2019年年全国高中数学联赛四川省初赛题集与答案(word版).doc

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。

为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。

请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。

解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。

墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。

因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。

用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。

因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。

当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。

当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。

所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。

因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。

2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。

求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。

全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______． 答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧2分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______． 答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种； 长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种 （一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ． （1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差 的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥． 分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=． 答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=， 则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-， 故2α<； 若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意； 另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类． 假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成 立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两 个除1k +外不交，故命题成立． 综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件． 任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个； 首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立； 若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立． 综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答2014高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得全国高中数学联赛试题及解答一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。

æ 4ö 【竞赛试题】2019 年全高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1. 已知实数集合{1, 2, 3, x } 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 x 的 值为 ．答案：-3 ．解：条件等价于1, 2, 3, x 中除最大数以外的另三个数之和为 0 ．显然 x < 0 ， 从而1 + 2 + x = 0 ，得 x = -3 ．2. 若平面向量 a = (2m , -1) 与 b = (2m -1, 2m +1) 垂直，其中 m 为实数，则 a 的 模为 ． 答案： 10 ． 解：令 2m = t ，则 t > 0 ．条件等价于 t ⋅ (t -1) + (-1) ⋅ 2t = 0 ，解得 t = 3 ．因此 a 的模为 32 + (-1)2 = 10 ．3. 设a , b Î (0, p ) ，cos a , cos b 是方程5x 2 -3x -1 = 0 的两根，则sin a sin b 的 值为． 答案：7 ．5解：由条件知 cos a + cos b = 3 , cos a cos b = - 1，从而5 5(s i n a sin b )2 = (1- c os 2 a )(1- c os 2 b ) = 1- cos 2 a - cos 2 b + cos 2 a cos 2 b2 2= (1+ cos a cos b )2 - (cos a + cos b )2 = ÷ æ 3ö - = 7 ． ç ÷ ç ÷ çè 5 ø çè5ø 25又由a , b Î (0, p ) 知sin a sin b > 0 ，从而sin a sin b = 7．54. 设三棱锥 P - ABC 满足 PA = PB = 3, AB = BC = CA = 2 ，则该三棱锥的 体积的最大值为 ．答案： 2 6 ．3解：设三棱锥 P - ABC 的高为 h ．取M 为棱 AB 的中点，则h £ PM = 32 -12 = 2 2 ．当平面 PAB 垂直于平面 ABC 时， h 取到最大值 2 2 ．此时三棱锥 P - ABC 的体r n -rnn积取到最大值 1S⋅= 1 ⋅ = 2 6 ．3 D ABC3 35. 将 5 个数 2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为 ． 答案：95 ． 解：易知 2, 0, 1, 9, 2019 的所有不以 0 为开头的排列共有 4´ 4! = 96 个．其中， 除了 (2, 0, 1, 9, 2019) 和 (2019, 2, 0, 1, 9) 这两种排列对应同一个数 20192019 ，其余 的数互不相等．因此满足条件的 8 位数的个数为96 -1 = 95 ．6. 设整数 n > 4 ，( x + 2 的值为． 答案：51． y -1)n 的展开式中x n -4 与 xy 两项的系数相等，则 nn解：注意到 ( x + 2 y -1)n= år =0C n x (2 y -1)r ． 其中 x n -4 项仅出现在求和指标 r = 4 时的展开式 C 4 x n -4 (2 y -1)4中，其 x n -4 项系数为 (-1)4 C 4 = n (n -1)(n - 2)(n -3) ．n24而 xy 项仅出现在求和指标 r = n -1 时的展开式 C n -1x ⋅ (2y -1)n -1 中，其 xy 项系数为 n -1 2 n -3 n -3C n C n -1 4⋅ (-1) = (-1) 2n (n -1)(n - 2) ．因此有 n (n -1)(n - 2)(n - 3)= (-1)n -3 2n (n -1)(n - 2) ．注意到 n > 4 ，化简得24n - 3 = (-1)n -3 48 ，故只能是 n 为奇数且 n - 3 = 48 ．解得 n = 51 ．7. 在平面直角坐标系中，若以 (r +1, 0) 为圆心、 r 为半径的圆上存在一点 (a , b ) 满足b 2 ³ 4a ，则 r 的最小值为．答案： 4 ．解：由条件知 (a - r -1)2 + b 2 = r 2 ，故4a £ b 2 = r 2 - (a - r -1)2 = 2r (a -1) - (a -1)2 ． 即 a 2 - 2(r -1)a + 2r +1 £ 0 ． 上述关于 a 的一元二次不等式有解，故判别式(2(r -1))2 - 4(2r +1) = 4r (r - 4) ³ 0 ，解得 r ³ 4 ．经检验，当 r = 4 时， (a , b ) = (3, 2 3) 满足条件．因此 r 的最小值为 4 ．8. 设等差数列{a n } 的各项均为整数，首项 a 1 = 2019 ，且对任意正整数 n ，总 存在正整数 m ，使得 a 1+ a 2 ++ a n = a m ．这样的数列{a n } 的个数为．答案：5 ．解：设{a n } 的公差为 d ．由条件知 a 1 + a 2 = a k （ k 是某个正整数），则2a 1 + d = a 1 + (k -1)d ，a 1即 (k - 2)d = a 1 ，因此必有 k ¹ 2 ，且d =k - 2．这样就有 a = a + (n -1)d = a + n -1a ， n 1 1 k - 2 1í而此时对任意正整数 n ，a +a++ a = a n + n (n -1) d = a + (n -1)a + n (n -1) d 1 2 n 1 2 1 12æ n (n -1) ö = a + (n -1)(k - 2) + d ，确实为{a n } 中的一项．ç 1 çè 2 ø 因此，仅需考虑使 k - 2| a 1 成立的正整数 k 的个数．注意到 2019 为两个素数3 与 673 之积，易知 k - 2 可取-1, 1, 3, 673, 2019 这5 个值，对应得到5 个满足条 件的等差数列．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）在椭圆G 中， F 为一个焦点， A , B 为两个顶点．若 FA = 3, FB = 2 ，求 AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆 G 的标准方程为 x2y 2+= 1 (a > b > 0) ，并记 c = a 2 b 2a 2 -b 2 ．由对称性，可设 F 为 G 的右焦点． 易知 F 到 G 的左顶点的距离为 a +c ，到右顶点的距离为 a - c ，到上、下顶点的距离均为 a ．分以下情况讨论：(1) A , B 分别为左、右顶点．此时a + c = 3, a - c = 2 ，故 AB = 2a = 5 （相应地，b 2= (a + c )(a - c ) = 6 ，G 的方程为4 x 2y 2+ = 1 ）． …………………4 分25 6(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时 a + c = 3, a = 2 ，故 c = 1 ，进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 3 ，所以 AB =a 2 +b 2= 7（相应的 G 的方程为 x + y = 1 ）．4 3…………………8 分(3) A 为上顶点或下顶点， B 为右顶点．此时 a = 3, a - c = 2 ，故 c = 1 ，进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 8 ，所以 AB =a 2 +b 2 = 17（相应的 G 的方程为 x + y= 1 ）．9 8…………………12 分综上可知， AB 的所有可能值为5, 7, 17 ． …………………16 分10. （本题满分 20 分）设 a , b , c 均大于 1，满足ìïlg a + log b c = 3, ïîlg b + log a c = 4. 求 lg a ⋅ lg c 的最大值．解：设lg a = x , lg b = y , lg c = z ，由 a , b , c >1可知 x , y , z > 0 ． 由条件及换底公式知 x + z = 3, y + z= 4 ，即xy + z = 3y = 4x ． y x…………………5 分。

