2019-2020年数学必修3同步课件讲义应用案巩固提升：第3章5 章末综合检测(二)(苏教版)

章末复习学习目标1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步理解频率与概率的关系.3.巩固随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.4.能理解古典概型并能求相应概率．1．频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率． 2．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解． 3．古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn 求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．1．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ )2．“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”．(×)题型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．反思感悟概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假如该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．(4)不一定．题型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝3 5.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.反思感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．跟踪训练2某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解 (1)设事件“电话响第k 声时被接”为A k (k ∈N *)，那么事件A k 之间彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为B .根据对立事件的概率公式，得P (B )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05. 题型三 古典概型例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 甲校两名男教师分别用A ，B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E ，F 表示．(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种． 从中选出的2名教师性别相同的结果有 (A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种， 所以选出的2名教师性别相同的概率P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率P ＝615＝25.反思感悟 解决古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．跟踪训练3 甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若用A 表示和为6的事件，求P (A )；(2)现连玩三次，若用B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件，为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解 (1)基本事件个数与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤5，1≤y ≤5}中的元素一一对应，所以S 中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数n ＝25.事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5个，故P (A )＝525＝15. (2)B 与C 不是互斥事件．因为B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次时，B ，C 同时发生．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225，所以这种游戏规则不公平．1．下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ，b 都不为0，但a 2＋b 2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温. 其中为随机事件的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 B解析 任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；若实数a ，b 都不为0，则a 2＋b 2一定不等于0，故③为不可能事件；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事件．故选B.2．不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为( ) A.110 B.15 C.29 D.14 答案 B解析 基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，满足要求的基本事件有(1,4,5)，(2,3,5)， 共2种，故所求概率为15.故选B.3．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300 D.1450答案 C解析 三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300. 4．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.16 答案 C解析 从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)，共2个基本事件，所以所求概率P ＝26＝13.5．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取2个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0，就去打球，若X ＝0，就去唱歌，若X <0，就去下棋，则小波不去唱歌的概率是________．答案1115解析 根据题意可知，X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种；数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种；数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种，故所有可能的情况共有1＋6＋4＋4＝15(种)，其中X ≠0的情况有1＋6＋4＝11(种)，故根据古典概型的概率计算公式知小波不去唱歌的概率P ＝1115.1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题(1)本试验是不是等可能的？(2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．。

章末复习提升课, [学生用书P74]), [学生用书P74])1．两种关系(1)互斥与对立的关系：互斥事件与对立事件的关系是互斥不一定对立，但对立一定互斥．(2)频率与概率的关系：频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率是随机的，而概率是一个确定的常数．2．概率的五个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1.(2)必然事件的概率：P (A )＝1.(3)不可能事件的概率：P (A )＝0.(4)互斥事件概率的加法公式：若事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，则P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．3．古典概型(1)基本特征：有限性、等可能性．(2)计算公式：P (A )＝m n(其中n 为试验的基本事件总数，m 为事件A 包含的基本事件数)． 4．几何概型(1)几何概型的基本特征：基本事件的无限性、每个事件发生的等可能性．(2)几何概型的概率计算公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）.1．随机事件概率中的易失误点(1)对问题分类不清，导致对事件分类不清出现错误，而处理正面较复杂的问题时，又不能用互斥事件求其对立面来简化求解过程．(2)解与等可能事件相关题目时，要注意对等可能事件的基本事件构成的理解，往往计算基本事件或多或少或所划分的事件根本不等可能，从而导致失误．2．几何概型中的易失误点(1)解题时要正确区分是古典概型还是几何概型．(2)解题时要明确几何概型中构成事件A 的区域是长度、面积还是体积．, [学生用书P75])古典概型古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率的基础，在高考中常有此类问题出现，解决此类问题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性，应用公式P (A )＝m n时，一定要正确理解基本事件与事件A 的关系，确定m 、n 的值，在列举事件时要注意做到不重不漏．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求基本事件的个数，并计算下列事件的概率．(1)三次颜色各不相同；(2)三次颜色不全相同．【分析】 利用树形图查找基本事件，既形象又直观．【解】 画出树形图如图所示．设每个基本事件为(x ，y ，z )，其中x ，y ，z 分别取红、黄、白球，故基本事件个数为3×3×3＝27.(1)记事件A ：“三次颜色各不相同”，n ＝27，m ＝6，则P (A )＝627＝29. (2)记事件B ：“三次颜色不全相同”，n ＝27，m ＝27－3＝24，则P (B )＝2427＝89. 【点评】 解题关键是找准基本事件与所求事件之间的关系．几何概型几何概型同古典概型一样，是概率中具有代表性的概率模型，在高考中尽管还没有出现，但预计应会是一个重要考点，运用几何概型解决问题，其关键是抓住几何概型的两个基本特征，即等可能性和无限性．再找出其几何度量，利用公式P (A )＝A 的几何度量Ω的几何度量求解． 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率． 【分析】 本题是与体积有关的几何概型，四棱锥体积公式V ＝13Sh . 【解】 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.设M -ABCD 的高为h ，则13×S 正方形ABCD ×h ＜16， 又S 正方形ABCD ＝1，所以h ＜12， 即点M 在正方体的下半部分，所以所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12. 【点评】 用体积计算概率时，要注意所求概率与取出体积的关系，确定好基本事件，计算取出部分的体积．概率中的转化与化归思想转化与化归思想，简单地说就是将复杂的问题转化成简单的问题，将未解决的问题转化成已解决的问题．本章中，有两个主要应用这种思想的解题方法：一是将所求事件的概率转化成所求事件的对立事件的概率；二是在几何概型中，将求概率的问题转化成求长度(面积或体积)比值的问题．如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．【分析】 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．【解】 记B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}，因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16. 【点评】 (1)此题关键是搞清过O 作射线OA 可以在平面内任意作，而且射线分布是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的．(2)如果试验结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P (A )＝事件A 构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度. 概率中的数形结合思想数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本章中，主要是借助图形的直观性来阐明事件之间的联系．本章常用的数形结合思想实例如下：树形图(用于列举基本事件)；Venn 图(用于理解古典概型)；一维图形(求线型几何概型的概率)；二维图形(求面积型几何概型的概率)；三维图形(求体积型几何概型的概率)．甲、乙两人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的．设在下午1：00～2：00之间有四班客车开出，开车时间分别为1：15，1：30，1：45，2：00.求他们在下述情况下乘同一班车的概率．(1)约定见车就乘；(2)约定最多等一班车．【解】 设甲、乙到站的时间分别是x 、y ，则1≤x ≤2，1≤y ≤2.试验区域为点(x ，y )所形成的正方形，以16个小方格表示，示意图如图1所示．(1)如图2所示，事件“在约定见车就乘的情况下，两人乘同一班车”所表示的区域D 如图中4个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为416＝14. (2)如图3所示，事件“在约定最多等一班车的情况下，两人乘同一班车”所示的区域D 如图中的10个加阴影的小方格所示，于是所求的概率为1016＝58. 【点评】 分别作出表示事件的平面区域，利用构造法及数形结合的思想，结合几何概型的知识加以求解，一般步骤为：适当选择观察的角度；把基本事件的总体转化为与之对应的区域；把随机事件A 转化为与之对应的区域；利用概率计算公式求解．1．从集合A ＝{－1，1，2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，1，2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A ．29B ．13C ．49D ．59详细分析：选A.从集合A 中随机选取一个数记为k ，从集合B 中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 中k ，b 的基本事件个数是9个．又若直线不经过第三象限，即k ＜0，b ＞0，而k ＜0，b ＞0包含的基本事件有(－1，1)，(－1，2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率P ＝29. 2.如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( )A ．12B ．23C ．32D ．14详细分析：选B.这是一个几何概型的题目，要使弦长大于半径，只要A ′选在如图优弧A ′1A ′2︵的位置．AA 1′＝AA 2′＝R ，则OA ＝OA 1′＝AA 1′＝R ，所以∠A 1′OA ＝60°，同理∠AOA 2′＝60°，所以360°－∠A 1′OA 2′＝240°，240°圆心角所对的弧长为23圆周，故选B. 3．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人．从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人． 详细分析：本题为古典概型概率题目，设参加联欢会的男教师为x 名，女教师为12＋x 名，因为男教师被挑选出一人的概率为x 12＋2x .所以x 12＋2x ＝920，则x ＝54，即参加联欢会的教师共有120人．答案：1204．在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京．从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？解：给每个同学标上号码：去过北京的3名同学分别记作1，2，3，未去过北京的4名同学分别记作4，5，6，7，采用每次抽1人，分两次抽取的方式进行，并按抽取顺序(x ，y )记录结果．由于是随机抽取，x 有7种可能，y 有6种可能，但(x ，y )与(y ，x )是相同的，所以抽取的所有结果有21种，同样2人都去过北京的有3×2÷2＝3种，由古典概型计算公式得P ＝321＝17.。

