九年级数学上册第一章特殊平行四边形1-2矩形的性质与判定第1课时矩形的概念及其性质同步练习新版北师大版[0

矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC 和△QCD 都是等边三角形，容易求得∠PBA 和∠PCQ 度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA ＝PQ ．【答案与解析】证明：(1)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°(2)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB＝DC ．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ PB＝PC ，QC ＝DC ＝AB ．∵ AB＝QC ，∠PBA＝∠PCQ，PB ＝PC ．∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD∥BC， ∴ B EF BFE B FE ''∠=∠=∠，∴ B E B F ''=，∴ B E BF '=．(2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，∴ 222a b c +=．2、如图所示，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE＝15°，求∠BOE 的度数．【思路点拨】∠BOE 在△BOE 中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE 有困难，转为考虑证BO ＝BE ．由AE 平分∠B AD 可求∠BAE＝45°得到AB ＝BE ，进一步可得等边△AOB．有AB ＝OB ．证得BO ＝BE ．【答案与解析】解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，AC ＝BD ． ∴ AO＝BO ．∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°．∴ ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE．∴ BE＝AB ．∵ ∠CAE＝15°，∴ ∠BAO＝60°．∴ △ABO 是等边三角形．∴ BO＝AB ，∠ABO＝60°．∴ BE＝BO ，∠OBE＝30°．∴ ∠BOE＝18030752-=°°°． 【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．类型二、矩形的判定3、如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．【答案与解析】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？【答案】（1）证明：∵A0=C0，B0=D0∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG⊥DE．【答案与解析】证明：连接EG 、DG ，∵ CE 是高，∴ CE⊥AB．∵ 在Rt△CEB 中，G 是BC 的中点，∴ EG＝12BC ，同理DG ＝12BC ． ∴ EG＝DG ．又∵ F 是ED 的中点，∴ FG⊥DE．【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题． 举一反三：【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）15 D.52【答案】A ；解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE＋DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB＝2，BC ＝1，∴OE＝AE ＝12AB ＝1，DE ==∴OD 1.。

1.2矩形的性质与判定一、矩形的定义1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

二、矩形的性质1、矩形的四个角都是直角。

2、矩形的对角线相等。

三、矩形的对称性矩形是轴对称图形，有两条对称轴。

也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

四、直角三角形斜边中线的性质1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2、如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

五、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、对角线相等的平行四边形是矩形。

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

☆对应训练知识点一、矩形的定义1、四个角相等的四边形________矩形（填“是”或“不是”）。

2、一组对边平行，且有两个角是直角的四边形________矩形（填“是”或“不是”）知识点二、矩形的性质1、矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两条对角线垂直B.两条对角线相等C.两组对边分别平行且相等D.两组对角分别相等2、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O。

已知∠AOD=60°，AC=6，则图中长度为3的线段有（ ）A.2条B.4条C.5条D.6条3、如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，过点A 作BD 的垂线，垂足为E ，已知∠EDA=3∠BAE ，∠EAO 的度数（ ）A.22.5°B.67.5°C.45°D.60°4、矩形的边长是4cm ，一条对角线的长是34cm ，则矩形的面积是________cm ²。

A.232B.216C.32D.385、一个矩形的长边是短边的2倍，对角线的长是5，那么这个矩形的长边等于（ ）A.52B.5C.1D.26、如图所示，将长方形ABCD 分成15个大小相等的小正方形，E 、F 、G 、H 分别在AD ，AB ，BC ，CD 边上，且是某个小正方形的顶点。

若四边形EFGH 的面积为3，则长方形ABCD 的面积为（ ）A.5B.6C.7D.87、如图所示，矩形ABCD 中（AD>AB ），点E 是BC 上一点，且DE=DA ，AF ⊥DE于点F ，下列结论不一定正确的是（ ）A.△AFD ≌△DCEB.AD=2AFC.AB=AFD.BE=AD -DF8、如图所示，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 与E ，若∠EAO=15°，则∠BOE 的度数为（ ）A.85°B.80°C.75°D.70°9、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB=6，BC=8，则△ABO的周长为（）A.16B.18 C .20 D.2210、在矩形ABCD中，周长为32，AE平分∠BAD交于E，若CE=6，则矩形ABCD的面积为________。

第一章《特殊平行四边形》《矩形的性质与判定》(第1课时)【教学目标】1.知识与技能了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．2.过程与方法经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．3.情感态度和价值观培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．【教学重点】掌握矩形的性质，并学会应用．【教学难点】理解矩形的特殊性．【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、导入新课导语：在我们现实生活中，平行四边形的形象无处不在，请同学们观察下列图片中的平行四边形.这些平行四边形中有一个角是直角，像这样的平行四边形叫矩形。

二、探究新知1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。

（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

你能列举一些这样的性质吗？（矩形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

中心对称图形）（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。

2.活动内容1：请同学们用你手中的矩形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线.矩形是中对称图形，对称中心是两条对称轴的交点。

（2）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；②角：四个角是直角；③对角线：相等且互相平分．活动内容2：矩形性质定理的证明如何推理证明“矩形的四个角都是直角，对角线相等”这两个性质呢？已知:如图,四边形ABCD 是矩形，∠ABC=90°，对角线AC 与BD 相交于点O,求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=BD.处理方式：分析:(1)由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.(2)根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明，教师引导学生互相交流、确定证明思路，最后找一名学生板书证明过程，教师规范解题过程的书写.证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等），∴∠ABC+∠BCD=180°，又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等），在△ABC 和△DCB 中，∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC∴△ABC ≌△DCB∴AC=DB.设计意图：通过对性质的分析与证明，一方面让学生养成独立思考问题的习惯，对于不能独立解决的问题，引导学生发挥小组合作的作用，提高学生的交流能力；另一方面通过解题过程的板书提高学生的书写能力，养成规范书写的习惯.活动内容3：在Rt △ABC 中，斜边AB 上的中线是，它与斜边的关系是CD=21AB ． 推论：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.教师强调：矩形的性质定理1、对角线互相平分且相等；2、对边平行且相等；3、四个角都是直角；4、矩形既是轴对称图形,对称轴分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线，也是中心对称图形；5、矩形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.三、例题讲解例1.如图矩形ABCD 的两条对角线相交于点O,若AC=4，则OD 的长是（ ）A.1B. 3C.2D.32解析：根据矩形的对角线相等得到BD=AC=4，再根据对角线互相平分得到OD=2，故选C.例2.如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ）A.15°B.30°C.45°D.60°解析：根据矩形的四个角都是直角，得到∠BAD=90°，根据已知可以计算出∠FAD=30°，再由折叠的性质可以得到∠DAE=15°故选A.例3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是底边上的高，E 为AC 的中点，则DE ＝_____．解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE 等于AC 的一半，所以DE=4.答案：4例4.已知:如图,AC,BD 是矩形ABCD 的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD 是矩形.∴AC=BD,AC OC OA 21==,BD OD OB 21== ∴OA=OD∵∠AOD=120°∴∠ODA=∠OAD=30°∵∠DAB=90°∴BD=2AB=2×2.5=5(cm)。