2019年全国高中数学联赛（四川预赛）试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.t T T T1•设正六边形ABCDEF的边长为1，则（AB DC）（AD BE） = ___________ .2 2x y2•双曲线r 牙=1的右焦点为F，离心率为e,过点F且倾斜角为一的直线与该双曲线a b 3交于点A、B，若AB的中点为M，且FM等于半焦距，则e= _______________________ .3•满足（a，bi）6=a-bi （其中a,b・R, i2=-1）的有序数组（a,b）的组数是_______________ .4•已知正四棱锥:的高为3,侧面与底面所成角为•，先在】内放入一个内切球01，然后3依次放入球02、03、04、…，使得后放入的各球均与前一个球及:的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为____________ .5•设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个，现每次从袋子里取出一个球（取出某色球的概率均相同），确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止. 记此时取出球的次数为', 则•的数学期望为_____________26.已知a为实数，且对任意k • ［-1,1］,当（0,6］时，61 n x • x -8x a乞kx恒成立,则a的最大值是7.已知数列｛a n｝满足：a n=［（2 •、一畀• A］（n・N*），其中［x］表示不超过实数x的最大整2数.设C为实数，且对任意的正整数n，都有—_C .则C的最小值是i 吕a i a i 28•若正整数n使得方程x3+y3 =z n有正整数解（x, y, z），称n为好数”则不超过2019的好数”个数是________ .二、解答题：本大题3小题，满分56分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）设点A的坐标为（0,3），点B, C为圆O : X2■ y2二25上的两动点，满足.BAC =90：，求ABC面积的最大值.V310.(本题满分20分)设a,b C0,■为实数，使得 1 ■ (1 a)(1 b)(1 c)J a + b + c恒成立，求■的最大值.211.(本题满分20分)已知函数f(x)=xl nx-ax,a・R .f(x) ax[ 2厶；(1 )证明：当1：：x：3时，(3—x)e e(2)设函数F(x)二f (x) (x • [1,e])有极小值，求a的取值范围.<"|；/- ^SC^S-^-\AB AC\^-i -Ifl ： +MC |--|fl( p -^AF\-L 』4U 5?初均年全国高中数学联赛（四川预赛）试廳 参考答案及评分标准 1.障厠试卷鮮・■嵌畫粉标冷.加宅鳩只设■井押0井瀟柠t 期*・4舟一牛档出、 « M&和第11 ■均为$好~牛胃状.*产幡號廉许井揚裁耀定前蒂甘档决巒甘，下豪再塔 ID 其它中同M2T. 1,如罹甘生的馨省島方注和本辅巷不厨.H«e 略奋屢，步豪出确*在许醐咄即" 也评廿标粧评莎. -%厚空IL *^：HM8d^P 得小屈8乩酒井6J 舟厂 IX 1 ]r -3 2. Jj * S 4. ] if 5- 12 札 6-61nlt 7. — ?> 1144 二、解苔聽：术太越那堆.満分轴.ttWS*；岀文事谎耶*订璃过趕!S 演"涉确. 9牡理X 汁怡好 汝恵」戸Th ，”。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。

2019年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1． 给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（ ） (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是 【答】（ ） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253． 若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则 【答】（ ）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4． 给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么 【答】（ ） (A ) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】（ ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36． 已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定 【答】（ ） 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

