数字信号处理常用公式(不惧怕繁琐的推导)

z 实信号具有双边频谱的特性，复信号则具有单边频谱的特性。

z 列出三种关于数字信号处理的实现方法通用计算机软件实现、特殊专用集成电路ASIC实现以及可编程器件如FPGA 硬件实现和通用DSP 器件实现等。

z 设系统用差分方程y(n)=x(n)sin(wn)描述，x(n)与y(n)分别表示系统的输入和输出，则这个系统是线性且时变。

z 由于IIR 数字滤波器的冲激响应无限长，故不能采用时域卷积（或频域卷积）的方法实现，只能通过差分方程的形式来实现。

z 第二类线性相位FIR 数字滤波器的相频特点是具有-90o 初相，因此常被用作移相器等非选频特性之应用。

z FIR 数字滤波器常采用窗函数法、频率采样法和最佳等纹波逼近法等直接数字域设计方法，不能采用模拟滤波器的经典设计理论。

z 实信号具有双边频谱的特性，复信号则具有单边频谱的特性。

z 当采用基于DFT 的方法（可使用FFT 算法）对模拟实信号进行谱分析时，会存在四种主要的、无法避免的、或难以减轻的误差，它们是：时域采样时产生的频谱混叠现象，DFT（频率采样）造成的栅栏效应，信号截断（有限长度）导致的频谱（或频率）泄漏和谱间干扰。

z 设系统用差分方程y(n)=x(n)+2x(n-1)+3x(n-2)描述，x(n)与y(n)分别表示系统的输入和输出，则这个系统是线性且时不变。

（注：从线性和时变性回答）z 数字滤波器均可通过差分方程的形式来实现。

对于FIR 数字滤波器，由于冲激响应有限长，故也可用时域卷积（或频域卷积）的方法实现。

z 第一类线性相位FIR 数字滤波器的相频特点是初相为0。

z IIR 数字滤波器设计常采用模拟滤波器设计的经典理论，从模拟滤波器到数字滤波器的过渡通常采用脉冲响应不变法或双线性变换法。

z 模拟信号和数字信号的描述与分析域分别采用s 域与z 域。

z 如果一个数字因果系统是不稳定的，输出幅度随时间呈发散状，那么它的极点至少有一个在z 平面的单位圆外。

数字信号处理基础数字信号处理（Digital Signal Processing, DSP）是指通过数字技术对模拟信号进行采样、量化和编码，然后利用数字计算机进行信号处理的技术。

它广泛应用于通信、音视频处理、图像处理等领域。

本文将介绍数字信号处理的基础知识和常用算法。

一、数字信号处理的基础概念1.1 信号的采样与量化在数字信号处理中，信号的采样是指对模拟信号进行时间上的离散，将连续时间信号转化为离散时间信号。

采样定理（奈奎斯特定理）规定，当信号的最高频率不超过采样频率一半时，信号可以完全恢复。

采样频率过低会导致混叠现象，采样频率过高则浪费存储和计算资源。

信号的量化是指将连续幅度的信号转化为离散幅度的信号。

量化过程中，信号的幅度根据一定的精度进行划分，并用一个有限的比特数来表示每个划分区间的取值。

量化误差会引入信号的失真，因此需要在精度和存储空间之间进行权衡。

1.2 Z变换和离散时间信号的频域表示Z变换是一种用于离散时间信号的频域表示的数学工具。

它将离散信号的时间域表达式转化为Z域中的复数函数，其中Z是一个复数变量。

通过对Z变换结果的分析，可以获得信号的频率响应、系统的稳定性等信息。

有限长离散时间信号可以通过离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）转化为频率域表示。

DFT是Z变换在单位圆上的离散采样。

通过DFT计算，可以得到信号在不同频率下的幅度和相位。

二、数字信号处理常用算法2.1 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）FFT是一种高效的计算DFT的算法，它通过将长度N的DFT分解为多个长度为N/2的DFT相加，从而大大减少了计算复杂度。

