2种选法，b 有2种选法，c 有1种选法； 因为直线220x y -+=与直线0x y -+=重合， 所以这样的直线有22113⨯⨯-=条；当0c <时，a 有1种选法，b 有2种选法， c 有2种选法； 所以这样的直线有2124⨯⨯=条，当0c >时，a 有2种选法，b 有1种选法， c 有2种选法； 所以这样的直线有2124⨯⨯=条，综上：这样的不重合直线的条数是3+8=11条， 故选：A 二、填空题5．抛物线216y x =的准线方程是________. 【答案】4x =-【详解】分析：利用抛物线()220y px p =>的准线方程为2px =-，可得抛物线216y x =的准线方程.详解：因为抛物线()220y px p =>的准线方程为2p x =-， 所以抛物线216y x =的准线方程为4x =-，故答案为4x =-.点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.6．设集合1,2x A y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ，集合12,0B y y x x ⎧⎫⎪⎪==≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B =________．【答案】{}0y y >()0,∞+【分析】根据指数函数与幂函数的性质，先求出集合A 、B ，然后根据交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合{}1,02xA y y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ，{}12,00B y y x x y y ⎧⎫⎪⎪==≥=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，所以{}{}{}000A B y y y y y y ⋂=>⋂≥=>， 故答案为：{}0y y >.7．函数()()0,1xf x a a a =>≠在区间[]1,2上的最大值比最小值大3a ，则a 的值为__________.【答案】23或43【分析】讨论01a <<或1a >，根据指数函数的单调性求出最值即可求解. 【详解】当01a <<时，()x f x a =单调递减，所以()()max 1f x f a ==，()()2min 2f x f a ==，又23a a a -=，解得23a =， 当1a >时，()x f x a =单调递增，所以()()2max 2f x f a ==，()()min 1f x f a ==，又23a a a -=，解得43a =， 故答案为：23或438．在101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，4x 项的系数为________（结果用数值表示）【答案】120【分析】直接用二项式定理求解即可. 【详解】由二项式定理得1010211010C C rrr r rr T xx x ---+==，令1024r -=，故3r =，因此310C 120=.故答案为：120.9．已知圆柱的母线长4cm ，底面半径2cm ，则该圆柱的侧面积为_______2cm ． 【答案】16π【分析】利用圆柱的侧面积公式求解.【详解】因为圆柱的母线长4cm ，底面半径2cm ， 所以该圆柱的侧面积为22416S ππ=⨯⨯=, 故答案为：16π10．若关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根，则m 的取值范围是________． 【答案】()4,8【分析】根据关于x 的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由∆<0求解. 【详解】因为关于x 的实系数一元二次方程2380-+-=x mx m 有两个共轭虚数根， 所以()()24380m m ∆=---<，即212320m m -+<，即 ()()480m m --<， 解得 48m <<，所以m 的取值范围是()4,8， 故答案为：()4,811．函数2cos 4cos 1,=-+∈R y x x x ，当y 取最大值时，x 的取值集合是__________． 【答案】{|(21),Z}x x k k π=+∈．【分析】把cos x 作为一个整体，结合二次函数性质求解． 【详解】22cos 4cos 1(cos 2)3y x x x =-+=--，又1cos 1x -≤≤， 所以cos 1x =-时，max 6y =，此时(21),Z x k k π=+∈． 故答案为：{|(21),Z}x x k k π=+∈．12．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为()q q R ∈，且2a 、32a +、4a 成等差数列，则q =________． 【答案】2【分析】根据题意，利用等比数列的基本量，列出q 的方程，求解即可. 【详解】因为{}n a 是等比数列，又2a 、32a +、4a 成等差数列，故可得()24322a a a +=+，即()3211122a q a q a q +=+， 又12a =，整理得：()()2210q q -+=，解得2q =. 故答案为：2.13．已知1e 、2e 是夹角为60︒的两个单位向量，若12e ke +和12ke e +垂直，则实数k =_______．【答案】2-±【分析】由向量垂直的数量积表示列方程求解． 【详解】由题意12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒=， 因为12e ke +和12ke e +垂直，则()12e ke +⋅()12ke e +222211221(1)(1)02ke k e e ke k k k =++⋅+=+++=，解得2k =-±故答案为：2-14．已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为A ，两条渐近线与以A 为圆心1为半径的圆都相切，则该双曲线的标准方程是___________． 【答案】22122x y -=【分析】先判断双曲线的焦点在x轴上，即可求出a =写出双曲线渐近线的方程，最后由点到直线的距离公式即可求出b 的值即可. 【详解】有双曲线一个顶点为A ，可知焦点在x轴上，则a = 故双曲线可设为22212x y b-=，则渐近线0bx =，1=，解得22b =，则双曲线的方程为22122x y -=. 故答案为：22122x y -=. 15．设函数1()+=∈R x f x x ，数列{}n a 中，12112,,233+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N n a f a f f ，一般地，1231111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭k k a f f f f k k k k ，（其中1,2,3,k =⋅⋅⋅）．则数列{}n a的前n 项和n S =_________． 【答案】21122n n +【分析】先证明12()(1)2x xf x fx +-+-==，从而可求数列{}n a 的通项公式，最后求和即可.【详解】因为1214()(1)x xx xf x f x +-++-==12x+==，所以111+1222===1222f fa f⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭，所以当k为偶数时，1231111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭kka f f f fk k k k22kk=⨯=；当k为奇数时，1231111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭kka f f f fk k k k1212kk-=⨯+=.所以n a n=，数列{}n a的前n项和2111222nnnS n n+=⨯=+.故答案为：21122n n+16．已知偶函数()y f x=是实数集上的周期为2的周期函数，当[2,3]x∈时，()2f x x=，则当[0,2]x∈时，()f x=_________．【答案】24,[0,1]82,(1,2]x xx x+∈⎧⎨-∈⎩【分析】根据()f x是实数集上的偶函数，且以2为周期的周期函数，分[0,1]x∈，(1,2]x∈两种情况求解.【详解】因为偶函数()y f x=是实数集上的周期为2的周期函数，当[0,1]x∈时，2[2,3]x+∈，所以()()()22224f x f x x x=+=+=+，当(1,2]x∈，[2,1)x-∈--，4[2,3)x-∈，所以()()()()42482f x f x f x x x=-=-=-=-，综上：()24,[0,1]82,(1,2]x xf xx x+∈⎧=⎨-∈⎩，故答案为：()24,[0,1]82,(1,2]x xf xx x+∈⎧=⎨-∈⎩三、解答题17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,4AB AA ==．(1)求正三棱柱111ABC A B C -的体积；(2)若点M 是侧棱1AA 的中点，求异面直线BM 与11B C 所成角的余弦值． 【答案】(1)32 【分析】（1）由棱柱体积公式计算；（2）由异面直线所成角的定义得MBC ∠是所求异面直线所成的角或其补角，在三角形中计算可得． (1)由已知23243V Sh ==⨯= (2)因为11//B C BC ，所以MBC ∠或其补角是所求异面直线所成的角， 在MBC △中，222222MB MC ==+2BC =，122cos 22BCMBC MB ∠===所以异面直线BM 与11B C 218．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知14,6,cos 8===a c C ．(1)求sin A 的值； (2)求b 的值． 【答案】7(2)5【分析】（1）先由1cos 8C =，求得sin C ，再结合4,6a c ==，利用正弦定理求解； （2）根据14,6,cos 8===a c C ，利用余弦定理求解.