直接证明与间接证明(综合法与分析法)

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即证：1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2 ＞2cosx1cosx2， 即证：cos(x1－x2)＜1.
π 由 x1、x2∈(0， )，x1≠x2，上式是 2 显然成立的． x1＋x2 1 因此， [f(x1)＋f(x2)]＞f( )． 2 2
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【点评】 此题采用分析法，将三 角变换，三角函数的性质等进行了有效 的化归，与不等式的证明结合并用．
3．对于实数a，b，c，若在①lg2＝1 －a－c；②lg3＝2a－b；③lg4＝2－2a－ 2c；④lg5＝a＋c；⑤lg6＝1＋a－b－c 中，有且只有两个式子是不成立的，则 不成立的式子的序号是________． 答案：②⑤
三基能力强化
4．设a＝π0.3，b＝logπ3，c＝1，则 a，b，c的大小关系是________． 答案：a>c>b
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2b 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝－ . 3a 由(1)知 x1＝0 是极值点， 2b ∴x2＝－ 也是极值点.9 分 3a ∵f(x)在[0,2]与[4,5]上单调性相反， 2b b ∴2≤－ ≤4，－6≤a≤－3. 3a b ∴a＋9>0,4ab<0.11 分 b 2 又∵4b ＋36ab＝4ab(a＋9)，
例2
π 已知函数 f(x)＝tanx，x∈(0， )， 2 π 若 x1，x2∈(0， )，且 x1≠x2， 2 x1＋x2 1 求证： [f(x1)＋f(x2)]＞f( )． 2 2
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【思路点拨】 本题若使用综合法 进行推演，三角函数式的化简较难处 理，因此，可考虑分析法．
x1＋x2 1 【证明】 要证 [f(x1)＋f(x2)]＞f( )， 2 2 x1＋x2 1 即证明： (tanx1＋tanx2)＞tan ， 2 2

法二：分析法 因为a>0，b>0，a＋b＝1，要证1a＋1b＋a1b≥8. 只要证1a＋1b＋a＋abb≥8， 只要证1a＋1b＋1b＋1a≥8，即证1a＋1b≥4. 也就是证a＋a b＋a＋b b≥4.即证ba＋ab≥2， 由基本不等式可知，当a>0，b>0时，ba＋ab≥2成立， 所以原不等式成立．
[典例] 设a>0，f(x)＝aa＋xx，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． [解] (1)∵a1＝1， ∴a2＝f(a1)＝f(1)＝1＋a a； a3＝f(a2)＝2＋a a；a4＝f(a3)＝3＋a a. 猜想an＝(n－a1)＋a(n∈N*)．
正确的反设为
()
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
(2)已知：ac≥2(b＋d)．
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一
个方程有实数根．
[解析] (1)自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是 奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以 否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a， b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”
数学归纳法
(1)数学归纳法在近几年高考试题中都有所体现，常与 数列、不等式结合在一起考查，一般涉及通项公式的求 解，相关等式、不等式的证明等，考查模式一般为“归纳 ——猜想——证明”．
(2)数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明 一些与正整数有关的数学命题时，往往是非常有用的研究 工具．在使用时注意“归纳奠基”和“归纳递推”两个步 骤缺一不可．

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【训练3】 已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
b 证明 由于 a≠0，因此方程至少有一个根 x＝a. 假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，
①
ax2＝b，
由①－②得a(x1－x2)＝0， 因为x1≠x2，所以x1－x2≠0， 所以a＝0，这与已知矛盾，故假设错误． 所以当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根.
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b 2 1 2 2 a· ＝ |a| |b| 1－|a||b| 4 1 2 2 ＝ [|a| |b| －(a· b)2] 4 1 ∴S△ABC＝ |a|2|b|2－（a· b）2. 2
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考点二 证明
分析法的应用 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问 题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分 析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
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3．利用反证法证明数学问题时，要假设结论不成立，并用 假设的命题进行推理，不用假设命题推理而推出矛盾结 果，其推理过程是错误的． [易错防范] 注意推理的严谨性，在证明过程中每一步推理都要有充 分的依据，这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了 的数学结论，不可盲目使用正确性未知的自造结论．在
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2. 间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是
一种常用的间接证明方法． 不成立 即在原命题的条件 (1)反证法的定义：假设原命题_______( 下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此