四川⾼中数学竞赛试题及答案全国⾼中数学联合竞赛（四川初赛）⼀、单项选择题（本⼤题共6个⼩题，每⼩题5分，共30分）1、函数()f x 对于任意实数x 满⾜：()()13f x f x +=-，若(0)2f =，则(2013)f =【】A 、12- B 、12C 、2D 、20132、设等差数列{}n a 与等⽐数列{}n b 满⾜：11550a b a b <=<=，则下述四个结论：① 33a b < ；②33a b >；③66a b >；④66a b <中正确的个数是【】 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3、已知⼆⾯⾓l αβ--的平⾯⾓为θ，PA α⊥，PB β⊥，A 、B 为垂⾜，5PA =，4PB =，设A 、B 到⼆⾯⾓的棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(,)x y 的轨迹为下列图形中的【】A 、B 、C 、D 、4、从[0,10]上任取⼀个数x ，从[0,6]上任取⼀个数y ，则使得|5||3|4x y -+-≤的概率是【】A 、15 B 、13 C 、12 D 、345、当平⾯上的点(,)x y 的坐标x 、y 都为有理数时，该点称为有理点，设r 是给定的正实数，则圆222(1)(2)x y r -+-=上的有理点【】A 、最多有⼀个B 、最多有两个C 、最多有四个D 、可以有⽆穷多个 6、△ABC 中，90C ∠= ，30B ∠= ,2AC =，M 是AB 的中点，将△ACM 沿CM 翻折，使A 、B 两点间的距离为22，则三棱锥A BCM -的体积等于【】A 、23B 、23C 、63D 、223⼆、填空题（本⼤题共6个⼩题，每⼩题5分，共30分）7、已知函数xxx f ++=13)(，记m f f f f =++++)1024()4()2()1( ，n f f f f =++++)10241()81()41()21( ，则=+n m ． 8、已知i 是虚数单位， 23420131z i i i i i =++++++ ，把复数z 的共轭复数记为z ，则z z ?= ．9、实数y x ,满⾜11622=+y x ，则22y x +的最⼤值是． 10、关于曲线C ：421x y +=的下列命题：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线y x =对称；③曲线C 所围成的⾯积⼩于π；④曲线C 所围成的⾯积⼤于π，其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）11、设n 是⼩于100的正整数，且满⾜211(1)35n n -+为整数，则符合条件的所有正整数n 的和为． 12、已知函数x xax f -=)(，对任意(0,1)x ∈，有()(1)1f x f x ?-≥恒成⽴，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本⼤题共4个⼩题，每⼩题20分，共80分）13、设实数0ω>，已知函数2π()sin 3sin sin()2f x x x x ωωω=+?+的最⼩正周期是π2．求()f x 在ππ[,]84上的最⼤值与最⼩值．14、已知函数323()31x x f x x +=+，数列{}n x 满⾜：12x =，*1()()n n x f x n N +=∈，记1311log ()1n n n x b x ++-=+ *()n N ∈． ( I ) 求证：数列{}n b 成等⽐数列，并求数列{}n b 的通项公式；（II ）记n n c nb =-*()n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和公式n T ．15、已知点(0,1)B ，P 、Q 为椭圆2214x y +=上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥．（I ）若点B 在线段PQ 上的射影为点M ，求M 的轨迹⽅程；（II ）求线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围．16、若实数0x 满⾜00()f x x =，则称0x x =为()f x 的不动点．已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b 为常数．（Ｉ）若0a =，求函数()f x 的单调递增区间；（II ）若0a =时，存在⼀个实数0x ，使得0x x =既是()f x 的不动点，⼜是()f x 的极值点．求实数b 的值；（III ）求证：不存在实数组(,)a b ，使得()f x 互异的两个极值点皆为不动点．2013年全国⾼中数学联赛（四川）初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考⽣的解答题⽅法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分⼀个档次，不要再增加其它中间档次. ⼀、选择题（本⼤题共6个⼩题，每⼩题5分，共30分）1、A2、B3、C4、C5、B6、D ⼆、填空题（本⼤题共6个⼩题，每⼩题5分，共30分）7、42 8、2 9、94 10、①④ 11、635 12、1{|1}4a a a ≥≤-或三、解答题（本⼤题共4个⼩题，每⼩题20分，共80分） 13、已知函数2π()sin 3sin sin()(0)2f x x x x ωωωω=+?+>的最⼩正周期是π2．求()f x 在ππ[,]84上的最⼤值与最⼩值．解：1cos23()sin 222x f x x ωω-=+311sin 2cos2222x x ωω=-+1sin(2)62x πω=-+，（5分）由条件知222T ππω==，则2ω=．于是1()sin(4)62f x x π=-+，（10分）当84x ππ≤≤时，54366x πππ≤-≤，故1sin(4)126x π≤-≤，即131sin(4)622x π≤-+≤．（15分）所以，()f x 在6x π=时取最⼤值32，在4x π=时取最⼩值是1．（20分）14、已知函数323()31x xf x x +=+，数列{}n x 满⾜：12x =，*1()()n n x f x n N +=∈.，记1311log ()1n n n x b x ++-=+ *()n N ∈．( I ) 求证：数列{}n b 成等⽐数列，并求数列{}n b 的通项公式；（II ）记n n c nb =-* ()n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和公式n T ．解：（1）33232133212311()131331131()13311131n nn n n n n n n n n n n n n n n n x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x +++-??--+-+--==== ?+++++++??++ （5分）于是133111log ()3log ()11n n n n x x x x ++--=++，即13n n b b +=，所以数列{}n b 成等⽐数列．⼜1321log ()121b -==-+，于是13n n b -=-，所以．数列{}n b 的通项公式为13n n b -=-．（10分）（II ）由（I ）知，13n n b -=-，故13n nc n -=?，01211323333n n T n -=?+?+?++? ， 12331323333n n T n =++++ ，于是213121333332n n nn n T n n ---=++++-?=-? ，（15分）即 331(21)31244n n n n n n T ?--?+=-=，所以，数列{}n c 的前n 项和公式*(21)31()4n n n T n N -?+=∈. （20分） 15、已知点(0,1)B ，P 、Q 为椭圆2214x y +=上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥，（I ）若点B 在线段PQ 上的射影为M ，求M 的轨迹⽅程；（II ）求线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围．解：（I ）设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的⽅程为y kx m =+，与椭圆⽅程联⽴消去y 得：222(14)8440k x kmx m +++-=，所以122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，（5分）由BP BQ ⊥得1212111y y x x --?-，即121212()10x x y y y y +-++=，从⽽可得22222(1)(44)8(1)(1)04141k m kmk m m k k +--+-?-=++化简得25230m m --=，解得1m =（舍去）或35m =-．设(,)M x y ，因为BM PQ ^，所以1xk y =--，代⼊PQ ⽅程得2315x y y =---，整理得22214()()55x y +-=，由题意知轨迹不经过点(0,1)B ．所以，动点M 的轨迹⽅程为：22214()()(1)55x y y +-=≠．（10分）（II ）PQ ⽅程为35y kx =-，所以1221225(41)x x k k +=+，122325(41)y y k +-=+ 所以PQ 中垂线⽅程为223112()5(41)5(41)ky x k k k +=--++，（15分）其在x 轴上的截距为295(41)kb k =+，所以,992020b -≤≤．（20分）16、若实数0x 满⾜00()f x x =，则称0x x =为()f x 的不动点．已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b 为常数．（I ）若0a =，求函数()f x 的单调递增区间；（II ）若0a =时，存在⼀个实数0x ，使得0x x =既是()f x 的不动点，⼜是()f x 的极值点．求实数b 的值；（III ）求证：不存在实数组(,)a b ，使得()f x 互异的两个极值点皆为不动点．解：（I ）若0a =，3()3f x x bx =++，故2()3f x x b '=+．当0b ≥时，显然()f x 在R 上单增；当0b <时，由()0f x '>知3b x >-或3bx <--．所以，当0b ≥时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0b <时，()f x 的单调递增区间为(,)3b -∞--，(,)3b -+∞．（5分）（II ）由条件知203000303x b x bx x ?+=?++=?，于是300230x x +-=，即2000(1)(223)0x x x -++=，解得01x =从⽽3b =-．（10分）（III ）假设存在⼀组实数(,)a b 满⾜条件．由条件知2()32f x x ax b '=++，因为()f x 的两个不同极值点，则24120a b ?=->，即23a b >．①设()f x 的两个不同极值点为12,x x ，其中12x x <，则12,x x 是⽅程2320x ax b ++=的两实根，所以12122,33a b x x x x +=-=．⼜由12,x x 是()f x 的不动点，则12,x x 是⽅程32(1)30x ax b x ++-+=的两根，设其另⼀个根为3x ．故32123(1)3()()()x ax b x x x x x x x ++-+=---即3232123122331123(1)3()()x ax b x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=-+++++-故有12312233112313x x x ax x x x x x b x x x ++=-??++=-??=-?于是393a x b=-=-，从⽽27ab =．②⼜1212321()()()333b a a b x x x x x -=++=+--，即2221093a b-+=，故2218109a a-+=，即3291620a a +-= （15分）令3()29162g x x x =+-，则2()690g x x '=+> 故()g x 在R 上单增，从⽽()0g x =⾄多有⼀个实根；⼜因为(0)1620g =-<， (4)20g =>，从⽽()0g x =⾄少有⼀个实根；所以，()0g x =恰有⼀个实数根(0,4)x a =∈．由①、②知2 813a b a>=，即381a >，这与(0,4)a ∈，⽭盾！（20分）所以，不存在实数组(,)a b ，使得()f x 互异的两个极值点皆为不动点．。

