19.第十九讲 转化灵活的圆中角(含答案)-

第十九讲面积计算第一部分：趣味数学芳芳的日志星期天，芳芳早早儿把日志写完了，等着妈妈检查。

下面是芳芳的日志：今天早上，我吃了一根45千克的火腿，喝了一杯225千克的牛奶，穿上1吨重的鞋，和爸爸妈妈一起坐上一辆大约重1吨的出租车去动物园。

到了动物园，我们先看了大约重80吨的熊猫表演滚球，又看了重4千克的大象表演搬木头。

我说：“大象应该是世界上最重的动物吧？”爸爸说：“不对，世界上最重的动物是蓝鲸，一头蓝鲸的质量相当于二十几头大象的质量呢。

”我想，蓝鲸可真大呀！妈妈看后，说：“你写得不错，只是你用错了质量单位。

千克、克和吨都是质量单位，不能乱用，用错了可要闹笑话的。

”（小朋友们你们知道应该怎样改正吗？快来试试吧！）答案：妈妈说：“1枚1角的硬币，它的质量大约是1克，1克也可以记作1g。

”芳芳把1角硬币拿到手里掂量了一下，说：“我知道了，如果计量比较轻的物体的质量时就用克作单位。

”妈妈听后点点头说：“说得很好，如果有1000枚这样的硬币就用1千克表示，1千克也可以记作1kg。

一袋盐的质量是500克，两袋盐就是1千克了。

”芳芳拿着两袋盐掂量了一下，说：“1千克=1000克，如果计量稍重的物体的质量时就用千克作单位。

那吨呢？”妈妈笑着说：“1吨=1000千克，咱们家里的一桶矿泉水约重20千克，50桶就是1吨。

还有，你的体重是25千克，你想想看，多少个体重是25千克的小朋友合在一起才有1吨？”芳芳说：“需要40个我这样的小朋友。

呀！1吨太重了，看来吨是计量特别重的物体的质量的单位。

”妈妈说：“对，你真聪明！1吨还可以记作1t 。

”听完妈妈的话，芳芳说：“我明白了，现在我就去把它好好改一改。

” 小朋友们，现在你再帮芳芳检查一下，她这次改正以后的日志还有错误吗？第二部分：奥数小练知识要点我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。

