第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率(1)

3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小

#
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .

之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
例 7 设有一深为 18cm，顶部直径为 12 cm 的正圆锥 形漏斗装满水，下面接一直径为 10 cm 的圆柱形水桶， 水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为 12 cm，水面下降 速度为 1 cm /s 时，求桶中水面上升的速度．
解： 设在时刻 t 漏斗中水面高度为 h h(t) ， 漏斗在高为 h(t) 处的截面圆的半径为 r(t) ，
桶中水面的高度为 H H (t) ．
（1）建立变量 h 与 H 之间的关系
由于在任何时刻 t ，漏斗中的水量与水桶中的水量之
和应等于开始时装满漏斗的总水量，设水的密度为 1，则有
π r2 (t)h(t) 52 πH (t) 1 62 π 18
1 h2 (t) dh(t) 25 dH (t) 0
9
dt
dt
（3）从中解出要求的变化率．
1 h2 (t) dh(t) 25 dH (t) 0
9
dt
dt
由(2)可得 dH (t) 1 h2 (t) dh(t)
dt
9 25
dt
由已知， h(t) 12 cm 时， dh(t) 1（cm /s）， dt
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ lnb ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y y

17
首页 上页 7 求 椭圆 在t = 相应 的点 处 4 y = b sin t 的切 线 方程 . π 解 当 t = 时, 椭圆上的相应点M 0的坐标是： 4 y
a 2 x0 = a cos = , 4 2 π b 2 y0 = b sin = 4 2
y
3
0
(2,
•
3 3) 2
4 x
3 dy 将x = 2, y = 3代入上式,得切线的斜率 2 dx 3 3 3=− ( x − 2), 故切 线 方 程 为 y − 2 4
x=2
3 =− , 4
即 3 x + 4 y − 8 3 = 0.
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6
1 例4 求由方程x − y + sin y = 0所确定的隐函 2 2 d y 数 y 的二 阶 导数 2 . dx 解 由隐函数求导方法，得 dy 2 dy 1 dy 1− + cos y = 0 ⇒ dx = 2 − cos y dx 2 dx dy −2sin y 2 d y d 2 dx ( )= 所以 2 = 2 dx 2 − cos y （2 − cos y） dx 2 −2sin y −4sin y 2 − cos y = = 3 2 （2 − cos y） （2 − cos y） 7
3
而有些隐函数不能表为显函数的形式
例如 : 方程e y − xy = 0就不能化成显函数 y = f ( x ) 的 形式 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
3
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隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

第二章 导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos

1
−
cos

=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章 导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与 之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .

院 数 理 系
y x x ln y x ln x 1 y ln x 1 y x x (ln x 1) y
2021/4/22
用性质 用对数
11
高
等 数
y u(x)x y u(x)x ln（u x） x（u x）x1u（ x）
学 电 子
u(x)x[ln u(x) x u(x)] u(x)
武
汉 科
对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取
技
学 院
导数,比用通常方法计算简单.
数
理
系
2021/4/22
3
高
等 例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函
数 学
数,且都在点x处可导.
电 分析: 先取对数
子 教
ln y v ln u (ln y v ln u) 1 y vln u v u
y (x) (x)[(x) (x) (x) (x) ln (x)]
1
2 (x) (x)
6
高 等 例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数
数
学
1,y x(x 1)(x 2); 2, y 3(1 2x)3; 3, y 5x2 3x x ;
电
x
子 教 案
4, y ln a bx ; a bx
子 教
设函数的参数式为x=φ(t), y=ψ(t),
dy (t ) dx (t )
案
则它们的二阶导数
d 2 y d [ (t) ] d [ (t) ] dt dx 2 dx (t) dt (t) dx
武
汉 科
(t) (t) (t) (t) 1
技
[ (t)]2

dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y 由原方程知 x 0 时 , y 0 , 解得 , dx x e y
dy dx
x 0
e y y xe
x
x 0 y 0
1.
x2 y 2 3 例3 求椭圆 1在点(2, 3 )处的切线方程. 16 9 2
sec2
dt



作业 P88 T1(3) T2(3) T4(3) T5(1)
于是
即
4x 4x 2x y ' y( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1
( x 2) 4x 4x 2x y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
2 2 3
3
二、参数方程所确定的函数的导数 若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的函数 关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程
直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，应用复合函数的求
导法可得一个含有 y 的方程，解出 y 即得隐函数 的导数.
例1
设y y ( x)是由方程 sin xy ln( x y ) 0所确定
dy 的隐函数，求 . dx 解 方程两边对x求导，注意到y是x的函数，有
1 y cos( xy)( y xy) 0 x y
x ( t ), y ( t ), t ( , )
所确定的函数． 例如，不计空气阻力时，抛射体的运动轨迹 可表示为 x v t
1 1 2 y v2 t gt 2
若消去参数t, 有
v2 g 2 y x x 2 v1 2v1

但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方
程F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
第四节 隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定y是x的函数, 则称此
函数为隐函数.
由
表示的函数，称为显函数。
例如,
可确定y是x的函数 ,
可确定显函数
（隐函数的显化）
对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx

dy dt

dt dx

dy dt

1 dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx

dt dx

t t
dt
例1 设
求
解：
例2 已知摆线方程
求在
但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。

观察函数
对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数 求导。
例6 y = x x (x > 0), 求 y . 解 两边取对数, 得 lny = xlnx. 上式两边同时对
x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,
1 y ln x 1, y
于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx).
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
例3 设 xy ex ey 0 确定了函数 y = y (x), 求 dy .
dx x0
解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有
y xy ex ey y 0,
解得
dy ey y dx x ey ,
再由原方程知 x 0 时，y 0. 代入上式，得
dy dx
x0
ey y x ey
上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得
1 y cos x ln ln x sin x 1 1 ,
y
ln x x
y
ln
x sin x
cosxlFra bibliotek lnx
sin x x ln x
.
例8 设 x > 1, x 2, 3, 4, y (x 1)(x 2) , 求 y.
(x 3)(x 4)
2sin y y (2 cos y)2

d 0.14(弧度 / 分) dt
dt
例10. 球体受热膨胀，当球半 R 10厘米时， 径 球半径的增加速度是2厘米 / 秒.求此时球体积 V的增加速度?
解:
4 3 V R , V、R都是 t的函数， 3
等式两边对t求导，得
dV 4 3 dR 2 dR ( R )R 4R dt 3 dt dt
2 x 2 y y 0 x
dy x dy 3 解得 . （3，） . 4 dx y dx 4
例2. 设曲线C的方程为 x y 3 xy, 求过C上
3 3
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点.
解: 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3( y xy)
二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 给定参数方程 , y (t ) 把对应于同一个的x与y联系起来, 就得到 x与y t
的函数关系.
例. 抛射体运动轨迹的参数方程为
v2 g 2 x 2 x . 消去参数 t 得 y v1 2v1
问题: 可否由参数方程直接求出y对x的导数?
4.相关变化率问题* 列出依赖于 t 的相关变量关系式
两边对 t 求导 相关变化率之间的关系式
(t 2nπ, n为整数)
例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, 则 垂直分量为
v1 (v2 gt )
2
y
2
vy
v vx
dy dy d t dx dx

解：方程两边同时对 x 求导有， cos(x y) (1 y) 2yycos x y2 sin x
y cos(x y) y2 sin x 2y cos x cos(x y)
3． ln(x2 y2 ) arctan y x
解：方程两边同时对
x
求导有，
2x 2 yy x2 y2

1
1 y x
2

yx x2
y
y 2x y x 2y
4． ey 6xy x2 1 0
解：方程两边同时对 x 求导有， ey y 6y 6xy 2x 0

y


6y ey
2x 6x
y x
dx
e yln x ln x exln y x
y
七、求下列参数方程所确定的函数 y y(x) 的导数 dy ： dx
1．

x y

t3 3t
3t 1 5 5t3
1
解： dx 3(t2 1) ， dy 15t2 (t2 1)
dt
dt
dy
dy dx

f (t) tf (t) f (t)
f (t)

t

d2 dx
y
2

1 f (t)
注：计算参数方程二阶导前先对一阶导化简
则该曲线在 (1, 1) 点的切线斜率为1 由两曲线在该点相切，有 2 a 1 a 1，从而 b 1
五、求下列函数的导数：
1． y x x
解：法一（对数求导法）： ln y x ln x
1 y l nx y 2x

设 x x(t)及 y y(t)都是可导函数, 而变量x与
y之间存在某种关系, 从而它们的变化率dx 与 dt
dy dt
之
间
也相关存变化在率一问
题:
定
关
系已, 知这其样中一两个变个化 率时，如何求出另
相
互
依
赖
的
变 化 率 称 为 相 关 变 化 率. 一个变化率?
例10 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
第四节 隐函数与参数方程的求导法
一、隐函数的导数
01
定义:
y f ( x) 形式的函数称为显函数.
02
隐函数的显化
F ( x, y) 0 y f ( x) 0 3
问题: 若隐函数不易显化或不能显化，如何求导?
04
隐函数求导法:
05
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
06
解出
例1 求由方程xy e x e y 0所确定的隐函数
等式两边取对数,得
例5
设
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求y.
解
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导, 得
1 y 1 1 2 1
y
x 1 3( x 1) x 4
y y[ 1 1 2 1] x 1 3( x 1) x 4
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
设方程 x3 y3 3xy确定了函数y y( x)
解 方程两边对 x 求所导求,切得线方3程x2为 3 y2 y 显然3通y过原3点xy.
y

( x +1)3 x 1 ( x +1) x 1 ln | y | =ln| |, | y | =| |, 2 x 2 x ( x + 4) e ( x + 4) e
3
1 ln | y |= ln | x +1| + ln | x 1| 2ln | x + 4 | x 3 d ln | y | d ln | y | dy 1 dy 上式两边对x 上式两边对 求导得 注意: = =
∴ y′
33 ( , ) 22
y x2 = 2 y x
33 ( , ) 22
= 1.
3 3 所求切线方程为 y = ( x ) 即 x + y 3 = 0. 2 2 3 3 显然通过原点. 法线方程为 y = x 即 y = x, 显然通过原点 2 2
例3 设 x4 xy + y4 = 1, 求 ′′在点(0,1)处的值. y 解 方程两边对 求导得 x
1 ∴ y′ = y(cos x ln x + sin x ) x sin x sin x ) = x (cos x ln x + x
一般地
f ( x) = u( x)v( x) (u( x) > 0)
∵ ln f ( x) = v( x) lnu( x)
上式两边对x 上式两边对 求导得
注意 d 1 d ln f ( x) = f ( x) dx f ( x) dx
由原方程知 x = 0时, y = 1,
dy dy 1 ) = 0 + 0 (0 + + cos 0 dx x=0 dx x=0 0 +1
dy =1 dx x=0
d2 y 1 5 例 求由方程 x y + sin y = 0所确定的隐函数的二阶 导数 2 . 2 dx