中国教育学会中学数学教学专业委员会《数学周报》杯” 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案题号-一一 _ 二 _ 三总分1〜56〜1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答2•解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为 A , B , C , D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 .请将正确选项的代号填入题后的括号 里.不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x , y 满足 刍二=3, y 4 - y^3，则-44 y 4的值为().XXx(A ) 7 (B )(C ) 7 "3(D )52 2【答】(A ) 解：因为x 20，y 2 > 0,由已知条件得-1,13244 y 4 乡 3 3-y 2£ -y 2 6 =7.X XX程为t 2 +t-3=0，所以(一W )+ y 2 =-1, (―寸=-3X X2.把一枚六个面编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为 m , n ,则二次函数y = x 2 • mx • n 的图象与X 轴 有两个不同交点的概率是().(D)所以另解：由已知得: 2 2 2」(一P )2+(—P )—3=0 X X Q 2) + y 2-3 = 0显然 2 2 2 2 2 -y 2，以- 2 ,y 2为根的一元二次方 XX42故 4y 4 二[(- 2)y 2]2 -2XX2 2 22)y =(T) -2 (-3)=7 X12.4 4 4 3［答］（ C ）解：基本事件总数有60 = 36,即可以得到36个二次函数.由题意知；_ =_4n >0,即卩 m 2 >4n .通过枚举知，满足条件的 m, n 有 17 对.363.有两个同心圆，大圆周上有 4个不同的点，小圆周上有 可以确定的不同直线最少有（）.2个不同的点，则这6个点 (A ) 6条 (B ) 8 条(C ) 10 条(D ) 12 条【答］（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线 可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点 E ，F 中，至少有一 个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ， D 的连线中，至少有两条不同于 A ，B ，C ，D 的两两连线.从而这 6个点可以确定的直线不少于 8条.当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定 8条直线. 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.4 .已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且 AB 二a ：：：1 .以AB 为一边在圆O 内作正△ ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB 二AB 二a ， AE 的长为（）.(B) 1（C ）乎【答］（B ）解:女口图，连接 OE ，OA ，OB .设.D =:，贝UECA=120- EAC .11又因为 ABO ABD 60180 -2：-120 -:22所以△ ACE 也△ ABO ，于是AE = OA = 1 .另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 为半径 作。

