吉林省东北师范大学附属中学高中数学2.4.3.2空间两点间的距离公式(2)教案新人教A版必修2

4.7空间两点的距离公式一、复习：1.平面直角坐标系内两点),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =2．若),(11y x A 、),(22y x B 则AB 中点坐标为 。

二、自主学习：自学108P 回答：1.空间两点),,(),,,(222111z y x B z y x A 的距离),(B A d =2.点),,(111z y x A 到原点O 的距离=),(A O d3．若),,(),,,(222111z y x B z y x A ,则AB 中点M 坐标为三、典型例题：例1. 已知)2,2,2(),1,2,1(B A -点p 在z 轴上，且PB PA =，求点p 的坐标。

例2. 证明以)3,2,5.(),2,1,7.(),1,3,4(C B A 为顶点的ABC ∆是等腰三角形。

例3. 求到两定点A.（2，3，0） B （5，1，0）距离相等的点p 的坐标满足的已知)2,2,2(),1,2,1(B A -点p 在z 轴上，且PB PA =，求点p 的坐标。

四、学生练习：109P 练习A 、B ；习题2-4A 、B五、小节：六、作业：1.点A （2，1，3），B （3，5，3）两点之间的距离是 A.17 B.15 C.23 D.2．点),,(z y x p ，满足2)1()1()1(222=++-+-z y x 则点p 在A ．以点（1,1,1-）为圆心，以2为半径的圆上B ．以点)11,1(-为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点（1,1,1-）为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定3.设点B 是点A （5,3,2-）关于xoy 坐标平面的对称点则AB 等于 .A.10 B.10 C.38 D.384.已知三点A.（1,0,1-）B.（3,4,2）C.（5,8,5）则A.三点构成等腰三角形B.三点构成直角三角形C.三点构成等腰直角三角形D.三点构不成三角形5.已知点p （2，3，4）则点p 到x 轴的距离是 A.13 B.52 C.5 D.296.已知),1,1(t t t A --，),,2(t t B 则A ，B 两点间的距离的最小值为 A.55 B.555 C.553 D.511 7.设R y ∈，则点),,1(z y p 的集合为A.垂直于xoz 平面的一条直线B.平行于xoz 平面的一条直线C.垂直于y 轴的一个平面D.平行于y 轴的一个平面8.正方体不在同一面上的两个顶点为A.)24,2(-- B )6,4,6(- 则正方体的棱长为9. 已知点p 在z 轴上，且满足1=po ，则点p 到点A （1，1，1）的距离为10. 试在平面xoy 内的一条直线1=+y x 上确定一点M 使M 到点N （6，5，1）的距离最小。

