由参数方程所确定的函数的导数与导数的简单应用

淮北师范大学2011届学士学位论文由参数方程确定的函数的性质及应用学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向函数论学生姓名陈涛学号***********指导教师姓名周光辉指导教师职称副教授2011年04 月10日由参数方程确定的函数的性质及应用陈 涛(淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000)摘 要本文重点论述了利用极限和导数的基本理论和基本方法，首先阐述了参数的实际意义及参数方程的概念；其次对参数方程确定的函数导数的存在性进行了讨 论，得出了t x '和t y '都存在、t x '和t 'y 中有一个不存在的情况、t x '和t y '都不存在三种情况下导数存在性；给出三个例题分别说明由求参数方程所确定函数极值点应注意的问题及拐点应注意的问题；最后系统的介绍了几种由参数方程确定的函数的导数求法，通过几个典型例题说明了利用复合函数求导法则、利用微分、利用参数、利用公式、利用导数定义五种方法求由参数方程确定的函数的导数.关键词：参数方程,函数,存在性,极值,导数Properties and Applications of the Function Determinedby The Parametric EquationChen Tao(School of Mathematical Sciences ，Huaibei Normal University ，Huaibei ，235000)AbstractThis paper mainly discusses the basic theory and basic method of limit and derivative. First, it illustrates the practical meaning of parameter and the conception of parametric equation. Second, it discusses the existence of derivative of the function determined by the parametric equation, and concludes there are three cases of botht x 'and t y 'exit, neither exits, one exits and the other not. It gives three examples separately to illustrate what should be paid attention in extreme value point and flecnode of the function which determined by parametric equation. Finally, this paper systematically introduced several methods to solve derivative of the function determined by parametric equation, and illustrate how to solve derivative of the function determined by parametric equation by five methods of principle of compound function derivation, differential, parameter, formula and derivative definition through several typical examples.Keywords: Parametric equation, Function, Existence, Extreme value, Derivative目 录引言 ................................................................. 1 一、参数方程概念 .. (1)1. 参数的概念 .................................................... 1 2. 参数的实际定义 ................................................ 1 3. 参数方程的概念 ................................................ 1 二、参数方程确定的函数导数存在 (2)1. t x 和t y 都存在的情况 ........................................... 2 2. t x 和t y 中有一个不存在的情况 ................................... 3 3. t x 和t y 都不存在的情况 ......................................... 3 三、求参数方程所确定函数的极值点、拐点应注意的问题 .................. 3 四、由参数方程确定的函数的导数的求法 (6)1. 用复合函数和反函数求导法则的求法 .............................. 6 2. 利用微分求的求法 .............................................. 8 3. 利用消去参数法的求法 .......................................... 9 4. 利用公式法的求法 ............................................. 10 5. 利用导数定义的求法 ........................................... 12 结束语 .............................................................. 13 参考文献 ............................................................ 14 致 谢 .. (15)引言本文讨论了由参数方程确定的函数的部分性质及应用；利用极限和导数的基本理论和基本方法，对参数方程确定的函数导数的存在性进行了讨论，得到了三种情况下其导数存在性，并对其导数存在的判断和计算方法提供了例析；求由参数方程所确定的函数的高阶导数；讨论了参数方程所表示的曲线关于原点或关于数轴的对称性，给出了对称性的若干充分条件；给出了三个例题说明求参数方程所确定的导数极值点、拐点时应注意的几个问题，通过几个典型例题说明了利用复合函数、利用微分、利用参数、利用公式、利用导数定义五种方法求由参数方程确定的函数的导数.