2019年全国高中数学联赛（四川预赛）试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.设正六边形ABCDEF 的边长为1，则()()AB DC AD BE +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r .2.双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，离心率为e ，过点F 且倾斜角为3π的直线与该双曲线交于点A B 、，若AB 的中点为M ，且FM 等于半焦距，则e = ．3.满足6(i)i a b a b +=-（其中2,R,i 1)a b ∈=-的有序数组(,)a b 的组数是 ．4.已知正四棱锥Γ的高为3，侧面与底面所成角为3π，先在Γ内放入一个内切球1O ，然后依次放入球2O 、3O 、4O 、L ，使得后放入的各球均与前一个球及Γ的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为 ．5.设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个，现每次从袋子里取出一个球（取出某色球的概率均相同），确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止．记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为 ．6.已知a 为实数，且对任意[1,1]k ∈-，当(0,6]x ∈时，26ln 8x x x a kx +-+≤恒成立，则a 的最大值是 ．7.已知数列{}n a满足：*1[(2](N )2n n n a n =++∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．设C 为实数，且对任意的正整数n ，都有121ni i i C a a =+≤∑．则C 的最小值是 ． 8.若正整数n 使得方程33n x y z +=有正整数解(,,)x y z ，称n 为“好数”，则不超过2019的“好数”个数是 ．二、解答题：本大题3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设点A 的坐标为(0,3)，点,B C 为圆22:25O x y +=上的两动点，满足90BAC ∠=o ，求ABC ∆面积的最大值．10.（本题满分20分）设,,(0,1]a b c ∈，λ为实数，1(1)(1)(1)a b c λ≥+---恒成立，求λ的最大值．11.（本题满分20分）已知函数2()ln ,R f x x x ax a =-∈．（1）证明：当13x <<时，2()21(3)x f x ax x x e e+-+>-； （2）设函数()()([1,])F x f x x e =∈有极小值，求a 的取值范围．。

全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______． 答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =． 分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧2分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______． 答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种； 长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种 （一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ． （1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差 的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥． 分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=． 答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=， 则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-， 故2α<； 若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意； 另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类． 假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成 立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两 个除1k +外不交，故命题成立． 综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件． 任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个； 首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立； 若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立． 综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答2014高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得全国高中数学联赛试题及解答一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。