(1)解：在ABC 中，因为1cos 8C =， 所以237sin 1cos C C =-= 又4,6a c ==， 由正弦定理得：374sin 78sin 6a CA c=== (2)在ABC 中，因为14,6,cos 8===a c C ，所以由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 即2200b b --=， 解得 5b =.19．某学校对面有一块空地要围建成一个面积为2360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m ，新建墙的造价为180元/m ，建2m 宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x （单位：m ），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y （单位：元）．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进岀口的费用）最少，并求岀最少总费用．【答案】(1)()236022520002y x x x=++> (2)x =24,12800【分析】（1）设矩形的另一边长为am ，根据旧墙的整修费用为45元/m ，新建墙的造价为180元/m ，建2m 宽的进出口需2360元的单独费用，且面积为2360m 求解； （2）由（1）得到()236022520002y x x x=++>，利用基本不等式求解. (1)解：设矩形的另一边长为am ， 则()45180218022360y x x a =+-+⋅+， 2253602000x a =++，因为360ax =， 所以360a x=， 则()236022520002y x x x=++>； (2)由（1）知：()236022520002y x x x=++>， 则2236036022520002225200012800y x x x x=++≥⋅=，当且仅当2360225x x=，即24x =时，等号成立，此时最少总费用为12800元.20．如图1，已知椭圆Γ的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，点B 是椭圆Γ的上顶点，椭圆Γ上一点22A ⎛ ⎝⎭到两焦点距离之和为22(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若点P Q 、是椭圆Γ上异于点B 的两点，BP BQ ⊥，且满足32=PC CQ 的点C 在y 轴上，求直线BP 的方程；(3)设x 轴上点T 坐标为(2,0)，过椭圆Γ的右焦点F 作直线l （不与x 轴重合）与椭圆Γ交于M 、N 两点，如图2，点M 在x 轴上方，点N 在x 轴下方，且2=FM NF ，求||+TM TN 的值．【答案】(1)2212x y +=(2)2 1.y x =±+ 132【分析】（1）根据题意得221112a b+=，222a = （2）由题知直线,BP BQ 的斜率都存在，设直线BP 的斜率为k ，直线BQ 的斜率为1k-，进而得直线BP 的方程为1y kx =+，与椭圆联立方程解得点P 的横坐标为2412kx k =-+，同理得点Q 的横坐标242kx k =+，再结合32=PC CQ 解得24k =，即可得答案； （3）由题设直线l 的方程为1x my =+，点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则120,0y y ><，进而联立方程并结合韦达定理得线段MN 的中点D 的坐标为222(,)22m m m -++，故222222||2(2),2(2)m TM TN m m +=-+++，再结合2=FM NF 得227m =，代入即可得答案. (1)解：设椭圆Γ的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，因为椭圆Γ经过点2A ⎛ ⎝⎭，所以221112a b +=，第 11 页 共 13 页因为椭圆Γ上一点A ⎛ ⎝⎭到两焦点距离之和为2a =，所以1a b ==，所以椭圆Γ的标准的方程为2212x y +=.(2)解：由题知直线,BP BQ 的斜率都存在，设直线BP 的斜率为k ， 则由BP BQ ⊥知直线BQ 的斜率为1k-，所以直线BP 的方程为1y kx =+， 代入椭圆方程得：22(12)40k x kx ++=，因为0x =是该方程的解，所以点P 的横坐标为2412kx k =-+，将上述的k 用1k -代替，即得到点Q 的横坐标242k x k =+，因为32=PC CQ ，所以223424122k kk k ⨯⨯=++，解得24k =， 所以直线BP 的方程为2 1.y x =±+ (3)解：椭圆Γ的右焦点F 坐标为()1,0，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程得22(2)210m y my ++-=， 设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则120,0y y ><， 所以12122221,0,22m y y y y m m +=-=-<++ 所以()12122224x x m y y m +=++=+ 所以线段MN 的中点D 的坐标为222(,)22mm m -++， 所以||2||2(TM TN TD +== 又因为2=FM NF ，所以11222,2y yy y =-=-， 所以12y y== 222m m =-+，两边平方得221422m m =+，解得227m =，第 12 页 共 13 页所以227TM TN +===+13||8TM TN += 21．对于数列{}n a ：若存在正整数0n ，使得当0n n ≥时，n a 恒为常数，则称数列{}n a 是准常数数列．现已知数列{}n a 的首项1a a =，且11,n n a a n *+=-∈N ．(1)若32a =，试判断数列{}n a 是否是准常数数列； (2)当a 与0n 满足什么条件时，数列{}n a 是准常数数列？写出符合条件的a 与0n 的关系；(3)若()(,1)*∈+∈N a k k k ，求{}n a 的前3k 项的和3k S （结果用k 、a 表示）．【答案】(1)取02n =时，n a 恒等于12，数列{}n a 是准常数数列；(2)答案见解析； (3)2322k k a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.【分析】（1）将32a =代入已知条件，即可求出()122n a n =≥； （2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，分别写出答案即可；（3）由()(,1)*∈+∈N a k k k 和11n n a a +=-分别求出2a ，3a ，…，k a ，1k a +，2k a +，…，31k a -，3k a 的值，将前k 项放在一起，后2k 项中，从1k +项起,每相邻两项的和为定值，这样即可求解3k S . (1) 由132a =得，231122a =-=，当2n ≥时，n a 恒等于12，数列{}n a 是准常数数列，取02n =即可；(2)∵11,11=1,1n n n n nn a a a a a a +-≥⎧=-⎨-+<⎩，∴1n a ≥时，1+≠n n a a ,而当1n a <时，若存在0n ，当0n n ≥时，1n n a a +=，则必有12n a =， 若01a <<时，则211a a =-，3211a a a a =-==，此时只需2111a a a =-=，112a =， 故存在12a =，12n a =，取01n =（取大于等于1的正整数也可以），数列{}n a 是准常数数列.第 13 页 共 13 页若11a a =≥，不妨设[),1a m m ∈+，m *∈N ，则[)10,1m a a m +=-∈， 2111m m a a a m ++=-=-+，若21m m a a ++=，则1a m a m -+=-，所以221m a =-或12a m =+，取01n m =+，当0n n ≥时，12n a =（0221a n =-，取大于等于12a +的0n 皆可） 若10a a =<，不妨设(],1a l l ∈-+，l *∈N ，则(]1,a l l -∈-，所以(]21,1a a l l =-+∈+，321a a a =-=-，41a a =--，…，()(]210,1l a a l +=---∈，所以()32111l l a a a l ++=-=----⎡⎤⎣⎦,若32l l a a ++=，则221a l =-+或12a l =-+， 取02n l =+，当0n n ≥，12n a =（ 0232n a -+=，取大于等于32a -+的0n 皆可以） 存在a 和0n ：112a =，12n a =，01n ≥；112a m =+，01n m ≥+；112a m =-+，02n m ≥+（其中m N *∈,n *∈N ），（a 为某个整数m 加上12时，数列{}n a 是准常数数列）. (3)∵()(,1)*∈+∈N a k k k ,且11n n a a +=-，∴21a a =-，32a a =-，…，()1k a a k =--，()10,1k a a k +=-∈，2111k k a a k a ++=-=+-，321k k a a a k ++=-=-， 4311k k a a k a ++=-=+-，…，31k a a k -=-，31k a k a =+-.所以312312313k k k k k k S a a a a a a a a ++-=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()()1231234313k k k k k k k a a a a a a a a a a ++++-=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++ ()()()121a a a a k k =+-+-+⋅⋅⋅+--+ ()1112k ka k k +-=+-- 2322k k a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.。

