直接证明与间接证明(初稿)

直接证明和间接证明例如，我们要证明一个分数小于1的正数与其倒数相乘的结果一定小于1、我们可以直接证明如下：设分数为a/b，其中a和b均为正整数。

则有a<b，因此，a/b<b/b，即a/b<1又因为倒数的定义为1/a，即倒数为1除以该数，所以可知a/b *1/a = a/ba = 1/b，而1/b小于1因此，我们可以得出结论：一个小于1的正数与其倒数相乘的结果一定小于1间接证明是通过反证法（或称间接推理）推导出结论的证明方法。

它包括以下步骤：首先，假设要证明的结论不成立；其次，根据该假设推导出与已知事实矛盾的结论；最后，得出假设的结论非真，因此原结论为真。

间接证明的特点是通过推理和推导推翻假设，从而得到结论。

例如，我们要证明根号2是无理数。

假设根号2是有理数，即可表示为a/b的形式，其中a和b是整数，且a和b没有公因数。

则根号2=a/b，即2=(a/b)^2，即2b^2=a^2根据等式两边平方数的性质可知，a^2必为偶数。

那么，根据整数的性质可知，a也必为偶数，即a=2c，其中c为整数。

将a=2c代入等式2b^2=a^2中，得到2b^2=(2c)^2，化简得到b^2=2c^2依据同样的推理，b也是偶数，与假设a和b之间没有公因数相矛盾。

因此，假设根号2是有理数的假设不成立，根号2是无理数。

总结来说，直接证明是通过逻辑推理和数学定义直接得出结论，而间接证明是通过反证法推导出结论。

这两种证明方法在数学中应用广泛，可以灵活运用于各类数学问题的证明中。

无论是选择直接证明还是间接证明，重要的是要严谨、清晰地阐述证明的过程和推理的逻辑，以确保结论的正确性。

第二节直接证明与间接证明直接证明与间接证明是数学推理中常用的两种证明方法。

直接证明是通过逻辑推理直接得出结论，而间接证明是通过反证法或归谬法得出结论。

以下将详细介绍这两种证明方法，并进行比较。

直接证明是最常见的证明方法之一、它的基本思路是根据已知条件和数学定义，逐步演绎出所要证明的结论。

直接证明需要使用与所要证明的结论相关的定理、性质、定义等来推导，使之成立。

这种方法是一个逐步推进的过程，每一步都必须经过严格的逻辑推理，从已知到结论的推导链条必须清晰、合理。

直接证明通常比较直观，逻辑性较为明显，容易理解。

例如，我们可以通过直接证明来证明“两个相等的数相加，结果仍然相等”。

间接证明是与直接证明相对的一种证明方式。

它的基本思路是假设所要证明的结论不成立，通过逻辑推理得出矛盾或不合理的结论，从而排除了假设的情况，证明了原来的结论是成立的。

间接证明常常采用反证法或归谬法。

反证法是一种最常用的间接证明方法，其基本思路是通过假设结论不成立，并推导出与已知条件或定义矛盾的结论，从而得出结论的真实性。

归谬法是一种较少使用的间接证明方法，它的基本思路是假设结论成立，并推导出与已知条件或定义矛盾的结论，从而得出结论的真实性。

例如，我们可以通过反证法来证明“根号2是无理数”。

直接证明与间接证明各有其优点和适用范围。

直接证明较为直观和直接，逻辑性更明显，适用于证明一些简单且直接的结论，或是一些简单的数学性质和定理。

间接证明更具有一般性和普遍性，适用于证明复杂的结论，或是一些需要反证或归谬的情况。

通过间接证明，我们可以深入分析和推理，挖掘结论的内在逻辑关系。

间接证明常常需要对结论进行反向思考，找到对立面、矛盾面，通过推导和推理得到最终的结论。

总的来说，直接证明和间接证明是数学推理中常用的两种证明方法。

直接证明通过逻辑推理直接得出结论，适用于一些简单直接的结论。

间接证明通过反证或归谬得出结论，适用于一些复杂或需要反向思考的结论。

第六篇不等式、推理与证明专题6.6直接证明、间接证明、数学归纳法【考纲要求】1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题【命题趋势】1.直接证明与间接证明一般考查以不等式、数列、解析几何、立体几何、函数、三角函数为背景的证明问题.2.数学归纳法一般以数列、集合为背景，用“归纳—猜想—证明”的模式考查.【核心素养】本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【素养清单•基础知识】1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的__结论__出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件.2．间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题的成立，这样的证明方法叫作反证法．(2)用反证法证明的一般步骤①反设——假设原命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推理中出现矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．用反证法证明命题“若p ，则q ”的过程可以用框图表示为 肯定条件p ，否定结论q ―→推出逻辑矛盾―→“若p ，则非q ”为假―→“若p ，则q ”为真【真题体验】1．用分析法证明：欲使①A ＞B ，只需②C ＜D ，这里①是②的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°3.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________．4．下列条件：①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是__________．5．(2019·湖北天门中学月考)设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋26．(2019·黑龙江大庆一模)设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k ＋1成立时，总可推出f (k ＋1)≥k ＋2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)时命题为真，进而需证n ＝__________时，命题亦真．【考法解码•题型拓展】考法一：分析法解题技巧：分析法证题的思路(1)先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．【例1】 已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.考法二：综合法归纳总结 ：综合法证题的思路(1)分析条件选择方向：分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．(3)适当调整回顾反思：回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．【例2】 (1)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，若ab >cd ，证明：①a ＋b >c ＋d ；②|a －b |<|c －d |.(2)(2019·长沙调考)已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．考法三：反证法归纳总结(1)适用范围：①“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确的题目；②否定性命题、唯一性命题、存在性命题、“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明法比较困难，往往用反证法．(2)推理关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【例3】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．考法四：数学归纳法证明等式归纳总结：数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确地写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．【例1】求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．考法五：数学归纳法证明不等式归纳总结(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．(2)数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等方法证明．【例2】已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a2n＋1＋a n＋1－1＝a2n，求证：当n∈N*时，a n<a n＋1.考法六：归纳—猜想—证明归纳总结：“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决与正整数n有关的探索性问题、存在性问题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式．【例3】(2019·湖北孝感检测)数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，并猜想a n的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【易错警示】易错点一：反证法中未用到反设的结论【典例】设{a n}是公比为q的等比数列．设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．