利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。

第十九讲数学文化与核心素养1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V≈136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈7264l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551132.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=√14[c2c2-(c2+c2-c22)2].若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )A.√3B.2C.3D.√63.3世纪中期,数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并因此创立了“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图,则输出的n为(参考数据:sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)()A.12B.24C.36D.484.(2018贵州贵阳模拟)我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争.小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,执行程序框图,则输出的n 的值为( ) A.20 B.25 C.30D.355.(2018重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.3π10B.3π20C.1-3π10D.1-3π206.(2018云南昆明调研)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=( )A.9B.16C.23D.307.(2018吉林长春监测)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何?刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1),那么该刍甍的体积为( )A.4B.5C.6D.128.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n 层,上底由a×b 个物体组成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d 个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),其中a 是上底长,b 是上底宽,c 是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示,则该隙积中所有小球的个数为( )A.83B.84C.85D.869.(2018福建福州模拟)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子算经》.图中的Mod(N,m)≡n表示正整数N除以正整数m后的余数为n,例如Mod(10,3)≡1.执行该程序框图,则输出的i 等于( )A.23B.38C.44D.5810.祖暅是南北朝时代的伟大科学家,他在5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )A.①②B.①③C.②④D.①④11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其弧田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米,则cos∠AOB=()A.125B.325C.15D.72512.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+√c2+1)可以是某个圆的“太极函数”;③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”;④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为( )A.①③B.①③④C.②③D.①④13.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是.14.(2018四川成都模拟)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例,其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k的值分别为4,6,1,则输出的k的值为.15.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的体积为 .答案精解精析1.A 依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=13πr 2h≈7264l 2h=7264(2πr)2h,化简得π≈227.故选A. 2.A 根据正弦定理及a 2sinC=4sinA,得ac=4.再结合(a+c)2=12+b 2,得a 2+c 2-b 2=4,则S=√14[c 2c 2-(c 2+c 2-c 22)2]=√16-44=√3,故选A.3.B 按照程序框图执行,n=6,S=3sin60°=3√32,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=12,S=6sin30°=3,不满足条件S≥3.10,执行循环;n=24,S=12sin15°≈12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,跳出循环,输出n 的值为24,故选B. 4.B 解法一:执行程序框图,n=20,m=80,S=60+803≠100;n=21,m=79,S=63+793≠100;……;n=25,m=75,S=75+25=100,退出循环.输出n=25.故选B.解法二:由题意,得{c +c =100,3c +c 3=100,且m,n 都是整数,解得n=25,m=75,故选B.5.D 如图,直角三角形的斜边长为√82+152=17,设其内切圆的半径为r,则8-r+15-r=17,解得r=3,∴内切圆的面积为πr 2=9π,∴豆子落在内切圆外的概率P=1-9π12×8×15=1-3π20.6.C 执行程序框图,k=1,a=9,9-3·[93]≠2;k=2,a=16,16-3·[163]=1≠2;k=3,a=23,23-3·[233]=2,23-5·[235]=3,满足条件,退出循环,则输出a=23.故选C.7.B 如图所示,由三视图可还原得到几何体ABCDEF,过E,F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN,可将原几何体切割成直三棱柱EHG-FNM,四棱锥E-ADHG 和四棱锥F-MBCN,易知直三棱柱的体积为12×3×1×2=3,两个四棱锥的体积相同,都为13×1×3×1=1,则原几何体的体积为3+1+1=5.故选B.8.C 由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=c6[(2a+c)b+(2c+a)d]+c6(c-a),得s=85,故选C. 9.A Mod(11,3)≡2成立,Mod(11,5)≡3不成立,i=12;Mod(12,3)≡2不成立,i=13;Mod(13,3)≡2不成立,i=14;Mod(14,3)≡2成立,Mod(14,5)≡3不成立,i=15;Mod(15,3)≡2不成立,i=16;Mod(16,3)≡2不成立,i=17;Mod(17,3)≡2成立,Mod(17,5)≡3不成立,i=18;Mod(18,3)≡2不成立,i=19;Mod(19,3)≡2不成立,i=20;Mod(20,3)≡2成立,Mod(20,5)≡3不成立,i =21;Mod(21,3)≡2不成立,i=22;Mod(22,3)≡2不成立,i=23;Mod(23,3)≡2成立,Mod(23,5)≡3成立,Mod(23,7)≡2成立,结束循环.故输出的i=23.故选A.10.D 设截面与下底面的距离为h,则①中截面内的圆半径为h,则截面圆环的面积为π(R 2-h 2);②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R -h)2;③中截面圆的半径为R-c2,则截面圆的面积为π(c -c 2)2;④中截面圆的半径为√c 2-c 2,则截面圆的面积为π(R 2-h 2).所以①④中截面的面积相等,满足祖暅原理,故选D.11.D 如图,AB=6,设CD=x(x>0),则12(6x+x 2)=72,解得x=1.设OA=y,则(y-1)2+9=y 2,解得y=5.由余弦定理得cos∠AOB=25+25-362×5×5=725,故选D.12.A 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,故①正确;函数f(x)=ln(x 2+√c 2+1)的大致图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故②错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sinx 图象的对称中心上,则正弦函数y=sinx 是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sinx 可以同时是无数个圆的“太极函数”,故③正确;函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故④错误,故选A.13.答案π8解析 设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8. 14.答案 4解析 x=4,y=6,k=1,k=1+1=2,因为4>6不成立,4=6不成立,所以y=6-4=2;k=2+1=3,因为4>2成立,所以x=4-2=2;k=3+1=4,因为2>2不成立,2=2成立,所以输出的k=4. 15.答案20√5π3解析 如图,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O 的直径2R=PC=√cc 2+A c 2=√20=2√5,所以R=√5.故球O 的体积V=43πR 3=20√5π3.。