一、单选题二、多选题1. 已知是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为的直线交y 轴于点N ，交双曲线右支于点M，若，则双曲线C 的离心率为（ ）A．B．C ．2D．2.设集合.则（ ）A．B．C．D．3. 在中，，则（ ）A．B．C ．6D ．54.已知和是定义在R 上的函数，且，则“有极值点”是“和中至少有一个函数有极值点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（）A．B．C．D．6. 已知甲､乙两组数据分别为：和，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ ）A ．甲组数据的第70百分位数为23B ．甲､乙两组数据的极差不相同C ．乙组数据的中位数为24.5D ．甲､乙两组数据的方差相同7. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为（ ）A ．2B ．eC．D．8. 函数的单调递减区间是（ ）A．B ．和C．D ．和9.已知在四棱锥中，底面为梯形，且的交点为，在上取一点，使得平面，四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则下面结论正确的为（ ）A．B．C ．D．10.已知函数及其导函数的定义域均为，，，且当时，，则（ ）A．B．上海市静安区2022届高三一模数学试题(1)上海市静安区2022届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题C．D．11. 已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（ ）A．B．C．D．12. 某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有（ ）A ．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B ．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C ．2010年与2020年艺体达线人数相同D ．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加13. 在等比数列中，若，则___________，___________.14. 底面半径为1，高为4的圆柱的侧面积是______.15. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，底面BCD ，，且，，利用张衡的结论可得球O 的体积为________.16. 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）17. 2021年11月10日，在英国举办的《联合国气候变化框架公约》第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了《关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言》，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势．电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装．某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统．(1)动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响．已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为，，．（ⅰ）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；（ⅱ）动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率．(2)随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平．现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访．统计了100名用户的数据，如下表：对续航能能力是否满意产品批次合计技术革新之前技术革新之后满意285785不满意12315合计4060100试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？参考公式：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．(1)若是上一点，且，证明：平面；(2)若是的中点，点满足，是线段上的任意一点，求与平面所成角的正弦值的取值范围．19. 已知，其中.（1）当时，求的极值；（2）若，求的值.20. 如图1，已知等边△ABC与等腰梯形BCDE有公共边BC，AB =2，CD = DE = BE = 1.如图2，把△ABC沿BC折起，使点A到达点P处，连接PE，PD，且PE=2.(1)求证：平面PBC⊥平面BCDE；(2)求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的正弦值.21. 某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．（1）问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于？（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．。

