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2021年高三上学期第二次联考数学理含答案一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置.1.设，则＝（）A． B． C． D．2.命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3.下列函数中，既是偶函数又在区间上递增的函数为（）A． B． C． D．4.一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒5.函数的零点位于（）A． B． C． D．6.“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.函数的图象可能是（）D 1C 1B 1A 1D CBAxyπ6π35π63- 3OA B C D 8.如图：正方体，棱长为1，黑白二蚁都从点出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中）.设黑白二蚁走完第xx 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ． 1 B. C. D. 0二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数的定义域为____________.10.若函数是函数且的反函数，且函数的图像经过点， 则 ____________. 11.已知函数，则的值为____________.12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>< 的图象，则其解析式是____________.13.由曲线与直线、直线所围成的图形的面积为____________.14.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数,（1）求的值；（2）若，求.16.（本小题满分12分）设函数,（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.17．（本小题满分14分）设函数,（1）求函数的最小正周期，并求在区间上的最小值；（2）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求.18.（本小题满分14分）已知函数（1）若函数在处的切线垂直轴,求的值；（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（3）讨论函数的单调性.19.（本小题满分14分）已知函数（1）设为函数的极值点，求证: ；（2）若当时，恒成立，求正整数．．．的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2* ()1,(,)1!2!!nnx x xf x x R n Nn=-++++∈∈（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.xx届六校十月联考理科数学参考答案一.选择题二.填空题9. 10. 11.12. 13. ____1____ 14.三.解答题15．（本小题满分12分）已知函数,（1）求的值；（2）若，求.解:（1）……2分……4分……5分（2）……7分……8分……9分……10分= ……12分16.（本小题满分12分）设函数,（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.解：(1)……2分 令 ……3分 的变化情况如下表：……5分由上表可知的单调递增区间为和,单调递减区间为. ……6分（2）由（1）可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， ……7分 的极大值 ……8分 的极小值 ……9分 又 ， ……10分 ……11分 函数在区间上的最大值为 ，最小值为 . ……12分17．（本小题满分14分） 设函数,（1）求函数的最小正周期，并求在区间上的最小值； （2）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求. （资料苏元高考吧 广东省数学教师QQ 群：179818939）解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -==+ ……3分 所以函数的最小正周期为 ……4分 因为，所以.所以当时，函数在区间上的最小值为. ……7分 （2）由得：.化简得：，又因为，解得：. ……10分由题意知：，解得，又， ……12分 由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=， . ……14分18. （本小题满分14分） 已知函数（1）若函数在处的切线垂直轴,求的值； （2）若函数在为增函数，求的取值范围； (3) 讨论函数的单调性.解：（1）因为，故， ……1分 函数在处的切线垂直轴，所以 ……3分（2）函数在为增函数，所以当时，恒成立，分离参数得：，从而有：. ……7分 （3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令，因为函数的定义域为，所以（1）当，即时，函数在上递减，在上递增； ……11分 （2）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增 ……12分 （3）当，即时，函数在上递增； ……13分 （4）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增. ……14分19.（本小题满分14分）已知函数（1）设为函数的极值点，求证: ；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值.解：（1）因为，故, ……2分为函数的极值点,, ……3分即,于是,故……5分(2)恒成立,分离参数得……7分则时，恒成立，只需，，记，，……9分在上递增，又，在上存在唯一的实根，且满足，……11分当时，即；当时，即,,故正整数的最大值为……14分20.（本小题满分14分）设函数2* ()1,(,)1!2!!nnx x xf x x R n Nn=-++++∈∈（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.解:（1）显然,当时,,故在上递增. ……2分 又，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212nn n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<-故存在唯一的，满足 ……4分 （2）由（1）知在上递增 因为所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n nn n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分 （资料苏元高考吧 广东省数学教师QQ 群：179818939），由（1）知在上递增故，即数列单调递减. ……9分 (3) 由（2）数列单调递减，故 而21()102!!(1)!()!nn n pn pn pn pn pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分两式相减：并结合，以及211111!!11!!(1)111111k kkn pnn p nn pn n p k k n k n pn pn p n pk n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n ++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有 ……14分35914 8C4A 豊30109 759D 疝}22072 5638 嘸40741 9F25 鼥kM20286 4F3E 伾24667 605B 恛26537 67A9 枩/P`32426 7EAA 纪<。
2021年高三第二次联考理科数学试卷含答案程新忠（鹰潭一中）章勇生（高安中学）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．复数（为虚数单位）的虚部为（）．．．．．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是（）．．．．．设，则“为等比数列”是“”的（）．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件．已知等差数列满足：，则的值为（）．．．．．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S值为（）．．．．．如图，已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，ABPC且，侧面⊥底面，.则这个三棱锥的三视图中标注 的尺寸分别是 （ ） ． ． ． ．．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示, 下列说法中错误．．的是（ ） ． 收入最高值与收入最低值的比是 ． 结余最高的月份是月 ．至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同 ． 前个月的平均收入为万元（说明：结余=收入-支出）．在中，角，，的对边分别是、、，若，则角的最大值为（ ）． ． ． ．．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于、两点，若恰好将线段三等分，则椭圆的方程是（ ） ． ． ． ．．已知平面向量满足，，，且与的夹角为，则的最大值为（ ） ． ． ． ．．已知正三棱锥的底面边长为，底边在平面内,绕旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面上的正投影是等腰直角三角形,则此三棱锥高的取值范围是（ ）． ． ． ．．设是有穷数列，且项数．定义一个变换：将数列…，变成…，，其中是变换所产生的一项．从数列1，2，3…，开始，反复实施变换，直到只剩下一项而不能变换为止，则变换所产生的所有项的和．．．．．．．．．．．为（）．．．．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在答题卡的相应位置．．二项式的展开式中的常数项是（用数字作答）．．_____．．不等式组所表示的平面区域为．若直线与区域有公共点，则实数的取值范围是．．已知函数，若关于的方程恰有两个不等实根、，则的最小值为_____．三．解答题：本大题共小题，共分．前小题每题满分分，最后一道选做题满分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．．（本小题满分分）已知函数（其中）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，，，求的值．．（本小题满分分）年全国高考将有个省市使用新课标全国卷，其中数学试卷最后一题为选做题，即要求考生从选修（几何证明选讲）、选修（坐标系与参数方程）、选修（不等式选讲）的三道题中任选一道题作答．某数学老师教了高三、两个理科班共名学生，为了了解所教学生对这三道题的选做情况，他对一次数学模拟考试进行了统计，结果如下表所示：若从名学生中随机抽取一名，他选做选修的概率为．（Ⅰ）求的值，分别计算两个班没有选选修的概率；（Ⅱ）若从、两班分别随机抽取名学生，对其试卷的选做题进行分析，记名学生中选做的人数为随机变量,求的分布列和数学期望（视频率为概率，例如：班选做的每个学生被抽取到的概率均为）．．（本小题满分分）如图，在五面体中，四边形为菱形，且，对角线与相交于，⊥平面，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求面与平面所成锐二面角的正弦值．．（本小题满分分）已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离小．（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率的直线过点且交曲线为、两点，当线段的中点到直线的距离为，求的取值范围．．（本小题满分分）已知函数．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；（Ⅲ）若方程（为实数）有两个实数根且，求证：．请考生在第，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