二00九年高中数学联赛四川赛区初赛试题一、选择题（每小题5分，共30分） 1、下列函数中，以2π为最小正周期的偶函数是（ ） A 、x x y 2cos 2sin += B 、x x y 2cos 2sin = C 、x x y 2cos sin 2+= D 、x x y 2cos 2sin 22-=2、甲、乙两人之间进行一场打完7局的比赛（每局无平局），则比赛结果出现甲比乙 为4:3的概率是A 、12835 B 、165 C 、74 D 、85 3、函数2x y =的图象1F 与它按向量)1,(m =平移后的函数图象2F 在1=x 处的切线互相垂直，则实数m 的值为（ ）A 、45-43-、B C 、43 D 、454、设数列}{n a 满足：21=a ，nn a a 111-=+，记数列}{n a 的前n 项之积为n P ，则2009P 的值为（ ） A 、21-B 、1-C 、21D 、15、已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-=+k y kx k y x 22222仅有一组实数解，则符合条件的实数k 的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 6、已知c b a ,,均为大于0的实数，设命题P ：以c b a ,,为长度的线段可以构成三角形的三边 命题Q ：)(2222ca bc ab c b a ++<++则P 是Q 的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 二、填空题（每小题5分，共30分）7、若实数x 满足θcos 1log 2+=x ，其中]02[，πθ-∈，则函数|3|2|1|)(-+-=x x x f 的最大值等于 ．8、设二项式01221212222)13a x a x a x a x a x n n n n n +++++=--- （记n n a a a T 220+++= ，1231-+++=n n a a a R ，则=+∞→nnn R T lim．9、已知ABC ∆的三边长分别为3、4、5，点P 为ABC ∆内部（不含边界）一动点，则点P 到三边距离之积的最大值等于 ． 10、在长方体1111D C B A ABCD -中，棱6=AB ，21==BB BC ，点P 是线段1BC 上的一动点，则1PB AP +的最小值是 ． 11、集合},21241|{R x x A x ∈≤≤=，}012|{2≤+-=tx x x B ， 若A B A =⋂，则实数t 的取值范围是 .．12、直线1l 与直线2l 平行，1l 上有5个不同的点，2l 上有10个不同的点，将1l 上的点与2l 上的点连线段，若没有三条线段交于同一点，则这些线段之间的交点共有 个．（用具体的数字作答）三、解答题13、已知奇函数)(x f 在定义域]3,3[-内是减函数，且0)2()2(2<-+-x f x x f ，求实数x 的取值范围．14、如图，已知PB PA ，是⊙O 的两条切线，PCD 是⊙O 的一条割线，E 是AB 与PD 的交点． 证明：DECEPD PC =．_ _ B15、如图，双曲线的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为21l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交21l l ，于B A ，两点．又已知该双曲线的离心率25=e ．16、设正实数c b a ,,，满足c b a ≤≤，且9222=++c b a ．证明：a abc 31>+．二00九年高中数学联赛四川赛区初赛试题详细参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（每小题5分，共30分） 1、下列函数中，以2π为最小正周期的偶函数是（ ） A 、x x y 2cos 2sin += B 、x x y 2cos 2sin = C 、x x y 2cos sin 2+= D 、x x y 2cos 2sin 22-= 解：在A 中，取4π=x ，则1=y ；取4π-=x ，则1-=y ，从而y 不是偶函数；在B 中，x y 4sin 21=，它不是偶函数； 在C 中，22cos 1xy +=，它的最小正周期为π；在D 中，x y 4cos -=，符合条件．故答案选D ．2、甲、乙两人之间进行一场打完7局的比赛（每局无平局），则比赛结果出现甲比乙 为4:3的概率是A 、12835 B 、165 C 、74 D 、85 解：符合条件的概率为128352747=C ．故答案选A ．3、函数2x y =的图象1F 与它按向量)1,(m =平移后的函数图象2F 在1=x 处的切线互相垂直，则实数m 的值为（ ）A 、45-43-、B C 、43 D 、45解：因为2)1(='y ，故2F 的函数为12--=）（m x y ，其在1=x 处的切线的斜率为）（m k -=122，由1122-=-⨯）（m 知45=m ．故答案选D ．4、设数列}{n a 满足：21=a ，nn a a 111-=+，记数列}{n a 的前n 项之积为n P ， 则2009P 的值为（ ） A 、21-B 、1-C 、21D 、1解：因为1111111112--=--=-=++n nn n a a a a ， 于是n n n n a a a a =---=-=++11111123，故}{n a 是以3为周期的周期数列 又21=a ，212=a ，13-=a ，从而13-=P 所以，1126692009-=-=P P ）（．故答案选B ．5、已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-=+ky kx k y x 22222仅有一组实数解，则符合条件的实数k 的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4解：若0=k ，显然方程组仅有一组解（0，0），故0=k 符合条件； 若0≠k ，则2222k y x =+的图象是一个以)0,0(为圆心，以||2k r =为半径的圆，而k y kx 2=-表示直线．由题设条件知||21|2|2k k k =+，即222214k k k =+，解得1±=k ． 综上所述，符合条件的实数k 共有3个．故答案选C ．6、已知c b a ,,均为大于0的实数，设命题P ：以c b a ,,为长度的线段可以构成三角形的三边 命题Q ：)(2222ca bc ab c b a ++<++则P 是Q 的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件解：一方面，若P 成立，则a c b >+，故2)(a c b a >+，即2a ac ab >+同理：2b bc ba >+，2c cb ca >+所以，)(2222ca bc ab c b a ++<++，即Q 成立．另一方面，若Q 成立，取2,1===a c b ，这时以c b a ,,为长度的线段不能构成 三角形的三边，即P 不成立．综上所述，P 是Q 的充分但不必要条件．故选A ．二、填空题（每小题5分，共30分）7、若实数x 满足θcos 1log 2+=x ，其中]02[，πθ-∈，则函数|3|2|1|)(-+-=x x x f 的最大值等于 ． 解：由条件知]2,1[cos 1∈+θ，则42≤≤x ， 从而|3|21)(-+-=x x x f当32≤≤x 时，x x x x f -=-+-=5|3|21)(，此时最大值为3； 当43≤≤x 时，73|3|21)(-=-+-=x x x x f ，此时最大值为5． 综上所述，)(x f 在4=x 时取到最大值5．8、设二项式01221212222)13a x a x a x a x a x n n n n n +++++=--- （记n n a a a T 220+++= ，1231-+++=n n a a a R ，则=+∞→nnn R T lim．解：取1=x ，得∑==ni i na 2022；取1-=x ，得∑=-=ni i i na 202)1(4从而24222n n n T +=，24222nn n R -=于是14242lim lim 2222-=-+=+∞→+∞→n n nn n nn n R T ．故答案填1-．9、已知ABC ∆的三边长分别为3、4、5，点P 为ABC ∆内部（不含边界）一动点， 则点P 到三边距离之积的最大值等于 ．解：设543===c b a ，，，则ABC ∆为直角三角形，其面积为6=∆ABC S ． 记点P 到三边c b a ，，的距离分别为c b a h h h ，，， 则122==++∆ABC c b a S ch bh ah故1516604)3(133==++≤⋅⋅=c b a c b a c b a ch bh ah abc abc ch bh ah h h h 等号当且仅当⎩⎨⎧=++==12c b a cb a ch bh ah ch bh ah ，即PCA PBC PAB S S S ∆∆∆==，亦即P 为ABC ∆的重心时取得．故答案填1516． 10、在长方体1111D C B A ABCD -中，棱6=AB ，21==BB BC ，点P 是线段1BC 上的一动点，则1PB AP +的最小值是 ．解：如图， 将11C BB ∆沿1BC 为轴旋转至与平面1ABC 共面，得12C BB ∆， 则1352=∠ABB ，故 21PB AP PB AP +=+25135cos 26226222=⨯⨯-+=≥ ）（AB ．等号当且仅当P 为2AB 与1BC 的交点时取得． 故答案填25．11、集合},21241|{R x x A x ∈≤≤=，}012|{2≤+-=tx x x B ， 若A B A =⋂，则实数t 的取值范围是 .． 解：因为}12|{-≤≤-=x x A ，B A ⊆故0122≤+-tx x 在]1,2[--∈x 上恒成立． 又t x x 21≥+，而]1,2[--∈x 时]2,25[1--∈+x x所以 t 225≥-，即45-≤t ． 所以，实数t 的取值范围是]45,(--∞．故答案填]45,(--∞．12、直线1l 与直线2l 平行，1l 上有5个不同的点，2l 上有10个不同的点，将1l 上的点与2l 上的点连线段，若没有三条线段交于同一点，则这些线段之间的交点共有 个．（用具体的数字作答）解：经过任何一个交点的两条线段的4个端点，两个在1l 上，两个在2l 上，以它们为顶点，构成一个四边形，这个交点就是四边形对角线的交点．所以，任何一个交点与两个顶点在1l 上，两个顶点在2l 上的四边形一一对应．所以，所求的交点个数共有45021025=C C ．故答案填450．三、解答题13、已知奇函数)(x f 在定义域]3,3[-内是减函数，且0)2()2(2<-+-x f x x f ， 求实数x 的取值范围．解：由)(x f 的定义域知⎩⎨⎧≤-≤-≤-≤-3233232x x x解3232≤-≤-x x 得 31≤≤-x解323≤-≤-x 得51≤≤-x所以有31≤≤-x ① ……5分因为)(x f 是奇函数，得)2()2()2(2x f x f x x f -=--<- ……10分又因为)(x f 在定义域内单减，故x x x ->-222解得1-<x 或2>x ② ……15分由①、②得32≤<x ，即实数x 的取值范围为]3,2(． ……20分 14、如图，已知PB PA ，是⊙O 的两条切线，PCD 是⊙O 的一条割线，E 是AB 与PD的交点． 证明：DECEPD PC =． 证法一：连结BC AD AC ，，和BD ，则PBDPBCPAD PAC S S S S PD PC ∆∆∆∆== ……5分 ∵ PAC ∆∽PDA ∆ ，_ _ BPBC ∆∽PDB ∆∴22AD AC S S PAD PAC =∆∆，22BDBC S S PBD PBC =∆∆ ∴BDBCAD AC = ……10分 ∴BDBCAD AC AD AC PD PC ⋅==22 ① 又∵ACE ∆∽DBE ∆ ， BCE ∆∽DAE ∆∴DE AE DB AC = ②, AECEDA BC = ③ ……15分 故由①、②、③得 DECEPD PC = ……20分证法二：（同证法一前）∴BDBCAD AC AD AC PD PC ⋅==22 ① 又∵ADBACBBDE DAE BCE ACE BDE BCE DAE ACE S S S S S S S S S S DE CE ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=++=== ……15分 而180=∠+∠ADB ACB ，∴ADB ACB ∠=∠sin sin∴DBDA CBAC ADB DB DA ACB CB AC DE CE ⋅⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅=sin sin ② 由①、②知DECEPD PC =． ……20分15点F 垂直于1l （I ）求证：|||OA （II ）若，（5F 截得的弦CD 的长度．解：（I故2254c a =① 从而222251c a c b =-= ②，故21525==c ca b 设θ=∠=∠BOF AOF ，则21tan =θ ……5分 故 34tan 1tan 22tan tan 2=-==∠θθθAOB 34= 令)0(3||>=m m OA ，则m AB 4||=，m OB 5||=，满足||2||||AB OB OA =+， 所以， ||||||OB AB OA 、、依次成等差数列 ……10分（II ）由已知52=c ，代入①，②得1,422==b a ，于是双曲线的方程为1422=-y x 设直线AB 的斜率为k ，则2cot tan tan ==∠=∠=θAFO BFX k于是直线AB 的方程为：)5(2-=x y ……15分联立⎪⎩⎪⎨⎧=--=14)5(222y x x y ，消y 得 084532152=+-x x 故弦CD 的长度341584154)532(5151||22=⨯⨯--⨯=∆⋅+=k CD ……20分16、设正实数c b a ,,，满足c b a ≤≤，且9222=++c b a ．证明：a abc 31>+．证法一：由条件知222239a c b a ≥++=，故3≤a ． ……5分又由0))(2222≥--a b a c （知222229a a a c b a bc -=-+≥ ……10分 只须证 132922->-a a a （1）当013<-a ，即310<<a 时，结论显然成立；（2）当013≥-a ，即3331≤≤a 时，只须证 224)13()29(-≥-a a a 即证 016992246<+-+-a a a a因为599216992246246-+-<+-+-a a a a a a a)2()3)(1)(12(2222+----=a a a a ……15分 又3331≤≤a 时，有02,03,01,0122222>+<-<-<-a a a a 所以，016992246<+-+-a a a a ……20分证法二：由条件知222239a c b a ≥++=，故3≤a ． ……5分 又由0))(2222≥--a b a c （知222229a a a c b a bc -=-+≥ ……10分 只须证 132922->-a a a（1）当013<-a ，即310<<a 时，结论显然成立； （2）当013≥-a ，即3331≤≤a 时，只须证 224)13()29(->-a a a 即须证 016992246<+-+-a a a a记 16992)(246+-+-=a a a a a f因为 6183612)(35-+-='a a a a f )3(6)3(1223-+-=a a a 当3331≤≤a 时，有03,032<-<-a a 故当3331≤≤a 时0)(<'a f ， 因此)(a f 在3331≤≤a 时单调递减 ， ……15分 所以，0136393932)31()(246<+-+-=≤f a f ，即（*）成立 ……20分16、设正实数c b a ,,，满足c b a ≤≤，且9222=++c b a ．证明：a abc 31>+．证明：由条件知222239a c b a ≥++=，故3≤a ． ……5分 又由0))(2222≥--a b a c （知222229a a a c b a bc -=-+≥ ……10分 只须证 a a a 312922>+-（1）若10≤<a ，则497292>≥-a ，从而2229294a a a >- 于是2222229294)129(a a a a a >-≥+-所以，a a a 312922>+-． ……15分（2）若31≤<a ，则只须证 132922->-a a a 即证 016992246<+-+-a a a a又因为599216992246246-+-<+-+-a a a a a a a0)2()3)(1)(12(2222<+----=a a a a ，结论成立． ……20分。