一、单选题二、多选题1. 不透明箱子中装有大小相同标号为1，2，3，4，5的5个冰墩墩（北京冬奥会吉祥物），随机抽取2个冰墩墩，则被抽到的2个冰墩墩标号相邻的概率是（ ）A．B．C．D．2. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．4B．C ．8D．3. 若函数，则函数的最小值为（ ）A．B．C．D．4. 设复数满足，则（ ）A．B ．1C．D．5. 素数对称为孪生素数，将素数17拆分成个互不相等的素数之和，其中任选2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（ ）A．B．C．D．6. 若，则（ ）A．B．C．D．7. （ ）．A．B．C．D．8. 一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（ ）A ．至多有一次中靶B ．至多有两次中靶C ．恰好有一次中靶D ．三次都中靶9.已知函数，，则下列说法不正确的有（ ）A ．若，则B．若，则C．函数的单调递增区间为D．若方程有三个不同的解，则或10. 下列结论正确的有（ ）A ．若变量y 关于变量x 的回归直线方程为，且，，则B ．若随机变量的方差，则C ．若A 、B 两组成对数据的样本相关系数分别为，，则B 组数据比A 组数据的相关性较强D．样本数据和样本数据的四分位数相同11. 已知则（ ）A．的值域为B ．是奇函数C ．若为函数的零点，且，则上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题(2)上海市静安区2023届高三上学期一模数学试题(2)三、填空题四、解答题D ．的单调递增区间为12.等差数列的前项和记为，若，则成立的是（ ）A．B．的最大值是C．D ．当时，最大值为13. 已知扇形的面积为4，圆心角的弧度数是2，则该扇形的半径为________．14.设函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为．（1）在上的面积为______；（2）在上的面积为______．15. 的展开式中的系数是，则___________.16. 已知的内角，，的对边分别为，，，向量（1）当时，求的值；（2）当时，且，求的值．17.已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线.(1)求的标准方程；(2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点；(3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上.18.已知平行六面体中，，，，侧面是菱形，．(1)求与底面所成角的正切值；(2)点分别在和上，，过点的平面与交于G 点，确定G 点位置，使得平面平面．19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别为、的中点．（1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离．20. 已知函数.证明：（1）在区间上存在唯一的零点.（2）对任意，都有.21. 已知数列的前n项和为，满足.(1)求的通项公式；(2)设的前n项和为.若对于任意恒成立，求n的取值范围.。