南康中学2021～2021学年度第一学期高三第二次大考数 学（理）试 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合2{20}A x x x =->，{B x x =<<，则（ ）A. AB =∅ B. A B ⊆C. B A ⊆D. A B R =2.下列函数中，既是奇函数又在()+∞,0上单调递增的函数是（ ）A.xxee y -+=B.()1ln +=x yC.xxy sin =D.xx y 1-= 3.在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭4.给出下列两个命题：命题p ：“0,0a b =≠”是“函数2y x ax b =++为偶函数”的必要不充分条件；命题q ：函数1ln 1xy x-=+是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A.p q ∧B.p q ∧⌝C.p q ∨D.p q ∨⌝5.若函数32()6f x x ax x =--+在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1a ≥B. 1a >C. 1a ≤D. 01a <<6.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x 斗、y 斗、z 斗，则下列判断正确的是（ ）A.xz y =2且75=x B.xz y =2且720=x C.z x y +=2且75=xD.z x y +=2 且720=x7.函数)3lny x x =+的图象大致为（ ）A B C D8.已知()f x是定义在R上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log7a f=，12log3b f⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f-=，则,,a b c的大小关系是（）A. c a b<< B. c b a<< C. b c a<< D. a b c<<9.函数12log(sin2cos cos2sin)44y x xππ=⋅-⋅的单调递减区间是（）A.π5π(π+π+)()88k k k∈Z， B.π3π(π+π+)()88k k k∈Z，C.π3π(π-π+)()88k k k∈Z， D.3π5π(π+π+)()88k k k∈Z，10.已知()g x是R上的奇函数，当0x<时，()ln(1)g x x=--，函数3,0()(),0x xf xg x x⎧≤=⎨>⎩，若2(2)()f x f x->，则实数x的取值范围是（）A. (,1)(2,)-∞⋃+∞ B. (,2)(1,)-∞-+∞ C. (1,2) D. (2,1)-11.定义在R上的函数()f x满足：()()1f x f x'+>，()04f=，则不等式()3x xe f x e>+（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A. ()0,∞+ B. ()(),03,-∞+∞ C. ()(),00,-∞⋃+∞ D.()3,+∞12若函数11()ln()2x xf x e e--=+-与()sin2xg xπ=图像的交点为11)x y（，,22)x y（，，…，)m mx y（，，则1miix=∑（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13.曲线y =(,1)e 处的切线方程为______________．14.函数2cos y x x =+在[0,]2π的最小值为__________．15关于函数2()ln f x x x=+,下列说法正确的是_____（填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点 ；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立 ；（4）对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>. 16.33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数是_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2021年江西省高考数学二模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|y=log2(x−1)}，B={x|x−a>0}，且(∁R A)∩B=(0,1]，则a=()A. −1B. 0C. 1D. 22.已知m，n∈R，且mi(1+2i)=n+4i(其中i为虚数单位)，则m+n=()A. −2B. −4C. 2D. 43.某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为()A. π4B. π2C. 3π4D. π4.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，若点A(x0,2√3)在抛物线上，则|AF|=()A. 3B. 2√3C. 4D. 2√3+15.根据下面给出的某地区2014年至2020年环境基础设施投资额(单位：亿元)的表格，以下结论中错误的是()年份2014201520162017201820192020投资额/47535662122140156亿元A. 该地区环境基础设施投资额逐年增加B. 2018年该地区环境基础设施投资增加额最大C. 2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额比2014年至2017年的投资总额小D. 2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少6.函数f(x)=5x−1cos2x的图象为()5x+1A.B.C.D.7. 已知定义在R 上的函数f(x)，则“f(x)的周期为2”是“f(x)=1f(x+1)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. (x +2y +3z)5的展开式中xy 2z 2的系数为( )A. 5B. 30C. 1080D. 21609. 如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数√2，√3，√5，…的图形之一，此图形中∠BAD 的余弦值是( )A. 4−√36B. 4+√36C. 2√3−√66D. 2√3+√6610. 已知动直线l ：xcosα+ysinα=1与圆C 1：x 2+y 2=2相交于A ，B 两点，圆C 2：x 2+y 2=1.下列说法： ①l 与C 2有且只有一个公共点； ②线段AB 的长度为定值； ③线段AB 的中点轨迹为C 2． 其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 定义：若存在n 个正数x 1，x 2…，x n ，使得f(−x i )=−f(x i )(i =1,2，…，n)，则称函数y =f(x)为“n 阶奇性函数”.若函数g(x)={mx +m,x ≤0xlnx,x >0是“2阶奇性函数”，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (0,1)∪(1,+∞)12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,π2<φ<π)的一个周期的图象如图所示，其中f(0)=1，f(1)=0.f(x1)=f(x2)=−12，则f(x2−x1−2)=()A. −74B. −√154C. 74D. √154二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设a⃗，b⃗ 为非零向量，且|2a⃗+3b⃗ |=|2a⃗−3b⃗ |，则a⃗，b⃗ 的夹角为______ ．14.若x，y满足约束条件{x+y−5≤0x−y+1≥0x−1≥0，则z=yx的最大值是______ ．15.已知F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，过点F作渐近线的垂线FH(点H为垂足)，并交双曲线的右支于点A，若A为线段FH的中点，则双曲线的离心率为______ ．16.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，所有棱长均为a，且∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，点E在棱A1D1上，且A1E=2ED1，平面α过点E且平行于平面A1DB，则平面α与平行六面体ABCD−A1B1C1D1各表面交线围成的多边形的面积是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=S n+a n+2，a32=S1S5，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，四边形BDEF是平行四边形，∠DBF=45°，BF=2√2，FA=FC．(1)求证：FD⊥平面ABCD；(2)求二面角A−DE−B的余弦值．19.在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩(单位：环)，并把所得数据制成了如下所示的频数分布表：成绩分组[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)[9,10]频数5182826176(1)求抽取的样本平均数x−(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布N(μ,σ2)(其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2=1.61)，且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人？(3)已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ．[附：若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9545，√1.61≈1.27，结果取整数部分]20. 如图，已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆E 上异于A ，B 的一个动点，直线l 过点B 且垂直于x 轴，直线AP 与l 交于点Q ，圆C 以BQ 为直径.