2015高考数学一轮题组训练：9-3圆的方程

2009~2013年高考真题备选题库第8章 平面解析几何第3节 圆的方程考点 圆的方程1．（2010福建，5分）以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ； 选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.答案：D2．(2009·辽宁，5分)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2， 解得a ＝1，r ＝ 2.∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：B3．（2010新课标全国，5分）圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________．解析：由题意可知，原点到直线x ＋y －2＝0的距离为圆的半径，即r ＝|0＋0－2|2＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.答案：x 2＋y 2＝24．（2010广东，5分）已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2， 解得a ＝－2，故圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2. 答案：(x＋2)2＋y2＝2。

第5讲 与圆有关的综合问题基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________． 答案 42－12．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213.法二 设圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213. 答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF→的最小值是________． 解析 如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎨⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故|PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6. 答案 64．(2013·南京29中模拟)过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AB 的最小值为________．解析 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1，分别令x ＝0，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1y 0，所以AB ＝1x 20＋1y 20＝(x 20＋y 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋1y 20≥2. 答案 25．(2014·南通模拟)若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．解析由题意，得⎩⎨⎧d ＝|a ＋2|2≥1，a ＋1＋1≥0，解得a ≥2－2. 答案2－26．(2014·南京一中月考)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________． 解析 设O 到l 的距离为d 则|AB |＝1－d 2 直线l ：y ＝k (x －2)， S △AOB ＝12×d ×21－d 2 ＝d 1－d 2≤d 2＋1－d 22＝12，当且仅当d 2＝1－d 2即d 2＝12时取到最大值12， ∵d ＝|2k ||1＋k 2|∴12＝2k 21＋k 2∴k 2＝13又A 、B 两点在一、二象限，∴k ＜0，∴k ＝－33.答案 －337．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 △AOB 是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax ＋by ＝1的距离等于22，由点到直线的距离公式，得12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝1－b 22且b ∈[－2，2]．点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离为d ＝a 2＋(b －1)2＝ 12b 2－2b ＋2，因此当b ＝－2时，d 取最大值，此时d max ＝3＋22＝2＋1. 答案2＋18．(2012·北京师大附中检测)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是________．解析 如图所示，由题意，圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心是C (1,1)，半径为1，由P A ＝PB 易知四边形P ACB 的面积＝12(P A ＋PB )＝P A ，故P A 最小时，四边形P ACB 的面积最小．由于P A ＝PC 2－1，故PC 最小时P A 最小，此时CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0，P 为垂足， PC ＝|3＋4＋8|5＝3，P A ＝PC 2－1＝22，所以四边形P ACB 面积的最小值是2 2. 答案 2 2 二、解答题9．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝x2.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相离，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10．(2014·宿迁联考)已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ→的最小值； (3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ→的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得) (3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由⎩⎨⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 一定平行．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析 因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，设其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2，所以OP 2＝4，即x 20＋(－x 0＋22)2＝4，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 答案 (2，2)2．(2014·南师附中月考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 53．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1，解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 [－2－5，－2＋5] 二、解答题4．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点． (1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠P AQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围． 解 (1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ，∴k AM ＝1. ∴直线AM 的方程为y ＝x . 由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＋y －6＝0解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3， 即A (3,3)． 如图，连结MP . ∵∠P AM ＝12∠P AQ ，sin ∠P AM ＝PMAM ＝2(3－1)2＋(3－1)2＝22， ∴∠P AM ＝45 °，∴∠P AQ ＝90 °.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60 °， 只要使∠DAE ≥60 °.∵AM 平分∠DAE ， ∴只要30 °≤DAM ＜90 °.类似于第(1)题，只要12≤sin ∠DAM ＜1， 即2(a －1)2＋(b －1)2≥12且2(a －1)2＋(b －1)2＜1.又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即a 的取值范围是[1,5].。