2019年全国高中数学联赛(四川预赛)试题
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.
1、设正六边形得边长为1,则、
2、双曲线得右焦点为,离心率为,过点且倾斜角为得直线与该双曲线交于点,若得中点为,且等于半焦距,则.
3、满足(其中得有序数组得组数就是.
4、已知正四棱锥得高为3,侧面与底面所成角为,先在内放入一个内切球,然后依次放入球、、、,使得后放入得各球均与前一个球及得四个侧面均相切,则放入所有球得体积之与为.
5、设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个,现每次从袋子里取出一个球(取出某色球得概率均相同),确定颜色后放回,直到连续两次均取出红色球时为止.记此时取出球得次数为,则得数学期望为.
6、已知为实数,且对任意,当时,恒成立,则得最大值就是.
7、已知数列满足:,其中表示不超过实数得最大整数.设为实数,且对任意得正整数,都有.则得最小值就是.
8、若正整数使得方程有正整数解,称为“好数”,则不超过2019得“好数”个数就是.
二、解答题:本大题3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9、(本题满分16分)设点得坐标为,点为圆上得两动点,满足,求面积得最大值.
10、(本题满分20分)设,为实数,使得恒成立,求得最大值.
11、(本题满分20分)已知函数.
(1)证明:当时,;
(2)设函数有极小值,求得取值范围.。