2.4.2 空间两点的距离公式示范教案整体设计教学分析教材类比平面上两点间距离公式得到空间两点间的距离公式，值得注意的是在教学中，让学生了解空间两点间的距离公式的推导思路即可，不必证明．三维目标掌握空间两点的距离公式及其应用，提高学生的类比能力和解决问题的能力．重点难点教学重点：空间两点间的距离公式．教学难点：空间两点间的距离公式的推导．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容．设计2.我们知道，数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点之间的距离是d＝x2－x12＋y2－y12.同学们想一想，在空间直角坐标系中，两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式．推进新课Error!Error!1回顾平面内两点间距离公式.2类比平面内两点间距离公式，得出空间两点的距离公式.3阅读教材，了解推导空间两点距离公式的推导思路，不必掌握.讨论结果：(1)平面直角坐标系中，A(x 1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1－x22＋y1－y22.(2)计算空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝|AB|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.特别地，点A(x，y，z)到原点O的距离公式为d(O，A)＝|OA|＝x2＋y2＋z2.(3)推导空间两点距离公式的思路是：过两点分别作三个坐标面的平行平面(如下图)，则这六个平面围成一个长方体，我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．于是，只要写出交一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式．你还可以作线段AB在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．(如下图)1Error!思路1例1给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30.解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，|P 0P|＝30，即x－42＋12＋22＝30，所以(x －4)2＝25.解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．点评：本题利用空间两点间距离公式列出了方程，求出了点P的坐标．变式训练1．在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)，B(1，－3,1)的距离相等．解：设M(0,0，z)，由题意，得|MA|＝|MB|，0－12＋0－02＋z－22＝0－12＋0＋32＋z－12，整理并化简，得z＝－3，所以M(0,0，－3)．2．△ABC的三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，试证明△ABC是一直角三角形．分析：要判定△ABC是一直角三角形，只需求出|AB|，|BC|，|CA|的长，利用勾股定理的逆定理来判定．解：因为三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，所以|AB| ＝1＋12＋－2＋12＋－3＋12＝3，|BC|＝0＋12＋0＋12＋－5＋12＝3 2，|CA|＝1－02＋－2－02＋－3＋52＝3.又因为|AB|2＋|CA|2＝|BC|2，所以△ABC是直角三角形．思路2例2已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则|AB|的最小值为()A．0 B. 35 75 8C. D.7 7分析：要求|AB|的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|，然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值．8 5解析：|AB|＝x－12＋3－2x2＋3x－32＝14x2－32x＋19＝14x－2＋7 735 8 35≥.当x＝时，|AB|的最小值为.7 7 7答案：B点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法．变式训练2在 xOy 平面内的直线 x ＋y ＝1上确定一点 M ，使 M 到点 N(6,5,1)的距离最小．解：由已知，可设 M(x,1－x,0)，则|MN|＝ x －62＋1－x －52＋0－12＝ 2x －12＋51.所以|MN|min ＝ 51.Error!1．已知 A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)线段 AB 的中点坐标和长度；(2)到 A ，B 两点的距离相等的点 P(x ，y ，z)的坐标满足的条件．3 解：(1)设 M(x ，y ，z)是线段 AB 的中点，则根据中点坐标公式，得(2，，3)． 2根据两点间距离公式，得|AB|＝ 1－32＋0－32＋5－12＝ 29，所以 AB 的长度为 29.