【错解】：假设{a n＋1}是等比数列．则{a n＋1}的前三项为a1＋1，a2＋1，a3＋1，即a1＋1，a1q＋1，a1q2＋1.(a1＋1)(a1q2＋1)－(a1q＋1)2＝a21q2＋a1＋a1q2＋1－a21q2－2a1q－1＝a1(q2－2q＋1)＝a1(q－1)2≠0，所以(a1＋1)(a1q2＋1)≠(a1q＋1)2，所以数列{a n＋1}不是等比数列．(推理中未用到结论的反设)【错因分析】：错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．【正解】：假设{a n＋1}是等比数列．则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，因为a1≠0，所以2q k＝q k－1＋q k＋1.又q≠0，所以q2－2q＋1＝0，所以q＝1，这与已知q≠1矛盾．所以假设不成立，故数列{a n＋1}不是等比数列．【误区防范】利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．【跟踪训练】设a>0，b>0，且a2＋b2＝1a2＋1b2.证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】见解析【解析】证明 假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则有a 2＋a ＋b 2＋b <4.而由a 2＋b 2＝1a 2＋1b 2得a 2b 2＝1，因为a >0，b >0，所以ab ＝1.因为a 2＋b 2≥2ab ＝2(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)，a ＋b ≥2ab ＝2(当且仅当a＝b ＝1时，等号成立)，所以a 2＋a ＋b 2＋b ≥2ab ＋2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误．所以a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．易错点二：证明过程未用到归纳假设【典例】用数学归纳法证明：12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (n ∈N *)．【错解】：证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k .那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝12×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ＋11－12＝1－12k ＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N *都成立．【错因分析】：错误的原因在第二步，它是直接利用了等比数列的求和公式求出了当n ＝k ＋1时，式子12＋122＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1的和，而没有利用“归纳假设”，不符合数学归纳法证明的步骤． 【正解】：证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋12k ＋1＝1－12k ＋1＝右边．这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任意n ∈N *都成立．【误区防范】(1)用数学归纳法证明命题时常出现两种错误：一是n 0的值找错．二是证明命题n ＝k ＋1也成立时，没有用到n ＝k 时的归纳假设．(2)确定由n ＝k 变化到n ＝k ＋1的过程中项的变化情况时，要把握好项的变化规律以及首末项．【跟踪训练】 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋1(n ∈N *)，求a 2，a 3，a n ，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】见解析【解析】a 2＝2，a 3＝2＋1，可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＋11 1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论也成立．综上可知，a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．【递进题组】1．欲证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥02．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.123．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.4．已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．5．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．6．用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．7．(2019·湖北部分重点中学联考)已知数列{x n}满足x1＝12，且x n＋1＝x n2－x n(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：0<x n<1；(2)设a n＝1x n，求数列{a n}的通项公式．8．(2019·武穴中学月考)试证：n 为正整数时，f (n )＝32n ＋2－8n －9能被64整除．【考卷送检】一、选择题1．用反证法证明命题“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A ．自然数a ，b ，c 都是奇数B ．自然数a ，b ，c 都是偶数C ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设 a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<03．(2019·焦作一中月考)若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)＞0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab ＞2b 2D.a b ＜a ＋1b ＋1 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负5．已知a >b >0，且 ab ＝1，若 0<c <1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，则p ，q 的大小关系是( )A ．p >qB ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q6．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2二、填空题7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．9．(2019·郑州一模)某题字迹有污损，大致内容是“已知|x |≤1，，用分析法证明|x ＋y |≤|1＋xy |”．估计污损部分的文字内容为________．三、解答题10．(2019·永州一中月考)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明 欲要证2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立，只需证2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0，即证2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0，即证(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立，所以2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .11．(2019·黄石二中期中)已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．12．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n ＜16.13．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2 ＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．14．求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．15．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．16．(2019·衡水高中调研)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *.证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数．17．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．。