1. [2012·辽宁高考]将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A. x ＋y －1＝0 B. x ＋y ＋3＝0 C. x －y ＋1＝0D. x －y ＋3＝0解析：直线过圆心(1,2)，选项C 符合题意． 答案：C2. [2013·沈阳模拟]已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A. 45 B. 25 C. 255D.105解析：(x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A. 答案：A3. [2014·湖北模拟]若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A. [1－22，1＋22]B. [1－2，3]C. [－1,1＋22]D. [1－22，3]解析：∵y ＝3－4x －x 2，∴1≤y ≤3， ∴(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即曲线y ＝3－4x －x 2表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，表示两曲线至少有一个公共点．符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间．当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，b ＝3；当直线y ＝x ＋b 与圆y ＝3－4x －x 2相切时，由点到直线的距离公式，得2＝|2－3＋b |2，∴|b －1|＝2 2.结合图形知b ＝1－2 2.∴1－22≤b ≤3，故选D. 答案：D4. [2014·太原质检]过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于B (2,1)，则圆C 的方程为________．解析：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意知：点(a ，b )既在直线y －1＝－(x－2)上，又在AB的垂直平分线上，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －3＝0，得圆心坐标为(3,0)，r ＝|AC |＝－2＋12＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.答案：(x －3)2＋y 2＝25. [2014·河北唐山]若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝k (x ＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m ＋4≤0⇒m ≥4.又由方程表示圆的条件，故有m 2－4×4>0⇒m <－4或m >4.综上可知m >4.答案：(4，＋∞)。

一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选择中，只有一个是切合题目要求的 .）1.若坐标原点在圆( x - m)2 + ( y + m)2 = 4 的内部，则实数m 的取值范围是（）（ A ）- 1< m < 1（B）- 3 < m <3（ C）- 2 < m < 2（D）- 2 < m < 222【答案】 C2.【 2015-2016 学年辽宁省要点高中协作校】已知圆心(a, b)(a 0,b0)在直线 y 2x 1上的圆 ,其圆心到x轴的距离恰巧等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2 5 ,则圆的方程为A．B．C．D．( x3) 2( y5)225 ( x2) 2( y3)29 ( x 2 )2( y7)249 339 ( x 2 )2( y7)249 339【答案】 Br b a2【分析】设圆的方程为x222，则b2a 1，解得b 3，a y brr 2a2r32因此圆的方程为x2y 3229 .3.过三点 A(1,3) ， B(4,2) ， C (1, 7) 的圆交 y 轴于 M， N 两点，则 | MN | ()A ．26B ．8C ．46D ．10【答案】 C4.若圆 C 经过 (1， 0)， (3，0)两点，且与y 轴相切，则圆 C 的方程为 ()(A) ( x 2)2( y 2)23 (B) ( x 2)2 ( y 3) 2 3 (C) (x2)2 ( y 2)24(D) ( x2)2 ( y3) 2 4【答案】 D【分析】因为圆 C 经过 (1， 0)， (3，0)两点，因此圆心在直线 x 2 ，又圆与 y 轴相切，所以半径 r2 ，2,b2 123 ， b 2 3,b3，选 D .设圆心坐标为，则 b 25.若点 P （11，）为圆 x 2 y 26x 0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为 ( )A ． 2x y 3 0B ． x 2y 1 0C ． x 2y 3 0D ． 2x y 1 0【答案】 D【分析】x 2y 26 x 0 化 为 标 准 方 程 为（ x 2y 29 ，3）P （11，）为 圆（2 2的弦 MN 的中点，x ）y 93∴圆心与点 P 确立的直线斜率为1＝- 1，∴弦 MN 所在直线的斜率为 2，1 3 2∴弦 MN 所在直线的方程为， 即2x y 1 0，故 选D ．y 1 （2 x 1）6.已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过 A(5, 2), B( 1,4) 两点，则圆 C 的方程是（）A. ( x 2)2y 217B. (x2)2y213C.( x 1)2y220D.(x 1)2y240【答案】 C7.已知圆C : x2y24x4 y0与 x 轴订交于A, B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为()A ．6B．C．2D．2 33【答案】 C【分析】令y0 ，得 x24x0 ，即圆与x轴的交点坐标为A( 0,0) B(4,0),即AB 4 ；而圆 C : x2y 2 4 x 4 y0,即x 2 2( y 2) 28 的半径为CA CB 2 2,则圆心角ACB.28.若P 2, 1 为圆 x12225的弦 AB 的中点，则直线AB 的方程是（）yA. x y 3 0B. 2x y 3 0C. x y 1 0D. 2x y 5 0【答案】 A【分析】圆的圆心为 C (1,0) .由圆的性质知，直线PC垂直于弦 AB 所在的直线,则k AB =-1,kPC即 k AB= -1011)1.又由直线的点斜式方程得直线AB 的方程为：kPC(12 y(1)x 2 ,即 x y 3 0 .应选 A .9.在圆x2y22x6y0 内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形 ABCD 的面积为()A．52B．102 C.152 D.20 2【答案】A10.【【百强校】 2017 届河北邯郸市高三 9 月联考】以( a,1)为圆心，且与两条直线2x y 40与2x y60 同时相切的圆的标准方程为（）A ．( x 1)2( y 1)25B．( x 1)2( y 1)25C．( x 1)2y25D．x2( y 1)25【答案】 A2x y 4 0 与 2x y6645【分析】因为两条直线0 的距离为d2，因此5所求圆的半径为r 5 ，因此圆心( a,1)到直线2x y40 的距离为2a142a34 ，又因为圆心(a,1) 到直线2x y60 的555即a 1或 a距离也为 r 5 ，因此 a 1 ，因此所求的标准方程为( x 1)2( y1)2 5 ，故应选 A .2y25,直线l :x cosy sin1 ( 0π11.已知圆O : x).设圆O上到直线l的距离等于21 的点的个数为k ,则 k（） .A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】圆心到直线的距离为d0 011.2y2 5 的半径r 5 ，圆 xcos2sin 2rl 的距离等于1，因此k4，1 ，联合图形可知，在直线l的双侧圆O上各有两个点到直线2选 D .12.已知圆C：( x a2 ) 2( y a) 21(a R) ，则以下命题：①圆C上的点到1,0的最64短距离的最小值为7；②圆 C 上有且只有一点P 到点1,0的距离与到直线 x3的距888离相等；③已知 A 3，在圆 C 上有且只有一点 P ，使得以AP 为直径的圆与直线x1 ,08 8相切 .真命题的个数为（）A ．