直接证明与间接证明【要点梳理】要点一：直接证明直接证明最常见的两种方法是综合法和分析法，它们是思维方向相反的两种不同的推理方法． 综合法定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这种思维方法叫做综合法．．．. 基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．综合法的思维框图：用P 表示已知条件，Q 表示要证明的结论，123...i Q i n =（，，，，）为已知的定义、定理、公理等，则综合法可用框图表示为： 11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）要点诠释（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；（3）因用综合法证明命题“若A 则D ”的思考过程可表示为：故要从A 推理到D ，由A 推演出的中间结论未必唯一，如B 、B 1、B 2等，可由B 、B 1、B 2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等等．所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．综合法证明不等式时常用的不等式（1）a 2+b 2≥2ab （当且仅当a =b 时取“=”号）；（2）2a b +≥a ，b ∈R*，当且仅当a =b 时取“=”号）； （3）a 2≥0，|a |≥0，(a －b )2≥0；（4）2b a a b +≥（a ，b 同号）；2b a a b+≤-（a ，b 异号）； （5）a ，b ∈R ，2221()2a b a b +≥+， （6）不等式的性质定理1 对称性：a ＞b ⇔b ＜a ．定理2 传递性：a b a c b c >⎫⇒>⎬>⎭． 定理3 加法性质：a b a c b c c R >⎫⇒+>+⎬∈⎭． 推论 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭． 定理4 乘法性质：0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭． 推论1 00a b ac bc c d >>⎫⇒>⎬>>⎭． 推论2 0*n n a b a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭．定理5 开方性质：0*a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭ 分析法定义一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．分析法的思维框图：用123i P i =L （，，，）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q 所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为： 11223...Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→得到一个明显成立的条件（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证．要点诠释：（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述．综合法与分析法的横向联系（1） 综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．（2）有不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ．若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．命题“若P 则Q ”的推演过程可表示为：要点二：间接证明 间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定①分清命题的条件和结论．②做出与命题结论相矛盾的假设．③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．反证法的格式：用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：要点诠释：（1）反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.(2) 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.反证法的一般步骤：（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．要点诠释：（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”；“都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”（2）归谬的主要类型：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾（自相矛盾）；③与定义、定理、公理、事实矛盾．宜用反证法证明的题型：①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.要点诠释：反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果．【典型例题】【高清课堂：例题1】类型一：综合法证明例1．求证：a4+b4+c4≥abc(a+b+c)．【证明】∵a4+b4≥2a2b2，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2c2a2，∴(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2)，又∵a2b2+b2c2≥2ab2c，b2c2+c2a2≥2abc2，a2b2+c2a2≥2a2bc，∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2abc(a+b+c)．∴2(a4+b4+c4)≥2abc(a+b+c)，即a4+b4+c4≥abc(a+b+c)．【总结升华】利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论，并且在用均值定理证明不等式时，一要注意均值定理运用的条件，二要运用定理对式子作适当的变形，把式分成若干部分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相减．举一反三：【变式1】已知a，b是正数，且a+b=1，求证：114a b+≥．【证明】证法一：∵a，b∈R，且a+b=1，∴2a b ab +≥，∴12ab ≤， ∴1114a b a b ab ab++==≥． 证法二：∵a ，b ∈R +，∴20a b ab +=>，11120a b ab +≥>， ∴11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭． 又a +b =1，∴114a b+≥． 证法三：1111224a b a b b a a b a b a b a b b a+++=+=+++≥+⋅=． 当且仅当a =b 时，取“=”号．【变式2】求证：5321232log 19log 19log 19++<. 【证明】待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，1log log a b b a =转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式. ∵ 1log log a b b a =， ∴左边∵， ∴5321232log 19log 19log 19++<. 例2．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n +1=4a n +2（n =1，2，…），a 1=1．（1）设b n =a n +1－2a n （n =1，2，…），求证：数列{b n }是等比数列．（2）设2n n na c =（n =1，2，…）， 求证：数列{c n }是等差数列． 【证明】（1）∵S n +1=4a n +2，∴S n +2=4a n +1+2，两式相减，得S n +2―S n +1=4a n +1―4a n （n =1，2，3，…），即a n +2=4a n +1―4a n ，变形得a n +2―2a n +1=2(a n +1―2a n )．∵b n =a n +1－2a n （n =1，2，…），∴b n +1=2b n （n =1，2，…）．由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列．由S 2=a 1+a 2=4a 1+2，a 1=1，得a 2=5，b 1=a 2―2a 1=3．故b n =3·2n ―1．（2）∵2n n n a c =（n =1，2，…） ∴11111122222n n n n n n n n n n n a a a a b c c ++++++--=-== 将b n =3·2n －1代入，得134n n c c +-=（n =1，2，…）． 由此可知，数列{c n }是公差34d =的等差数列，它的首项11122a c ==，故3144n c n =-． 【总结升华】本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解，综合法是直接证明中最常用的证明方法．举一反三：【变式1】已知数列{}n a 满足15a =， 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．求证：{}12n n a a ++是等比数列；【证明】 由a n ＋1＝a n ＋6a n －1，a n ＋1＋2a n ＝3(a n ＋2a n －1) (n ≥2)，∵a 1＝5，a 2＝5∴a 2＋2a 1＝15，故数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列.【变式2】在△ABC 中，若a 2=b (b +c )，求证：A =2B ．【证明】∵a 2=b (b +c )，222222()cos 22b c a b c b bc A bc bc+-+-+==， 又222222222()22cos 2cos 12121222()2a c b b c b c b bc c b B B ac a b b c b ⎛⎫+-++---⎛⎫=-=-=-== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，∴cos A =cos2B ．又A 、B 是三角形的内角，故A =2B ．例3．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．求证：（1）P A ∥平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD ．【证明】（1）连结AC 交BD 于O ，连结E O ．∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点，在△P AC 中，E O 是中位线，∴P A ∥E O ．而E O ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB ．（2）PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥DC ．由PD =DC ，可知△PDC 是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 上的中线，∴DE ⊥PC ．①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．【总结升华】利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理．举一反三：【变式1】如图，设在四面体PABC中，90ABC∠=o，PA PB PC==，D是AC的中点.求证：PD垂直于ABC∆所在的平面.【证明】连PD、BD因为BD是Rt ABC∆斜边上的中线，所以DA DC DB==又因为PA PB PC==，而PD是PAD∆、PBD∆、PCD∆的公共边，所以PAD∆≅PBD PCD∆≅∆于是PDA PDB PDC∠=∠=∠，而90PDA PDC∠=∠=o，因此90PDB∠=o∴PD AC⊥，PD BD⊥由此可知PD垂直于ABC∆所在的平面.【变式2】如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA平面ABCD，且SA=AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．求证：（1）EF⊥CD；（2）平面SCD⊥平面SCE．【证明】（1）∵SA⊥平面ABCD，F为SC的中点，∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线．