数学是一门严谨的学科，其核心在于推理与证明。

在进行数学证明时，有直接证明和间接证明两种方法。

直接证明是通过逻辑推理直接得出结论，而间接证明则是通过反证法或者归谬法，通过推翻事实的否定来得出结论。

本文将分别介绍直接证明和间接证明，并分析它们在数学证明中的应用。

首先，我们来讨论直接证明。

直接证明是最常见、最直接的证明方法。

其核心思想是根据已知条件和数学定理，一步一步地推导出结论。

直接证明通常包括假设、推理和结论三个步骤。

首先，我们根据题目给出的条件假设一些前提条件，然后利用已知的定理和公理进行推理，最后根据这些推理得出结论。

直接证明的优点是逻辑性强、直观明了，容易让读者明白推理的过程。

此外，对于一些简单的数学问题，直接证明能够很快得出结论，省去了许多繁琐的步骤。

然而，直接证明的弊端是有时难以找到合适的定理进行推理，或者推导过程中的中间步骤比较复杂。

在遇到这种情况时，我们就需要采用间接证明的方法。

其次，我们来讨论间接证明。

间接证明有两种形式，一种是反证法，另一种是归谬法。

反证法的基本思想是通过假设反命题的真假进行推导，如果得出一个恒真的结论，则原命题成立。

归谬法则是通过假设原命题为真进行推导，最后得出一个恒假的结论，从而推翻了原命题。

间接证明的优点是可以处理一些复杂的数学问题，特别是那些直接证明困难的问题。

间接证明可以通过假设反命题的真假或者假设原命题的真假，利用反证法或归谬法的推导过程将问题的复杂性降低，从而得出结论。

然而，间接证明的过程通常较为繁琐，需要较高的抽象思维能力和逻辑推理能力。

在实际的数学证明中，常常需要根据题目的要求和限制条件选择合适的证明方法。

有时，我们可以通过观察和归纳总结出一些数量关系或性质，然后用直接证明进行推导。

而对于一些性质复杂的数学问题，我们可能需要采用间接证明的方法。

因此，掌握直接证明和间接证明的技巧对于解决数学问题至关重要。

总之，数学证明中的直接证明和间接证明是两种常用的推理方法。

直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学中常用的两种证明方法。

直接证明是通过逻辑推理和已知的真实前提，以直接的方式推出所要证明的结论。

间接证明则是采用反证法或者假设推理的方式，通过说明对立假设或者逻辑矛盾来推出所要证明的结论。

直接证明的思路是从已知条件出发，逐步运用数学定义、性质、定理等等，直接推导到所要证明的结论。

这种证明方法通常比较直观，步骤清晰，容易理解。

下面来看一个简单的例子。

假设我们要证明：如果一个正整数是3的倍数，则这个正整数的平方也是3的倍数。

直接证明的思路是从正整数是3的倍数这个已知条件出发，即假设正整数n可以写为3k，其中k为整数。

那么正整数n的平方可以写为(3k)^2=9k^2，即n^2=9k^2、由此可知，正整数n^2也可以写为3的倍数，因为9k^2可以写为3的倍数。

因此，根据直接证明的逻辑推理，我们得出结论：如果一个正整数是3的倍数，则这个正整数的平方也是3的倍数。

间接证明的思路是通过反证法或者假设推理的方式，假设所要证明的结论不成立，然后通过推理说明这个假设是不可能的或者导致矛盾的。

下面来看一个简单的例子。

假设我们要证明：不存在两个整数的和等于3的倍数，且差等于5的倍数。

间接证明的思路是先假设存在这样的两个整数，分别为a和b。

那么根据条件，我们可以得到以下两个等式：a+b=3k，其中k为整数；a-b=5m，其中m为整数。

然后我们将这两个等式相加，得到：2a=3k+5m。

由于3k+5m是整数，所以2a也是整数。

但是，由于2是偶数，所以2a是偶数，而3k+5m是奇数。

因此，2a和3k+5m不能同时成立，即假设不成立。

因此，不存在两个整数的和等于3的倍数，且差等于5的倍数。

以上是直接证明和间接证明的简单例子，实际的证明可能需要更多的推理和步骤。

两种证明方法各有优点和适用范围。

直接证明通常通过展示清晰的推理过程来达到证明目的，适合于结论的证明比较明显和直观的情况。

而间接证明则通过反证法或者假设推理来达到证明目的，适合于结论的证明比较困难或者复杂的情况。