0 B. 1 C.2 D. 3【答案】 D二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习9-3圆的方程课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4[答案] A[解析]AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为：x2＋y2＝2.2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5[答案] D[解析]由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.3．(文)若圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5[答案] D[解析]考查了圆的标准方程及点到直线的距离．，设圆心为(a,0)，由题意r＝5＝|a|5∴|a|＝5，a<0，∴a＝－5，∴方程为(x＋5)2＋y2＝5.(理)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0[答案] B[解析] 设圆心为(0，b )，半径为R ，则R ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2， ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5， ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查直线与圆的位置关系． 圆的圆心为(a,0)，半径为2，所以|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2， ∴－2≤a ＋1≤2， ∴－3≤a ≤1.5．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2[答案] D[解析] 由条件知直线kx ＋2y －4＝0是线段PQ 的中垂线．∴直线过圆心(－1,3)，∴k ＝2.6．已知x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A ．9 B ．14 C ．14－6 5 D ．14＋6 5 [答案] D[解析] 方程表示以(－2,1)为圆心，半径r ＝3的圆， 令d ＝x 2＋y 2，则d 为点(x ，y )到(0,0)的距离，∴d max ＝(－2－0)2＋(1－0)2＋r ＝5＋3，∴x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2＝14＋6 5. 二、填空题7．圆(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0的圆心坐标为________． [答案] (－12－1)[解析] 圆方程(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0可化为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454，所以圆心坐标为(－12，－1)8．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.[答案] －2[解析] 由条件知，圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2在直线l ：x －y ＋2＝0上，代入得a ＝－2. 9．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． [答案] (x －2)2＋y 2＝10[解析] 本题考查了圆的方程的求法，关键是设出圆心坐标． 设圆心坐标为(a,0)，则有：(a －5)2＋12＝(a －1)2＋32， 解得：a ＝2，半径r ＝(2－5)2＋12＝10，故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 三、解答题10．根据下列条件，求圆的方程．(1)圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成两部分的圆的方程；(2)求经过两已知圆C 1x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与C 2x 2＋y 2－2y －4＝0的交点，且圆心在直线lx ＋4y ＝1上的圆的方程．[分析] 用直接法或待定系数法．[解析] (1)如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成两部分，所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.(2)由题意可设圆的方程为λ(x 2＋y 2－4x ＋2y )＋(x 2＋y 2－2y －4)＝0，(λ≠－1)， 即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－4λx ＋(2λ－2)y －4＝0， 圆心坐标为(2λ1＋λ，1－λ1＋λ)，代入lx ＋4y ＝1，得λ＝3.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.能力强化训练一、选择题1．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1[答案] C[解析] ∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上． ∴设C (m,3m )．又圆C 半径为1，且与4x －3y ＝0相切， ∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.故选C.2．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离为1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6][答案] A[解析] 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.二、填空题3．关于方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，下列叙述中：①关于直线x ＋y ＝0对称；②其圆心在x 轴上；③过原点；④半径为2a .其中叙述正确是________．(要求写出所有正确命题的序号)[答案] ①③[解析] 圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确．4．(2014·江西高考)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．[答案] (x －2)2＋(y ＋32)2＝254[解析] 本题考查圆的方程求法．因为圆过(0,0)，(4,0)，可设其圆心(2，b )，方程为(x－2)2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 2＝r2|b －1|＝|r |，解得⎩⎨⎧b ＝－32r 2＝254，所以圆方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.三、解答题5．根据下列条件，求圆的方程.(1)经过坐标原点和点P (1,1)，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上. (2)过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3.[解析] (1)显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为： x 2＋y 2＝(x －1)2＋(y －1)2，即x ＋y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝02x ＋3y ＋1＝0，得圆心C 的坐标为(4，－3)．又圆的半径r ＝|OC |＝5，(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.① 将P 、Q 点的坐标分别代入①得：⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20，②D －3E －F ＝10③)令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0.④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1、y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤ 解②、③、⑤组成的方程组，得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0，或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8， ∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O .∴O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝8b a ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2.由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0.(2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.解之得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q (45，125)，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。

课时作业43 圆的方程一、填空题1．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是__________．2．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是__________．3．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，过点A(－1,0)的弦中，弦长的最大值为M，最小值为m，则M－m＝__________.4．(2012江苏扬州模拟)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为__________．5．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的方程为__________．6．(2012江苏南京高三模拟)已知圆C经过直线2x－y＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y2＝8x的焦点，则圆C的方程为________．7．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________．8．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且PA＝1，则P点的轨迹方程是__________．9．(2012江苏徐州高三质检)在平面直角坐标系中，已知点A(1，－2)，B(4,0)，P(a,1)，N(a＋1,1)，当四边形PABN的周长最小时，过点A，P，N的圆的圆心坐标是__________．二、解答题10．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c ＝0的距离为1，求实数c的取值范围．12．有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍．已知A，B两地距离为10千米，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求P 地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？参考答案一、填空题 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，113 解析：当点P 在圆的内部时，点P 到圆心的距离小于该圆的半径，即有(5a )2＋(12a )2＜1⇒a 2＜1132⇒|a |＜113⇒－113＜a ＜113.2．6 2 解析：所给圆的圆心坐标为(2,2)，半径为r ＝32，圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离d ＝|2＋2－14|2＝5 2.∴所求的最大距离与最小距离的差为(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝6 2. 3．10－27 解析：点A 在⊙C 内，过点A 的最大弦长为直径10， ∴M ＝10.∵弦长最小的弦与AC 垂直(即以A 为中点的弦)，∴m ＝252－CA 2＝27. ∴M －m ＝10－27.4．x 2＋y 2＝2 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，则r ＝|－2|2＝ 2.所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.5．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 解析：圆心在AB 中垂线y ＝－3上又在2x －y －7＝0上， ∴C (2，－3)，CA ＝ 5. 6．x 2＋y 2－x －y －2＝0 解析：方法一：直线2x －y ＋2＝0与坐标轴的交点为A (－1,0)，B (0,2)，抛物线y 2＝8x 的焦点为D (2,0)，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0.方法二：可以利用圆心在弦的垂直平分线上的特点，先求出圆心，并求出半径，再求．7．(x －3)2＋y 2＝2 解析：∵由已知得圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C .又∵圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1. ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)． ∴r ＝BC ＝3－22＋0－12＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.8．(x －1)2＋y 2＝2 解析：作图可知圆心(1,0)到点P 的距离为2，所以P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，其轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.9.⎝⎛⎭⎪⎫3，－98 解析：因为AB ，PN 长已知，所以四边形PABN 的周长最小，即AP ＋NB 最小．AP ＋NB ＝a －12＋32＋a －32＋12，AP 可以看成点(a,0)到(1,3)的距离，NB 可以看成(a,0)到(3,1)的距离．因为点(1,3)关于x 轴的对称点的坐标为(1，－3)，当三点共线时，AP ＋NB 最小，即a ＝52.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1. 因为过A ，P ，N 的三点的圆的圆心就是AP ，AN 的中垂线的交点，求得圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，－98. 二、解答题10．解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点坐标为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心坐标为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①②，得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.11．解：如图，圆x 2＋y 2＝4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，问题转化为原点(0,0)到直线 12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |122＋52＜1，|c |＜13，∴－13＜c ＜13.12．解：如图，以A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，∵AB ＝10，∴A (－5,0)，B (5,0)．设P (x ，y )，P 到A ，B 两地购物的运费分别是3a ，a 元/千米．当由P 地到A ，B 两地购物费用相等时，有价格＋A 地运费＝价格＋B 地运费， ∴3a ·x ＋52＋y 2 ＝a ·x －52＋y 2.化简整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542.当点P 在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，0为圆心、154为半径的圆上时，居民到A 地或B 地购货总费用相等； 当点P 在上述圆内时，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1542，∴[9(x ＋5)2＋9y 2]－[(x －5)2＋y 2]＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＜0.∴3x ＋52＋y 2＜x －52＋y 2.故此时到A 地购物合算；当点P 在上述圆外时， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1542，∴[9(x ＋5)2＋9y 2]－[(x －5)2＋y 2]＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＞0.∴3x ＋52＋y 2＞x －52＋y 2.故此时到B 地购物合算．。