FFT广泛应用于频谱分析、滤波、信号重建等领域。

2.2 滤波器设计滤波器是数字信号处理中常用的模块，用于对信号进行频率的选择性衰减或增强。

滤波器的设计可以采用时域方法和频域方法。

时域方法包括有限脉冲响应（Finite Impulse Response, FIR）和无限脉冲响应（Infinite Impulse Response, IIR）滤波器设计，频域方法主要是基于窗函数的设计方法。

数字信号处理知识点1. 引言数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）是应用数字计算技术来过滤、压缩、存储、生成、识别和其他方式处理信号的科学领域。

本文旨在概述数字信号处理的核心技术和知识点，为学习和应用DSP提供明确的指导。

2. 信号的基本概念2.1 模拟信号与数字信号2.2 信号的时域和频域特性2.3 采样定理（奈奎斯特定理）2.4 量化和编码2.5 信号重构3. 离散时间信号与系统3.1 离散时间信号的定义3.2 线性时不变（LTI）系统3.3 卷积和系统响应3.4 Z变换及其应用3.5 差分方程4. 傅里叶分析4.1 傅里叶级数4.2 傅里叶变换4.3 快速傅里叶变换（FFT）4.4 频谱分析5. 滤波器设计5.1 滤波器的基本概念5.2 理想滤波器5.3 窗函数法5.4 IIR滤波器设计5.5 FIR滤波器设计6. 信号的检测与估计6.1 信号检测理论6.2 最小二乘估计6.3 卡尔曼滤波6.4 信号的自适应滤波7. 语音与图像处理7.1 语音信号的特性7.2 语音编码技术7.3 图像信号的基本概念7.4 图像压缩技术7.5 图像增强技术8. 实时数字信号处理系统8.1 DSP芯片的特性8.2 实时操作系统8.3 硬件与软件协同设计8.4 系统性能评估9. 应用实例9.1 通信系统中的DSP应用9.2 生物医学信号处理9.3 音频和视频处理9.4 雷达和声纳系统10. 结论数字信号处理是一个多学科交叉的领域，涉及信号理论、数学、计算机科学和电子工程。

掌握DSP的基础知识对于理解和设计现代通信系统、音频和视频处理系统以及其他相关应用至关重要。

请注意，本文仅为数字信号处理知识点的概述，每个部分都需要深入学习才能完全理解和应用。

读者应参考相关教材、课程和实践项目，以获得更全面和深入的知识。

10种常见的数字信号处理算法解析数字信号处理算法是数字信号处理领域的核心技术，它能够将连续型信号转化为离散型信号，从而实现信号的数字化处理和传输。

本文将介绍10种常见的数字信号处理算法，并分别从理论原理、算法步骤和典型应用三个方面进行解析。

一、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的算法。

其原理是分解信号中的不同频率分量，使得信号频域分析更方便。

傅里叶变换的算法步骤包括信号采样、离散化、加窗、FFT变换、频谱分析等。

傅里叶变换广泛应用于通信、音频处理、图像处理等领域。

二、小波变换小波变换是一种将时域信号分解为多个小波信号的算法。

其原理是利用小波基函数将信号分解成不同频率和时间范围的小波信号。

小波变换的算法步骤包括信号采样、小波变换、重构等。

小波变换广泛应用于信号压缩、图像处理、语音信号处理等领域。

三、滤波器设计滤波器设计是一种根据需要设计出不同类型的滤波器的算法。

其原理是利用滤波器对信号进行滤波处理，达到对信号不同频率分量的取舍。

滤波器设计的算法步骤包括滤波器类型选择、设计要求分析、滤波器设计、滤波器性能评估等。

滤波器设计广泛应用于信号处理和通信系统中。

四、自适应滤波自适应滤波是一种能够自主根据需要调整滤波器参数的算法。

其原理是通过采样原始信号，用自适应滤波器对信号进行滤波处理，以达到信号降噪的目的。

自适应滤波的算法步骤包括信号采样、自适应算法选择、滤波器参数估计、滤波器性能评估等。

自适应滤波广泛应用于信号处理和降噪领域。

五、功率谱密度估计功率谱密度估计是一种用于估计信号功率谱密度的算法。

其原理是利用信号的离散傅里叶变换，对信号功率谱密度进行估计。

功率谱密度估计的算法步骤包括信号采样、离散傅里叶变换、功率谱密度估计等。

功率谱密度估计广泛应用于信号处理、通信、声学等领域。

六、数字滤波数字滤波是一种对数字信号进行滤波处理的算法。

其原理是利用数字滤波器对信号进行滤波处理，以取舍信号中不同频率分量。

数字信号处理知识点总结数字信号处理（DSP）是一门涉及数字信号的获取、处理和分析的学科，它在通信、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。

本文将对数字信号处理的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。

首先，我们来谈谈数字信号的基本概念。

数字信号是一种离散的信号，它是通过对连续信号进行采样和量化得到的。

采样是指在时间上对连续信号进行间隔采集，而量化则是将采样得到的信号幅度近似地表示为有限个离散值。

这样得到的数字信号可以方便地进行存储、传输和处理，但也会带来采样定理和量化误差等问题。

接下来，我们需要了解数字滤波器的相关知识。

数字滤波器是数字信号处理中的重要组成部分，它可以对数字信号进行滤波和去噪。

数字滤波器可以分为FIR滤波器和IIR滤波器两种类型，它们分别具有不同的特点和适用范围。

此外，数字滤波器的设计方法也有很多种，比如窗函数法、频率抽样法等，选择合适的设计方法对于滤波器性能至关重要。

除了滤波器，数字信号处理中还有一些重要的变换和算法，比如快速傅里叶变换（FFT）和数字信号处理中的相关算法。

FFT是一种高效的算法，它可以将时域信号转换为频域信号，广泛应用于信号频谱分析、滤波器设计等领域。

相关算法则可以用于信号的相关性分析和特征提取，对于信号处理和模式识别有着重要的作用。

最后，我们需要了解数字信号处理在实际应用中的一些问题和挑战。

比如在通信系统中，由于信道的噪声和失真，数字信号处理需要考虑信道估计、均衡和编码等问题。

在音频和图像处理中，数字信号处理也需要考虑信号压缩、编码和解码等技术。

此外，数字信号处理还需要考虑实时性和计算复杂度等方面的问题，这对于硬件和软件的设计都提出了挑战。

总之，数字信号处理是一门重要的学科，它涉及到信号的获取、处理和分析等多个方面。

通过对数字信号的采样、量化、滤波和变换等操作，我们可以更好地理解和利用信号的信息。

希望本文所总结的知识点能够帮助读者更好地理解数字信号处理的基本原理和应用技术，为相关领域的学习和研究提供帮助。

数学信号处理基本公式1、傅里叶变换定义连续正变换：X (jω)=∫x (t )e −jωt dt ∞−∞ 连续反变换：x (t )=12π∫X (jω)e jωt dω∞−∞ 离散正变换：210()(),0,1,,1N jnk NN N n X k x n WW ek N π--====-∑离散反变换：2101()(),0,1,,1N j nk NN N n x n X k WW en N Nπ---====-∑2、傅里叶变换性质线性：[])]([)]([))()((t g F t f F t g t f F βαβα+=+ 位移：)]([)]([00t f F et t f F t j ω-=-； )]([)]([1010ωωωωF F e F F t j --=-.尺度：设)]([)(t f f F =ω， )(||1)]([aF a at f F ω=. 微分：)]([)]('[t f F j t f F ω=，要求0)(lim =∞→t f t)]([)()]([)(t f F j t fF n n ω=，要求()lim ()0(1,2,1)k t f t k n →+∞==-积分：)]([1])([t f F j dt t f F tω=⎰∞-，要求lim ()0t t f t dt -∞→+∞=⎰帕塞瓦尔等式：()221()()2f t dt F d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰，)]([)(t f f F =ω频率位移：若()ωj e X n x ⇔)(,则()()00)(ωωω-⇔j nj e X n x e时间共轭：若()ωj e X n x ⇔)(,则(),)(**ωj e X n x -⇔频率共轭：若()ωj eX n x ⇔)(,则()ωj e X n x **)(⇔-序列卷积：若)()()(n y n x n w *=,则)()()(z Y z X z W = 序列乘积：若)()()(n y n x n w =,则++---<<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰y x y x c R R z R R dv v v z Y v X j z W 1)(21)(π输入)cos()(ϕω+=n A n x ,则输出响应为：()()[])()(2)(ϕωωϕωω+--++=n j j n j j e e H e e H An y 输入12()()()x n x n x n =+,则输出响应为：()()()()()2j j n j j n Ay n H e e H e e ωωϕωωϕ+--+⎡⎤=+⎣⎦3、傅立叶级数满足狄利克雷条件的周期函数可由三角函数的线性组合表示：()f t 的周期为1T ，112T πω=其中：()00011t T t a f t dt T +=⎰；()()010112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰；()()010112sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰ 指数形式的付里叶级数表示：0111()[()sin()](5)n n n f t a a cos n n b n n ωω∞==++-----∑由欧拉公式：1111()()2jn tjn t cos n n e e ωωω-=+；1111sin()()2jn t jn t n n e e j ωωω-=+ 4、随机信号定义4.1均值、方差 离散均值：{}x kk kE X xp μ==∑ 连续均值：{}()x E X xp x dx μ∞-∞==⎰离散方差：222{||}||X X kX k kE X xp σμμ=-=-∑连续方差：222{||}||()X X X E X x p x dx σμμ∞-∞=-=-⎰4.2相关函数的定义 互相关: ()()()xy n r m x n y n m ∞=-∞=+∑ 自相关: ()()()xxn rm x n x n m ∞=-∞=+∑()()()()()()()()()011112121110111cos sin cos 2sin 2cos sin .................cos sin ..n n n n n f t a a t b t a t b t a n t b n t a a n t b n t ωωωωωωωω∞==++++++++=++⎡⎤⎣⎦∑（1）有限点自相关函数估计值为：11()()()N NN n r m xn x n m N-∧==+∑平稳随机过程的互相关函数: ()[()()]xy r m E x n y n m *=+ 自相关: ()[()()]xx r m E x n x n m =+ 4.3功率谱自功率谱：()()j j mX xm P e r m eωω∞-=-∞=∑ 互功率谱：()()j j m XY xym P e rm e ωω∞-=-∞=∑注意：功率信号的自相关函数与其功率谱是一对傅里叶变换：P x (e jω)=∑r x e −jωm ∞m=−∞5、三角函数变换sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ；sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ；cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtanA tanB tan(A+B) =1-tanAtanB +；tanA tanBtan(A-B) =1tanAtanB -+cotAcotB-1cot(A+B) =cotB cotA +；cotAcotB 1cot(A-B) =cotB cotA +- 倍角公式22tanA tan2A =1tan A-；sin2A=2sinA cosA ；Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3；cos3A = 4(cosA)3-3cosAa a tan3a = tana tan(+a)tan(-a)33和差化积sina+sinb=2sincos 22a b a b +-；sina-sinb=2cos sin22a b a b+- cosa+cosb = 2cos cos 22a b a b +-；cosa-cosb = -2sin sin22a b a b+- sin()tana+tanb=cos cos a b a b+积化和差1sinasinb =[cos(a+b)-cos(a-b)]2-， 1cosacosb =[cos(a+b)+cos(a-b)]21 sinacosb =[sin(a+b)+sin(a-b)]2，1cosasinb =[sin(a+b)-sin(a-b)]2诱导公式 ：sin(-a) = -sina;cos(-a) = cosa;sin(-a) = cosa;cos(-a) = sina 22ππsin(+a) = cosa;cos(+a) = -sina 22ππsin(-a) = sina,cos(-a) = -cosa ππsin(+a) = -sina;cos(+a) = -cosa ππ22a a a a1+sin(a) =(sin +cos );1-sina=(sin -cos )2222 函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n xx x x x x x n n m m m x m m mx x n n nm 欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ixix ix e e x e e x x i x e 或。