第4讲直接证明与间接证明讲义讲义一、导入【教学建议】我们知道，合情推理所得结论的正确性是需要证明的，这正是数学区别于其他学科的显著特点，数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，反证法是间接证明的一种直接方法.C先生上了公交车却发现没带钱包，售票员不由分说让他下车，一位小伙子微笑着递过一块钱，C 先生很感激．车上的人开始小声议论C 先生是骗钱的，就在C先生生气准备甩票下车的时候，借钱给他的小伙子大声问：“能不能借一下您的手机？”C先生递过手机，小伙子拨了个号码，说了两三分钟的话，C先生想这下可以证明我的清白了．下车后C先生打开手机愣住了，原来小伙子根本没有拨通电话，但是直接证明了他的清白．二、知识讲解知识点1 综合法1.用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明数学问题的关键．2. 综合法证明数学命题的步骤第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．知识点2 分析法1.分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．2.分析法证明不等式的依据、方法与技巧．(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．知识点3 反证法1.反证法证明数学命题的一般步骤第一步：分清命题“p→q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定⌝q(反设)；第三步：由p和⌝q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果(归谬)；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定⌝q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真．第三步中所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．2．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．三、例题精析【教学建议】分析法和综合法是对立统一的两种方法．一个命题用何种方法证明，要能针对具体问题进行分析，灵活地运用各种证法．当不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目更是行之有效的方法．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．【题干】（1）设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a ＞0，b ＞0)，则A 、B 的大小关系为________． 【答案】A ≥B【解析】A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝)(24)(2b a ab ab b a +-+≥0. 【题干】（2）若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋8＋a ＋5(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定【答案】 A【解析】 P 2＝2a ＋13＋2a 2＋13a ＋42，Q 2＝2a ＋13＋2a 2＋13a ＋40，∴P 2>Q 2，又∵P >0，Q >0，∴P >Q .【题干】（3）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【答案】 1和3【解析】 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，又甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．【题干】（4）设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是 例题1“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．【解析】(1)由已知，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”．(2)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下面证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”．所以对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立． 【题干】（1）欲证2−√5<√6−√7成立,只需证( )A .(2−√5)2<(√6−√7)2B .(2−√6)2<(√5−√7)2C .(2+√7)2<(√5+√6)2D .(2−√5−√6)2<(−√7)2【答案】C【解析】由分析法知,欲证2−√5<√6−√7,只需证2+√7<√6+√5,即证(2+√7)2<(√6+√5)2,故选C .