部编版语文五年级下册按课文内容填空(含答案)第一课《草原》填空题1. 初步感知课文描绘了一幅怎样的画面？{答案：课文描绘了一幅草原风貌和人情美、景色美的画面。

}2. 请用课文中的词语描述草原的特点。

{答案：辽阔、碧绿、茂盛、小丘、线条、境界、陈旧、蒙古、豪爽、欢迎、渲染、勾勒、翠色欲流、流入云际}3. 请用课文中的句子概括文章主题。

{答案：草原人民热情好客，蒙汉人民团结友爱。

}第二课《冬阳·童年·骆驼队》填空题1. 课文作者是谁？她的童年是在哪里度过的？{答案：课文作者是林海音，她的童年是在北京度过的。

}2. 请用课文中的词语描述作者童年时对骆驼的印象。

{答案：排队、脖子上挂着铃铛、咀嚼、吞下去、那分明是在微笑、峰、背上的圆盘、峰上的褐色的毛、短短的、租、日历、一页一页撕去、将来、忽然、拆下、杆、绳、套、骑、挤、奶、锅、很美、很亲、很暖、很快乐}3. 请用课文中的句子概括文章主题。

{答案：作者回忆童年时对骆驼队的好奇和兴趣，以及对童年时光的怀念。

}第三课《海上日出》填空题1. 课文作者是谁？他是我国著名的地理学家和探险家。

{答案：课文作者是巴金，他是我国著名的地理学家和探险家。

}2. 请用课文中的词语描述日出时的景象。

{答案：光线、太阳、海面、霞光、金边、通红、亮光、水面、反射、耀眼、光芒、天空、彩云、飘动、奇观、伟大、力量、希望、鼓励}3. 请用课文中的句子概括文章主题。

{答案：作者通过描绘海上日出的壮丽景象，表达了对大自然的赞美和对生活的热爱。

}第四课《花钟》填空题1. 课文作者是谁？他是法国著名的昆虫学家和作家。

{答案：课文作者是法布尔，他是法国著名的昆虫学家和作家。

}2. 请用课文中的词语描述花钟的奇妙现象。

{答案：植物、花朵、绽放、时间、不同、颜色、香味、昆虫、吸引、观察、研究、秘密、揭开、科学、美丽、大自然}3. 请用课文中的句子概括文章主题。

{答案：作者通过介绍花钟的奇妙现象，展示了大自然的神奇和科学的魅力。

2023北京丰台高二（上）期中政治（A卷）考试时间：90分钟第I卷（选择题共60分）本部分共30小题，每小题2分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项。

1. “大漠孤烟直,长河落日圆”“落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色”,这些描绘大自然的诗句,表达了人们对自然的惊奇和敬畏,使人们不由自主地震撼于我们头顶的星空:“世界是什么?人又是什么?”人们在对这些问题的思索中渐渐形成了对世界的总的看法。

“哲学开始于仰望天穹”,这句话生动形象地说明( )A. 哲学的产生和发展都源于大自然B. 哲学产生于人们的主观需要和古代哲学家的好奇、思考C. 哲学起源于人们在生活实践中对宇宙、人生的追问和思考D. 哲学与我们的生活密切相关2. 王国维曾撰文:“以功用论哲学，则哲学之价值失。

知识之最高之满足，必求诸哲学。

”这说明，哲学的重要价值在于（）A. 探究世界最一般的本质和最普遍的规律B. 总结和概括时代的实践经验和认识成果C. 为具体科学研究提供世界观和方法论的指导D. 使人们获得正确认识并提供解决问题的巧妙方法3. 马克思主义不是书斋里的学问，而是为了改变无产阶级历史命运而创立的，是在无产阶级求解放的实践中形成的，也是在无产阶级求解放的实践中丰富和发展的，为无产阶级认识世界、改造世界提供了强大精神力量。

这表明马克思主义哲学（）①是无产阶级的科学的世界观和方法论②实现了实践基础上的科学性和革命性的统一③第一次实现了唯物主义与辩证法的有机结合④能够指明社会发展的方向，是“科学之科学”A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④4. 在实际生活中，学生要面对和处理自己的学习计划与学习实际之间的关系，教师要面对和处理自己的教学计划与教学实际之间的关系，医生要面对和处理处方与病情之间的关系……上述材料共同涉及到哲学的基本问题。

这一问题是（）A. 整体和部分的关系问题B. 思维和存在的关系问题C. 必然和偶然的关系问题D. 量变和质变的关系问题5. 著名科学家钱伟长说：“哲学很重要，很多学问做深了，都会碰到哲学问题。