数字信号处理知识点归纳整理第一章时域离散随机信号的分析1.1. 引言实际信号的四种形式:连续随机信号、时域离散随机信号、幅度离散随机信号和离散随机序列。

本书讨论的是离散随机序列()X n ,即幅度和时域都是离散的情况。

随机信号相比随机变量多了时间因素,时间固定即为随机变量。

随机序列就是随时间n 变化的随机变量序列。

1.2. 时域离散随机信号的统计描述 1.2.1概率描述1. 概率分布函数(离散情况)随机变量n X ,概率分布函数: ()()n X n n n F x ,n P X x =≤(1)2. 概率密度函数(连续情况)若n X 连续,概率密度函数: ()()n n X X n nF x,n p x ,n x ∂=∂ (2)注意,以上两个表达式都是在固定时刻n 讨论,因此对于随机序列而言,其概率分布函数和概率密度函数都是关于n 的函数。

当讨论随机序列时,应当用二维及多维统计特性。

()()()()121212,,,121122,,,12,,,1212,1,,2,,,,,,,1,,2,,,,1,,2,,,NNNx XX N N N N x XX N x XX N NF x x x N P X x X x X x F x x x N p x x x N x x x =≤≤≤∂=∂∂∂1.2.2 数字特征1. 数学期望 ()()()()n xx n n m n E x n x n p x ,n dx ∞-∞==⎡⎤⎣⎦⎰ (3)2. 均方值与方差均方值: ()()22n n x n n E X x n p x ,n dx ∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰ (4)方差: ()()()2222xn x n x n E X m n E X m n σ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦(5)3. 相关函数和协方差函数自相关函数:()()nm**n m n m X ,X n m n m r n,m E X X x x p x ,n,x ,m dx dx ∞∞-∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ (6)自协方差函数:()()()()**cov ,,n m nmn m n X mX xx XXX X E X m Xm r n m m m ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦=- (7)由此可进一步推出互相关函数和互协方差函数。

数字信号处理卷积公式一、离散序列的卷积公式。

1. 定义。

- 设离散序列x(n)和h(n)，它们的卷积y(n)定义为：y(n)=∑_m =-∞^∞x(m)h(n - m)- 这里m是求和变量，n表示卷积结果y(n)的序列序号。

2. 计算步骤示例。

- 例如，已知x(n)={1,2,3}（n = 0,1,2时的值，其他n时x(n)=0），h(n)={2,1}（n = 0,1时的值，其他n时h(n)=0）。

- 当n = 0时：- y(0)=∑_m =-∞^∞x(m)h(0 - m)=x(0)h(0)=1×2 = 2- 当n = 1时：- y(1)=∑_m =-∞^∞x(m)h(1 - m)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=1×1+2×2=1 + 4=5- 当n = 2时：- y(2)=∑_m =-∞^∞x(m)h(2 - m)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)=1×0+2×1+3×2=0 + 2+6 = 8- 当n = 3时：- y(3)=∑_m =-∞^∞x(m)h(3 - m)=x(1)h(2)+x(2)h(1)=2×0+3×1 = 3- 当n>3时，y(n)=0。