(2)因为点 P(x ，y ，z)到 A ，B 的距离相等，所 以 有 下 面 等 式 ： x －32＋y －32＋z －12＝ x －12＋y －02＋z －52.化简，得 4x ＋6y －8z ＋7＝0，因此，到 A ，B 两点的距离相等的点 P(x ，y ，z)的坐标满足的条件是 4x ＋6y －8z ＋7＝0.2．已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是 1，平面 ABCD 和平面 ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM ＝BN ＝a(0<a< 2)．求 MN 的长．分析：建立适当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求 MN 的长．解 ： ∵平面 ABCD⊥平 面 ABEF ，且平面 ABCD∩平 面 ABEF ＝AB ， AB⊥BE ， ∴BE⊥平 面 ABC.∴AB ，BC ，BE 两两垂直．∴以 B 为原点，分别以射线 BA ，BE ，BC 为 x 轴、y 轴、z 轴的 正方向，建立空间直角坐标系 B —xyz ，如下图．∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是 1，CM ＝BN ＝a ， 2 2 2 2 ∴M (a ,0,1－ a)， N( a ， a,0)． 由 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式 得 |MN|＝ 2 2 2 22 a － 2 2 a 2＋0－ 2 2 a 2＋1－ 2 2 a －02＝ a 2－ 2a ＋1.2Error!如下图，以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 Oxyz ，点 P 在正 方体的对角线 AB 上，点 Q 在正方体的棱 CD 上．3(1)点P为对角线的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；(2)点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值；(3)点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值．由以上问题，你得到了什么结论？你能够证明你的结论吗？解：设正方体的棱长为a.a a a(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是( ，，)．2 2 2因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)．(其中0≤z≤a)a a a a 1|PQ|＝2＋－a2＋z－2＝z－2＋a2.2 2 2 2 2a 2当z＝时，|PQ|的最小值为a，2 22即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值a.2(2)因为P在对角线AB上运动，Q是定点，所以当PQ⊥AB时|PQ|最短．因为当点Q为棱CD的中点时，|AQ|＝|BQ|，△QAB是等腰三角形，所以，当P是AB的中点时，|PQ|取得最小值a.2(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，|PQ|的最小值仍然是 a.2 证明：如上图，设P(x，y，z1)．由正方体的对称性，显然有x＝y.HP HA设P在平面OA上的射影是H.在△AOB中，＝.OB OA22z1 a－x所以＝，a a即有x＝a－z1.所以，点P的坐标是(a－z1，a－z1，z1)．由已知，可设Q(0，a，z2)，则|PQ|＝a－z 12＋z21＋z2－z 12a a2＝z2－z 12＋2z1－2＋.2 2a 2 当z2＝z1＝时，|PQ|取得最小值，最小值是 a.2 2Error!本节课学习了：空间两点的距离公式及其应用．Error!4本节练习A2,3题．设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手，创设问题情境，不难把平面上的知识推广到空间，利用类比的思想方法，得到空间两点的距离公式．本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．备课资料备选习题1．已知空间三点的坐标为A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)，若A、B、C三点共线，则p、q的值分别为()A．3,2 B．2,3C．－3,2 D．3，－2解析：由已知A、B、C三点共线，我们就可以根据它们每两点的斜率相等来求出参数p、2－1 4－5 1－－2q的值．即有＝＝，从而解得p＝3，q＝2.p－2 3－4 q＋2－1答案：A2．已知正方体不在同一侧面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是()A．16 B．192C．64 D．48解析：要求正方体的体积，只要知道它的棱长问题就解决了．根据已知A、B为不在同一侧面上的两顶点，我们可以求出该正方体的对角线长为：|AB|＝3＋12＋－2－22＋3＋12＝4 3，3 ∴正方体的棱长为|AB|＝4.3∴正方体的体积是43＝64.答案：C5。