一、参数方程概念1. 参数的概念联系变量x、y之间关系的变量，叫做参变数，简称参数.2. 参数的实际定义一般常用时间、有向线段的数量、旋转角、直线的斜率等作参数,但有的也可以用没有明显意义的变数作参数.用有实际含义的变数作参数,应注意参数的取值范围.3. 参数方程的概念一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩（1） 并且对于t 的每一个允许值,由方程组(1)确定的点(,)P x y 都在这条曲线上,那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.二、参数方程确定的函数导数存在大部分资料中，讨论参数方程()()x f t yg t (t 为参数)确定的函数()y f x =的导数存在时在假设t x 和t y 都存在的情况下进行的,但这类函数的导数存在的情况实际上很复杂.1. t x 和t y 都存在的情况（1）当t x 和t y 存在且0t x 时，可以按照公式求得t tty y x ，可是当0ty ，但0tx 时0xy .（2）当0t x 但0t y 时，x y ，不存在，但0yx .（3）若0tx 且0ty ，此时的可能情况比较多，但可以利用无穷小阶的比较来进行判断，或者直接根据参数方程确定的函数的导数定义利用0limt yx∆→∆∆，求得：01 0,0,0;x x yy xty y x t t当较为高阶（低阶）无穷小，即反之，02 当0t ，y t较x t 为同阶无穷小，即C x y ，可是当0t，y t较xt 为高阶无穷小，即1x y .2. t x 和t y 中有一个不存在的情况（1）t y 不存在. 10：ty 时，即0yx ；20：0(0)t t y ，0(0)t t y 都存在但00(0)(0)t t t t y y 时，x 根据导数存在的充要条件知道此时y 不存在；（2）t x 不存在. 10：t x 或0ty 时，0xy ；20：0(0)t x t ，0(0)t t x 都存在但00(0)(0)t t t x t x 时，且0ty ，00limlim t t y yx x∆→∆→∆∆≠∆∆（0t 为所求点的导数所对应的参数）,此时根据导数存在的充要条件知x y 不存在.3. t x 和t y 都不存在的情况（1）t x =且ty , 此时可以仿照2.1中(3)的情况进行无穷大阶的比较的讨论得出结果,或直接根据参数方程确定的函数的导数定义利用0limxty求得. （2）t x 且ty ,此时只能直接根据参数方程确定的函数的导数定义利用0limxty求得.三、求参数方程所确定函数的极值点、拐点应注意的问题在求由参数方程所确定函数的极值点和拐点时,会出现以下三例的情形.例1 设函数()y f x =由t tx te y te确定,求函数的极值点.解 2(1)(1)(1)1t t t dy t e t e dx t e t ----==++,令0dy dx=得到t=1,对应唯一驻点x e =. 当1t <(x e =左侧)0y ,1t >(x e =右侧)0y ,所以x e =是函数的极大值点.注意,1t =-(1x e -=-)时y 不存在(函数有定义), 1t <- (1x e -=-左侧)0y,1t >- (1x e -=-右侧) 0y,但1t =-即1x e -=-却不是函数的极值点.考察t x te =在1t =-的性态. 因为211211(1)0,(2)0ttt t t t dxd xt e t e dtdt =-=-=-=-=+==+>,所以1t =-是x =t t e 的唯一极小值点,也是其最小值点.1t =-对应的x =-1e -是函数()y f x =定义区间的左端点,它不是函数的极值点(极值点应为定义区间的内点).例2 求曲线233x t y t t 的拐点.解 22233(1)3(1)(1),24y dy t d t t dx t dx t +-+== 令220yd dx=得1t =±,对应曲线上的点(1,4)和(1,-4)为拐点的可疑点.经判断在1(1)t x =±=左右两侧y ''变号,可知(1,4)和(1,-4)均为曲线的拐点.注意,0(0)t x ==时y ''不存在(函数有定义),在0t =左右两侧y ''变号,但0t =对应的.(0,0)点却不是曲线的拐点,因为20,2|20t dx d xdt dt==>所以0t =是x =2t 的唯一极小值点,也是最小值点,即0t =对应的0x =是函数()y f x =定义区间左端点,所以(0,0)点是曲线的左边界点,而不是拐点.例3 设由2254x t t y t t t 确定了函数()y f x =,求0|x dydx=并求函数的极值点. 解 0x =对应0t =,103tdytdxt 不存在 (1) 由(1)可见0t =时dxdt不存在,但函数()y f x =在0(0)x t ==处的导数仍存在.事实上,由导数定义可得20054|lim lim02x x ttt t dy y dxxtt（2）于是2000006000t t x dy t x dxt t x 0 （3） 由(2)可见0t =是3x t t =+的连续不可导点,不是x 的极值点,对应的0x =是函数()y f x =定义区间的内点.由(3)可见, 0(0)x t ==是()y f x =的唯一极小值点.由以上三例可见,由于参数方程()()x x t yy t 所确定的函数()y f x =与自变量x 的关系是通过参数t 来沟通的,在求解此类问题时应注意:1.使()x t ,()y t '中有一个不存在,y 对x (或x 对y )的导数仍可以存在,只是不能用公式''()()dy y t dx x t =来求,此时可用导数定义求. 2.即使在''()()dy y t dx x t =(或22d y d x)不存在的0t (对应0x )的左右两侧y '(或y '')变号,也不能确定它是函数的极值点(或拐点),需要进一步考察,切勿妄下结论.3.若有0()x t '=0, 0()y t '同时成立,而0()x t ,0()y t 中至少有一个不为0,则点(0()x t ,0()y t )称为曲线的奇异点(见菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷二分册》.四、由参数方程确定的函数的导数的求法1. 用复合函数和反函数求导法则的求法设(),()x t y t ϕψ==皆可导，且()0t ϕ'≠，又()x t ϕ=存在反函数1()t t ϕ-=复合而成的复合函数，因而求参数式函数的导数也可归纳到复合函数求导的问题当中.即'()/'()dydy dt dy dx t dxdt dxdt dtt (1) 不仅一阶导数可用上述求法求之，其高阶导数也可用上述方法求之。

