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高等数学§2-3隐函数及由参数方程2

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2-3隐函数和参数方程的导数

2-3隐函数和参数方程的导数

《微积分 A》习题解答
(2) ⎨
⎧ x = θ (1 − sin θ ) ⎩ y = θ cos θ
解：
′ = 1 − sin θ − θ cos θ xθ ， ′ = cos θ − θ sin θ yθ
故
′ dy yθ cos θ − θ sin θ = = ′ 1 − sin θ − θ cos θ dx xθ
解： ln y = 4 ln( 3 − x ) +
1 ln( x + 2) − 5 ln( x + 1) ，两端同时对 x 求导： 2
y′ 4 1 5 (3 − x )4 x + 2 ⎛ 4 1 5 ⎞ ′ ⎜ ⎟ ，所以 y = = + − + − 5 ⎜ ⎟ y x − 3 2( x + 2) x + 1 ( x + 1) ⎝ x − 3 2( x + 2) x + 1 ⎠
由题意知
dr = 6m / s ， r ( 2) = 12 ， dt dr ds ds = 2π r ⋅ ，故 dt dt dt
s = π r2
两端对 t 求导得
= 2π r ⋅
t =2
dr = 144π ( m 2 / s ) dt
13. 一架巡逻直升机在距地面 3km 的高度以 120km / h 的常速沿着一水平笔直的高速路飞 行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为 5km ，且此 距离以 160km / h 的速率减少。试求汽车行驶的速度. 解：由图示建立坐标系，设时刻 t 直升机位于点 ( x1 ( t ), 3) 处，汽车位于点 ( x 2 ( t ), 0) 处， 直升机与汽车间的距离为 l ( t ) ，则有 l = ( x 2 − x 1 ) + 3 ，且已知

2-3 隐函数及参数方程及高阶导数_图文.ppt

2-3 隐函数及参数方程及高阶导数_图文.ppt
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数计算，是微积分中的重要内容。对于隐函数，我们可以通过对方程两边同时求导次进行求导，注意此时要运用复合函数的求导法则。对于由参数方程所确定的函数，其一阶导数可以通过参数方程中各变量对参数的导数关系求得。而二阶导数则需要在一阶导数的基础上，进一步对参数求导，并结合链式法则进行计算。掌握这些方法和步骤，能够有效解决隐函数及参数方程相关的高阶导数问题，提升微积分学习的效果和应用能力。

2-3隐函数及参数方程确定的函数求导

2-3隐函数及参数方程确定的函数求导

练习题答案
4 一 、 1、 ,； 3
2、 x + 11 y − 23 = 0 2、
2 2 e x+ y − y sin t + cos t 4、 , − 2 − 3 ； 5、 5、 4、 . x+ y cos t − sin t x−e
3、 3、
π
x− y+
π
= 0；
四、小结
隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 参数方程求导: 参数方程求导 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解. 求导法求解.
练 习 题
填空： 填空： 1、 设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 dy y 是 x 的函数，则 的函数， =________ dx (1,1) 在点（ 曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点 （ 1 ， 2 ） 处的切线方程是 ___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 2、 曲线 在 t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 3、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t = π y = e sin t 3 dy 4、 设 xy = e x + y ,则 =________. dx
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt

2-3隐函数和由参数方程所确定的函数的导数

2-3隐函数和由参数方程所确定的函数的导数


f ( x ) y (ln f ( x ) ) f ( x)
( f ( x ) 0)
2) 多个函数的乘积、商、 方根的导数 : f1 ( x ) f n ( x ) yk g1 ( x ) gm ( x )
u ( x 1)( x 2) 例6 设 y ，求 y. ( ln u ) u ( x 3)( x 4) 1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 y 1 1 1 1 1 两边对 x 求导： y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
y (t )都可导, 且 ( t ) 0, 则由参数方程所
y [ 1 ( x )] 可导， 且 确定的函数
d y d y d t d y 1 ( t ) . d x d t d x d t d x ( t ) dt
例7 一个半径为a的圆在定直线上滚动时,圆周上任一
2
3 x x 2x ln x 3 2 1 2 ln x 3( 2 x ) 3( 2 x ) x (2 x )