当点P 在椭圆短轴端点时，圆C 的面积为π． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设圆C 与PB 的另一交点为点R ，记△AQR 的面积为S 1，△BQR 的面积为S 2，试判断S 1S 2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求S 1S 2的取值范围．21. 已知函数f(x)=xe x +ax +bcosx ．(1)当b =0时，讨论函数f(x)极值点的个数；(2)当b =−2，x ≥0时，都有f(x)≥2e x −4，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (1)求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P(1,√3)，曲线C 1与C 2相交于A ，B 两点，求||PA|⋅|PB||PA|−|PB||.23. 已知函数f(x)=|x +a|+|x −1a |(a >0)．(1)求证：f(x)≥2；(2)当a =12时，f(x)≥−x 2+4x +m 恒成立，求m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|x>1}，B={x|x>a}，∴∁R A={x|x≤1}，且(∁R A)∩B=(0,1]，∴a=0．故选：B．可求出集合A，然后得出∁R A={x|x≤1}，并求出B={x|x>a}，然后根据(∁R A)∩B= (0,1]即可求出a的值．本题考查了集合的描述法和区间的定义，对数函数的定义域，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由mi(1+2i)=n+4i，得−2m+mi=n+4i，∴{−2m=nm=4，即m+n=−m=−4．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简等式左侧，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】D【解析】解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为34个球体；故V=34×43⋅π⋅13=π．故选：D．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：点A(x 0,2√3)在抛物线上，可得12=4x 0，解得x 0=3， 所以|AF|=x 0+p2=3+1=4． 故选：C ．点的坐标代入抛物线方程，求出x 0，利用抛物线的定义转化求解即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由表格中的数据信息可知，该地区环境基础设施投资额逐年增加，故选项A 正确；2015～2020年的投资增额分别为：6，3，6，60，18，16，所以2018年该地区环境基础设施投资增加额最大，故选项B 正确；2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额为262亿元，2014年至2017年的总额为218亿元，故选项C 错误；2019年的投资增额为18，2019年的投资增额为16，所以2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少，故选项D 正确． 故选：C ．由题中给出的数据信息，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了图表的应用，解题的关键是正确的从数表中读取信息，考查了逻辑分析能力．6.【答案】D【解析】解：∵f(−x)=5−x −15−x +1⋅cos(−2x)=1−5x 1+5x⋅cos2x =−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除选项A 和C ， 又f(π)=5π−15π+1⋅cos2π>0，排除选项B ，故选：D ．先判断函数的奇偶性，再计算f(π)的值，并与0比较大小，即可得解．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数对称性的性质是解决本题的关键． 根据函数对称性的定义，举实例，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：①当f(x)=1f(x+1)时，有f(x)=1f(x+1)=11f(x+2)=f(x +2)，则f(x)的周期为2，②当f(x)的周期为2，例如f(x)=sinπx ，当x 为整数时，f(x)=f(x +1)=0，则f(x)=1f(x+1)无意义，综上所述：f(x)的周期为2是f(x)=1f(x+1)的必要不充分条件． 故选：B ．8.【答案】C【解析】解：(x +2y +3z)5表示5个因式x +2y +3z 的乘积，故它的展开式中， 含xy 2z 2的项是由其中一个因式取x ，其中两个因式取2y ，剩下的两个因式取3z 得到的，故xy 2z 2的系数为C 51⋅C 42⋅22⋅C 22⋅32=5×6×4×9=1080．故选：C ．根据乘方的意义，利用排列组合的知识，求得xy 2z 2的系数． 本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意，在△BCD 中，∠DCB =135°，由余弦定理可得BD 2=CD 2+BC 2−2CD ⋅BC ⋅cos∠DCB =1+1+2×1×1×√22=2+√2，所以在△BAD 中，cos∠BAD =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=√22√3=2√3−√66． 故选：C ．由题意在△BCD 中可求∠DCB =135°，由余弦定理可得BD ，进而根据余弦定理可求cos∠BAD的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：由题意，C2的圆心到直线l的距离d=1√cos2α+sin2α=1，∴直线1与圆C2相切，故①正确；因为|AB|=2√R2−r2=2√2−1=2，∴线段AB的长度为定值，故②正确；由①知l为C2的切线，而C1与C2为同心圆，则根据对称性，l与C2的切点即为线段AB的中点，故线段AB的中点轨迹为C2，故③正确．故选：D．利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系判断选项①②，由圆的对称性判断选项③．本题考查了直线与圆位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，圆的几何性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由题意可得，方程g(−x)=−g(x)有且只有两个正根，即m(−x)+m=−xlnx有且只有两个正根，方程可化为：xlnx=m(x−1)，因此转化为函数y=xlnx与y=m(x−1)在y轴右侧的图象有两个交点，先研究函数y=xlnx的图象，因为y′=lnx+1，当0<x<1e 时，y′<0，当x>1e时，y′<0，且当x=1时，y=0，y′=1，在x=1处切线的斜率为1，如图所示：而y=m(x−1)过点(1,0)斜率为m，由图象有两个交点，则只需m>0且m≠1，故m 的实数取值范围为(0,1)∪(1,+∞)， 故选：D ．由题意将已知问题转化为函数y =xlnx 与y =m(x −1)在y 轴右侧的图象有两个交点，然后分析出函数y =xlnx 的性质，画出图象，利用数形结合即可求解．本题考查了分段函数的性质，涉及到数形结合以及导数的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由f(0)=1，可得sinφ=12，又π2<φ<π，所以φ=5π6，由f(1)=0，可得ω+φ=2kπ+π，可得ω=2kπ+π6，k ∈Z ， 又因为周期T >4(1−0)，所以2πω>4，可得0<ω<π2， 所以ω=π6，所以T =2πω=12， 所以f(x)=2sin(π6x +5π6)，因为f(x 1)=2sin(π6x 1+5π6)=−12，所以sin(π6x 1+5π6)=−14，因为f(4)=2sin 3π2=−2，所以点(x 1,−12)，(x 2,−12)关于直线x =4对称，所以设(π6×4+5π6)−(π6x 1+5π6)=α，则sin(3π2−α)=sin(π6x 1+5π6)=−14，可得cosα=14， 又(π6x 2+5π6)−(π6x 1+5π6)=2α，可得π6(x 2−x 1)=2α，所以f(x 2−x 1−2)=2sin[π6(x 2−x 1)−π3+5π6]=2sin(π2+2α)=2cos2α=2(2×116−1)=−74． 故选：A ．由题意求得φ、ω的值，写出函数f(x)的解析式，求图象的对称轴，可得点(x 1,−12)，(x 2,−12)关于直线x =4对称，设(π6×4+5π6)−(π6x 1+5π6)=α，可得cosα=14，计算可得π6(x 2−x 1)=2α，从而可求得f(x 2−x 1−2)的值．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，函数值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】π2【解析】解：根据题意，a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，若|2a ⃗ +3b ⃗ |=|2a ⃗ −3b ⃗ |，则有|2a ⃗ +3b ⃗ |2=|2a ⃗ −3b⃗ |2， 变形可得：4a ⃗ 2+12a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2=4a ⃗ 2−12a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2，即a⃗ ⋅b ⃗ =0， 则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π2． 故答案为：π2．根据题意，|2a ⃗ +3b ⃗ |=|2a ⃗ −3b ⃗ |，则有|2a ⃗ +3b ⃗ |2=|2a ⃗ −3b ⃗ |2，变形可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，由向量垂直的性质分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：由约束条件{x +y −5≤0x −y +1≥0x −1≥0作出可行域如图，联立{x =1x −y +1=0，解得A(1,2)，z =yx 的几何意义为可行域内的点与定点O(0,0)连线的斜率． ∵k OA =2−01−0=2， ∴z =y x 的最大值等于2．故答案为：2．画出满足条件的平面区域，结合图象求出z 的最大值即可．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】√2【解析】解：由题意可知，FH 的方程为y =−a b (x −c)，与渐近线方程为y =ba x ，可得 H 的坐标为(a 2c ,abc)，A 是线段AF 2的中点(a 2+c 22c,ab 2c )，根据中点A 在双曲线C 上，∴(a 2c +c)24a 2−a 2b 24b 2c 2=1，∴c 2a 2=2， 故e =ca =√2， 故答案为：√2．设一渐近线方程为y =ba x ，则FH 的方程为y =−ab (x −c)，代入渐近线方程求得A 的坐标，再把点A 的坐标代入双曲线求得离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出FA 的中点B 的坐标是解题的关键，是基础题．