《高等数学》四隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数高等数学中的四隐函数的导数对数求导法指的是通过参数方程所确定的函数来求导。

这种方法在求解一些复杂函数的导数时非常有效，可以简化计算过程，提高求解的准确性和效率。

首先，我们来了解一下什么是隐函数和参数方程。

在数学中，当一个方程中的变量无法明确地表示出来时，就称为隐函数。

例如，x^2+y^2=1就是一个隐函数。

而参数方程是一种表示曲线的方法，其中，x和y是两个独立变量的函数。

参数方程可以将曲线上的点表示为(x(t)，y(t))的形式，其中t是一个参数。

例如，x = cost，y = sint是描述一个单位圆的参数方程。

接下来，我们使用参数方程来求解隐函数的导数。

假设有两个参数方程x=f(t)和y=g(t)，我们想要求解由这两个参数方程所确定的隐函数y=f(x)。

我们可以通过以下步骤来计算：步骤1：首先，通过第一个参数方程求解t关于x的导数，即 dt/dx = dx/dt ÷ dy/dt。

这个导数表示了x的变化速率对应于t的变化速率的比例关系。

步骤2：接下来，通过将t关于x的导数带入第二个参数方程，得到y关于t的导数 dy/dt。

这个导数表示了y对t的变化速率。

步骤3：最后，通过链式法则，将dy/dt乘以dx/dt，即 dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)。

这个导数表示了y对x的变化速率。

这就是我们所要求解的隐函数的导数。

通过以上的步骤，我们可以得到通过参数方程所确定的隐函数的导数。

这种方法可以应用于各种隐函数求导的情况，无论是简单的方程还是复杂的曲线，都能有效地进行计算。

然而，需要注意的是，对于一些特殊的函数，使用参数方程进行求导可能并不是最方便的方法。

在实际应用中，我们可以根据具体问题和计算的需要选择不同的求导方法，以求解隐函数的导数。

总结起来，四隐函数的导数对数求导法是一种通过参数方程来求解隐函数导数的方法。

高等数学第二章知识总结在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。

微分和导数的关系求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.一.(1)单侧导数即左右导数.函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等. (2)可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.◆求导数的方法有:(1)利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极限）(2)利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的实际问题.(3)利用初等函数的求导公式.(在书P59)(4)利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数导数的倒数.)(5)利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)(6)利用隐函数求导法(7)利用参数方程确定函数的求导法.(8)利用分段函数求导法.(9)利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连续性与可导性.二.高阶导数高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强.常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。

三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数什么是隐函数?如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数F(x,y)=0从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化.有些隐函数不易显化,甚至不能显化.隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）(1)把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)即可。

再在方程两边分别对X求导.(2)从求导后的方程中求出y’.(3)在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.四.函数的微分.可微就可导,可导就可微.求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.常用的微分公式在书P76.五.微分的应用.1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.。

课题2导数的四则运算法则一、复习基本初等函数的导数公式用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。

本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。

二、导数的四则运算法则设函数)(x u u =、)(x v v =在点x 处可导，则函数)(x u ±)(x v ，)()(x v x u ⋅，)0)(()()(≠x v x v x u 也在点x 处可导，且有以下法则： （1） [])()()()(x v x u x v x u '±'='±推论：[]'±±'±'±'='±±±±n n u u u u u u u u 321321 （2） [])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='， 推论1： [])()(x u C x Cu '='（C 为常数）； 推论2：此法则可以推广到有限个函数的积的情形． 例 w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(（3） )0(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡v v v u v u v u ， 三、例题分析例：求 的导数解：例：已知x x y ln 3=，求y '解：)1ln 3(ln 3)(ln ln )()ln (222333+=+='+'='='x x x x x x x x x x x y例： 解：例：求的导数x x x x y ln cos sin 2⋅+⋅= 解3ln 11cos )(3++-=x x x x f ()()'+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-'='3ln 11cos )(3x x x x f 0131sin 234+-+-=-x x x x xx x sin 13123--=(x)f ,1)(2'+=求设x xx f 22222)1()1()1()()1()(x x x x x x x x f +'+-+'='+='2222222)1(1)1(21x x x x x +-=+-+=x x x x x x xx x x x x x x x x x x x cos ln sin cos 2sin )(ln cos ln )(cos )(sin 2sin )(2)ln (cos )sin x 2y +-+='⋅+⋅'+'+'='⋅+'='（附加练习：求下列函数的导数（1）x x y 33log = （2）x x xy sin cos 41+-=，（3）π+-=x x y 32（4）xx y +=41（5） （6）设4sin cos 4)(3π-+=x x x f ，求)(x f '及)2(πf '（7）x x x y cos )ln 2(-=四、导数的应用 例1 [电流]电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为t t t q +=3)(，（1）求其电流函数i (t ) ？(2)t =3时的电流是多少？ 解：（1）13)()(23+='+==t t t t i ，（2）i(3)=28例2 [电压的变化率]一个电阻为 Ω6，可变电阻R 为的电路中的电压由下式给出： ，求在R=Ω7电压关于可变电阻R 的变化率 解例3[气球体积关于半径的变化率]现将一气体注入某一球状气球，假定气体的压力不变．问当半径为2cm 时，气球的体积关于半径的增加率是多少？解：气球的体积V 与半径r 之间的函数关系为气球的体积关于半径的变化率为 半径为2cm 时气球的体积关于半径的变化率为小结导数的四则运算作业 上册 p57 1—6),1()11)(1()(22f xx x f '-+=求3256++=R R V 26256333R R R V R R +++''==++（）-（625）（）（）07.01007)7(-=-='V 334r V π=24r V π=')/(1624/322cm cm dtdVr ππ=⋅==课题3复合函数的导数一、复习导数公式 导数的四则运算法则 二、复合函数的求导法则因为x x cos )(sin ='，是否可以类似写出x x 2cos )2(sin ='呢？ 由三角函数的倍角公式可知x x x cos sin 22sin = ])(cos sin cos )[(sin 2)2(sin '+'='x x x x x )sin (cos 222x x -= x 2c o s 2=显然x x 2cos )2(sin ≠'，因为x 2sin 不再是基本初等函数而是一个复合函数，对于求复合函数的导数给出如下法则．定理：如果函数)(x u ϕ=在点x 处可导，而函数)(u f y =在对应的u 处可导，则复合函数[])(x f y ϕ=也在x 处可导，且有dxdudu dy dx dy ⋅= 或 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''='， 简记为 x u x u y y ''='证明：当)(x u φ=在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 给自变量x 一增量x ∆，相应函数有增量y u ∆∆,因为0y 0x )()(→∆→∆==时，处连续，固有在处可导，可知在x x u x x u φφ)()(lim lim lim lim0000x u f xu u y x u u y x y x u x x ϕ'⋅'=∆∆∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即 )()(]))(([x u f x f ϕϕ''=' 或 dxdudu dy dx dy ⋅= 当)(x u φ=在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 说明：（1）复合函数对自变量的导数等于它对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

第二章-导数与微分习题第二章 导数与微分【内容提要】1．导数的概念设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-．若0→∆x 时，极限xyx ∆∆→∆0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数，记为)(0x f '或)(0x y '或|x x y ='或0|d d x x xy=或0|d d x x xf=+→∆0x 时，改变量比值的极限xyx ∆∆+→∆0lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。

-→∆0x 时，改变量比值的极限xy x ∆∆-→∆0lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。

2．导数的意义导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。

导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。

以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。

3．可导与连续的关系定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。

此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。

4．导数的运算定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则v u v u '±'='±)(定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则v u v u uv '+'=')(定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛定理4 若函数)(x g u =在点x 处可导，且)(u f y =在其相应点u 处可导，则复合函数)]([x g f y =在x 处可导，且xu x u y y '⋅'=' 或d d d d d d y y u x u x=⋅5．基本初等函数求导公式本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下：)(='C1)(-='μμμx xaa a x x ln )(=' xx e )e (='ax x a ln 1)(log =' xx 1)(ln ='xx cos )(sin =' xx sin )(cos -=' xx 2sec )(tan =' xx 2csc )(cot -=' xx x tan sec )(sec =' xx x cot csc )(csc -= 211)(arcsin x x -='211)(arccos x x --='211)(arctan xx +=' 211)cot arc (x+-='这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。

由参数方程所确定的函数的导数在微积分中，导数是用来衡量函数在其中一点附近的变化率的工具。

对于由参数方程所确定的函数，我们可以通过求导来计算其导数。

首先，让我们回顾一下参数方程是什么。

参数方程由一组参数来描述一条曲线或曲面。

通常情况下，我们用参数t来表示曲线上的点的位置。

给定参数t的值，我们可以通过参数方程来计算出曲线上对应点的坐标。

假设我们有一个参数方程x=f(t)和y=g(t)，我们想要求出由这个参数方程所确定的函数的导数。

我们可以使用链式法则来进行计算。

链式法则告诉我们，如果y是由x的函数表示的，而x又是t的函数表示的，那么y也是t的一个函数，并且可以通过以下方式来计算其导数：dy/dt = dy/dx * dx/dt我们可以将参数方程转化为常规的函数表达式，然后应用这个公式来计算导数。

首先，我们将参数方程x = f(t)转化为函数表达式x = f(x)。

然后，我们对其求导，得到dx/dt。

接下来，我们将参数方程y = g(t)转化为函数表达式y = g(x)。

然后，我们对其求导，得到dy/dx。

最后，我们将这两个结果相乘，即可得到dy/dt，即由参数方程所确定的函数的导数。

让我们通过一个具体的例子来说明这个过程。

首先，我们将参数方程转化为函数表达式：x = cos(t)y = sin(t)将x = cos(t)转化为函数表达式x = cos(x)，然后对其求导，得到dx/dt = -sin(t)。