2019年全国高中数学联赛四川省预赛2019年全国高中数学联赛四川省预赛由四川省数学会普及工作委员会和四川省数学竞赛委员会主办，由四川省数学竞赛委员会负责命题，命题负责人：柳斌。

预赛命题范围以现行高中数学教学大纲为准，主要考察学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。

学生自愿报名参加。

全省在5月15日下午14：30-16：30由各地市、州统一组织竞赛（不得在县级以下单位设置考场）。

试题总分140分，其中六道选择题（每小题5分，共30分）、六道填空题（每小题5分，共30分）、四道解答题（每小题20分，共80分）。

命题难度大体相当于普通高考试题。

竞赛完后先由各市、州集中评卷，然后将10％的优秀试卷上报四川省数学竞赛委员会（原则上每个参赛学校有试卷上报），由四川省数学竞赛委员会组织专人复查。

从中评出一等奖300名、二等奖500名、三等奖700名，由四川省数学竞赛委员会颁发获奖证书。

并确定参加决赛人数1000人左右。

经四川省数学竞赛委员会研究决定，为确保全国高中数学联赛的安全保密工作，自2019年起，四川省只在成都市设立一个考场，对个别边远地区的优秀学生经济确有困难者提出申请，可由省数学竞赛委员会给予适当资助。

试题一、选择题（每小题5分，共30分）1、双曲线12222=-by a x 的左、右准线l 1、l 2将线段F 1F 2三等分（其中1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率e 等于（ ）．A 、26B 、3C 、233D 、322、已知三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，R d c b a ∈,,,(), 命题p ：)(x f y =是R 上的单调函数； 命题q ：)(x f y =的图像与x 轴恰有一个交点． 则p 是q 的（ ）.A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为ξ，则随机变量ξ的数学期望ξE 的值为（ ）.A 、31 B 、94C 、32 D 、14、函数x x x f 3245)(-+-=的最大值为（ ）.A 、3B 、3C 、32D 、33 5、如图，边长为2的正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的面成60°角，M 、N 分别是线段AC 和BF 上的点，且FN AM =，则线段MN 的长的取值范围是（ ）.A 、]2,21[ B 、[1,2] C、2] D、2]6、设数列}{n a 为等差数列，数列}{n b 满足：11a b =，322a a b +=，6543a a a b ++=，…，若2lim3=∞→n b nn ，则数列}{n a 的公差d 为（ ）.A 、21B 、1C 、2D 、4 二、填空题（每小题5分，共30分）7、已知实数x 满足6|52||12|=-++x x ，则x 的取值范围是 ． 8、设平面内的两个非零向量a 与b 相互垂直，且1||=，则使得向量b m a +与b m a )1(-+互相垂直的所有实数m 之和为 ．9、记实数等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70,103010==S S ，则=40S ． 10、设x 为实数，定义⎡⎤x 为不小于x 的最小整数，例如⎡⎤4=π，⎡⎤3-=-π．关于实数x 的方程⎡⎤21213-=+x x 的全部实根之和等于 ． 11、已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→nnn b a lim．12、已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．三、解答题（每小题20分，共80分）13、已知0>m ，若函数mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值． 14、已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 的值．15、抛物线2y x =与过点(1,1)P --的直线l 交于1P 、2P 两点． （I ）求直线l 的斜率k 的取值范围； (II) 求在线段12P P 上满足条件12112PP PP PQ +=的点Q 的轨迹方程． 16、已知m 为实数，数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足：m a S n n n +⨯-=33489，且364≥n a 对任何的正整数n 恒成立． 求证：当m 取到最大值时，对任何正整数n 都有16331<∑=nk kk S ．本文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联赛备考手册（2019）（预赛试题集锦）》，该书收录了2019年各省市预赛试题和优秀解答。