2024静安区初三数学一模解析2024年静安区初三数学一模试卷的解析如下：一、选择题1. 题目考查了二次函数的性质。

根据二次函数的性质，我们知道对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。

对于函数$y = x^{2} - 2x$，其对称轴为$x = 1$。

由于函数图像开口向上，所以在对称轴左侧函数值随着$x$的增大而减小。

因此，当$x < 1$时，$y$随$x$的增大而减小。

故选：D。

2. 题目考查了相似三角形的判定与性质。

根据相似三角形的判定，我们知道如果两个三角形的两组对应边的比相等且夹角相等，则这两个三角形相似。

对于三角形ABC和三角形DEF，我们有$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = \frac{3}{4}$且$\angle A = \angle D$，所以三角形ABC 与三角形DEF相似。

相似三角形的对应角相等，所以$\angle BAC =\angle EDF$。

故选：C。

二、填空题1. 题目考查了二次函数的性质。

根据二次函数的性质，我们知道当函数图像开口向上时，顶点的纵坐标为最小值；当函数图像开口向下时，顶点的纵坐标为最大值。

对于函数$y = x^{2} - 2x$，其顶点为$(1, -1)$，所以函数的最小值为$-1$。

故答案为$-1$。

2. 题目考查了全等三角形的判定与性质。

根据全等三角形的判定，我们知道如果两个三角形的三组对应边分别相等，则这两个三角形全等。

对于三角形ABC和三角形DEF，我们有$AB = DE$、$BC = EF$和$CA = FD$，所以三角形ABC与三角形DEF全等。

全等三角形的对应角相等，所以$\angle ABC = \angle DEF$。

故答案为$\angle ABC = \angle DEF$。

三、解答题1. 题目考查了二次函数的图象与性质。

根据二次函数的性质，我们知道当函数图像开口向上时，函数值随着$x$的增大而增大；当函数图像开口向下时，函数值随着$x$的增大而减小。

2023年上海市静安区高三上学期高考一模数学试卷含详解1. 选择题（每小题4分，共40分）1. 一辆小汽车以每小时50公里的速度行驶了4小时，再以每小时80公里的速度行驶2小时。