∴12AF SC=．又∵四边形ABCD是正方形，∴CB⊥AB．而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA ，∴CB ⊥平面SAB ．又∵SB ⊂平面SAB ，∴CB ⊥SB ．∴BF 为Rt △SBC 的斜边SC 上的中线，∴12BF SC =． ∴AF =BF ，∴△AFB 为等腰三角形．又E 为AB 的中点，∴EF ⊥AB ．又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD ．（2）由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，SE =EC ，即△SEC 是等腰三角形，∴EF ⊥SC ．又∵EF ⊥CD 且SC ∩CD =C ，∴EF ⊥平面SCD ．又EF ⊂平面SCE ，∴平面SCD ⊥平面SCE ．类型二：分析法证明例4. 设0a >、0b >，且a b ≠，用分析法证明：3322a b a b ab ++＞．【证明】要证3322a b a b ab +>+成立，只需证33220a b a b ab +--> 成立，即证22()()0a a b b b a -+->成立，即证22()()0a b a b -->成立，也就是要证2()()0a b a b +->成立，因为0a >、0b >，且a b ≠，所以2()()0a b a b +->显然成立，由此原不等式得证.【总结升华】1.在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.2. 用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语．举一反三：【变式1】设a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac bc +≤【证明】当ac +bc ≤0时，不等式显然成立．当ac +b d ＞0时，要证明ac bd +只需证明(ac +b d)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)，即证明a 2c 2+2abc d+b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2，只需证明2abc d≤a 2d 2+b 2c 2，只需证明(a d －bc )2≥0． 而上式成立，∴2222ac bd a b c d +≤+⋅+成立． 【变式2】求证：123(3)a a a a a --<---≥【证明】分析法： 要证123(3)a a a a a --<---≥成立， 只需证明321(3)a a a a a +-<-+-≥， 两边平方得232(3)232(2)(1)a a a a a a -+-<-+--(3)a ≥， 所以只需证明(3)(2)(1)a a a a -<--(3)a ≥， 两边平方得22332a a a a -<-+，即02<，∵02<恒成立，∴原不等式得证.【变式3】用分析法证明：若a >0，则212122-+≥-+a a a a ． 【证明】要证212122-+≥-+a a a a ， 只需证212122++≥++aa a a ． ∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证2222)21()21(++≥++a a a a 只需证)1(222211441222222a a a a a a a a +++++≥++++， 只需证)1(22122a a a a +≥+，只需证)21(2112222++≥+a a a a ， 即证2122≥+a a ，它显然成立．∴原不等式成立．例5. 若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +＞lg a +lg b +lg c ． 【证明】要证lg 2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +＞lg a +lg b +lg c ， 只需证lg 2b a +·2c b +·2a c +>lg （a ·b ·c ）， 只需证2b a +·2c b +·2a c +＞abc ． 但是，2b a +0>≥ab ，2c b +0>≥bc ，2a c +0>≥ac ．且上述三式中的等号不全成立，所以，2b a +·2c b +·2a c +＞abc ． 因此lg 2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +＞lg a +lg b +lg c ． 【总结升华】这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法导主导地位，而分析法伴随着它．举一反三：【变式1】设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：3a ＋3b ＞22ab b a +【证明】证明一：(分析法)要证3a +3b ＞22ab b a +成立，只需证(a +b )( 2a -ab +2b )＞ab (a +b )成立，即需证2a -ab +2b ＞ab 成立．(∵a +b ＞0)只需证2a -2ab +2b ＞0成立，即需证()2b a -＞0成立． 而由已知条件可知，a ≠b ，有a -b ≠0，所以()2b a -＞0显然成立，由此命题得证． 证明二：(综合法)∵a ≠b ，∴a -b ≠0，∴()2b a -＞0，即2a -2ab +2b ＞0，亦即2a -ab +2b ＞ab . 由题设条件知，a +b ＞0，∴(a +b )( 2a -ab +2b )＞(a +b )ab即3a +3b ＞22ab b a +，由此命题得证．【变式2】ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++ 【证明】要证原式成立，只要证3a b c a b c a b b c +++++=++， 即只要证1c a a b b c+=++ 即只要证2221bc c a ab ab b ac bc+++=+++； 而2A C B +=，所以060B =，由余弦定理得222b a c ac =+-所以222222222221bc c a ab bc c a ab bc c a ab ab b ac bc ab a c ac ac bc ab a c bc+++++++++===+++++-+++++. 类型三：反证法证明例6．【证明】=只需证22≠，即证10≠5≠，即证2125≠，而该式显然成立，≠不成等差数列．=2125≠∵，5≠，10≠∴，即3720+≠，即2≠，∴ ≠∴【总结升华】结论中含有“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适宜应用反证法． 举一反三：【变式1】求证：函数()f x =不是周期函数．【证明】假设()f x =则存在常数T （T≠0）使得对任意x ∈R ，都有成立．上式中含x=0，则有cos01=，2m =π（m ∈z 且m≠0）． ①再令x=T ，则有1=，2n =π（n ∈Z 且n ≠0）． ②②÷①得：32n m =， 这里，m ，n 为非零整数，故n m为有理数，而32无理数，二者不可能相等． 因此3()cos f x x =不是周期函数．【变式2】设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为它的前n 项和．（1）求证：数列{S n }不是等比数列．（2）数列{S n }是等差数列吗？为什么？【解析】（1）证明：假设{S n }是等比数列，则2213S S S =， 即222111(1)(1)a q a a q q +=⋅++．∵a 1≠0，∴(1+q )2=1+q +q 2．即q =0，与等比数列中公比q ≠0矛盾．故{S n }不是等比数列．（2）解：①当q =1时，S n =na 1，n ∈N*，数列{S n }是等差数列．②当q ≠1时，{S n }不是等差数列，下面用反证法证明：假设数列{S n }是等差数列，则S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2=S 1+S 3，∴2a 1(1+q )=a 1+a 1(1+q +q 2)．∵a 1≠0，∴2+2q =1+1+q +q 2，得q =q 2．∵q ≠1，∴q =0，这与等比数列中公比q ≠0矛盾．从而当q ≠1时，{S n }不是等差数列．综上①②可知，当q =1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列．【变式3】已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2a n －3n (n ∈N *)．(1)求证{a n ＋3}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)数列{a n }是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．【解析】 (1) 证明：∵S n ＝2a n －3n (n ∈N *)，∴a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3.又由112323(1)n n n n S a n S a n ++=-⎧⎨=-+⎩得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3， ∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列．∴a n＋3＝6×2n－1，即a n＝3(2n－1)．(2)解：假设数列{a n}中存在三项a r，a s，a t (r<s<t)，它们可以构成等差数列．由(1)知a r<a s<a t，则2a s＝a r＋a t，∴6(2s－1)＝3(2r－1)＋3(2t－1)，即2s＋1＝2r＋2t，∴2s＋1－r＝1＋2t－r(*)∵r、s、t均为正整数且r<s<t，∴(*)左边为偶数而右边为奇数，∴假设不成立，即数列{a n}不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列．例7. 已知a，b，c∈（0，1），求证：(1―a)b，(1―b)c，(1－c)a中至少有一个小于或等于14．【证明】证法一：假设三式同时大于14，即1(1)4a b->，1(1)4b c->，1(1)4c a->，三式相乘，得1 (1)(1)(1)64a ab bc c-⋅-⋅->，又211 (1)24a aa a-+⎛⎫-≤=⎪⎝⎭，同理1(1)4b b-≤，1(1)4c c-≤，以上三式相乘，得1 (1)(1)(1)64a ab bc c-⋅-⋅-≤，这与1(1)(1)(1)64a ab bc c-⋅-⋅->矛盾，故结论得证．证法二：假设三式同时大于14．∵0＜a＜1，∴1－a＞0．∴(1)11(1)242a ba b-+≥->=．同理(1)122b c-+≥，(1)122c a-+≥．三式相加，得33 22 >，∴原命题成立．【总结升华】从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法.比如这类带有“至少有一个”等字样的数学问题.举一反三：【变式】已知,,,0,1a b c R a b c abc ∈++==，求证：,,a b c 中至少有一个大于32. 【证明】假设,,a b c 都小于或等于32， 因为 1abc =，所以,,a b c 三者同为正或一正两负，又因为0a b c ++=，所以,,a b c 三者中有两负一正，不妨设0,0,0a b c ><<，则1,b c a bc a +=-=由均值不等式得()2b c bc -+≥，即12a a ≥， 解得33273482a ≥≥=，与假设矛盾，所以 ,,abc 中至少有一个大于32. 例8．已知：直线a 以及A ∉a ．求证：经过直线a 和点A 有且只有一个平面．【证明】（1）“存在性”，在直线a 上任取两点B 、C ，如图．∵A ∉a ，B ∈a ，C ∈a ，∴A 、B 、C 三点不在同一直线上．∴过A 、B 、C 三点有且只有一个平面α∵B ∈α，C ∈α，∴a ⊂α，即过直线a 和点A 有一个平面α．（2）“唯一性”，假设过直线a 和点A 还有一个平面β．∵A ∉a ，B ∈a ，C ∈a ，∴B ∈β，C ∈β．∴过不共线的三点A 、B 、C 有两个平面α、β，这与公理矛盾．∴假设不成立，即过直线a 和点A 不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．【总结升华】 这里证明“唯一性”时用了反证法．对于“唯一性”问题往往使用反证法进行证明，要注意与“同一法”的区别与联系．举一反三：【变式】求证：两条相交直线有且只有一个交点．【证明】假设结论不成立，即有两种可能：（1）若直线a 、b 无交点，那么a ∥b ，与已知矛盾；（2）若直线a 、b 不止有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A 、B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．。