16.【答案】13√3 36a 2【解析】解：如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN ，且EF =GH =MN =13a ，FG =HM =NE =23a ，六边形内角均为120°，连接EG ，GM ，ME ，可知三角形EGM 为等边三角形， 所以面积为13√3a 236， 故答案为：13√3a 236． 由题意可得符合条件的截面是六边形EFGHMN ，然后画出图形，且EF =GH =MN =13a ，FG =HM =NE =23a ，六边形内角均为120°，进而可以求解．本题考查了平面的基本性质与应用，考查了学生的数形结合能力与分析问题的能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1=S n +a n +2，整理得a n+1−a n =2(常数)，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公差的等差数列，因为a 32=S 1S 5，所以(a 1+4)2=a 1(5a 1+20)，解得a 1=1或−4(负值舍去)， 故a n =2n −1．(2)因为a n =2n −1，所以b n =2n+1−1，所以T n =(22−1)+(23−1)+(24−1)+⋯+(2n+1−1) =(22+23+⋯+2n+1)−(1+1+⋯+1)=2n+2−n +4．【解析】(1)根据条件可得数列{a n }是以a 1为首项，2为公差的等差数列，再求出通项公式；(2)利用分组法求出数列{b n }的前n 项和T n ．本题考查的知识要点：数列的通过项公式的求法，分组法在数列的求和中的应用，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：连接AC 交BD 于O ，连接OF ， 因为四边形ABCD 是菱形，所以O 点是AC 中点，AC ⊥BD ， 又因为FA =FC ，所以OF ⊥AC ，又因为BD ∩AC =O ，所以AC ⊥平面FBD ， 因为FD ⊂平面FBD ，所以AC ⊥FD ，因为四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =2，所以BD =2， 又因为∠DBF =45°，BF =2√2，所以FD =√BF 2+BD 2−2⋅BF ⋅BD ⋅cos45°=2， 于是BF 2=BD 2+DF 2，所以FD ⊥BD ， 因为AC ∩BD =O ，所以FD ⊥平面ABCD ． (2)建立如图所示的空间直角坐标系， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)， 设平面ADE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3x +y =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2y +2z =0，令y =√3，m ⃗⃗⃗ =(−1,√3,√3)， 平面BED 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 因为二面角A −DE −B 为锐角， 所以二面角A −DE −B 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√7⋅1=√77．【解析】(1)证明FD 垂直于平面ABCD 内相交直线AC 和BD 即可； (2)求出平面BED 的法向量为n ⃗ ，用向量法计算二面角A −DE −B 的余弦值． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数x −=4.5×0.05+5.5×0.18+6.5×0.28+7.5×0.26+8.5×0.17+9.5×0.06=7．(2)由(1)知Z ～N(7,1.61)，所以P(Z ≥8.27)=1−0.68272=0.15865，所以在这2000名学员中，合格的有2000×0.15865≈317人． (3)由已知得ξ的可能取值为1，2，3， P(ξ=1)=C 41C 22C 63=15，P(ξ=2)=C 42C 21C 63=35， P(ξ=3)=C 43C 20C 63=15，所以ξ的分布列为：所以E(ξ)=1×15+2×35+3×15=2(人)．【解析】(1)由所得数据列成的频数分布表，利用平均数公式即可求出抽取的样本平均数；(2)根据正态分布的性质即可合格的人数；(3)ξ的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可求解分布列和期望． 本题考查平均数的求法、正态分布的性质、离散型随机变量的分布列与期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由已知，c a =√32⇒b a =12，当点P 在短轴端点时，由△AOP 相似于△ABQ ⇒BQ =2b ， 所以圆C 的面积为πb 2， 所以b =1，a =2， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 0,y 0)，则x 024+y 02=1⇒y 02x 02−4=−14①，A ，B 的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，所以k AP =y 0x 0+2，⇒直线AP 的方程为y =yx 0+2(x +2)，令x =2时，Q(2,4y 0x0+2)，又k BP =yx 0−2，点R 在圆上，所以QR ⊥BR ，因此k QR =2−x 0y 0，所以直线RQ 的方程为y −4y 0x 0+2=2−x 0y 0(x −2)，即y 0(x 0+2)y −4y 02=(4−x 02)(x −2)， 由①是得到4−x 02=4y 02， 代入直线RQ 的方程，化简为4y 0x −(x 0+2)y −4y 0=0， 设A ，B 两点到直线RQ 的距离分别为d 1，d 2，则S 1S 2=d1d 2=|−8y 0−4y 0||8y 0−4y 0|=3，为定值．【解析】(1)由离心率为√32，及当点P 在椭圆短轴端点时，圆C 的面积为π，列方程组解得a ，b ，即可得出答案． (2)设P(x 0,y 0)，则x 024+y 02①，写出直线AP 的方程，令x =2时，得Q 得坐标，由QR ⊥BR ，推出k QR ，写出直线RQ 的方程，进而得A ，B 两点到直线RQ 的距离分别为d 1，d 2，推出S 1S 2，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)b=0，f(x)=xe x+ax⇒f′(x)=(x+1)e x+a，记g(x)=f′(x)，g′(x)=(x+2)e x，令g′(x)=0，得x=−2，f′(−2)=a−1e2，当x<−2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，a−1e2<f′(x)<a，当x>−2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，f′(x)>a−1e2，①当a−1e2≥0，即a≥1e2，f′(x)≥0，f(x)单调递增，无极值点；②当a−1e2<0且a>0，即0<a<1e2时，f′(x)=0有两个不同的根，f(x)有两个极值点，③当a≤0时，f′(x)=0有一个根，f(x)有一个极值点．(2)依题意(x−2)e x+axx−2cosx+4≥0对任意的x≥0恒成立，记ℎ(x)=(x−2)e x+axx−2cosx+4，ℎ(0)=0，ℎ′(x)=(x−1)e x+a+2sinx，ℎ′(0)=a−1，ℎ″(x)=xe x+2cosx，所以x∈[0,π2]时，xe x≥0，2cosx>0⇒ℎ″(x)>0，x∈[π2,+∞)时，xe x≥π2eπ2>π>2，ℎ″(x)>2+2cosx≥0，所以ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，①a−1≥0即a≥1时，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=a−1≥0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，②a−1<0即a<1时，ℎ′(0)<0，ℎ′(4−a)=(3−a)e4−a+a+2sin(4−a)≥3−a+a+2sin(4−a)>0，所以存在x0∈(0,4−a)，使得ℎ′(x0)=0，当0<x<x0时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在[0,x0]上的单调递减，当0<x<x0时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，与题意不符，综上所述，a的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)f(x)=xe x+ax，求导得f′(x)=(x+1)e x+a，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，进而可得f(x)的极值点．(2)依题意(x−2)e x+axx−2cosx+4≥0对任意的x≥0恒成立，ℎ(x)=(x−2)e x+axx −2cosx +4，只需ℎ(x)min ≥0，即可解得答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，消去参数t 得：√3x +y −2√3=0．曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为y 2=4x ．(2)曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，转换为标准式为{x =1+12t y =√3−√32t (t 为参数)， 代入y 2=4x ，得到：34t 2+5t −1=0， 所以t 1+t 2=−203，t 1t 2=−43． 故|PA|⋅|PB||PA|−|PB|=|t 1t 2||t 1+t 2|=15．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)证明：f(x)=|x +a|+|x −1a |≥|(x +a)−(x −1a )|=|a +1a |=a +1a ≥2， 当且仅当a =1且−1≤x ≤1时，等号成立． 所以f(x)≥2；(2)当a =12时，f(x)≥−x 2+4x +m 恒成立， 即为|x +12|+|x −2|≥−x 2+4x +m 恒成立， 即有m ≤x 2−4x +|x −2|+|x +12|，设g(x)=x2−4x+|x−2|+|x+12|，由y=x2−4x=(x−2)2−4≥−4，当x=2时，取得等号；又y=|x−2|+|x+12|≥|x−2−x−12|=52，当x=2时，取得等号，所以g(x)=x2−4x+|x−2|+|x+12|的最小值为g(2)=−4+52=−32，则m≤−32，即m的取值范围是(−∞,−32].【解析】(1)由绝对值不等式的性质和基本不等式，注意等号成立的条件，即可得证；(2)由参数分离和二次函数的最值求法，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2021年高三上学期第二次质量检测理数试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则A.10B.12C.14D.16【答案】C考点：1、一元二次方程的解法；2、集合的基本运算.2.