则小汽车这段行程的平均速度是多少？解析：设小汽车行驶的总路程为D，根据速度与时间的关系，可得：50 km/h × 4 h + 80 km/h × 2 h = D。

解方程得D = 400 km + 160 km = 560 km。

所以小汽车这段行程的平均速度为560 km ÷ 6 h = 93.33 km/h。

2. 若函数f(x)=x^2+2ax+a^2与g(x)=px^2+qax+qa^2在区间[-1,1]上的图象重合，且f(x) - g(x) =x 的根的个数为3，则p+q的值为多少？解析：在区间[-1,1]上，f(x)与g(x)重合可以得到以下两个方程：f(-1) - g(-1) = -1 (1)f(1) - g(1) = 1 (2)根据函数定义可得：f(-1) = (-1)^2 + 2a(-1) + a^2 = a^2 - 2a + 1g(-1) = p(-1)^2 + qa(-1) + qa^2 = p + (1-p) a^2f(1) = (1)^2 + 2a(1) + a^2 = a^2 + 2a + 1g(1) = p(1)^2 + q(1) + qa^2 = p + (1+q) a^2将上述结果代入方程(1)和方程(2)中，可得：a^2 - 2a + 1 -[p + (1-p) a^2] = -1 (1')a^2 + 2a + 1 -[p + (1+q) a^2] = 1 (2')将方程(1')和方程(2')展开并整理得：(p - 2) a^2- 2a = 0(1+p-q) a^2 + 2a = 0根据方程(1')和方程(2')同时成立，可得：p - 2 = 0 (3)1 + p - q = 0 (4)由方程(3)得p = 2，代入方程(4)可得q = -3。

静安区2019学年第一学期教学质量检测高三数学试卷 2019.12一、填空题：（本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.计算lim(10.9)nn →∞-=_____.【答案】1【解析】lim(10.9)nn →∞-=12.双曲线在单位圆中，60o 的圆心角所对的弧长为_____.【答案】3π【解析】23l r π==3.若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32o 和152o 则1l 与2l 的夹角为_____. 【答案】60o【解析】1801523260-+=o o o o4.若直线l 的一个法向量为(2,1)n =r，则若直线l 的斜率k =_____.【答案】2-【解析】(2,1)n =r ，则单位向量(1,2)d =-u r，221k ==- 5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为_____个.【答案】128 【解析】712128⨯=6.设ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2AB =, 现将ABC ∆（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____.【答案】23π【解析】22112333r πππ==7.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,,则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为_____.【答案】-3【解析】()()14-3AC BD AB AD AD AB ⋅=+-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r8.三倍角的正切公式为tan3α=_____. 【答案】【解析】322tan tan tan 313tan αααα-=-.9. 设集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________. 【答案】2880【解析】4种类型的矩阵6642880P =10. 现将函数sec ,(0,)y x x π=∈的反函数定义为正反割函数，记为：sec y arc x =. 则sec(4)arc -=________.（请保留两位小数）【答案】1.82【解析】cos y 1=∂，(0,)x π∈，故可知4cos t 1=-，arccos( 1.824t 1∴=-≈）. 11. 设双曲线222x y a a -=1+1的两个焦点为2F 1、F ，点P 在双曲线上，若2PF PF 1⊥，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为________.【解析】22c a a =++1,12a =-时，可知min 2c =.12. 设0,,0,0a a M N >≠1>>，我们可以证明对数的运算性质如下：log log log log a a a a M N M N a a a MN +==Q ，① log log log a a a MN M N ∴=+.我们将①式称为证明的“关键步骤”.则证明log log ra a M r M =（其中0,M r R >∈）的“关键步骤”为________.【答案】log log ra a M r M =【解析】,log log ()a a M r M rr aa M ==Q ,log log r a a M r M ∴=.二、选择题13. “三个实数,,a b c 成等差数列”是“2b a c =+”的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为三个实数,,a b c 成等差数列”，所以2b a c =+.14. 设,x y R ∈，若复数x iy i+-是纯虚数，则点(,)p x y 一定满足 （ ） A .y x = B .y x 1=C .y x =-D .y x1=- 【答案】B【解析】2221()()()()()()x x i y i xy x y i xy x y i y i y i y i y y y +++-1++-1+===+--++1+1+1，并且1x y i+-为纯虚数，则0xy -1=，1y x=. 15.若展开()(2)(3)(4)(5)a a a a a +1++++，则展开式中3a 的系数等于 ( )A .在23451，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和； B .在23451，，，，中所有任取三个不同的数的乘积之和； C .在23451，，，，中所有任取四个不同的数的乘积之和；D .以上结论都不对.【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中3a 的系数等于在23451，，，，中所有任取两个不同的数的乘积之和.16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21o方向，且塔顶的仰角为81o，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39o方向，则该塔的高度约为 （ ）A .265米B .279米C .292米D .306米【答案】C【解析】000sin5sin 60cos69tan87292.72811≈o o o o 米. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在正六棱锥P ABCDEF -中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为60︒. （）求该六棱锥的体积V ；（）求证：PA CE ⊥【答案】（）12；（）见解析.【解析】（）连接BE 、AD ，设交点为O ，连接PO ,P ABCDEF -Q 为正六棱锥 ABCDEF ∴为正六边形侧棱与底面所成角即PBO ∠23PO ∴=1163231233V S h ∴=⋅⋅=⋅⋅=,,,（2）PO ⊥Q 面ABCDEF ，CE ⊂面ABCDEF PO CE ∴⊥ Q 底面为正六边形 AO CE ∴⊥ Q AO PO O ⋂= CE ∴⊥面PAO12121Q PA⊂面PAOCE PA∴⊥18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.（）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.（）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,图1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,图2【答案】（1）1（2）2【解析】（1）设(01)OA x x=<<，1OD=QAD∴=2S x∴=221122x xx⎛⎫+-=⎪⎝⎭Q12当且仅当x =，即x =时等号成立 1212S ∴=⋅= （3）椭圆方程为221(01)4x y y +=≤≤设()(2cos ,sin )0,C θθθπ∈22cos sin 2sin2S θθθ∴=⋅⋅=当且仅当sin 1θ=，即4πθ=时取得最大值面积最大值为2，此时OB BC .19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S .（1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()n a n b n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.【答案】（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）有等差数列可知，1(1)n a a n d =+-⋅，由140a =，638a =可知d =2-5，由240(1)05n a n =--≥可得，101n ≤，所以当n =100或者n =101时取得最大值，由公式可知为2020.（2）设1(1)n a d n =+-，得122(2)n a d d n n b -==⋅，可知}{n b 为等比数列，Q 对任意的*n N ∈，都有20n T ≤12lim 201212n d db T ∴==≤--恒成立且21d < d ∴∈29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦20. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知抛物I 的准线方程为02=++y x .焦点为()1,1F .（1）求证：抛物线上任意一点P 的坐标()y x ,都满足方程：;088222=--+-y x y xy x（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x 轴的直线与抛物线交于B A 、两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 【答案】（1）见解析（2）关于x y =对称1,1--≥≥y x 。