§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法(一)课时目标 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法.2.理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法证明数学问题．综合法分析法定义利用__________和某些数学______、______、______等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的______，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、______、______、______等)，这种证明方法叫做分析法框图表示 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (P 表示________、已 有的______、______、 ______等，Q 表示 ________________) Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→ P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显成立的条件特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法一、选择题1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值12．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法3．如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( )A ．32B ．23－2C ．1＋ 3D ．2－ 34．要证明a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法5．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是零D ．正、负不能确定二、填空题6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．7．已知a 、b 、u ∈R *，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是__________．8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为__________．三、解答题9．已知a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .10．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).能力提升11．a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值为________．12．已知a >0，b >0，用两种方法证明：a b ＋ba≥a ＋b .1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法(一)答案综合法 分析法定利用已知条件和某些数学定义、定理、从要证明的结论，逐步寻求使它成立的充分条1．D [f (x )＝x －22＋12(x －2)∵x －2≥12，∴f (x )≥2·x －22×12(x －2)＝1.当x ＝3时，f (x )min ＝1.]2．B [从证明的过程来看是从已知条件入手经过推导得到结论，符合综合法．] 3．B [由x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3.∵x >0，y >0，∴x ＋y 的最小值为23－2.] 4．C [要证a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4， 只要证a ＋a ＋7＋2a (a ＋7) <a ＋3＋a ＋4＋2(a ＋3)(a ＋4)， 只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证0<12.由此可知，最合理的是分析法．]5．B [∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0，∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.又abc >0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc<0.]6．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b .7．(－∞，16]解析 ∵a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b ≥10＋2b a ×9a b ＝16，当且仅当b a ＝9ab即3a ＝b 时取等号，若a ＋b ≥u 恒成立，则u ≤16. 8．a >c >b解析 b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c . 而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48 <8－36＝2＝a 2， ∴a >c .9．证明 ∵b 2a ＋a 2b ＝a 3＋b3ab＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)ab，又∵a >0，b >0，∴a 2－ab ＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2－ab ＋b 2≥ab ，∴a 2－ab ＋b 2ab≥1，∴(a ＋b )·a 2－ab ＋b 2ab≥a ＋b .∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 10．证明 ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立． ②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立， 只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2. 即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立． 故原不等式成立，综合①、②知，命题得证． 11．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.若1a －b ＋1b －c ≥n a －c 恒成立， 即a －c a －b ＋a －c b －c≥n 恒成立． a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2b －c a －b ·a －b b －c ＝4.∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号． ∴n 的最大值为4.12．证明 方法一 (综合法)： 因为a >0，b >0，所以a b ＋ba －a －b＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫ba －a ＝a －b b ＋b －aa＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋ba≥a ＋b .方法二(分析法)：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a>0，b>0，a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0成立，所以ab＋ba≥a＋b成立．。