专项19 圆中利用转化思想求角度类型一　利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角类型二　构造圆内接四边形转化角类型三　利用直径构造直角三角形转化角类型四　利用特殊数量关系构造特殊角转化角【考点1 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】【典例1】（2021九上·无棣期末）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD=56°，则∠A的度数是（ ）A．36ºB．34ºC．56ºD．78º【答案】B【解答】解：如图，连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∵∠BCD=56°，∴∠BDC=90°−56°=34°，∵BC= BC，∴∠A=34°，故答案为：B【变式1-1】（2021九上·崂山期末）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB=54°，则∠ABO 的度数是（ ）A ．27°B ．36°C ．54°D ．108°【答案】B 【解答】解：∵∠ACB ＝54°，AB =AB∴∠AOB ＝2∠ACB ＝108°，∵OB ＝OA ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝12（180°﹣∠AOB ）＝36°，故答案为：B ．【变式1-2】（2021九上·天桥期末）如图：点A ，B ，C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若∠AOB ＝72°，则∠ACB 的度数是（ ）A ．18°B ．30°C ．36°D ．72°【答案】C 【解答】∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB 均对着AB∴∠ACB =12∠AOB =12×72°=36°故答案为：C【变式1-3】（2021九上·西城期末）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，△OAB 是等边三角形，则∠ACB 的大小为（ ）A ．60°B ．40°C ．30°D ．20°【答案】C【解答】解：∵ΔOAB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB =12∠AOB =12×60°=30°．故答案为：C ．【变式1-4】（2021九上·休宁月考）如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝48°，则∠OAB 的度数为( )A ．24°B ．30°C ．50°D ．60°【答案】A 【解答】解：∵AC ∥OB ，∴∠BOC ＝∠ACO ＝48°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠ACO ＝48°，∵∠CAB ＝12∠BOC ＝24°，∴∠BAO ＝∠OAC ﹣∠CAB ＝24°．故答案为：A ．【变式1-5】（2021九上·衢江月考）如图，在⊙O 中，AB =BC ，点D 在⊙O 上，∠CDB =25°，则∠AOB =（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°【答案】B【解答】解：∵在⊙O中，AB=BC，点D在⊙O上，∠CDB=25°，∴∠AOB=2∠CDB=50°.故答案为：B.【考点2 构造圆内接四边形转化角】【典例2】（2021九上·哈尔滨月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为（ ）A．64°B．128°C．20°D．116°【答案】B【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠BAD+∠DCB=180°∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠BAD=∠DCE=64°∵∠BOD、∠BAD对着圆中同一段弧∴∠BOD=2∠BAD=2×64°=128°故答案为：B【变式2-1】（2021九上·南开期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A=60°，则∠C等于（ ）A．30°B．60°C．120°D．300°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C=180°．∴∠C=180°-60°=120°．故答案为：C．【变式2-2】（2021九上·禹城期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°【答案】B【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∠BDC＝65°，∴∠ODB＝∠ODC＝12故答案为：B．【变式2-3】（2021九上·无棣期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C ＝65°，则∠P的度数为( )A．65°B．130°C．50°D．100°【解答】∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故答案为：C．【考点3 利用直径构造直角三角形转化角】【典例3】（2021九上·梅里斯期末）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（ ）A．32°B．58°C．64°D．116°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝58°，∴∠A＝90°﹣58°＝32°，∴∠BCD＝∠A＝32°．故答案为：A．【变式3-1】（2021九上·荆州月考）如图，AB是⊙O的直径，∠D=48°，则∠CAB=（ ）A．52°B．58°C．42°D．48°【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠D=48°，∴∠ABC=48°，∴∠CAB=90°−48°=42°，故答案为：C.【变式3-2】（2021九上·越城期中）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（ ）A．54°B．56°C．64°D．66°【答案】D【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝24°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°.故答案为：D.【变式3-3】（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝ ．【答案】13°【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．【考点4利用特殊数量关系构造特殊角转化角】【典例4】（2018•石家庄模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝5，则∠B的度数是（ ）A．30°B．45°C．50°D．60°【答案】D【解答】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°．Rt△ACD中，AD＝2r＝10，AC＝5．根据勾股定理，得：CD＝＝5，∴CD＝AD，∴∠DAC＝30°，∴∠B＝∠D＝90°﹣30°＝60°；故选：D．【变式4】（2021秋•无为市期中）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（ ）A．45°B．30°C．75°D．60°【答案】D【解答】解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB于D，延长OD交⊙O于C，则∠ODA＝∠ODB＝90°，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD＝CD＝OC＝OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝120°，∴∠APB＝AOB＝60°，故选：D．