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]用频率估计概率结果如下表：射击次数n 102050100200500击中靶心次数m 8194492178455 击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假设该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？[解](1)由表可知，击中靶心的频率在0.9附近，故击中靶心的概率大约是0.9.(2)击中靶心的次数大约是300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．最后一次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．概率是一个常数，但除了特殊几类概型，概率并不易知，故可以用频率来估计.[跟进训练]1．对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a 50100200300400500次品件数b 345589次品频率b a(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？[解](1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．互斥事件与对立事件的概率000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1张奖券中奖的概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．[解]由题意事件A、B、C为互斥事件．(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120.(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11 000＋1100＋120＝61 1 000.(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－11 000－1100＝9891 000.]求复杂事件的概率通常有两种方法一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解.[跟进训练]2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．[解]记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.古典概型12每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？[解](1)每次取一件，取出后不放回，则连续取两次的所有基本事件共有6个，分别是(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则A包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．因为A中的基本事件的个数为4，所以P(A)＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，则所有的基本事件共有9个，分别是(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则B包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．因为B中的基本事件的个数为4，所以P(B)＝4 9.古典概型求解需注意的问题解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的穷举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏．[跟进训练] 3．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲先抽，乙后抽，各抽一张，抽到的牌不放回．(1)设(i ，j )表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．[解] (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，红桃2、红桃3、红桃4分别用2,3,4表示)为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2或4或4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙抽到的牌的牌面数字大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，所以甲胜的概率为p 1＝512，乙胜的概率为p 2＝1－p 1＝712.因为512<712，所以此游戏不公平．几何概型等边三角形的边长的概率是多少？思路点拨：密切注意题目条件，搞清几何概型的“测度”类型．[解] 在圆上随机地取两点，可以看成先取定一点后，再随机地取另一点，如图所示，△BCD 为单位圆O 的内接等边三角形，在圆O 上可取定点B ，当另一点E 取在劣弧CD 上时，BE >BC .记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，劣弧CD 的弧长是圆周长的13，所以由几何概型的概率计算公式得P (A )＝13.1．过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于该直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．[解]记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，不妨在过圆内接等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD时等于边长，弦长大于CD的条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是12.2.以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．[解]记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，作圆内接等边三角形BCD的内切圆，当以内切圆(小圆)上任一点为中点作弦时，弦长等于圆(大圆)内接等边三角形BCD的边长，所以弦长超过圆(大圆)内接等边三角形的边长时，弦的中点在小圆内，易得小圆半径为12，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝14，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝mn求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。