2

2
, b y 2z
2

3
,
c z 2x
2

6
，求证：a, b, c中至少有一个大于 0.
x2 4.已知函数f ( x) a (a 1) x 1 (1)证明：函数f ( x)在(1,)上为增函数；
x
(2)用反证法证明方程 f ( x) 0没有负数根.
•
用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示 要证的结论，则分析综合法可用框图表示为: P1 P1 P2 … Pn P’ Q’ Qm … Q2 Q1 Q1 Q
14
P
15
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
16
练习 已知 a, b, c 是不全相等的正数，求证：
反证法的思维方法：
正难则反
20
用反证法证题的一般步骤是什么？
（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立 。
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 。
反设——归谬——存真
21
1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？ （1）与原命题的条件矛盾；
只需证 ( 3 7 )2 (2 5 )2 只需证
21 5
只需证 21<25
因为 21<25成立,所以 3 7 2 5 成立.
练习.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A 作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线, 垂足为F,求证 AF⊥SC S
F 证明 : 要证 AF ⊥SC 立体几何适用分析法寻找 E 只需证:SC⊥平面AEF 思路，用综合法书写！ 只需证:AE⊥SC A C 只需证:AE⊥平面SBC B 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 因为:SA⊥平面ABC成立 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC 所以. AF⊥SC成立

自主梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件，Q 表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1)①推理论证 成立 (2)①要证明的结论 充分条件2．不成立 矛盾自我检测1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”的假设内容应是( )A.3a ＝3bB.3a <3bC.3a ＝3b 且3a <3bD.3a ＝3b 或3a <3b3．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A ．|a －c |≤|a －b |＋|c －b |B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC.a ＋3－a ＋1<a ＋2－aD ．|a －b |＋1a －b≥2 4．(2010·广东)在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗(a ⊕c )等于( )A ．aB ．bC ．cD ．d5．设x 、y 、z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2。

2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
2.2.2 反证法
2.2.1的证明顺序是怎样的? 2. 什么是分析法? 它的证明顺序是怎样的? 3. 综合法与分析法有什么关系?
从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分 条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件 (已知、定理、定义、公理等). 这种证 明的方法叫做分析法. 用 Q 表示要证明的结论, 则可有框图表示为: QP1 P1P2 P2P3 …
明显成立的条件
例2. 求证 3 + 7 2 5 .
例3. 已知 a , b k + (k Z), 且 sinq+cosq=2sina, 2 sinq · cosq=sin2b. 求证: 1 - tan2 a = 1 - tan2 b . 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 证明: 由 sinq+cosq=2sina, sinq · cosq=sin2b 消去 q 得 4sin2a-2sin2b=1. 1 - tan2 a = 1 - tan2 b , 要证 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 2 2 sin b sin a 1- 2 1- 2 cos b cos a = , 只需证 2 2 1 + sin 2a 2(1 + sin 2 b ) cos a cos b cos2 a - sin2 a = cos2 b - sin2 b , 即证 cos2 a + sin2 a 2(cos2 b + sin2 b )
3. 已知 tana+sina=a, tana-sina=b, 求证 (a2-b2)2=16ab. 证明: 解关于 tana 和 sina 的方程组 tana + sina = a, tana - sina = b. 得 tana = a + b , sina = a - b . 2 2 又由 tana = sina 得 cosa = a - b . cosa a+b 因为 sin2a+cos2a=1, 所以得 ( a - b )2 + ( a - b )2 = 1, 2 a+b 整理得 (a2-b2)2=16ab.