备用题
例3-1 求由方程x sin x y e x y所确定的
dy 隐函数y在点x 0处的导数 d x x 0. 解 方程两边对x求导： d sin( x y ) dy x sin x y x e , dx dx d( x y ) d dy x sin x y x cos( x y ) (1 ) e , ddx x dx
d y sin x y x cos x y e x 于是 . dx 1 x cos x y
d y sin x y x cos x y e x dx 1 x cos x y

高等数学2-3高阶导数隐函数求导讲解

高等数学2-3高阶导数隐函数求导讲解

x

2

2
)

sin(
x

3

) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
( 1)( n 1)xn ( n)
2
4
即
求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, y是x的函数, 于是y的函数便是x的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 y 的方程. 从中解出即可.
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来 了,当然结果中仍含有变量y. 一般来说,隐函数
求导, 允许在 y的表达式中含有变量y.
练习 设sin y xe y 0, 求 dy . dx
解 利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得
cos y y 1 e y x e y y 0
解出 y, 得
y

ey cos y
xey
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
方 法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
若 n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
( 1)( n 1)xn ( n)
( x )(n)


n!
( n)
0
( n)
例如： ( x5 )(6) 0
( x3 6 x2 5 x 1)(3) 3! 6

三节隐函数和参数方程

三节隐函数和参数方程

-1
0.5
1
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法
极坐标方程求导
4. 用Mathematica求两种函数的导数。
课后练习
P54
3．利用M athematica求由下列方程所确定的各
隐函数
y
y(x)
的导数
ey 故 y ' 1 xe y
注：求导后得到一个关于 x 的方程，解此方程则得
y 的' 表达式，在此表达式中允许含有 y 。
例2 求曲线 y3 x3 2xy上点 (1 , 1 ) 处的切线方程。
解 方程两端对 x 求导数，得
3y2y'3x22y2xy'
解出 y ' ，得 2y3x2
y' 3y22x
dy 。
dx
解 方程两边求导，得
从求导结果中解出隐函数的导数：
或者将两个步骤合并为
注意 在
中
一样的，都表示函数
意义是 的一阶导数。
例4 求方程 导数。
解
所确定的隐函数的
即
说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
dt
dx dy
(t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
例5 已知圆的参数方程为
求
解 d yd y/d x(asint)'aco stco st d x d t d t (aco st)' asint

高等数学：第三节 隐函数、参数方程

高等数学：第三节 隐函数、参数方程
5
例3（课本P.90 例4）
设 xy ln x 1确定了函数x x( y). 试证：函数x( y)满足关系式 x2 ( xy 1) dx 0. dy
小结：隐函数求导步骤
6
二、对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
10
u( x)v(x) (u( x) 0)导数的求法二：
u( x)v( x)＝ev(x)lnu(x) (u( x)v( x))'=(ev( x)lnu( x) )'
＝ev( x)lnu( x)[v' ln u v 1 u']
＝uv[v' ln u vu' ].
u
u
11
练习：求下列函数的导数
(1) y aax a xa xaa; (2) y a xx xax x xa ; (3) y x xx .
解. (1) y aax lna ax lna axa lna axa1 aa xaa 1
aax x ln2 a a xa 1 xa1 ln a aa xaa 1 .
ln f ( x) v( x) ln u( x)
两边同时对x求导得
f ( x) v( x)ln u( x)

北京理工大学工科数学分析2-3隐函数和参数方程求导法

北京理工大学工科数学分析2-3隐函数和参数方程求导法
Oct.19 Wed.
Review
❖ 导数四则运算
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
❖ 反函数求导
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
❖ 复合函数求导
设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的 导数为dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
dx du dx
或 f x fu ux
❖ 高阶导数
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
3 75 25 因此水桶的水平上升速率为16/25(cm/s).
Hw: p110 1(双),2(4,5),3,6,7(2,4,10),8(2,8,9),10,12, 16,17. p119 6(2,4,6),7(2,4),8,11,12.
小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解.
x1(t )( y y1(t )) y1(t )( x x1(t ))
令 y 0,得到切线与 x 轴交点的坐标为:
x0
x(t) y(t) x(t) y(t) y(t )
x1(t )
dx dy
y1(t )
x(t) a cos2 t , sin t