教学设计3．3空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是学生已学的知识，不难把平面上的知识推广到空间，遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程，利用类比的思想方法，借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离；从平面直角坐标系中的方程x2＋y2＝r2表示以原点为圆心，r为半径的圆，推广到空间直角坐标系中的方程x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，r为半径的球面，学生是不难接受的，这不仅不增加学生负担，还会提高学生学习的兴趣．三维目标1．掌握空间两点间的距离公式，会用空间两点间的距离公式解决问题．2．通过探究空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法．3．通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，类比平面中两点之间的距离的求法，探索并得出空间两点间的距离公式，充分体会数形结合的思想，培养学生积极参与、大胆探索的精神．重点难点教学重点：空间两点间的距离公式．教学难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容．思路2.我们知道，数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点之间的距离是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.同学们想，在空间直角坐标系中，两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式．推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x，y，z)是空间任意一点，它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的依据.④同学们想，在空间直角坐标系中，你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x2＋y2＝r2表示什么图形？在空间中方程x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．教师引导学生考虑解决问题的思路，要全面考虑，大胆猜想，发散思维．①学生回忆学过的数学知识，回想当时的推导过程．②解决这一问题，可以采取转化的方法，转化成我们学习的立体几何知识来解．③首先考虑问题的实际意义，直接度量，显然是不可以的，我们可以转化为立体几何的方法，也就是求长方体的对角线长．④回顾平面直角坐标系中，两点之间的距离公式，可类比猜想相应的公式．⑤学生回忆刚刚学过的知识，大胆类比和猜想．⑥利用③的道理，结合空间直角坐标系和立体几何知识，进行推导．讨论结果：①平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，它是利用直角三角形和勾股定理来推导的．②如图1，设A(x，y，z)是空间任意一点，过A作AB⊥xOy平面，垂足为B，过B分别作BD⊥x轴，BE⊥y轴，垂足分别为D，E.根据坐标的含义知，AB＝z，BD＝x，BE＝OD ＝y，由于△ABO、△BOD是直角三角形，所以BO2＝BD2＋OD2，AO2＝AB2＋BO2＝AB2＋BD2＋OD2＝z2＋x2＋y2，因此A到原点的距离是d＝x2＋y2＋z2.图1③利用求长方体的对角线长的方法，分别量出这块砖的三条棱长，然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算．④由于平面直角坐标系中，两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，是同名坐标的差的平方的和再开方，所以我们猜想，空间两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2，即在原来的基础上，加上纵坐标差的平方．⑤平面直角坐标系中的方程x2＋y2＝r2表示以原点为圆心，r为半径的圆；在空间x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，r为半径的球面．后者正是前者的推广．图2⑥如图2，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，我们来计算这两点之间的距离．我们分别过P1P2作xOy平面的垂线，垂足是M，N，则M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)，于是可以求出|MN|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.再过点P1作P1H⊥P2N，垂足为H，则|MP1|＝|z1|，|NP2|＝|z2|，所以|HP2|＝|z2－z1|.在Rt△P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.因此空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离为|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.于是空间两点之间的距离公式是d＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2，它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根．应用示例思路1例1 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30.解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，|P0P|＝30，即(x－4)2＋12＋22＝30，所以(x－4)2＝25.解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．例2 在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小．解：由已知，可设M(x,1－x,0)，则|MN|＝(x－6)2＋(1－x－5)2＋(0－1)2＝2(x－1)2＋51.所以|MN|min＝51.变式训练在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)，B(1，－3,1)的距离相等．解：设M(0,0，z)，由题意得|MA|＝|MB|，(0－1)2＋(0－0)2＋(z－2)2＝(0－1)2＋(0＋3)2＋(z－1)2，整理并化简，得z＝－3，所以M(0,0，－3).例3 △ABC的三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，试证明△ABC是一直角三角形．活动：学生先思考或交流，然后解答，教师及时提示引导，要判定△ABC 是一直角三角形，只需求出|AB |，|BC |，|CA |的长，利用勾股定理的逆定理来判定．解：因为三个顶点坐标为A (1，－2，－3)，B (－1，－1，－1)，C (0,0，－5)，所以|AB |＝(1＋1)2＋(－2＋1)2＋(－3＋1)2＝3，|BC |＝(0＋1)2＋(0＋1)2＋(－5＋1)2＝32，|CA |＝(1－0)2＋(－2－0)2＋(－3＋5)2＝3.又因为|AB |2＋|CA |2＝|BC |2，所以△ABC 是直角三角形．思路2例1 已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则|AB |的最小值为( )A ．0 B.357 C.57 D.87活动：学生阅读题目，思考解决问题的方法，教师提示，要求|AB |的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB |，然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB |的最小值．分析：|AB |＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57≥357. 当x ＝87时，|AB |的最小值为357. 答案：B点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法． 例2 已知正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，平面ABCD 和平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2)．(1)求MN 的长．(2)当a 为何值时，MN 的长最短？并求出|MN |的最小值．活动：学生思考或讨论，师生共同探讨解题方法，此题的求解方法很多，但利用坐标法求解既简单，又易行，我们必须建立适当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求MN 的长，求|MN |的最小值，我们可构建关于a 的函数，利用函数的最值来解决．解：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE ⊥平面ABC .∴AB ，BC ，BE 两两垂直．∴以B 为原点，分别以射线BA ，BE ，BC 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系B —xyz ，如图3.图3(1)∵正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，CM ＝BN ＝a ，∴M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.由空间两点间的距离公式得|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1. (2)由本题(1)可知|MN |＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12，其中0＜a ＜2，所以，当a ＝22时，|MN |最短，|MN |的最小值为22.此时，M ，N 恰为AC ，BF 的中点． 点评：运用空间点的坐标运算解决几何问题时，首先建立适当的空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进行求解．在建立空间直角坐标系时，应注意原点的选择，原点的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要知尽可能的使点的坐标为正值.知能训练已知A (3,3,1)，B (1,0,5)，求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．活动：学生审题，教师引导学生分析解题思路，已知的两点A ，B 都是空间直角坐标系中的点，我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可．知识本身不难，但是我们计算的时候必须认真，决不能因为粗心导致结果错误．解：(1)设M (x ，y ，z )是线段AB 的中点，则根据中点坐标公式得⎝⎛⎭⎫2，32，3. 根据两点间距离公式得|AB |＝(1－3)2＋(0－3)2＋(5－1)2＝29. 所以AB 的长度为29.(2)因为点P (x ，y ，z )到A ，B 的距离相等，所以有下面等式：(x －3)2＋(y －3)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2.化简得4x ＋6y －8z ＋7＝0.因此，到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评：通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广，而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．②到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )构成的集合就是线段AB 的中垂面．拓展提升已知三棱锥P —ABC ，P A ⊥平面ABC ，在某个空间直角坐标系中，B (3m ，m,0)，C (0,2m,0)，P (0,0,2n )．(1)画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角；(2)若M 为BC 的中点，n ＝32m ，求直线AM 与PM 所成锐角． 解：(1)根据已知条件，画空间直角坐标系如图4.图4以射线AC 为y 轴正方向，射线AP 为z 轴正方向，A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz ，过点B 作BE ⊥Ox ，垂足为E ，则因为B (3m ，m,0)，所以E (3m,0,0)，在Rt △AEB 中，∠AEB ＝90°，|AE |＝3m ，|EB |＝m ，∴tan ∠BAE ＝|EB ||AE |＝m 3m ＝33.∴∠BAE ＝30°， 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.(2)连接AM 和PM ，∵M (x ，y ，z )为BC 的中点，且B (3m ，m,0)，C (0,2m,0)，由中点坐标公式可得x ＝3m ＋02＝3m 2，y ＝m ＋2m 2＝3m 2，z ＝0＋02＝0，∴M ⎝⎛⎭⎫3m 2，3m 2，0. ∵A (0,0,0)，∴由两点间的距离公式得|AM |＝⎝⎛⎭⎫3m 22＋⎝⎛⎭⎫3m 22＋02＝3m . ∵P (0,0,2n )且n ＝32m ，∴P (0,0，3m )． ∴|OP |＝3m ，故|OP |＝|AM |.∵∠P AM ＝90°，∴∠PMA ＝45°，即直线AM 与PM 所成锐角为45°.课堂小结1．空间两点间的距离公式的推导与理解．2．空间两点间的距离公式的应用．3．建立适当的空间直角坐标系，综合利用两点间的距离公式．作业习题2－3 A 组第6,7题．设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手，创设问题情境，不难把平面上的知识推广到空间，遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程，利用类比的思想方法，借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离．为了培养学生的理性思维，在例题中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，本节课的设计通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣．本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．备课资料备用习题1．已知空间三点的坐标为A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ，q 的值分别为( )A ．3,2B ．2,3C ．－3,2D ．3，－2分析：由已知A ，B ，C 三点共线，我们就可以根据它们每两点的斜率相等来求出参数p ，q 的值，即有2－1p －2＝4－53－4＝1－(－2)q ＋2－1，从而解得p ＝3，q ＝2. 答案：A2．已知正方体不在同一平面上的两顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的体积是( )A ．16B ．192C ．64D ．48分析：要求正方体的体积，只要知道它的棱长问题就解决了．根据已知A ，B 为不在同一平面上的两顶点，我们可以求出该正方体的对角线长为：|AB |＝(3＋1)2＋(－2－2)2＋(3＋1)2＝43，∴正方体的棱长为33|AB |＝4. ∴正方体的体积是43＝64.答案：C3．求点(a ，b ，c )关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点对称的点的坐标．活动：本题是要考查我们空间点的坐标的特征、对称性和空间的想象能力．我们结合图形求解问题会更简单明了．解：(1)点(a ，b ，c )关于xOy 平面对称的点为(a ，b ，－c )；关于zOx 平面对称的点为(a ，－b ，c )；关于yOz 平面对称的点为(－a ，b ，c )．(2)点(a ，b ，c )关于x 轴对称的点为(a ，－b ，－c )；关于y 轴对称的点为(－a ，b ，－c )；关于z轴对称的点为(－a，－b，c)．(3)点(a，b，c)关于坐标原点对称的点的坐标为(－a，－b，－c)．点评：对于求解有关点的对称性的问题，我们一定要结合图形理解记忆．(设计者：邓新国)。