若复数是纯虚数，则的值为A.-7B.C.7D.-7或【答案】C【解析】试题分析：由于是纯虚数，，，，，故答案为C.考点：1、复数的概念；2、两角差的正切公式.3.已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则A.1B.3C.6D.9【答案】D【解析】考点：等差数列的通项公式和性质应用.4.给出下列结论：①命题“”的否定是“”；②命题“”是“”的充分不必要条件；③数列满足“”是“数列为等比数列”的充分必要条件.其中正确的是A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A【解析】试题分析：对于①命题“”的否定是“”正确；对于②，当“”能得到“”，由“”不能得到“”，命题“”是“”的充分不必要条件，正确；对于③，当“”不能得到“数列为等比数列”如为常数列时，由“数列为等比数列”不能得到“”，错误，正确的为①②，故答案为A.考点：命题的真假性.5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的为A. B.-3 C. D.2【答案】D考点：程序框图的应用.6.已知函数，数列是公差为的等差数列，若，，则的通项公式为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，，，解得，，，故答案为B.考点：等差数列的通项公式.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B考点：由三视图求体积.8.若实数满足，则的最小值为A.-2B.-3C.-4D.-5【答案】B【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：，设，则的几何意义为区域内的点到定点的斜率，由图象可知，的斜率最小，由，得，即，此时的斜率，则，即的最小值为-3，故答案为B.考点：线性规划的应用.【方法点晴】本题主要考查的是利用线性规划求函数的最值，属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义表示的是点与连线的斜率再加上1，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．9.已知函数是偶函数，当时，函数，设，，，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】A又时，当时，函数单调递减，，故答案为A考点：函数的性质及应用.10.已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的概率是A. B. C. D.【答案】A考点：几何概型的应用.11.点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心等于A. B. C. D.2【答案】C【思路点睛】本题考查椭圆和双曲线的几何性质和直线和圆的位置关系，属于中档题，在双曲线的几何性质中，涉及较多的为的为离心率，确定几何量的关系是关键，求双曲线的离心率两种方法，一种是直接建立或的范围，另一种是建立的齐次关系式，将用表示，令两边同除以或化为的关系式，进而求解，在做题过程中，注意区别椭圆和双曲线的关系的不同.12.已知在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为A. B. C.(12,30] D. (-12,15]【答案】A【解析】试题分析：由于表示点与点连线的斜率，因实数在区间，故和在区间内，不等式恒成立，函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在内恒成立，由函数的定义域知，，在内恒成立，即在内恒成立，由于二次函数在上的单调增函数，故时，二次函数在上最大值为15，，故答案为A考点：1、斜率公式的应用；2、函数恒成立.【方法点睛】本题考查斜率公式的应用，函数的恒成立问题，以及利用函数的单调性求函数的最值，属于压轴题，由于由于表示点与点连线的斜率，故函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，故有在内恒成立，即在内恒成立，由此求得的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.多项式的展开式中常数项是_______.【答案】考点：二项式定理的应用.14.记等差数列的前项和为，若，，，则正整数_______.【答案】9【解析】试题分析：，，，，，，，得.考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式.15.在中，分别为角的对边，且角，若，且，则的周长等于______.【答案】考点：1、三角形的面积公式；2、正、余弦定理的应用.【方法点睛】本题考查的是三角形的面积公式，正、余弦定理的应用，属于中档题，在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边；若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断；在三角形中，注意这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围.16.若集合，且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是________.【答案】6【解析】试题分析：由题意，时，；；时，；；；时，，合条件的有序数组的个数是6.考点：集合的相等关系.【易错点睛】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键，属于中档题，此类题的易错点是：①分类不严谨；②审题不认真；本题若对“有且只有”这四个字不敏感，则在解题过程中不易找到突破口，因此，这类题一定要认真审题，分类做到不重不漏，列出之后，看是否符合题意才不会陷入的陷阱.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数a x x x x f ++++=2sin )4cos()4sin(32)(ππ的最大值为1.（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）∵∴，∴.由，解得，所以函数的单调递增区间是.（2）∵将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，∴1)322sin(2]3)6(2sin[2)6()(-+=++=+=ππππx x x f x g ∵，∴，∴当时，，取最大值；当时，，取最小值..考点：1、三角函数的单调区间；2、三角函数在闭区间上的最值.【思路点睛】本题考查三角函数的变换，三角函数的图象平移，三角函数在闭区间上的最值，属于中档题，求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：把三角函数式根据三角函数的有关公式进行化简，一般化成形如的形式，第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围，第三步：求所给函数的值域（或最值).18.（本小题满分12分）甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛.在比赛第二阶段，两队各剩最后两名队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是.通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛人数为0）.所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的.（1）求第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率；（2）表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）试题解析：（1）设、分别表示甲、乙通过第二阶段比赛的人数，、的可能取值为0,1,2. ，，，，，.设参加第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等为事件A，则考点：离散型随机变量的分布列和数学期望.【方法点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及性质，属于中档题；一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为的概率，解答此类问题善于灵活运用两个性质：一是；二是，求出分别列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确，解出方程组得出结果. 19.（本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且⊥平面. （1）证明：；（2）若，求直线CD与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明略；（2）.试题解析：（1）由题意，，又，∴，∴，∵，∴.又平面，∴，∵与交于点，∴平面，又平面，∴.（2）如图，分别以，，所在直线为轴，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，考点：1、直线与平面垂直的判定；2、直线与平面所成的角.20.（本小题满分12分）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设轨迹上一动点满足：，其中是轨迹上的点，直线与的斜率之积为，若为一动点，，为两定点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理运用，考查学生分析问题解决问题的能力，属于难题，求轨迹方程的常用方法，①直接法：直接利用条件建立之间的关系②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；④相关点法：动点依赖于另一个动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程.考点：1、求轨迹方程；2、椭圆的概念和几何性质.21.（本小题满分12分）已知函数，函数在处的切线与直线垂直.（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（3）设、（）是函数的两个极值点，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间试题解析：（1）∴.∵与直线垂直，∴，.（2）∵，∴，由题意知在上有解，，设，则所以只需，故的取值范围是.（3）∵，所以令.∴，.∵])1(21[ln ])1(21[ln )()(2222121121x b x x x b x x x g x g --+---+=- )(21ln ))(1()(21ln 12212121222121x x x x x x x x b x x x x --=----+=， ∵，所以设，，∴，所以在(0,1)单调递减，又，∴，即.∵0<t<1，∴，∴，，故所求的最小值是.考点：1、导数的几何意义；2、函数单调性的应用；3、函数的极值和最值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值.【答案】（1），；（2）（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即，由于，故可设，是上述方程的两实数根，所以，又直线l过点，两点对应的参数分别为，，所以.考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与圆的综合问题.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）解不等式：；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.（2）设，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<-+--≤--=21,3212,22,23)(x x x x x x x h ，所以. 所以对应任意，不等式恒成立，得，得，所以最后的取值范围是.考点：1、含绝对值不等式的解法；2、恒成立的问题.37474 9262 鉢26118 6606 昆@UG`p3 [40684 9EEC 黬X25503 639F 掟j?。