【题干】（2）分析法又称执果索因法，已知x >0，用分析法证明1＋x <1＋x 2时，索的因是( ) A ．x 2>1B ．x 2>4C ．x 2>0D ．x 2>1【答案】 C【解析】 因为x >0，所以要证1＋x <1＋x 2，只需证(1＋x )2<⎝⎛⎭⎫1＋x 22， 即证0<x 24，即证x 2>0，因为x >0，所以x 2>0成立，故原不等式成立． 【题干】（3）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．【求证】1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ． 例题2证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．于是原等式成立． 【题干】（1）用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________．【答案】 x ≠－1且x ≠1【解析】 “x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．【题干】（2）设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤【答案】 C【解析】 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出； 若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.【题干】（3）已知非零实数a ,b ,c 构成公差不为0的等差数列,求证:1a ,1b ,1c 不可能成等差数列.【解析】假设1a ,1b ,1c 成等差数列,则2b =1a +1c ,所以2ac=bc+ab.① 因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b=a+c.②把②代入①,得2ac=b (a+c )=b ·2b.所以b 2=ac.③由②平方,得4b 2=(a+c )2.④把③代入④,得4ac=(a+c )2,所以(a-c )2=0.所以a=c.例题3代入②,得b=a,故a=b=c,所以数列a,b,c的公差为0.这与已知矛盾,因此假设错误.故1a ,1b,1c不可能成等差数列.。

66直接证明与间接证明直接证明和间接证明是逻辑学中的两种常见证明方法。

直接证明即通过逐步推理和逻辑推导来证明一个命题的真实性。

间接证明则采用反证法，假设命题的否定形式是真的，然后通过推理来推出矛盾，从而证明原命题的真实性。

在下面的文章中，我将详细讨论直接证明和间接证明的定义、用途、优点和缺点，并通过实例来解释如何使用这两种证明方法。

首先，直接证明是一种通过逻辑推理直接展示命题真实性的证明方法。

它是从已知的前提中进行推理，在推理的每一步中使用规则和定义来逐步推导出目标命题的真实性。

直接证明的一般结构是“假设P是正确的，然后通过推理步骤S1，S2，...，Sn，得出结论Q是正确的”。

例如，我们可以使用直接证明来证明命题“如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数”。

首先，我们假设a和b是偶数，那么可以写成a=2m和b=2n（其中m和n是整数）。

然后，我们可以推导得到a+b=2m+2n=2(m+n)，这说明a+b也能被2整除，因此是偶数。

这个推导过程可以通过严格的逻辑推理证明，从而证明了原命题的真实性。

然而，有时候直接证明并不那么容易，特别是当命题的真实性与一系列复杂的推理步骤或逻辑关系相关时。

在这种情况下，间接证明可以提供一种有效的证明方法。

间接证明是通过假设命题的否定形式是真的，然后通过推理来推出矛盾，从而证明原命题的真实性。

具体地说，我们假设命题的否定形式是真的，然后进行一系列逻辑推理，当推理过程中产生了矛盾时，我们可以得出结论原命题是真的。

例如，我们可以使用间接证明来证明命题“根号2是无理数”。

首先，我们假设根号2是有理数，即可以写成一个分数形式，a/b（其中a和b是整数，且a和b没有公因子）。

然后，我们将这个分数形式进行平方，得到a²/b²=2，整理得到a²=2b²。

根据这个方程，我们可以得出结论a²是偶数，那么a也一定是偶数。

假设a=2m（其中m是整数），我们可以再次代入方程得到4m²=2b²，整理得到2m²=b²，这说明b也是偶数。

2.2直接证明与间接证明（教学设计）（1）2. 2 .1 综合法和分析法（1）--综合法教学目标：知识与技能目标：（1）理解综合法证明的概念；（2）能熟练地运用综合法证明数学问题。