1．（2021九上·禹城期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）A．55°B．65°C．60°D．75°【答案】B【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∠BDC＝65°，∴∠ODB＝∠ODC＝12故答案为：B．2．（2021九上·温州月考）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数为（ ）A．40°B．45°C．50°D．80°【答案】D【解答】解：∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°.故答案为：D3．（2021九上·东阳月考）如图，在⊙O中，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，则∠AOB的度数是（ ）A．75°B．60°C．45°D．30°【答案】B【解答】解：连接OC，∵OB＝OC＝OA，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠OCA＝∠OAC＝15°，∴∠ACB＝∠OCB﹣∠OCA＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°.故答案为：B.4．（2021九上·天门月考）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B=（ ）.A．15°B．40°C．75°D．35°【答案】D【解答】解：∵∠A=40°，∠APD=75°，∴∠C=∠APD−∠A=35，∴∠B=∠C=35°.故答案为：D.5．（2021九上·鹿城期末）如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝58°，则∠C的度数为（ ）A．23°B．26°C．29°D．32°【答案】C【解答】解：∵∠AOB和∠C都对AB，∴∠C＝12∠AOB＝12×58°＝29°.故答案为：C6．（2021九上·重庆月考）如图，已知在⊙O中，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上，且AC＝AB，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为（ ）A．26°B．27°C．28°D．32°【答案】D【解答】解：∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD＋∠ADC＝90°，∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B，∵∠D＝∠B，∴∠ACB＝∠D，∴∠ACB＋26°＋∠D＝90°，∴∠ACB＝32°，∴∠ABC＝∠ACB＝32°，故答案为：D.7.（2021九上·龙沙期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（ ）A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】A∠AOC=∠ADC【解答】∵12∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°∵OC⊥AB∴AC=BC∴∠AOC=∠BOC∴∠BOC=∠AOC=60°故答案为：A．8．（2021九上·泰山期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=125°，那么∠AOC 等于（ ）A．125°B．120°C．110°D．130°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°∵∠ABC=125°∴∠D=180°-∠A=180°-125°=55°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=110°，故答案为：C．9．（2021九上·宜春期末）如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD=CD，∠B=50°，则∠DAE的度数为（ ）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】D【解答】解：连接OC、OD，∵∠B=50°，∴∠AOC=2∠B=100°，∵AD=CD，∴AD=CD，∠AOC=50°，∴∠AOD=∠COD= 12∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠DAE=（180°－50°）÷2=65°，故答案为：D．10．（2021九上·石景山期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（ ）A．45°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解答】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOC=β；∴∠ADC=12β；∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴α+β=180°α=12β，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，故答案为：B．11.（2021秋•泰安期末）如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（ ）A．25°B．30°C．40°D．55°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠FBC，∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，解得，∠A＝55°，故选：D．12．（2021•汉台区一模）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（ ）A．33°B．57°C．67°D．66°【答案】B【解答】解：连接CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，而∠DBC＝33°，∴∠D＝90°﹣33°＝57°，∴∠A＝∠D＝57°．故选：B．13.（2022•凤山县模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝50°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】D【解答】解：连接AD，∵OA＝OD，∠AOD＝50°，∴∠ADO＝＝65°．∵AO∥DC，∴∠ODC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝115°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝65°．故选：D．14．（2022•南宁一模）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC＝（ ）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】D【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．故选：D．15.（2022•曲周县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（ ）A．100°B．105°C．110°D．120°【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．。