高三理数第二次联考试卷一、单项选择题1.集合，假设，那么实数〔〕A. B. 2 C. -2 D.2. 为虚数单位，假设复数，那么以下结论正确的选项是〔〕A. 的共轭复数是B. 的虚部是C.D.3.双曲线的离心率为，且经过点，那么该双曲线的方程是〔〕A. B. C. D.4.设平面向量与向量互相垂直，且，假设，那么〔〕A. B. 2 C. D. 45.设，那么的大小关系为〔〕A. B. C. D.6.假设曲线在点处的切线与直线平行，那么实数的值为〔〕A. B. C. 1 D. 27.己知等差数列的前项和为，且，那么〔〕A. 100B. 110C. 120D. 1308.函数蛇图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，假设将函数的图象向左平移后得到奇函数的图象，那么〔〕A. B. C. D.9.2021年4月15日，是第六个全民国家平安教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家平安知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，那么不同的宣讲顺序共有〔〕A. 28种B. 32种C. 36种D. 44种10.在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，那么三棱锥的外接球体积为〔〕A. B. C. D.11.函数，假设不等式恒成立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.12. 是圆上两个不同的点，且满足，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.二、填空题13.二项式的展开式中，二项式系数之和为32.那么该展开式中含项的系数为________.14.实数满足那么的最大值为________.15.等比数列满足：，那么________.16.拋物线与圆相交于点，点关于原点对称的点为假设过点的直线(且不过点)与抛物线交于两点，那么直线与的斜率之积为________.三、解答题17.在中，角的对边分别为，且〔1〕求角的值；〔2〕点在线段上，且，求边长18.等边三角形的边长为，点、分别是边、上的点且如图甲，将沿折起到的位置，使四棱锥的体积最大.连接、，如图乙，点为的中点.〔1〕求证：平面；〔2〕求二面角的余弦值.19.2021年5月27日，中央文明办明确规定，在2021年全国文明城市测评指标中不将马路市场､流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上〞一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广阔市民的欢迎，现有甲､乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，甲在A，B两点的命中率均为，乙在A点的命中率为，在B点的命中率为，且他们每次套圈互不影响.〔1〕假设甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；〔2〕假设甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中那么计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列和期望；〔3〕在〔2〕的条件下，假设，求的取值范围20.椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上.〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕设直线与椭圆交于两个不同的点，点为坐标原点，那么当的面积最大时，求线段的中点的轨迹方程.21.函数.〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕假设对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数)､在以为极点轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线的极坐标方程为〔1〕求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；〔2〕设点的直角坐标为，直线与曲线交于两点，弦的中点为是曲线上异于的点，求面积的最大值.23.函数的一个零点为2，〔1〕求不等式的解集；〔2〕设函数的最小值为，且正实数满足，求证：.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】解：由题意得直线2x-y+1=0与x+ay=0平行，那么2a+1×(-1)=0，解得故答案为：A【分析】根据空集的意义，结合直线平行的充要条件求解即可.2.【解析】【解答】解：，故共轭复数为，所以A错误；故的虚部是2，所以B错误；故，所以C错误；故，所以D正确.故答案为：D【分析】根据复数的运算，结合复数的相关概念求解即可3.【解析】【解答】解：由得，那么双曲线方程可设，将点P代入得，解得a2=1，b2=2，所以双曲线的方程是：.故答案为：B【分析】根据双曲线的几何性质，及定义求解即可.4.【解析】【解答】解：∵∴即，又，所以，那么解得故答案为：B【分析】根据向量的运算法那么，以及求模公式直接求解即可.5.【解析】【解答】因为，，，所以.故答案为：D.【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.6.【解析】【解答】解：直线的斜率为，由得f'(x)=2x+lnx+1，那么曲线在点处的切线斜率为k2=f'(1)=3，那么由题意知k1=k2，即，那么故答案为：A【分析】利用导数的几何意义，结合直线平行的充要条件求解即可.7.【解析】【解答】解：由题意得，解得，那么故答案为：C【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式求解即可.8.【解析】【解答】解：∵函数f(x) 图象上相邻的两条对称轴之间的距离为∴∴，ω=2∴f(x)=sin(2x+θ)又将函数的图象向左平移后得到又g(x)是奇函数，那么g(0)=0即，又那么那么那么故答案为：C【分析】根据正弦函数的图象与性质，结合奇函数的性质求解即可.9.【解析】【解答】解：分成以下两种情况进行分类讨论：①高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有种排法，当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有种排法，所以高校甲排在第二个时共有12+4=16种排法;②高校甲排在第三个时，高校J必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，那么共有种排法;综上，共有16+16=32种排法满足题意.故答案为：B【分析】根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，运用分类讨论的思想求解即可.10.【解析】【解答】解：如下列图，取AC中点D，连接BD,PD，取等边三角形PAC中心O，连接OA，那么在△ABC中，，那么由余弦定理得，解得BC=3那么有AB2+BC2=AC2那么AB⊥BC又∵D是AC的中点，DA=DB=DC，又△PAC是等边三角形，∴PD⊥AC又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴PD⊥平面ABC又∵三棱锥外接球球心到四个顶点距离相等，综上可得球心O在PD上，又∵PO=AO=CO∴O是△PAC的中心，故△PAC的中心O是外接球球心，在△PAO中，,∴OD=1，OA=2，即外接球半径r=2，所以外接球体积为故答案为：C【分析】此题主要考查三棱锥的外接球问题，关键在于确定球心O，根据余弦定理，结合面面垂直的性质定理以及球心的几何性质确定球心O是△PAC的中心O，进而求得半径r，代入体积公式即可求解. 11.【解析】【解答】解：当x≤0时，有e-x-2≥e0-2=-1成立，当x<0时，要使ax(lnx-1)≥-1，当a=0时，f(x)=0≥-1成立，当a>0时，f'(x)=a(1+lnx-1)=alnx，由f'(x)>0得x>1；由f'(x)<0得0<x<1，那么f(x)在〔0,1〕上为减函数，在〔1，+∞〕上为增函数，所以f(x)≥f(1)=-a≥-1，那么a≤1综上，0≤a≤1故答案为：C【分析】根据分段函数的定义，结合利用导数研究函数的单调性与最值求解即可12.【解析】【解答】解：如下列图，由题意知是圆上两个不同的点，且满足，那么OA=OB=2,∴，,∴设∠AOx=θ，那么∠BOx=θ+，设A(2cosθ,2sinθ)，,那么∵∴当时，原式取得最大值故答案为：D【分析】根据向量的数量积与向量的夹角公式，结合正弦函数的性质求解即可二、填空题13.【解析】【解答】解：由题意得2n=32，那么n=5，那么的通项公式为令，得k=2，所以含x2项的系数为故答案为：40【分析】根据二项定理直接求解即可.14.【解析】【解答】解：作出约束条件所表示的可行域，如下列图，当直线L：经过点A〔-3，-1〕时，z=x-2y取得最大值z max=-3-2×(-1)=-1故答案为：-1【分析】根据线性规划的意义直接求解即可.15.【解析】【解答】解：由得，那么，解得q=2，所以所以故答案为：【分析】根据等比数列的性质，以及通项公式求解即可16.【解析】【解答】解：易知点A(2,1)，点B〔-2，-1〕，P=2，假设直线CD斜率k不存在，直线CD与抛物线不存在两个交点，故直线CD斜率k存在，那么可设直线CD的方程为：y+1=k(x+2)，点C(x1,y1)，点D(x2,y2)，由得x2-4kx+4-8k=0，那么x1+x2=4k，x1x2=4-8k，y1+y2=k(x1+x2)+4k-2=4k2+4k-2，所以故答案为：【分析】根据直线与抛物线的位置关系，结合根与系数的关系以及斜率公式求解即可.三、解答题17.【解析】【分析】〔1〕利用三角形的内角和性质，结合诱导公式求解即可；〔2〕根据同角三角函数的关系，利用两角和的正弦公式，结合正弦定理求解即可.18.【解析】【分析】〔1〕利用余弦定理，根据线面平行的性质定理及判定定理，结合面面平行的性质定理求证即可；〔2〕建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法直接求解二面角的平面角即可19.【解析】【分析】〔1〕利用对立事件的概率关系，结合n次独立重复试验的概率公式求解即可；〔2〕利用独立事件的概率求法分别求出甲乙的概率，再写出甲乙的离散型随机变量的分布列与期望.20.【解析】【分析】〔1〕根据椭圆的几何性质与定义直接求解即可；〔2〕利用直线与椭圆的位置关系，结合三角形的最大面积求得m2=2k2+1，再结合中点坐标公式，利用相关点法求解即可.21.【解析】【分析】〔1〕利用导数研究函数的单调性，运用分类讨论思想求解即可；〔2〕根据化归转化思想，将不等式恒成立问题转化为利用导数研究函数的单调性与最值问题即可求解.22.【解析】【分析】〔1〕根据直线参数方程的标准性质直接求解直线l的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式直接求解曲线C的直角坐标方程即可；〔2〕利用直线l参数方程中的参数t的几何意义，结合点到直线的距离公式，运用数形结合思想求解即可.23.【解析】【分析】〔1〕利用函数零点的性质求得m，再运用零点分段讨论法求解即可；〔2〕利用绝对不等式的性质求得，再利用根本不等式求解即可.。