将y = sin(t)转化为函数表达式y = sin(x)，然后对其求导，得到dy/dx = cos(t)。

最后，我们将这两个结果相乘，得到dy/dt = -sin(t) * cos(t)。

当然，这只是一个简单的例子。

在实际应用中，参数方程可能会更加复杂，求导的过程也可能会更加困难。

但是，无论参数方程的形式如何，我们都可以使用链式法则来计算其导数。

总结起来，由参数方程所确定的函数的导数可以通过将参数方程转化为常规的函数表达式，然后使用链式法则来计算。

高等函数的导数求解在数学中，函数是一种非常重要的概念，它描述了不同变量之间的关系。

而函数的导数则是研究函数变化率的重要工具。

在高等数学中，我们经常需要求解各种高等函数的导数，这对于理解函数的性质和应用具有重要意义。

本文将探讨高等函数的导数求解方法，并介绍一些常见的高等函数的导数。

一、基本导数公式在求解高等函数的导数时，我们可以利用一些基本导数公式来简化计算。

以下是一些常用的基本导数公式：1. 常数函数的导数：对于常数函数c，它的导数为0，即d/dx(c) = 0。

2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，它的导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，它的导数为d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。

4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0，它的导数为d/dx(log_a(x)) = 1/(x * ln(a))。

5. 三角函数的导数：对于正弦函数f(x) = sin(x)，它的导数为d/dx(sin(x)) =cos(x)；对于余弦函数f(x) = cos(x)，它的导数为d/dx(cos(x)) = -sin(x)；对于正切函数f(x) = tan(x)，它的导数为d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。

这些基本导数公式可以帮助我们快速求解一些常见的高等函数的导数，但是对于更复杂的函数，我们需要运用一些高级的求导技巧。

二、链式法则链式法则是求解复合函数导数的重要工具。

当函数由两个函数相互嵌套构成时，我们可以利用链式法则来求解其导数。

链式法则的表达式为：若y=f(g(x))，其中f和g都是可导函数，则y对x的导数为dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)。

例如，我们求解函数y = (2x+1)^3的导数。

参数方程求导参考文章：参数方程是用参数表示的函数方程，它在数学中有着广泛的应用。

求参数方程的导数是一种常见的数学问题，它可以帮助我们理解曲线的斜率变化和变化速度。

在开始学习参数方程求导之前，我们先回顾一下求普通函数的导数的方法。

对于函数$y=f(x)$，我们可以通过求函数$f(x)$的导函数来得到其导数。

导函数$f'(x)$表示了函数$f(x)$在任意点$x$处的斜率。

参数方程的求导方法与此类似，我们只需要将函数替换为参数方程，并求出每个参数对应的导数。

假设有一个参数方程：$$x=g(t)$$$$y=h(t)$$我们的目标是求出$x$和$y$对$t$的导数$\dfrac{dx}{dt}$和$\dfrac{dy}{dt}$。

为了达到这个目标，我们需要分别对$x$和$y$使用链式法则。

首先，我们对$x=g(t)$求导，可以得到$\dfrac{dx}{dt}=g'(t)$。

这里的$g'(t)$表示函数$g(t)$的导数。

接下来，我们对$y=h(t)$求导，可以得到$\dfrac{dy}{dt}=h'(t)$。

同样地，$h'(t)$表示函数$h(t)$的导数。

由于$x$和$y$都是$t$的函数，它们的导数$\dfrac{dx}{dt}$和$\dfrac{dy}{dt}$也是$t$的函数。

在实际应用中，我们可能需要使用参数方程的导数来计算曲线的切线和法线，或者分析曲线在不同点的斜率变化。

参数方程也可以用于描述复杂的几何问题，如曲线运动、粒子轨迹等。

举一个简单的例子来说明参数方程的求导。

假设有一个参数方程：$$x=2t$$$$y=3t^2$$我们可以先分别对$x$和$y$求导，得到：$$\dfrac{dx}{dt}=2$$$$\dfrac{dy}{dt}=6t$$可以看出，当参数$t$为任意实数时，$\dfrac{dx}{dt}$始终为常数2，而$\dfrac{dy}{dt}$则随$t$的增大而增大。