教
学
过
程
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易
寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常
常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命
题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是
错误的．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．
①1
a＜
1
b；②a＋
1
b＞b＋
1
a；③b＋
1
a＞a＋
1
b；④
b
a＜
b＋1
a＋1
.
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．
3．(2014·上海模拟)“a＝1
4”是“对任意正数x，均有x＋
a
x≥1”的
________条件．教学效果分析。

直接证明与间接证明1． 直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)． (2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件. 2． 间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． [难点正本 疑点清源]1． 综合法证明问题是由因导果，分析法证明问题是执果索因．2． 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用． 基础题1． 要证明“3＋7<25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________．(填序号)①反证法，②分析法，③综合法．2． 下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab≥2成立的条件的个数是________． 3． 已知函数f (x )＝lg1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝______(用b 表示)．4． 下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5． 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60° 题型分类题型一 综合法的应用例1 已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．思维启迪：利用a 2＋b 2≥2ab ，1a 2＋1b 2≥2ab ，再利用ab ＋1ab ≥2，根据这个解题思路去解答本题即可．已知a 、b 、c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2≤6. 题型二 分析法的应用例2 已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .思维启迪：本题若使用综合法，不易寻求证题思路．可考虑使用分析法．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.题型三 反证法的应用例3 已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0， x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数根．思维启迪：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三个方程都没有实数根”．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．随堂练A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2<bc 2B ．a 2>ab >b 2 C.1a <1bD.b a >a b2． 设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ≤b3． 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<04． 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是__________．6． 用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是_____． 7． 设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线． 三、解答题(共22分)8． (10分)已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.9． (12分)已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋12． 设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－23． 已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论： (1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题(每小题5分，共15分)4． 关于x 的方程ax ＋a －1＝0在区间(0,1)内有实根，则实数a 的取值范围是__________． 5． 若a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么当n >2，n ∈N *时，a n ＋b n 与c n 的大小关系为____________．6． 凸函数的性质定理为如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上 是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________． 三、解答题7． (13分)已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1.(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围； (2)设m ，n ∈R ＋，且m >n ，求证：m －n ln m －ln n <m ＋n 2.。

x1＋x2 x1＋x2 1 1 证明要证 [f(x1)＋f(x2)]>f ，即证明2(tan x1＋tan x2)>tan 2 ， 2 2
x1＋x2 1 sin x1 sin x2 >tan 只需证明 cos x ＋cos x ， 2 2 1 2 sinx1＋x2 sinx1＋x2 只需证明 > . 2cos x1cos x2 1＋cosx1＋x2
b S,
b a c, 即证 因为,在三角形中,b<a+c 显然成立,
所以原不等式成立.
2.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列.
求证: B 90.
证明： 2 1 1 , 2ac b(a c ).
b a
c a 2 c 2 b2 2ac b2 cos B ≥ 2ac 2ac
直接证明与间接证明
要点梳理
1．直接证明 (1)综合法
忆一忆知识要点
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成 立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．
综合法
2 7 在 x∈(a，＋∞)上恒 例 1.(1)已知关于 x 的不等式 2x＋ x－a 成立，求实数 a 的取值范围； (2)已知|x|<1，|y|<1，求证：|1－xy|>|x－y|.
2 2 3 7，∴2(x－a)＋ 7－2a⇒7－2a 4，∴a 2 (1)∵2x＋ x－a x－a (2)因为|1－xy|2－|x－y|2＝(xy)2＋1－x2－y2＝(x2－1)(y2－1)>0 所以|1－xy|>|x－y|

分析法 又叫逆推证法或执果索 . , 因法
用Q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示 : , 为
Q P1
P1 P2
P2 P3

得到一个明显 成立的条件
例 2 如图 2.2 1 所示 , SA 平面ABC, AB BC, 过A作SB 的垂线, 垂足为E , 过E作SC的 垂线, 垂足为F.求证 AF SC.
a,b, c成等比数列转化为符号语言就是 ac. , b 此时,如果能把角和边统一起 ,那么就可以进一 来 步寻找角和边之间的关 , 进而判断三角形的形 系 状, 余弦定理正好满足要求 .于是,可以用余弦定理 为工具进行证明 .
2
证明 由A,B, C成等差数列有2B A C. , 因为A,B, C为ΔABC的内角 所以A B C π. , π 由 ① ②, 得B . 3 2 由a,b, c成等比数列有b ac. ,


1 即证 cos α sin α cos2 β sin2 β , 2 1 2 即证1 2 sin α 1 2 sin2 β , 2 即证4 sin2 α 2 sin2 β 1.
2 2




由于上式与③ 相同,于是问题得证.
用P表示已知条件定义、定 理、公理 等 , 用Q 表示要证明的结论 则上述过 , 程可用框图表示为:
π 例3 已知α, β kπ k Z , 且 2 sin θ cos θ 2 sin α , ① sin θ cos θ sin β ,
2 2 2
②
1 tan α 1 tan β 求证 : . 2 2 1 tan α 2 1 tan β

1.“a＜b”的反面应是（ D ）
A.a≠b或a＞b
C.a=b
B.a ＞b
D.a=b或a＞b
2.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时,
应假设 三角形中有两个或三个角是直角 ____________ .
3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的 反设为（ D ） A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）
反证法是制造矛盾的专家。
四、例题选讲
例1.求证:在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°
分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手 证明：假设三角开有三个内角∠A 、∠B 、∠C都小于60° 则有∠A+∠B+∠C ＜180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾。 所以假设不成立， 所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角 不小于60°
∠C=90°,所以∠A+∠B+∠C ＞180°, 这与三角形内角和等于180°相矛盾. 所以假设不成立,∠B一定是锐角.
六.课堂小结
1、基本概念： ①间接证明； ②反证法 2、反证法的证明步骤： ①与已知条件矛盾； ⑴否定结论 ⑵推出矛盾—— ②与假设矛盾。 ③与已有公理、定理、定义矛盾。 ⑶肯定结论， 3、常见适用反证法的命题： （1）直接证明有困难 （2）唯一性命题 （3）否定性命题 （4）至多，至少型命题
二、引入思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎,
则C真. 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.