高等数学课件24隐函数

高等数学课件24隐函数

隐函数是曲面的局部表示
隐函数在曲面上的应用，如求 曲面的交点、求曲面的切线等
隐函数与等值线的几何意义
隐函数：通过方程F(x,y)=0定义的函数 等值线：满足F(x,y)=c的曲线 几何意义：隐函数描述了等值线的形状和位置
应用：在物理、工程等领域中，隐函数与等值线常用于描述物理量、工程参数的变化规律和分布情况
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导法则：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
应用范围：参数方程 法适用于求解含有参 数或参数的函数，如 圆锥曲线、旋转体等
注意事项：在求解过 程中，需要注意参数 的取值范围，避免出 现错误或遗漏
反表示法
反表示法是一种求解隐函数的方法 反表示法通过将隐函数转化为显函数，然后求解显函数 反表示法适用于求解具有简单形式的隐函数 反表示法可以应用于求解一元隐函数和多元隐函数
隐函数在微积分中的应用
隐函数求导：通过隐函数求导公式，求解隐函数的导数 隐函数积分：通过隐函数积分公式，求解隐函数的积分 隐函数极值：通过隐函数极值公式，求解隐函数的极值 隐函数方程：通过隐函数方程，求解隐函数的解
隐函数在解决实际问题中的应用
物理问题：如力学、热力学、 电磁学等
工程问题：如结构力学、流体 力学、控制理论等
隐函数的性质
隐函数存在定理：如果f(x,y)=0，且f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则存在一个开区间(x0δ,x0+δ)，使得在(x0-δ,x0+δ)内，f(x,y)的零点y=φ(x)是连续可微的。

2-3隐函数与参数方程求导法

2-3隐函数与参数方程求导法

(t )中, (t)
设函数x = (t)具有单调连续的反函数 t = (-1 x),
y = [ -1( x)]
再设函数 x = (t), y = (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
=
dy dt
dt dx
=
dy dt
1 dx
=
(t) (t)
即
dy dx
dt dy 之间也存在一定关系, 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率.
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解决相关变化率问题,可采用如下步骤: (1) 建立x, y之间的关系式F ( x, y) = 0; (2) 用链式法则将关系式两端对t求导， 得x(t )与y(t )之间的关系式； (3) 从中解出所要求的变化率.
1
,
y = x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
适用于:
(1)幂指函数 u( x)v( x)的情形. (2)由多个函数相乘除的情形.
例5 设 y = ( x + 1)3 x - 1 , 求y. ( x + 4)2 e x
解 等式两边取对数得
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 + 3 y2 y = 3 y + 3xy
y (3,3) 22
=
y - x2 y2 - x
= -1.
33 (,)
22
所求切线方程为 y - 3 = -( x - 3) 即 x + y - 3 = 0.
2

隐函数与参数方程的导数(2)

隐函数与参数方程的导数(2)

2021/4/22
2
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铃
把一个 隐函数 化为 显函数 , 称为 隐函数的显化
例如由方程 4x y3 1所确定的隐函数，可 由方程 解出y ，得显函数 y 3 4x 1.
注意: 并不是所有的隐函数都可化为显函数. 如 方程 xy ex ey 0 所确定的隐函数就不能显化。
§3.2.5隐函数及由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数求导法 二、由参数方程所确定的函数的导数
2021/4/22
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1铃
一、隐函数的导数
❖显函数与隐函数
(1) 显函数: 我们把函数y可由自变量x的解析式 y f ( x)来表示的这种函数,称为显函数.
例如 ysin x yln xex 都是显函数
例1 求yx sin x (x>0)的导数 解法一 两边取对数 得
ln ysin xln x 上式两边对x 求导 得
1 y
y
cos
xln
x sin
x
1 x
y xsinx(cos xln x sin x) x
解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.
yx sin xe sin x·ln x
ln y ln(x 1) 2 ln( 3x 1) 1 ln( x 2)
3
3
上式两边对 x求导 :
1 y
y
x
1
1
2 3
31 3x
1
1 3
x
1
2
y
(x
1)
3
(3x
1)2 ( x
2)
x