类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度——全面突破，形成解题思维模式◆类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角1．如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠A ＝45°，∠AMD ＝75°，则∠B 的度数是（ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．75°第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°3．(毕节中考)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B 的度数为（ ）A ．100°B ．72°C ．64°D ．36°4．)如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠CAB ＝50°，则∠ADC ＝________. ◆类型二 构造圆内接四边形转化角5．如图，A ，B ，C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠CBD ＝70°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．55°B ．70°C ．110°D ．140°第5题图 第6题图 第7题图6．如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为（ ）A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°7．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝______.◆类型三 利用直径构造直角三角形转化角8．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于【方法15】（）A．33° B．57° C．67° D．66°第8题图第9题图第10题图9．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数是_______. 10．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为圆O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.【方法15】◆类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB 的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°第11题图第12题图12．(莒县模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝53，则∠B的度数是（）A．30° B．45° C．50° D．60°答案：。

类比归纳专题：利用转化思想求角度——快速找到圆中求角度的解题渠道◆类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角1．(2017·兰州中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB＝25°，则∠AOB 的度数为( )A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°第1题图 第2题图 2．(2017·绍兴中考)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为________．3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，求∠B 的度数．◆类型二 利用圆内接四边形转化角4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝138°，则它的一个外角∠DCE 等于( )A．69°B．42°C．48°D．38°第4题图第5题图第6题图5．(2017·凉山中考)如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．6．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E ＝________．◆类型三利用直径构造直角三角形转化角7．(2017·毕节中考)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为( )A．30°B．50°C．60°D．70°第7题图第8题图8．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB 的度数是________．9．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为⊙O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.◆类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角10．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧AB恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为( )A．45°B．30°C．75°D．60°第10题图第11题图11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝2，⊙O的半径为2，则∠C＝________．参考答案与解析1．B 2.90°3．解：∵∠A ＝36°，∴∠BOC ＝2∠A ＝72°.∵∠BOC ＋∠C ＝∠A ＋∠B ，∴∠B ＝72°＋28°－36°＝64°.4．A 5.4 36．215° 解析：连接CE .∵五边形ABCDE 是圆内接五边形，∴四边形ABCE 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠AEC ＝180°.∵∠CED ＝∠CAD ＝35°，∴∠B ＋∠AED ＝∠B ＋∠AEC ＋∠CED ＝180°＋35°＝215°.7．C8．65° 解析：连接BD .∵点D 是AC ︵的中点，∴CD ︵＝AD ︵，∴∠ABD ＝∠CBD .∵∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝90°－∠ABD ＝90°－25°＝65°.9．证明：连接BD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠BAD ＋∠D ＝90°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC ＋∠C ＝90°.又∵∠D ＝∠C ，∴∠BAD ＝∠EAC .10．D 解析：作半径OC ⊥AB 于D ，连接OA ，OB .∵将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧AB 恰好经过圆心O ，∴OD ＝CD ，∴OD ＝12OC ＝12OA ，∴∠OAD ＝30°.∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝30°，∴∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝12∠AOB ＝60°.11．45° 解析：连接OA ，OB .∵OA ＝OB ＝2，AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠C ＝12∠AOB ＝45°.。

中考数学辅导：解析灵活的圆中角资料图1资料图2资料图3角是几何图形中最重要的元素，是判断三角形全等、三角形相似的重要条件，而圆的旋转不变性和对称性，又赋予了角极强的灵活性，使得角之间的相互转化成为了解题的关键要素。

下面主要介绍圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角与内对角之间的相互转化问题。

特别指出在理解圆中角时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系；在运用圆中角时，要关注弧的中介作用。

基本图形如下：〔1〕一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；〔2〕同弧或等弧所对的圆周角相等；〔3〕直径所对的圆周角是90°；〔4〕圆内接四边形外角等于内对角；〔5〕圆内接四边形，一条边所对的两个圆周角相等；〔6〕如图，像∠APB这样顶点在圆内，两边都与圆相交的角我们定义为圆内角，由三角形外角的性质可以得到∠APB=∠ADB+∠CBD，即圆内角可以通过圆周角进行转换，实质上∠APB=■〔弧AB的度数+弧CD的度数〕；〔7〕如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边都与圆相交的角我们定义为圆外角，由三角形外角的性质可以得到∠APB=∠ADB-∠CBD，即圆外角可以通过圆周角进行转换，实质上∠APB=■〔弧AB的度数弧-CD的度数〕。

例1.如图，△ABC内接于⊙O，假设∠OAB=28°，那么∠C的大小为〔〕A.28°B.56°C.60°D.62°此题为2018年天津市中考题数学选择第9题，具体解法为连结OB，△OAB为以圆心为顶点的等腰三角形，那么∠OAB=∠OBA=28°，所以∠AOB=124°，结合基本图形〔1〕，所以∠C=62°。

例2.，O是△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A的度数。

解：分两种情况讨论：〔1〕当O在△ABC内部时：∠A=■∠BOC=■×130°=65°〔2〕当O在△ABC外部时：由∠BOC=130°，得劣弧■的度数130°，那么■的度数=360°-130°=230°〝师〞之概念，大体是从先秦时期的〝师长、师傅、先生〞而来。