新王牌高一数学-基本不等式试题1．已知x＞﹣1，则x+的最小值为．2．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为．3．已知x，y∈R+，x2+=1，则x的最大值为．4．已知x，y∈R+，且x+2y=1，则x•y的最大值为．5．已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值是．6．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．7．已知a＞1，b＞1，且ab+2=2（a+b），则ab的最小值为．8．已知正数a，b满足a+b=2，则的最小值为．9．若a，b∈R+，且a+b=1，则的最大值是．10．已知x＞1，则函数的最小值为．11．当x＞0时，f（x）=的最大值为．12．函数y=（x＞1）的最小值是．13．函数y=的最小值是．14．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为．15．若实数x，y满足，则的最小值为．16．若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为．17．若a，b均为非负实数，且a+b=1，则+的最小值为．18．已知正数a，b满足a2+ab﹣3=0，则4a+b的最小值为．19．设a与b均为正数．且+=1，则x+2y的最小值为．20．已知正数a，b满足4a+b=ab，则a+b的最小值为．21．若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．22．已知a＞0，b＞0，，则2a+b的最小值为．23．已知a＞1，且b＞1，若a+b=6，则（a﹣1）（b﹣1）的最大值是．24．已知正实数x，y满足x+y=1，若的最小值为9，则正数a=．25．已知x＞0，y＞0，且=1，则4x+y的最小值为．26．正实数x，y满足xy+x+2y=6，则xy的最大值为，x+y的最小值为．。