2-3隐函数和参数式函数的求导法 共38页

2-3隐函数和参数式函数的求导法 共38页

dy
dy dxdy dt来自dt dx
dy dt

1 dx


(t ) (t )
即
dy dx

dt dx
dt
dt
例
求摆线

x y

a(t a(1

sin t) cos t)
在t


2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dx

dt dx

a sin t a a cos t
sin t 1 cos t
xsin x (cos x ln x sin x ) x
注 幂指函数也可以利用对数性质化为: 复合函数再求导, 只要将
y u( x)v( x) (u( x) 0) 改写成 y ev( x)ln u( x)
如上例 y xsin x ( x 0), 求y.
将y xsin x ( x 0), 改写成y esin x ln x ,则
b
两边对x求导
y ln a a y bx
b x
y


a b
x
b x
a
x a
b ln
a b

a x

b x

1.设y

x sin x 1 x2
,求y.
解答 等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )

t
2

y


sin
y

1
确定函数 y y( x),求 d y .
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由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t ) (t )
dt
dy 即 dy dt
dx dx dt
例 已知椭圆的参xy数 ab方 csiontt程 s，为 求 ddyx
dy
解
dy dx
dtdx((abcsiontts))
bcott a
dt
练习
2x2y
( 1 )
当x 2时，由所给曲线方程得解
x y
20或xy
2 . 4
对于点（2,0）所求切线斜率
ky
x2 y0
2(1xy) 2x2y
x2 y0
1 2
所求切线方程为 y 1 x 1 2
对于点（2,4）所求切线斜率
k 5 2
故所求切线方程为 y 2 x 1. 5
练习：
设函 yy(x 数 )由方 cox 程 sy()y1确定 dy ， dx
你我同行，共同进步。
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
yt2 (x)2 x 2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程 xy((tt))中,
设函x数 (t)具有单调连续 t的 1(x反 ), 函
y[1(x)]
再x 设 ( t )y ,函 ( t ) 都 ,且 数 可 ( t ) 0 , 导
若方程 F(x,y)0确定的是y关于x的函数， 则要求y关于x的导数的步骤如下：
（1）将方程 F(x,y)0两端关于x求导，其中y 视为x 的函数. （2）解上式关于 y 的方程，得出 y 的表达式， 在表达式中允许保留y
例1 求由方x程 yex ey 0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx0.
解 方程两边 x求对导 ,
yxdy exeydy 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx
dx
解得
dy ex y dx x ey ,
由原方x程 0,y知 0,
ddxyx0
exxeyy
x0 y0
1.
例2 求曲 x2线 2xyy22x在 x2处的切.线
解 方程两x边 求对 导得
2 x 2 y 2 x y 2 y y 2 解得 y（ 21xy）.
求摆 y x a a ((1 t线 c sito t))n 的 s 导 d d,y x及 数 t 在 2的处 d d的 /ty x 2
dy
解 dy dt asint sint dx dx aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
再见！
谢谢聆听！
二、对数求导法
观察函数 y xsinx.
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
主要用于求幂指u函 (x)v数 (x)的情形 .
例5 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得 ln y sixn ln x
上式两x边 求对 导得
1ycoxslnxsix n1
y
x
yy(cx o ln sxsixn 1) x
xsix n(cx olsn xsix n ) x
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 yx程 ((tt))确定 y与x间的函数,关系
称此为由参数方 定程 的所 函 . 确 数
例如
x 2t,
高等数学§2-3隐函数 及由参数方程2
§3 隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数
一、隐函数的求导法则 二、对数求导法则 三、参数方程求导法则
一、隐函数的导数
1.显函数与隐函数 y f(x)形式称为显.函数
由方程所确定 y的 y(x)函 称数 为隐.函
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化
2.隐函数求导法则: