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10 由参数方程确定的函数的导数,高阶导数(精选)

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隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数

隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数

偏导数
z x
f x ( x, y),
z y
f y( x, y),
一般说来仍然是 x , y 的函
如数果，这两个函数关于
它x们,的y偏的导偏数导是数也f 存(x在,，y)的二阶偏导数.
则称
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四 个：
z x
x
x
z x
2z x2
f xx( x, y) zxx;
3
x
x y y x
解
z x
1 1 y
2
y x2
y x2 y2 ,
x
z 1 1
y
1
y
2
x
x x2 y2 ,
x
2z x y
y
y x2 y2
(1) ( x2
y2 ) ( y) (0 2 y) (x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2z y x
x
感谢下 载
感谢下 载
(1)n1(n 1)!.
例 11
设
y
=
sin
x求，dn y
dx n
.
解 dy cos x sin x ，
dx
2
d2 y dx 2
cos
x
2
sin
x
2
2
，
d3 y dx 3
cos
x
2
2
sin
x
3
2
，
dn y dx n
sin
x
n 2
.
五、 高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个
第三模块 函数的微分学

12,13隐函数和由参数方程所确定的函数的导数.

12,13隐函数和由参数方程所确定的函数的导数.
y= 3 2
y=3 3 2
故切线方程为 即
3 3 y − 3 = − (x − 2) 2 4
求由方程 y5 + 2y − x − 3x7 = 0 确定的 y = y(x) 在 x = 0 处的导数 dy 隐函数 . dx x = 0 解 方程两边对 x 求导 例5
得
dy 5y + 2 −1− 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
π πa 直 坐 为 0, )的 对 的 角 θ = 角 标 ( 点 应 极 为 2 2 dy 2 而 =− d x θ=π π
2
故 求 线 程 所 切 方 为
aπ 2 y− = − ( x − 0) 2 π 即 aπ x+ y = . 2 π 2
例3
抛射体运动轨迹的参数方程为
的运动速度的大小和方向. 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小: 先求速度大小 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 故抛射体速度大小 铅直分量为
d(ln y) dh(x) = dx dx d(ln y) d(ln y) d y 1 ′ = ⋅y Q = ⋅ d y dx y dx 1 ′ ∴ ⋅ y′ = h (x), y′ = yh (x). ′ y
令
易求导
(2) 适用范围
y = [u(x)]v( x) 的 数 1) 幂 函 : 指 数 导 .
y =ψ[ϕ−1(x)] 可导， 且 可导， 确定的函数
dy dy dt dy 1 ψ′(t) = ⋅ = . = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ′(t) dt
一个半径为a的圆在定直线上滚动时 的圆在定直线上滚动时,圆周上任一 例1 一个半径为 的圆在定直线上滚动时 圆周上任一 定点的轨迹称为摆线 计算由摆线的参数方程: 定点的轨迹称为摆线, 计算由摆线的参数方程 摆线 x = a(t − sint), 摆线 y = a(1− cost) dy . 所确定的函数 y = y (x) 的导数 dx dx dy dy dy dt dt [a(1−cost)]' = ⋅ = = 解 dx dt dx dx [a(t −sint)]' dt t asint = (t ≠ 2kπ,k ∈Z ). = cot a(1− cost) 2

导数的运算(二)

导数的运算(二)

例2 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
解 方程两边对x求导,
y cos(x y) (1 y)
y cos(x y) ycos(x y)
解得 y cos(x y) 1 cos(x y)
例5 设曲线 C 的方程为 x3 y 3 3 xy , 求过 C上
点
3 (
2
,
3 2
)
的切线方程和法线方程
3
33
例4
设参数方程

x y

a b
cos t，(椭圆方程)确 sint
定了函数 y = y(x)，求 dy .
dx
解 dx a sin t dy b cost
dt
dt
所以 dy b cost b cott. dx a sin t a
例 5 求摆线
x

dx 1 cos t dx tπ
点 P 处的切线方程为
3
y1a 2
3
x


3
a

3 2
a

§2-2 导数的运算(二）
高阶导数的定义
我们把函数 yf(x) 的导数 yf (x) 的导数(如果 可导)叫做函数 yf(x) 的二阶导数 记作
y、f
(x)或
d2y dx2

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块基本信息一级模块名称 微分学二级模块名称基础模块三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式模块编号 2-10 先行知识导数的概念 模块编号2-2知识内容 教学要求掌握程度1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念一般掌握2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导3、莱布尼兹公式3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶）4、隐函数的高阶导数4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶）5、参数方程的高阶导数5、熟记正弦、余弦等常见函数的n阶导数公式能力目标 1、提高学生的观察分析能力2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力时间分配45分钟编撰黄小枚校对方玲玲审核危子青修订肖莉娜 二审 危子青一、正文编写思路及特点：思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。

特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。

二、授课部分 1.引例（1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即)()('t s t v = 或dtdst v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数：[]'')(')()(t s t v t a ==或)()(dtdsdt d t a =（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(''t s 或22dtsd2．高阶导数的定义设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。

由方程所确定的函数的导数

由方程所确定的函数的导数

Jlin Institute of Chemical Technology
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求抛射例体8 在抛时射刻体t的运运动动轨速迹度的的参大数小方和程方为向xy
v1t v2t

1 2
gt

2
解 先求速度的大小
速度的水平分量与铅直分量分别为
x (t)v1 y(t)v2gt 于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为

y (t) j(t)

例7
求曲线
x sin t y cos2t
在处 t 的切线方程
4
解
dy dx

yt xt


2sin 2t cost
所求切线的斜率为 dy 2 2
dx
切点的坐标为
x0
2 2
y0 0
切线方程为 y 2 2(x 2 ) 2
即
2 2x y20
1 y
y

1 2
(
1 x 1

1 x2

1 x3

x
1) 4

于是 说明
y

y 2
(
1 x1
1 x2

1 x3

1) x4

严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的
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例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化
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隐函数的求导法一、隐函数的导数

导数的基本公式与运算法则高阶求导

导数的基本公式与运算法则高阶求导

( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f ( x),
y,
d2 dx
y
2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
d (dy) d x dx
y f (x) y f (x) y [ f (x)] f (x)
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
例
设 y arctan x, 求f (0), f (0).
( 1
1(xu21))
1(1u(112x2
x2 )2
)
解
y

1

y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法)
例. 设 y eax , 求 y(n). 解: y aeax ,
y a2 eax , y a3eax , , y(n) an eax
特别有: (e x )(n) e x
例 设 y ln(1 x), 求y(n) .
[([(11(112xx1)x)3)2]](1[2[1(x1()12 x(1)x)3]2x]) 22(13(1x)x3 )4

0,
求
d2 y d x2

高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)

高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)
原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参 数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求 导.
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′

参数方程求导法_高阶导数

参数方程求导法_高阶导数

所确定的函数y的导数 t
dy dx
.
dy (t sin t) 1 cost dx
dx (2t 2 ) 4t dt
dy
故
dy dx

dt dx
1 cost 4t
dt
练
椭圆
x y
a cost ,
bsin t
在t


2
时的切线方程为 y

b.
A.
参数方程求导法则：
设
x x(t)
tI
y y(t)
若 d y y(t), d x x(t) 存在, 且 x(t) 0, 则
dt
dt
dy
dy dx
y(t)
xt

dt dx
y对t求导数
dt
x对t求导数
例3 解
求由参数方程x y

2t 2 t sin
例5 求 y = ex 的各阶导数.
解 y ex
y ( y) (ex ) ex

y(n) ex

y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(ex )(n) ex (n N)
练
判断： y = ax 的各阶导数可以表示为： (a x )(n) a x
A. √
一般说来, 如果函数 f (x) 的导函数 f (x) 仍然 可导, 则称 f (x) 的导数为原来函数 f (x) 的二 阶导数, 记为 f (x) ( f (x)).
例4 求幂函数 y x6 2x3 3x2 x 6, n Z 的高阶导数.
解 y 6x5 6x2 6x 1
B.

高等数学第二章导数知识总结

高等数学第二章导数知识总结

高等数学第二章知识总结在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。

微分和导数的关系求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.一.(1)单侧导数即左右导数.函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等. (2)可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.◆求导数的方法有:(1)利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极限）(2)利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的实际问题.(3)利用初等函数的求导公式.(在书P59)(4)利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数导数的倒数.)(5)利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)(6)利用隐函数求导法(7)利用参数方程确定函数的求导法.(8)利用分段函数求导法.(9)利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连续性与可导性.二.高阶导数高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强.常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。

三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数什么是隐函数?如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数F(x,y)=0从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化.有些隐函数不易显化,甚至不能显化.隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）(1)把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)即可。

再在方程两边分别对X求导.(2)从求导后的方程中求出y’.(3)在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.四.函数的微分.可微就可导,可导就可微.求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.常用的微分公式在书P76.五.微分的应用.1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.。

2019年最新-10由参数方程确定的函数的导数、高阶导数-精选文档

2019年最新-10由参数方程确定的函数的导数、高阶导数-精选文档
第二章
第三节
导数与微分
由参数方程确定的函数的导数、 高阶导数
主要内容：
一、由参数方程确定的函数的导数；
二、高阶导数.
1
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铃
一、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3

y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
若为自然 n,则 数
y(n) (xn)(n)n!,
y(n1) (n!) 0.
2
y c oxs(2 2)sinx(32)
y(n) sinx (n) 2
同理可得 (cx o)(n s)coxsn () 2
12
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铃
（2） 高阶导数的运算法则:
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n ) (2)(C)u (n) C(n u )
f(x),
y,
d3y .
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,Βιβλιοθήκη f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般, 函 地数 f(x)的n1阶导数的导数
函数 f(x)的n阶导,记 数作
f(n)(x),y(n), dny或 dnf(x). dnx dnx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应 ,f(x)称 地为零 ;f(x)阶 称导 为数 一 .

高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

如
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2e x
1
,
y xsin x .
方 法 方程两边取对数, 再利用隐函数求导法。
--------对数求导法
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
设
y
(
x (
1) 3 x 1 x 4)2 e x
,
求y.
解
ln
y
ln( x
1)
1 3
ln(
x
1)
,求y.
解答 等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )
d: dx
y cos x ln x sin x
y
x
1
2
x x
2
y
xsin x 1 x2
(cos
x
ln
x
sin x
x
1
2
x x
2
)
17
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
2.设 x y y x ,求y.
解答 ln : y ln x x ln y,
d: dx
y ln x y ln y x y,
x
y
y
x y ln x y ln
y x
y2 x2
.
18
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
二、由参数方程所确定函数的导数
若
x y
(t) (t)
d dx
:
1 y
y
cos x ln x
sin
x
1 x

2.4 参数式函数导数 微分

2.4 参数式函数导数 微分

其中 A = f ′( x0 ) 与 Δx 无关, 所以 f ( x ) 在 x0 可微 .
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
注 微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y = f ′( x0 )Δx = tan α ⋅ Δ x .
当 Δx 很小时, Δ y ≈ d y .
当y = x 时: d y = d x = 1 ⋅ Δ x = Δ x,
=
y'' ( t ) x' ( t ) − y' ( t ) x'' ( t )
x' 3 ( t )
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
′ d y ψ ′( t ) d y ⎛ ψ ′( t ) ⎞ =⎜ ⎟ , = 注意 : 已知 2 d x ϕ ′( t ) d x ⎝ ϕ ′( t ) ⎠
2
×
?
例5. 设
: 证: “ ⇒ ”
已知 y = f ( x ) 在点 x0 可微, 则
Δ y = f ( x0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o( Δ x ) Δy o( Δ x ) ∴ lim = lim ( A + )= A Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx 故 y = f ( x ) 在点 x0 处可导, 且 f ′( x0 ) = A.
t =π
2 b, 4= 2
2 2 ⎞ b⎛ b=− ⎜x− a ⎟. 所求切线方程为: y − a⎝ 2 2 ⎠
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
例2. 抛射体运动轨迹的参数方程为
x = v1 t y = v2 t − 1 g t 2 2
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求抛物体速度大小: dx dy 速度的水平分量为 = v1 , 垂直分量为 = v 2 − gt , dt dt dx 2 d y 2 = v12 + (v2 − gt )2 . 故速度大小 v = ( ) + ( ) dt dt 再求速度方向 (即轨迹的切线方向):

高等数学随堂讲义隐函数及参数方程及高阶导数

高等数学随堂讲义隐函数及参数方程及高阶导数

复杂函数 求导法则：
u v
求
(n)
u(n) v (n)
n
k (n k ) (k ) uv ( n ) C n u v k 0
莱不尼茨公式
例11
1 y 2 2 2 a b x
y
(n)
例12
y x e 求 y
2 2x
(n)
(二)高阶导数求法
1．显函数
2．隐函数 3．参数方程确定的函数
5 7 y 2 y x 3 x 0 求 y x 0 例1 e xy e 0 求 y 例2
2 2 x y 例3求 在 1 16 9
3 处的切线方程 2, 3 2
一、隐函数的导数
（一）隐函数的导数
（二）对数求导法
一、隐函数的导数
1
y
t
x
参数方程确定的函数的导数
参数方程确定的函数
x (t )
参数方程
t ( x)
1
y
t
y (t )
y 1 ( x )
参数方程确定的函数
x
参数方程确定的函数的导数
d y d y d x ( t ) d x d t d t ( t )
例9
当气球升至500m时停住,有一观测者以 100m／min 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
三、高阶导数
（一）概念
（二）求法
（一）隐函数的导数

参数方程表示的函数的求导高阶导数.ppt

参数方程表示的函数的求导高阶导数.ppt
y n(n 1)(n 2)a0 xn3 (n 1)(n 2)(n 3)a1xn4 (n 2)(n 3)(n 4)a2 xn5 3 2an3 ,
y(n) n!a0. 容易看出, 当k n时, y(k) 0.
例5 设 y sin x，求y(n).
解 求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、
2
22
2
所以 y(n) sin( x nπ) .
2
当然，我们也可以从：
y' cos x, y" sin x, y cos x, y(4) sin x,
中归纳出下面的规律：
cos x,
(sin
x)(n)
sin
x,
cos x,
sin x,
n 4k 1,
n 4k 2, k 0,1,2,
a dv d (ds),或a (s). dt dt dt
这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为
d2s dt 2
或 s"
，即
d2s dt 2
d dt
(ds)或s" dt
(s).
一般地，若y=f(x)的导数 y f (x) 仍可导，则称
f
( x) 的导数为y=f(x)的二阶导数，记为
d2 dx
导数.分别为
d3 y dx3
,
d4 dx
y
4
,
,
dn dx
y
n
,
或
d3 f dx3
d4 f , dx4
,
,
dn dx
f
n
,
或
y，y(4) (x), , y(n) ,
或
f (x), f（4）(x), , f (n) (x).

10由参数方程确定函数导数、高阶导数

10由参数方程确定函数导数、高阶导数

et et
sin t 在t cos t
2
处.
二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)].
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数,
f (4) ( x),
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1( x),注
y [ 1( x)]
意
分
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0, 子
由复合函数及反函数的求导法则得
母
不
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy
要
即 dy dx
dt dx
(t) (t )
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
隐函数求导法则
隐函数求导步骤： A、对方程两边求导； B、方程仅含x的式子按正常求导；凡含y的 式子要按复合函数求导，且结果必有y(或 dy )

高阶函数

高阶函数

说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
4
因x=0时y=0, 故
例10.求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
y ( n) n!an
依次类推 , 可得
当k n 时， y ( k ) 0 .
设 y x ( 为任意常数 ) , 问
ax (n) 例2.设 y e , 求 y . 解: y ae a x , y a 2 e a x , y a 3 e a x , ,
(n)
(1)
n 1
(n 1)!
(1 x) n
规定 0 ! = 1
例4. 设
求
解: y (sin x )
) cos x sin( x 2
) y [sin( x ) ] cos( x ) sin( x 2 2 2 2
dx 2t 2 dt 即 dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
上式两边取对数

参数方程确定函数的高阶导数求法

参数方程确定函数的高阶导数求法

参数方程确定函数的高阶导数求法
郭时光
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】1996(000)003
【摘要】设I是一区间,参数方程x=(?)(t),y=(?)(t) (t∈I)满足条件:(i)(?)(t)、(?)(t)都在I内有任意阶导数;(ii)(?)(t)≠0((?)t∈I)则方程(1)确定y是X的函数,且y有对x的任意阶导数(从下面的计算中可以看出).这时,y对x的各阶导数,有如下的三种算法.【总页数】3页(P)
【作者】郭时光
【作者单位】四川轻化工学院
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1
【相关文献】
1.参数方程确定的函数的高阶导数的求法 [J], 张府柱;
2.参数方程所确定的函数的高阶导数的一种逐次求导法 [J], 明祖芬
3.参数方程所确定的函数求高阶导数方法的研究 [J], 陈茜
4.不用求高阶导数确定函数方程的重根次数 [J], 白宝钢;董敏
5.一类由参数方程确定的函数的导数的求法 [J], 夏滨
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