两点间的距离公式高中数学在咱们高中数学的世界里，有一个特别实用的小工具，那就是两点间的距离公式。

这玩意儿就像是一把神奇的尺子，能让咱们轻松算出平面上任意两点之间的距离。

先来说说这个公式到底长啥样。

它是这样的：假设平面上有两个点A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，那么这两点之间的距离 d 就等于根号下[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]。

听起来是不是有点复杂？别担心，咱们通过一个例子来感受感受它的魅力。

记得有一次，我和朋友去逛街，路过一家新开的咖啡店。

咖啡店门口有一个抽奖活动，奖品放在一个大棋盘上。

棋盘的左下角坐标是(0, 0)，右上角坐标是(10, 10)。

我们特别幸运，抽中了一个奖品，而这个奖品的位置坐标是(6, 8)。

当时我朋友就犯迷糊了，一直在琢磨从左下角走到奖品的位置到底有多远。

我就跟他说，这简单呀，用咱们刚学的两点间的距离公式就能算出来。

我们把左下角的点当作 A(0, 0)，奖品的位置当作 B(6, 8)。

代入公式就是：d = 根号下[(6 - 0)² + (8 - 0)²] = 根号下(36 + 64) = 根号下 100 = 10。

我朋友一听，恍然大悟，直夸这个公式厉害。

咱们再深入想想，这个公式在解题的时候可真是帮了大忙。

比如说，给你两个点的坐标，让你求距离，直接代入公式，咔咔一顿算，答案就出来了。

而且呀，这个公式不只是在平面直角坐标系里有用，在解决一些几何问题的时候，也能派上用场。

比如有一道题，告诉你一个三角形三个顶点的坐标，让你判断这个三角形是不是等腰三角形。

这时候，咱们就可以先算出三条边的长度，也就是用两点间的距离公式分别算出三边的距离，然后比较一下长度是不是有相等的，就能得出结论啦。

再比如说，在物理里面，如果要计算两个物体在平面上的相对位置变化，也能用到这个公式呢。

总之，两点间的距离公式虽然看起来简单，但是用处可大着呢。

两点之间的距离公式是：
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
其中，d表示两点之间的距离，(x1, y1)和(x2, y2)分别表示两个点的坐标。

这个公式也可以用于三维空间中两点之间的距离计算，只需要将坐标点的数量增加到三个，公式中的平方项也需要增加到三项。

拓展延伸
两点之间的距离公式是一个基本的几何定理，有以下性质：
1. 勾股定理：两点之间的距离公式实际上是勾股定理的一个特殊形式，即当一个直角顶点坐标为 (0,0) 时，勾股定理的平方项可以简化为坐标差的平方和。

2. 对称性：两点之间的距离公式具有对称性，即交换两点的坐标，计算出来的距离是相同的。

3. 正定性：两点之间的距离公式输出的结果是一个非负数，且只有在两点重合时才会等于0。

因此，这个公式可以用来判断两个点是否相等。

4. 单调性：当两点之间的距离增加时，公式输出的结果也会增加，因此可以用来比较两个点之间的距离大小。

5. 可推广性：这个距离公式可以推广到多维空间中，只需要将平方项的数量增加到对应的维度即可。

总之，两点之间的距离公式是一个非常基础和重要的几
何定理，在各个领域都有广泛的应用。

2023-2024学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一下学期期末数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，复数，则()A. B. C. D.2.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的为()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为()A. B.C.50D.4.在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是()A. B. C. D.5.数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是()A. B.C.6D.86.已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为()A. B.C. D.7.某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是()A. B.166C. D.1688.棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为()A.1B.C.D.2二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长单位：小时，得到如图所示的频率分布直方图．则()A.a的值为B.估计员工平均服务时长为45小时C.估计员工服务时长的中位数为小时D.估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人10.正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为()A. B. C.12 D.1611.如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，若将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面，点M，E分别位于BD两侧，则()A. B.C.MC的长度为D.点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。