2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷一、选择题1．（3分）下列实数中，无理数是（）A．B．C．（π+2）0D．2．（3分）计算x3•x2的结果是（）A．x B．x5C．x6D．x93．（3分）如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．C．D．4．（3分）如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．∠A＝∠D且C．∠A＝∠B，∠D＝∠E D．∠A＝∠E且5．（3分）如果0°＜∠A＜60°，那么sin A与cos A的差（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定6．（3分）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（）A．B．C．D．二、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）7．（3分）的倒数是．8．（3分）计算：＝．9．（3分）已知，则的值是．10．（3分）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是．11．（3分）请写出一个以直线x＝3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）12．（3分）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平面xOy，那么此抛物线的表达式为．13．（3分）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”）14．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC 与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．15．（3分）在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝．16．（3分）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D、E分别在边AB、AC上，当AD＝4，∠ADE ＝∠C时，＝．17．（3分）如图，△ABC绕点C逆时针旋转90°后得△DEC，如果点B、D、E在一直线上，且∠BDC＝60°，BE＝3，那么A、D两点间的距离是．18．（3分）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+bx﹣2与y＝﹣x2﹣cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）计算：．20．（8分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝EC．（1）求证：DE∥BC；（2）设，，试用向量、表示向量．21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B＝，AB＝13，BC＝21．（1）求AC的长；（2）求∠BAC的正弦值．22．（10分）有一把长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）．一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．23．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且AD•AC＝AE•BC．（1）求证：AB∥FD；（2）点G在底边BC上，BC＝10，CG＝3，联结AG，如果△AGC与△EFC的面积相等，求FC的长．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx−6（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，∠ABC的余切值为，AB ＝8，点P在抛物线上，且PO＝PB．（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．①求新抛物线的对称轴；②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF＝∠PCO，求点F的坐标．25．（10分）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D 不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射线AB与射线FD交于点E，联结BF．（1）如图所示，当点D在线段CB上时，①求证：△ACD∽△ABF；②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当AB＝2BE时，求CD的长．2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．＝4，4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．是无理数，故本选项符合题意；C．（π+2）0＝1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．2．【分析】根据同底数的幂相乘的法则即可求解．【解答】解：x3•x2＝x5．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数的幂的乘方的计算法则，正确理解法则是关键．3．【分析】非零向量、互为相反向量，则非零向量、大小相等，方向相反．【解答】解：∵非零向量、互为相反向量，∴∥且＝﹣且||＝||，∴+＝．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量，注意理解平面向量有关的定义是关键．4．【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、由∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以判断两个三角形相似，本选项符合题意；B、由∠A＝∠D且，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；C、由∠A＝∠B，∠D＝∠E，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；D、由∠A＝∠E且＝，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．5．【分析】根据锐角三角函数的增减性，分三种情况讨论即可得出结论，【解答】解：当0°＜∠A＜45°时，45°＜90°﹣∠A＜90°，∴sin A＜sin（90°﹣A），∴sin A＜cos A，∴sin A﹣cos A＜0，当∠A＝45°时，90°﹣∠A＝45°，∴sin A＝sin（90°﹣A），∴sin A＝cos A，∴sin A﹣cos A＝0，当45°＜∠A＜60°时，30°＜90°﹣∠A＜45°，∴sin A＞sin（90°﹣A），∴sin A＞cos A，∴sin A﹣cos A＞0，∴当0°＜∠A＜60°时，那么sin A与cos A的差不能确定．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，理解定义是解题的关键．6．【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，：S△AEB＝2：3，∴S△AGB∵AE＝EC，＝S△ABC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，＝S△ABC，∴S△CDE∴＝，结论成立的是＝，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．二、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）7．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵×3＝1，∴的倒数是3．故答案为：3．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．8．【分析】利用同分母的分式的加法法则解答即可．【解答】解：原式＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了同分母分式的加法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解题的关键．9．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．故答案为：．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．10．【分析】把x＝0代入函数解析式求解．【解答】解：把x＝0代入y＝（x+1）2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0是解题的关键．11．【分析】可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴为x＝3，开口向上即可．【解答】解：满足题意的抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2+2．本题答案不唯一．故答案为：y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质．当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧，y随x 的增大而减小．12．【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是y＝ax2，再结合图象，只需把（10，﹣3）代入求出a的值即可．【解答】解：该抛物线的解析式是y＝ax2，由图象知，点（10，﹣3）在函数图象上，代入得：100a＝﹣3，a＝﹣．∴该抛物线的解析式是y＝﹣x2；故答案为：y＝﹣x2．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点．13．【分析】根据坡度坡角的定义和三角函数的增减性即可得到结论．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，∴tan A＝，tan D＝，∵＞，∴∠A＞∠D，即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角，故答案为：大于．【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣坡度坡角，熟练掌握三角函数的增减性是解题的关键．14．【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，∴AB：A1B1＝1：5，AB：A2B2＝2：3，设AB＝2x，则A1B1＝10x，A2B2＝3x，∴A1B1：A2B2＝10：3，∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．故答案为：．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．15．【分析】先根据黄金分割的定义可得＝，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF＝AE，从而可得＝，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），∴＝＝，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF＝AE，∴＝，∵DC∥AB，∴∠FCP＝∠PAE，∠CFP＝∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴＝＝，∵PE＝2，∴PF＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．16．【分析】首先判定△ADE∽△ACB，然后利用该相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．∴＝．∵AC＝5，AD＝4，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．17．【分析】过点C作CF⊥BE于F，由旋转的性质得出∠ACD＝∠BCE＝90°，AC＝CD，BC＝CE，由直角三角形的性质可得出答案．【解答】解：过点C作CF⊥BE于F，∵△ABC绕点C逆时针旋转90°后得△DEC，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，AC＝CD，BC＝CE，∴CF＝BE＝，∵∠BDC＝60°，∴∠FCD＝30°，∴DF＝CF＝，∴CD＝2DF＝，∴AD＝CD＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．18．【分析】根据旋转函数的定义得到：，从而解得b＝﹣，c＝2．【解答】解：根据题意得，解得．∴点P的坐标为（﹣，2），故答案为：（﹣，2）．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，正确理解新定义是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分66分）19．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝+（）2＝+1﹣+＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明；（2）由三角形法则求得，然后由AE与EC的比例关系求得向量．【解答】（1）证明：BD＝2AD，AE＝EC，∴＝＝．∴DE∥BC；（2）解：∵，，∴＝﹣＝﹣．∴＝﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，掌握平行线的判定，三角形法则即可解答该题，属于基础题．21．【分析】（1）由∠B的余弦求出BD长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题；（2）过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．【解答】解：（1）∵cos B＝＝，AB＝13，∴BD＝13×＝5，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣5＝16，∵AD＝＝＝12，∴AC＝＝＝20；（2）作CH⊥AB于H，∵△ABC的面积＝AB•CH＝BC•AD，∴13CH＝21×12，∴CH＝，∴∠BAC的正弦值是＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，关键是过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长．22．【分析】（1）由∠α的余弦求出∠α的度数，即可解决问题；（2）由∠DEO的正弦求出∠DEO，即可解决问题．【解答】解：（1）∵cosα＝＝≈0.417，∴α≈65°，∵50°≤65°≤75°，∴此时人能安全地使用这架梯子；（2）此时人不能安全使用这架梯子，理由如下：梯子顶端A离开地面最高时，∠ABO＝75°，∵sin∠ABO＝，∴AO＝AB•sin75°＝6×sin75°≈5.82（米），梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点，OD＝AO﹣AD＝5.82﹣1.5＝4.32（米），∵sin∠DEO＝＝＝0.72，∴∠DEO≈46°，∵46°＜50°，∴此时人不能安全使用这架梯子．【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是由锐角的三角函数定义求出梯子与地面的夹角．23．【分析】（1）根据题意可证明，△AED∽△CAB，所以∠AED＝∠CAB，则AB∥FD；（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD•AC＝AE•BC，∴AD：AE＝BC：AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴AB∥FD；（2）根据题意可得，＝＝，∵EF∥FD，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∵△AGC和△EFC面积相等，∴＝，解得CF＝．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题关键．24．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①用待定系数法求出函数表达式，即可求解；②由新抛物线的表达式：y＝x2﹣4x，得到直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，进而求解．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx−6＝﹣6，即点C（0，﹣6），OC＝6，∵∠ABC的余切值＝＝，即OB＝2，则点B（2，0），∵AB＝8，则OA＝6，即点A（﹣6，0），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x﹣2）（x+6）＝a（x2+4x﹣12），即﹣12a＝﹣6，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣6；（2）①∵PO＝PB，则点P在OB的中垂线上，故xP＝1，当x＝1时，y＝x2+2x﹣6＝﹣，故点P（1，﹣）；设新抛物线的表达式为：y＝x+bx，将点P的坐标代入上式得：﹣＝+b，解得：b＝﹣4，故新抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x，如下图，延长CP交x轴于点H，该函数的对称轴为x＝4；②由①知点E（4，0），则OE＝4，设直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，将点P的坐标代入上式得：﹣＝k﹣6，解得：k＝，故直线CP的表达式为：y＝x﹣6，即tan∠OHC＝，则tan∠PCO＝＝tan∠EOF，而tan∠EOF＝＝＝，则EF＝，则点F（4，）或（4，﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、图形的平移，学会构建一次函数，利用数形结合是解题的关键．25．【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；②过点E作EH⊥BD于点H，设BH＝HE＝m，利用相似三角形的拍等于性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）利用分类讨论的思想方法，画出图形，列出关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）①证明：∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF；②解：过点E作EH⊥BD于点H，如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝m，则BE＝m，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝4﹣x﹣m．∵∠ADF＝90°，∴∠ADC+∠FDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠FDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴m＝，∴BH＝HE＝．由①知：△ACD∽△ABF，∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠ABF＝90°．∵∠AED＝∠BEF，∴∠BFD＝∠DAE．∴tan∠BFD＝tan∠DAE＝．∵△ACD∽△DHE，∴，∴y＝tan∠BFD＝＝，∴y关于x的函数解析式y＝，x的取值范围：0＜x＜4；（2）①解：当点D在线段CB上时，如图，由（1）②知：BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝AC＝4，∴4＝2ו，∴8+2x＝4x﹣x2，∴x2﹣2x+8＝0．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×8＝4﹣32＝﹣28＜0，∴此方程没有实数根，∴当点D在线段CB上时，不存在AB＝2BE；②当点D在线段CB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥BD于点H，∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF．∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠EBH＝∠ABC＝45°．∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝n，则BE＝n，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝x﹣4﹣n．∵∠ADF＝90°，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠EDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴n＝．∴BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝4，∴4＝2ו．∴8+2x＝x2﹣4x，∴x2﹣6x﹣8＝0，解得：x＝＝3±，∵x＞0，∴x＝3+．∴CD＝3+．综上，当AB＝2BE时，CD的长为3+．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，一元二次方程的解法，本题是相似三角形的综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。

静安区数学一模高三试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确选项的字母代号填在题后的括号内。

）1. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1)的值为（）。

A. 1B. 0C. -1D. -22. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为（）。

A. 9B. 10C. 11D. 124. 若直线y=2x+3与直线y=-x+4平行，则它们的斜率k1和k2的关系为（）。

A. k1=k2B. k1≠k2C. k1>k2D. k1<k25. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心坐标为（）。

A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)6. 函数y=x^3-3x+1的单调递增区间为（）。

A. (-∞, +∞)B. (-∞, 1)C. (1, +∞)D. (-∞, 0)∪(2, +∞)7. 已知向量a=(2, 3)，b=(-1, 2)，则向量a与向量b的点积为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数f(x)=x^2-4x+c，当x=2时，f(x)取得最小值，则c的值为（）。

A. 4B. 0C. -4D. 89. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为（）。

A. y=±xB. y=±2xC. y=±1/2xD. y=±2/x10. 已知等比数列{bn}的公比q=1/2，首项b1=8，则b3的值为（）。

A. 4B. 2C. 1D. 1/2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，若f(a)=0，则a的值为______。