所以y(n)={2,5,8,3}。

3. 卷积的性质。

- 交换律：x(n)*h(n)=h(n)*x(n)，即∑_m =-∞^∞x(m)h(n - m)=∑_m =-∞^∞h(m)x(n - m)。

- 结合律：(x(n)*h_1(n))*h_2(n)=x(n)*(h_1(n)*h_2(n))。

- 分配律：x(n)*(h_1(n)+h_2(n))=x(n)*h_1(n)+x(n)*h_2(n)。

二、连续信号的卷积公式。

1. 定义。

- 设连续时间信号x(t)和h(t)，它们的卷积y(t)定义为：y(t)=∫_-∞^∞x(τ)h(t-τ)dτ- 这里τ是积分变量，t表示卷积结果y(t)的时间变量。

DSP 课件中的数学推导及解释（v1.0）陈明1-1 离散时间信号-序列第5页：对正弦信号()2sin()3a x t t π=采样，T=1ms 时，求序列()()2sin()2sin(*0.1)2sin()3330a x n x nT nT n n πππ====第19页：任何序列可以表示为单位冲激序列的移位加权和（即与()n δ的卷积和）。

解释：这个过程可以理解把任意序列分解成很多只包含一个非0序列值的序列之和，而每一个单独的序列可表示为()()x k n k δ-，所以总的序列为多个()()x k n k δ-之和。

第26页：数字角频率的单位为弧度/样本。

解释：复指数序列可以看成是由连续复指数信号采样得来，因此：|j n j t j nT j Tn t nT e e e e ϖΩΩΩ====，可以看到数字角频率与模拟角频率的关系是：T ϖ=Ω，Ω的单位为弧度/s ，T 的单位为s ，或理解为s/样本，因此ϖ的单位为弧度/样本。

第28页：复指数序列不一定是周期的。

解释：要想为周期序列，必须满足：()()x n x n N =+，则()j nj n N j n j N e e e e ϖϖϖϖ+==，因此，必须22,N k N k πϖπϖ==，与连续情况不同，这里要求N 为整数，这使得当ϖ取某些值时，可能取不到整数的N ，只有当2πϖ为有理数（包括整数）时，才会存在整数N ，序列才是周期的。

1-2 线性移不变系统第4页：要理解[]T 只是一个符号，不是一个具体的公式。

所以不能将()[()]y n T x n =中的变量n 简单替换为n-1，认为等式依然成立。

实际上，[(1)]T x n -的含义是输入序列先移位，然后再经过系统处理后的输出，(1)y n -的含义是输入序列先经过系统输出，然后再移位，两者是不一样的过程产生的输出，不要想当然认为一定相等。

第7页：判断下面系统是否是线性的 ●()(2)y n x n =-：121212[()()](2)(2)[()][()]T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n +=-+-=+●()()nk y n x k =-∞=∑：12121212[()()][()()]()()[()][()]n n nk k k T ax n bx n ax k bx k a x k b x k aT x n bT x n =-∞=-∞=-∞+=+=+=+∑∑∑●10()log [()]y n x n =：121012121011021212[()()]log [()()][()][()]log [()]log [()][()()][()][()]T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n a x n b x n T ax n bx n aT x n bT x n +=++=++≠+第10页：判断下面系统是否是移不变的 ●()()nk y n x k =-∞=∑：''=-'[()]()()()()()()[()]nnn mk k mk k k m n mk T x n m x k m x k x k y n m x k y n m T x n m -=-∞=-∞+=-∞-=-∞-=-==-=-=-∑∑∑∑令注意上面的变量替换在后面的分析中经常遇到 ●()()y n x Mn =：令1()()x n x n m =-，则11[()][()]()()T x n m T x n x Mn x Mn m -===-()(())()y n m x M n m x Mn Mm -=-=- ()[()],=1y n m T x n m M -≠-除非第13页：用BIBO 稳定性定义分析累加器系统是否是稳定的 累加器系统：()()nk y n x k =-∞=∑，令输入序列为()()x n u n =，显然()1x n =<∞是有界的，而0()()()=+1nnk k y n x k u k n =-∞===∑∑，当n →∞，()y n →∞是无界的。