2．2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法1．问题导航(1)什么是综合法，什么是分析法？两种证明方法的特点是什么？(2)综合法的推理过程是什么？(3)综合法与分析法有什么区别和联系？2．例题导读通过P85例1的学习，应学会利用综合法证明数学问题的思路和方法及推理步骤．通过P87例2和P88例3的学习，学会分析法证明数学问题的思路、方法和推理模式．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．()(2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．()(3)分析法就是从结论推向已知．()(4)所有证明的数学问题均可使用分析法证明．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．综合法是()A．执果索因的逆推证法B．由因导果的顺推证法C．因果分别互推的两头凑法D．原命题的证明方法答案：B3．要证明a＋a＋7<a＋3＋a＋4(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法答案：C4．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用已知条件和导数与函数单调性的关系证得了结论，应用了综合法的证明方法．答案：综合法1．综合法是一种直接证明的方法，是由已知推出正确结论的推理过程．它的基本思路是“由因导果”，由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后推出待证的问题．其逐步推理，实际上是寻找“已知”的必要条件，综合法又叫顺推证法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法．2．分析法是数学中常用的一种直接证明方法．它是从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理，简单地说，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件．分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”．3．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，是解决数学问题的常用的思维方法．一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．4综合法(1)在锐角三角形中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .[证明] ∵在锐角三角形中，A ＋B >π2，∴A >π2－B .∴0<π2－B <A <π2，又∵在⎝⎛⎭⎫0，π2内正弦函数是单调递增函数，∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ，即sin A >cos B ．① 同理sin B >cos C ，② sin C >cos A ．③由①＋②＋③，得sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . (2)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，PB 与平面ABC 成30°角．求证：①CM ∥平面P AD ； ②平面P AB ⊥平面P AD .[证明] ①以C 为原点，以CD 、CB 、CP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．由∠PBC ＝30°，|PC |＝2，得|BC |＝23，|PB |＝4，不难得到D (1，0，0)，B (0，23，0)，A (4，23，0)，P (0，0，2)，M ⎝⎛⎭⎫0，32，32.设CM →＝xDP →＋yDA →，则x ＝34，y ＝14.∴CM →，DP →，DA →共面．∵CM ⊄平面 P AD ，∴CM ∥平面P AD . ②作BE ⊥P A 于点E (图略)，∴E (2，3，1)，BE →＝(2，－3，1)． ∴BE →·DA →＝0，∴BE ⊥DA .又∵BE ⊥P A ，∴BE ⊥平面P AD ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .利用综合法证明数学问题的三个步骤分析条件选择方向―→仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法↓转化条件组织过程―→把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路↓适当调整回顾反思―→解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取1．(1)求证：当x ∈R 时，x 2>3x －3. 证明：∵x 2－(3x －3)＝x 2－3x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34，又∵x ∈R ，∴⎝⎛⎭⎫x －322≥0，∴⎝⎛⎭⎫x －322＋34>0，即x 2－(3x －3)>0， ∴x 2>3x －3.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)．其中m 为常数，且m ≠－3.①求证：{a n }是等比数列；②若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N ，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列． 证明：①由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3. 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，∴{a n }是等比数列． ②∵(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， ∴(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3， ∴a 1＝1.b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3，∴当n ∈N 且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3，∴b n b n －1＋3b n ＝3b n －1， ∴1b n －1b n －1＝13. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1，公差为13的等差数列．分析法若a >0，求证：a ＋a ＋3<a ＋1＋a ＋2. [证明] 要证a ＋a ＋3<a ＋1＋a ＋2， 只需证(a ＋a ＋3)2<(a ＋1＋a ＋2)2， 即证2a ＋3＋2a （a ＋3）<2a ＋3＋2（a ＋1）（a ＋2），只需证2a （a ＋3）<2（a ＋1）（a ＋2）， 只需证a （a ＋3）<（a ＋1）（a ＋2）， 只需证a 2＋3a <a 2＋3a ＋2， 只需证0<2，因为0<2显然成立，所以a ＋a ＋3<a ＋1＋a ＋2成立．分析法证明数学问题的范围、方法、技巧2．(1)已知α，β均为锐角，且α＋β≠π2，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，求证：α＋β＝π4.证明：要证α＋β＝π4，由于α，β均为锐角，所以只需证tan(α＋β)＝1，即证tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，只需证tan α＋tan β＋tan αtan β＝1， ∵(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，∴tan α＋tan β＋tan α·tan β＝1成立，∴α＋β＝π4得证．(2)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证明：要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，只需证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是证c a ＋b ＋a b ＋c ＝1.只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 需证b 2＝c 2＋a 2－2ac ·cos 60°，需证B ＝60°. ∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法与分析法的综合应用设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．[证明] 法一：要证f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数，只需证明其图象的对称轴为y 轴， 即只需证－b 2a －12＝0，只需证a ＝－b .由已知，得抛物线f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与抛物线f (x )的对称轴x ＝－b2a关于y 轴对称，∴－b2a－1＝－⎝⎛⎭⎫－b 2a . 于是得a ＝－b .∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数． 法二：记F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 欲证F (x )为偶函数，只需证F (－x )＝F (x )，即只需证f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 由已知，函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，而函数f (x )与f (－x )的图象也是关于y 轴对称的，∴f (－x )＝f (x ＋1)．∴f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝f ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．一方面从问题的已知条件出发，经逻辑推演导出中途结果，另一方面从问题的结论出发，回溯到中途，即导出同一个中途结果，从而沟通思路使问题得到解决．3．(1)若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .因为a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ca >0，且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .因此lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .(2)在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．证明：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，∴x ＝b 2c ，y ＝c 2b，即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥（b ＋1）（c ＋1）成立．只需证a ＋1≥（b ＋1）＋（c ＋1）2即可．也就是证2a ≥b ＋c .而2a ＝b 2c ＋c 2b，则只需证b 2c ＋c2b ≥b ＋c 成立即可，即证b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)≥(b ＋c )bc ， 即证b 2＋c 2－bc ≥bc ， 即证(b －c )2≥0成立， 上式显然成立，∴(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．(本题满分12分)如图，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：(1)平面BDO ⊥平面ACO ； (2)EF ∥平面OCD .[证明] (1)因为OA ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以OA ⊥BD .2分因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ， 又OA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACO .4分又因为BD ⊂平面BDO ，所以平面BDO ⊥平面ACO .6分(2)取OD 的中点M ，连接EM ，CM ，则ME ∥AD ，ME ＝12AD .7分因为ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ， 因为F 为BC 的中点，8分所以CF ∥AD ，CF ＝12AD ，所以ME ∥CF ，ME ＝CF ， 10分所以四边形EFCM 是平行四边形，所以EF ∥MC . 又因为EF ⊄平面OCD ，MC ⊂平面OCD . 所以EF ∥平面OCD .12分 [规范与警示](1)在 处易忽略“菱形”这一条件的运用导致无法证明面面垂直．在 处往往不能正确的构造出平行四边形导致无法得到线线平行，最后导致第(2)问结论无法证出．(2)几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理，注意各个定理的应用格式，掌握常见的辅助线的作法，寻找好定理所需的条件，如本例中构造平行四边形说明线线平行．同时证明时要注意应用题中的条件，注意隐含条件的挖掘，如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深则会导致题目无法证明．1．关于综合法和分析法的说法错误的是( )A ．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B ．综合法又叫顺推证法或由因导果法C ．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D ．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：选C.由综合法、分析法的定义可知，C 错误． 2．在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定解析：选A.∵tan A ·tan B >1，∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 为锐角，又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0，∴A ＋B >π2，∴C <π2，∴△ABC 是锐角三角形，故选A.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)和(1，1)，若0<c <1，则实数a 的取值范围是________．解析：将x ＝－1，y ＝3和x ＝1，y ＝1代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝a －b ＋c ，1＝a ＋b ＋c ，∴b ＝－1，∴a ＋c ＝2，又∵0<c <1，∴0<2－a <1，∴1<a <2.答案：(1，2)4．设a >0，b >0，证明a ＋b2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 即证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，上式显然成立，故a ＋b2≥ab 成立．[A.基础达标]1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．类比法解析：选B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．2．欲证2－3＜6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2＜(6－7)2 B ．(2－6)2＜(3－7)2 C ．(2＋7)2＜(6＋3)2 D ．(2－3－6)2＜(－7)2解析：选C.A 中，2－3<0，6－7<0，平方后不等价；B 、D 与A 情况一样；只有C 项，2－3<6－7⇔2＋7<6＋3⇔(2＋7)2<(3＋6)2.3．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0，1]，则b －a 的最小值为( ) A ．2 B ．1 C.13 D.23解析：选D.由函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0，1]，则a ＝13，1≤b ≤3；或13≤a ≤1，b ＝3，故b －a 的最小值为23，故选D.4．已知a ，b ，c 为三条不同的直线，且a ⊂平面M ，b ⊂平面N ，M ∩N ＝c .有下列命题：①若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直；②若a ∥b ，则必有a ∥c ；③若a ⊥b ，a ⊥c ，则必有平面M ⊥平面N .其中正确的是( )A ．①B ．②C ．③D ．②③解析：选B.由线线平行、线线垂直的判定和性质，可知只有②正确．5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：选A.∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab . ∴2aba ＋b ≤1， ∴2ab a ＋b≤ab . 又∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，故选A. 6．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到A 为钝角的结论，对三边a ，b ，c 应满足的条件是a 2________b 2＋c 2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．答案：>7．若抛物线y ＝4x 2上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，则点P 的坐标为________．解析：设点P 在直线y ＝4x ＋m 上，将y ＝4x ＋m 代入y ＝4x 2，得4x 2－4x －m ＝0，令Δ＝0，得m ＝－1.∴4x 2－4x ＋1＝0，∴x ＝12，y ＝1.答案：⎝⎛⎭⎫12，18．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的表面上与点A 距离为233的点集形成一条曲线，这条曲线的长度为________．解析：这条曲线在面ADD 1A 1上的一段是以A 为圆心，233为半径，π6为圆心角的一段圆弧，在面A 1B 1C 1D 1上的一段是以A 1为圆心，33为半径，π2为圆心角的一段圆弧，由正方体的对称性知，这条曲线的长度为：3(π6·233＋π2·33)＝536π.答案：536π9．△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：B <π2.证明：由条件得2b ＝1a ＋1c，即b ＝2ac a ＋c.又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴cos B ＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫2ac a ＋c22ac＝（a 2＋c 2）（a ＋c ）2－4a 2c 22ac （a ＋c ）2.∵a ，b ，c 均为正数， ∴a 2＋c 2≥2ac ， ∴(a ＋c )2≥4ac ，∴(a 2＋c 2)(a ＋c )2－4a 2c 2 ≥2ac ·4ac －4a 2c 2 ＝4a 2c 2>0，即cos B >0，又∵0<B <π，∴B <π2.10．已知x >0，y >0，求证：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.证明：要证明(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6，即证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3.∵x >0，y >0，∴x 2y 2>0，即证3x 2＋3y 2>2xy ， ∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立，故(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[B.能力提升]1．若2m＋4n<22，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y ＝1的右上方 B ．直线x ＋y ＝1的左下方 C ．直线x ＋2y ＝1的右上方 D ．直线x ＋2y ＝1的左下方解析：选D.由均值不等式得2m ＋4n ≥22m 4n ＝22m ＋2n ，∴22m ＋2n <22，∴m ＋2n <1，故选D.2．过x 2＋y 2＝10x 内一点(5，3)有n 条弦，它们的长度构成等差数列，最小弦长为数列首项a 1，最大弦长为数列的末项a n ，若公差d ∈⎣⎡⎦⎤13，12，则n 的取值范围是( )A ．{4}B ．[5，7]C ．(7，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B.A (5，3)，圆心O (5，0)，最短弦为垂直OA 的弦，∴a 1＝8，最长弦为直径，∴a n ＝10，公差d ＝2n －1，∴13≤2n －1≤12，∴5≤n ≤7.3．函数y ＝a 1－x (a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m ·n >0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析：由函数y ＝a 1－x (a >0且a ≠1)恒过定点A (1，1)， 点A 在直线mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1. 又m ·n >0， ∴m >0，n >0. 1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·m n ＝2＋2＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)．答案：44．设a >b >0，m >0，用分析法证明b a <b ＋ma ＋m成立的充分条件是________．解析：∵a >b >0，m >0.要证b a <b ＋m a ＋m成立，只需证ba ·a (a ＋m )<b ＋m a ＋m·a (a ＋m )成立即可．即证ab ＋bm <ab ＋am 成立， 只需证bm <am 成立，即证(b －a )m <0成立即可， 由已知可知上式显然成立． 答案：(b －a )m <05．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点任作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：AB 过x 轴上的一个定点．证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OA ⊥OB ，∴y 1y 2x 1x 2＝－1， ∴y 21y 22＝x 21x 22，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴4p 2x 1x 2＝(x 1x 2)2，∴x 1x 2＝4p 2.设直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)，设直线AB 的方程为y －y 1＝k (x －x 1)(k ≠0)，且k 存在．令y ＝0，得x ＝－y 1k＋x 1， 由y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减，得y 22－y 21＝2p (x 2－x 1)，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 2＋y 1， ∴x ＝－y 1k ＋x 1＝－y 1（y 1＋y 2）2p＋x 1 ＝－y 21－y 1y 2＋2px 12p ＝－y 1y 22p， 又y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 2＝x 1x 2，∴x 1x 2＝m 2，∴m 2＝4p 2，m ＝2p .即AB 过x 轴上一定点为(2p ，0)．经检验，当AB 斜率不存在时，m ＝2p 也适合，故AB 过x 轴上的一个定点．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，n ∈N *，其中A 、B 为常数．(1)求A 与B 的值；(2)证明数列{a n }为等差数列；(3)证明不等式5a mn －a m a n >1对任何正整数m ，n 都成立．解：(1)由已知得S 1＝a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝7，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝18.由(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3S 2－7S 1＝A ＋B ，2S 3－12S 2＝2A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝－28，2A ＋B ＝－48， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－20，B ＝－8.(2)证明：由(1)得(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝－20n －8.①∴(5n －3)S n ＋2－(5n ＋7)S n ＋1＝－20n －28.②②－①，得(5n －3)S n ＋2－(10n －1)S n ＋1＋(5n ＋2)S n ＝－20.③∴(5n ＋2)S n ＋3－(10n ＋9)S n ＋2＋(5n ＋7)S n ＋1＝－20.④④－③，得(5n ＋2)S n ＋3－(15n ＋6)S n ＋2＋(15n ＋6)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝0. ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴(5n ＋2)a n ＋3－(10n ＋4)a n ＋2＋(5n ＋2)a n ＋1＝0.∵5n ＋2≠0，∴a n ＋3－2a n ＋2＋a n ＋1＝0.∴a n ＋3－a n ＋2＝a n ＋2－a n ＋1，n ∈N *.又a 3－a 2＝a 2－a 1＝5，∴数列{a n }为等差数列．(3)证明：由(2)可知，a n ＝1＋5(n －1)＝5n －4，要证5a mn－a m a n>1，只需证5a mn>1＋a m a n＋2a m a n，∵a mn＝5mn－4，a m a n＝(5m－4)(5n－4)＝25mn－20(m＋n)＋16，∴只需证5(5mn－4)>1＋25mn－20(m＋n)＋16＋2a m a n，即证20m＋20n－37>2a m a n.∵2a m a n≤a m＋a n＝5m＋5n－8<5m＋5n－8＋(15m＋15n－29)＝20m＋20n－37.∴5a mn－a m a n>1.。