江西省井冈山中学2021届高三数学上学期第二次联考试题 理一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =（ ）A ．[]2,3B ．(]1,3C ．[]1,3-D ．()1,+∞【答案】B【解析】化简集合A ，求出函数21x y =+的值域，进而求出集合B ，按交集定义即可求解. 【详解】{}|13A x x =-≤≤，{}|1B y y =>，∴(]1,3A B =.故选:B. 【点睛】本题考查集合的运算，应用函数的性质求解集合是解题关键，属于基础题.2．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z i ii=+-，则z =（ ）A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+D ．3155i --【答案】B【解析】根据复数代数形式的运算法计算出z ，再根据定义求出z . 【详解】解：因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+， 则1355z i =-. 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的运算，属于基础题.3．已知函数()32cos f x x x =-，若(a f =，()2b f =，()2log 7c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】D【解析】求出()f x '，可得()f x 在R 上为增函数，再比较自变量的大小，即可求出结论. 【详解】根据题意，函数()32cos f x x x =-， 其导数函数()'32sin f x x =+，则有()'32sin 0f x x =+>在R 上恒成立， 则()f x 在R 上为增函数；又由222log 4log 73=<<<b c a <<. 故选:D. 【点睛】本题考查比较数的大小，关键在于利用函数的单调性，属于中档题.4．已知α，β是两个不重合的平面，直线1AA A α⋂=，11AA A β⋂=，直线1BB B α⋂=，11BB B β⋂=，11AA BB ，p ：αβ∥，q ：11AA BB =，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】充分性如图可构造11AA BB 为平行四边形，可证明11AA BB =，必要性，可构造反例，平面,αβ相交，当直线11,AA BB 在关于交线对称的位置，有11AA BB =，故必要性不成立. 【详解】充分性：若11AA BB ，可知11,,,A A B B 四点共面，连接11,AB A B ，由于αβ∥，平面111111,AA BB AB AA BB A B αα==，11//AB A B ∴，11AA BB ∴为平行四边形，11AA BB ∴=故充分性成立;必要性：如图所示，平面,αβ相交，当直线11,AA BB 在关于交线对称的位置，有11AA BB =，故必要性不成立. 故选：A 【点睛】本题考查了空间中的平行对称关系，考查了学生空间想象，逻辑推理能力，属于中档题.5．()()52122xx --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．40【答案】A【解析】化简得到()()()()555212222222x x x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】()()()()555212222222x x x x x =⋅-----展开式中8x 的项为()()232332552C 22C 221208x x x x---=⨯.故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.6．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin 3.750.0654︒≈)A ．2.6B ．3C ．3.1D ．14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：6n =，333sin 602S =︒=，不满足条件S p ≥，12n =，6sin 303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24.故 3.1p =.故选C ．7．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由()f x 的解析式可得函数()f x 为偶函数，以及函数值的符号情况，可排除不正确的选项，从而得到答案. 【详解】()211sin sin 11x x xe f x x x e e -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 则()()()()111sin sin sin 111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e------=-=⋅-==+++，是偶函数，排除B 、D. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e 1x >，sin 0x >，即()0f x <，排除A.故选:C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，根据函数解析式分析函数图像，属于中档题.8．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法，例如：47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为（ ）A ．1114B ．314C ．7384D ．67【答案】D【解析】表示没有重复的三位数至少需要5根木棍，所以用间接法求解，求出用掉5根，6根，7根木棍这三种情况表示的三个数字，进而求出可表示三位数的个数，根据对立事件概率即可求解. 【详解】至少要用8根小木根的对立事件为用掉5根，6根，7根这三种情况， 用5根小木棍为1、2、6这一种情况的全排列， 6根有123，127，163，167这四种情况的全排列，7根有124，128，164，168，137，267，263这七种情况的全排列，故至少要用8根小木根的概率为333912617A A -=. 故选:D. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查古典概型概率、对立事件的概率关系，属于中档题. 9．已知正三角形ABC 的边长为23ABC 内的动点P ，M 满足1AP =，PM MC =，则2BP BM BC ++的最大值是（ ）A ．4414B ．494C 3763+ D 37233+【答案】A【解析】229||BP BM BC BM ++=，取AC 中点N ，12MN =，得到M 轨迹为圆，转化为求点M 到圆上点距离的最大值即可. 【详解】解法一：取AC 中点N ，12MN =， 从而M 轨迹为以N 为圆心，12为半径的圆，229BP BM BC BM++=B ，N，M 三点共线时，BM 为最大值.所以BM 最大值为17322+=， 2BP BM BC ++的最大值为4414.解法二：如图所示，建立直角坐标系.()0,0B ，()23,0C ，)3,3A，∵点P 满足1AP =，令3cos x θ=，3sin y θ=+，[)0,2θ∈π.又PM MC =，则33131cos ,sin 222M θθ⎫++⎪⎪⎝⎭，∴229BP BM BC BM ++=2233131373339[cos sin 9[sin ]222242]2θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭ 37499[3sin ]9434πθ⎛⎫=++≤⨯ ⎪⎝⎭. 2BP BM BC ++的最大值是4414.故选:A. 【点睛】本题考查向量线性运算和模长的几何意义，用几何法求模长的最值，考查数形结合思想，属于中档题.10．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ）A ．43y x =± B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±【答案】A【解析】依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得43b a=，问题得解． 【详解】依据题意作出图象，如下：则1122PF F F c ==，OM a =，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =-=由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF c a =+，所以()()()()22222222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+ 整理得：2b a c =+，即：2b a c -=将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：43b a =， 所以C 的渐近线方程为43b y x x a =±=± 故选A 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．11．已知函数()cos cos 2f x x x =+，有下列四个结论：①若[],x ππ∈-，则()f x 有2个零点 ②()f x 最小值为2③()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 ④π是()f x 的一个周期则上述结论中错误的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】【详解】()()()()cos cos 2f x x x f x πππ+=+++=所以④正确，()cos cos 2cos cos2f x x x x x =+=+22cos cos 1x x =+-， cos t x =，()2210g t t t =+-=，则12t =或1t =-，所以①错误， []0,1t ∈，0t =，()min 1f x =-，②错误，cos t x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，()221g t t t =-+在2t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭递增，③正确.故选:C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，涉及零点、单调性、最值和周期，等价转化为二次函数是解题的关键，属于中档题.12．