过程与方法目标:（1）通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出综合法证明的操作流程图。

情感、态度与价值观：（1） 通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。

（2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯。

教学重点：了解综合法的思考过程、特点教学难点：对综合法的思考过程、特点的概括教学过程:一、复习回顾，新课引入：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。

本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

二、师生互动，新课讲解：1. 综合法在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。

例1（课本P36例）：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0b c bc a +≥>，所以22()2a b c abc +≥。

因为222,0c a ac b +≥>，所以22()2b c a abc +≥。

因此 2222()()4a b c b c a abc +++≥。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为： ()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

直接证明与间接证明、数学归纳法[考纲传真]1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【知识通关】1．直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法．2．间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[常用结论]利用归纳假设的技巧在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( )(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )(4)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)×2．利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)”时，在验证n ＝1成立时，左边应该是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3C3．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了 ( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法结合使用D ．间接证法B4．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2D5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( ) A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D .13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] B分析法的应用1．若a ，b ∈(1，＋∞)，证明a ＋b ＜1＋ab .[证明] 要证a ＋b ＜1＋ab ，只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2，只需证a ＋b －1－ab ＜0，即证(a －1)(1－b )＜0.因为a ＞1，b ＞1，所以a －1＞0,1－b ＜0，即(a －1)(1－b )＜0成立，所以原不等式成立．2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. [证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°，由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．于是原等式成立．[方法总结] (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.综合法的应用【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知3a n －2S n ＝2.(1)证明{a n }是等比数列并求出通项公式a n ；(2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n .[证明] (1)因为3a n －2S n ＝2，所以3a n ＋1－2S n ＋1＝2，所以3a n ＋1－3a n －2(S n ＋1－S n )＝0.因为S n ＋1－S n ＝a n ＋1，所以a n ＋1a n＝3，所以{a n }是等比数列． 当n ＝1时，3a 1－2S 1＝2，又S 1＝a 1，所以a 1＝2.所以{a n }是以2为首项，以3为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝2×3n －1.(2)由(1)可得S n ＝3n －1，S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1，故S 2n ＋1－S n S n ＋2＝(3n ＋1－1)2－(3n －1)(3n ＋2－1)＝4×3n ， 即S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n .[方法总结] (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a ，b ，c 均为正数，a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.反证法的应用【例2】设a>0，b>0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[证明]由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[方法总结]用反证法证明问题的步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.(推导矛盾) (3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立.(命题成立)n n(1)求证：数列{S n}不是等比数列；(2)数列{S n}是等差数列吗？为什么？[解](1)证明：假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{S n}不是等比数列．(2)当q＝1时，S n＝na1，故{S n}是等差数列；当q≠1时，{S n}不是等差数列．假设{S n}是等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．综上，当q＝1时，数列{S n}是等差数列；当q≠1时，数列{S n}不是等差数列．数学归纳法的应用【例3】 已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．[解] (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)＜g (2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216， 所以f (3)＜g (3)．(2)由(1)猜想，f (n )≤g (n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ＞3，k ∈N *)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为12(k ＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1(k ＋1)3 ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2＜0， 所以f (k ＋1)＜32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立． [方法总结] 1.应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．2．利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．n n n n ＋1S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，得S 2＝4a 3－20，S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20.又S 3＝15，∴a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8.∵S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7，∴a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3.综上知a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，以下用数学归纳法证明：①当n ＝1时，猜想显然成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥2)时，有a k ＝2k ＋1成立，则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝3＋(2k ＋1)2·k ＝k (k ＋2)． 又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，∴k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得a k ＋1＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想成立．由①②知，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．。