1.综合法:(顺推证法)(由因导果法)
从已知条件和某些数学定义,定理,公理等出发,经过一系列推理 论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.
例:已知a,b 0,求证:a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) 4abc
证明: b2 c2 2bc, a 0 a(b2 c2 ) 2abc.
( a b)2 0
此式显然成立,因此原不等式立. 用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:
Q P1 P1 P2 P2 P3
…
得到一个明显 成立的条件
S
E A
F C
B
同理, b(c2 a2 ) 2abc. a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) 4abc.
用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表 示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
… QБайду номын сангаас Q
例3 ABC中,三个内角A,B.C对应的边分别为a,b,c. 且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,
从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充 分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公 理等).这种证明的方法叫做分析法.
例如: 证明不等式:a b ab. 2
证明: 要证 a b ab, 2
只需证
只需证 只需证
a b 2 ab
a+b-2 ab 0
求证 ABC为等边三角形. 分析:由A,B,C成等差数列可得什么?A C 2B B 600(为什么?)
由a,b,c成等比数列可得什么? b2 ac
怎样把边,角联系起来?
余弦定理 : b2 a2 c2 2ac cos B

2.2
直接证明与间接证明
2.2.2
反证法
问题提出
1.综合法和分析法的基本含义分别 是什么？ 综合法：利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理、性质、法则等，经过一系 列的推理论证，最后推导出所证结论成 立. 分析法：从所证结论出发，逐步寻求使 它成立的充分条件，直到归结为判定一 个显然成立的条件（已知条件、定义、 公理、定理、性质、法则等）为止.
2
2
2
9 4
例4 求证：面积为1的三角形不能被 面积小于2的平行四边形所覆盖.
D P
E N F B
C
K
M
A
流程:
P Þ Q1 Q1 Þ Q 2 Q 2 Þ Q 3
„
Qn Þ Q
2.分析的基本含义和思维流程分别 是什么？
含义:从所证结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直到归结为判定一个显 然成立的条件（已知条件、定义、公理、 定理、性质、法则等）为止. 流程: Q Ü P1 P1 Ü P2 P2 Ü P3 …
大前提：已知的一般原理； 小前提：所研究的特殊情况；
结 论：根据一般原理，对特殊情况做 出判断.
3.合情推理所得结论的正确性是需要 证明的，演绎推理的实施也需要具体的 操作方法，因此，从理论上获取证明数 学命题的基本方法，是我们需要进一步 学习的内容.
探究（一）：综合法
思考1：对于不等式
a(b + c ) + b(c + a )
2.2
2.2.1
直接证明与间接证明
综合法和分析法
问题提出
1 5730 p 2
t
1.合情推理的主要作用和思维过程是 什么？
作用：提出猜想，发现结论； 过程：从具体问题出发→观察、分析、 比较、联想→归纳、类比→提出猜想.

2、你认为反证法的使用情形有那些？
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题； （4）否定性或肯定性命题。
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语
否定
等于 不等于
大于（>） 小于 (<) 是
小于或 大于或 等于（≤） 等于（≥） 不是
都是 不都是
Байду номын сангаас 理论
把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法， 同一法也是一种间接证法.
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，
结论不成立）经，过正确的推理，
最后得出矛盾。
因此说明假设错误，从而证这明样了的原证命明题方成法立叫，做反证
法。
•反证法的证明过程：
例3 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是 方程的两个根.
则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0
正面 至多有 至少有 任意的 所有的 至多有n 任意
词语 一个 一个
个 两个
至少有 一个也 否定 两个 没有
某个
某些 至少有n 某两个 ＋1个
当∠B是_直__角__时，则___∠__B__+__∠__C__= 180°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+___∠_C__＞__1_8_ 0°