已知函数()ln 2f x a x x =+，若不等式()12xf x ax e +<+上()1,+∞恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)2,-+∞ B ．[)4,-+∞ C ．()4,-+∞ D ．(),2-∞-【答案】B【解析】由已知不等式化为()()1xf x f e +<，判断1,x x e +在()1,+∞的大小关系，得出()f x 在()1,+∞的单调性，即可求出a 的取值范围.【详解】∵()ln 22x x x xf e a e e ax e =+=+， ∴()()1xf x f e +<，∵1x >，令()(1),()10,(1,)x x g x e x g x e x '=-+=->∈+∞恒成立，()g x ∴在()1,+∞单调递增，()(1)20g x g e >=->，所以1x e x >+在()1,+∞上恒成立， ∴()f x 在()2,+∞恒为递增函数， ∴()'20af x x=+≥， 2a x ∴≥-在()2,+∞恒成立，4a ∴≥-.故选:B. 【点睛】本题以不等式恒成立为背景，考查函数的单调性，以及导数的应用，属于中档题.二、填空题13．若()121sin 1ax b x dx -+=⎰，则cos 6a ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】12-【解析】由定积分基本定理求出a ，即可求解. 【详解】()()()11122111sin sin axb x dx ax dx b x dx ---+=+⎰⎰⎰3112|133a ax -===，32a ∴=， 41cos cos 632a πππ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭.故答案为:12-. 【点睛】本题考查定积分计算以及特殊角的三角函数值，属于基础题. 14．函数()()()()128f x x x S x S x S =---，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n a n n =+，则()'0f =______. 【答案】19【解析】()()()()128[]f x x x S x S x S =---，求导，结合数列求和，即可得到结论.【详解】()()()()()()()128128x s x s x s x x s x s x x s f x '--⋅⋅⋅-+--⋅⋅⋅-⎡⎤'⎡'=⎤⎣⎦⎣⎦， 1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++， ()()()()1281281'02399f s s s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅⋅-=--⋅⋅⋅-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为:19【点睛】本题考查导数的计算以及数列求和，属于中档题.15．已知A ，B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，若球O 的体积为，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】根据已知体积公式，算出球的半径R ，进而求出,4,2,A PC AB B C C B B =⊥=求出AC ，再由,PA AC PB BC ⊥⊥，求出,PA PB ，过A 作//AD BC ，过B 作//BD AC ，AD 、BD 交于D ，可得异面直线PB 与AC 所成角为PBD ∠（或补角），再在PBD ∆中利用余弦定理即可求解. 【详解】由题意得三棱锥P ABC -，其中PA AC ⊥，PB BC ⊥，AB BC ⊥，过A 作//AD BC ，过B 作//BD AC ，AD 、BD 交于D ， 则异面直线PB 与AC 所成角为PBD ∠（或补角）， 由PB BC ⊥，AB BC ⊥，PB AB B ⋂=，BC ∴⊥平面PAB ，即,,PA AC BCAC C BC PA ⊥⊥=，PA ∴⊥平面ACBD ，PA AD ∴⊥，计算可得25AC BD ==，∵34863R ππ=，∴6R =，26PC =，∴2PA =，22PB =， ∴25PD =，取PB 中点E ，连DE ，则DE PB ⊥210cos 1025BE PBD BD ∴∠===， 即异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为1010. 故答案为:1010.【点睛】本题以球为背景，考查异面直线所成的角，注意空间垂直之间的相互转化，属于中档题.16．在平面直角坐标系中，已知双曲线C ：221x y -=的渐近线为1l ，2l ，()111,G a b 是双曲线上一点，过1G 作双曲线的切线11G H 与直线1l 交于1H ，过1H 作212//G H l 与双曲线交于()222,G a b ，…，以此类推，过(),n n n G a b 作双曲线的切线n n G H 与直线1l 交于n H ，过n H 作12//n n G H l +与双曲线交于()111,n n n G a b +++，若11a =-，则数列{}n a 的前n 项和是______.【答案】111222n n --- 【解析】设(),n n n G a b在第二象限，y =求出切线的斜率|n x a y ='，得到切于点(),n n n G a b 的切线方程，与1l 方程联立求出n H 坐标，进而得到1n n H G +的方程，再与双曲线方程联立，整理得到交点坐标()111,n n n G a b +++，与,n n a b 的递推关系，求出n a 的通项公式，即可得出结论. 【详解】(),n n n G a b ，()11,0G -，不妨设(),n n n G a b在第二象限，故y ='y =∴在点(),n n n G a b的切线方程为)n n y b x a -=-，即1n n na y xb b =-，与1l ：y x =-联立得11,n n n n n H a b a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ∴直线1n n H G +的方程为11n n n n y x a b a b ⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭， 即2n ny x a b =-+与双曲线方程221x y -=联立， 2221n n x y a b x y ⎧-=⎪+⎨⎪-=⎩化简得22n n n n x y a b a b x y ⎧-=⎪+⎪⎨+⎪+=⎪⎩， 即111122n n n n n nn n a b a b a b a b ++++⎧-=⎪+⎪⎨+⎪+=⎪⎩，∴1112n n n n a b a b +++=+，∴数列{}n n a b +是以1-为首项公比为12的等比数列， ∴112n n n a b -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由221nn a b -=得12n n n a b --=-， 可得12122,22112n nn n n n a a ---⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭∴-⎭-⎝，∴1111[1()](12)1122221122212n n n n n S ---=--=----. 故答案为:111222n n ---. 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质、导数的几何意义、直线与双曲线的位置关系、数列递推公式求通项公式，综合性强，考查逻辑推理、数学计算能力，属于难题. 17．如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设5,sin 5BAD αα∠==.（1）求sin C ；（2）若·28BA BC =，求AC 的长.【答案】（1）210（2）5AC = 【解析】试题分析：（1）由α为三角形BAD 中的角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin∠BAC 与cos∠BAC 的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC 变形为sin sin 24C ππα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC 的值；（2）利用正弦定理列出关系式，将sinC 与sin∠BAC的值代入得出8AB BC =，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB 代入求出BC 的长，再利用正弦定理即可求出AC 的长． 试题解析：解：（1）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α==，∴cos α==，则4sin sin22sin cos 25BAC ααα∠====， ∴243cos 2cos 12155BAC α∠=-=⨯-=，∴34sin sin 2sin 24455C πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（2）由正弦定理，得sin sin AB BCC BAC =∠45BC=，∴8AB BC =， 又·28BA BC =，∴282AB BC ⨯=，由上两式解得BC = 又由sin sin AC BCB BAC=∠45BC=，∴5AC =．三、解答题18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .（1）证明：PO ⊥平面ABCD .（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）2211【解析】（1）通过证明BE ⊥平面APC ，得到BE PO ⊥，再证PO AC ⊥即可证得PO ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，则//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.又,AB BC ⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,AP AC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，则BEPO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AB ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,AC BE O =PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示不妨设1OB =，则(1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P (2,1,0)D -, 则(1,1,0),BC =-(1,0,1),PB =-(2,1,1)PD =--. 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即,3,x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，得(1,3,1)n =.设BC 与平面PBD 所成角为θ， 则()2222211310122sin cos ,1113111BC n θ-⨯+⨯+⨯=<>==++-+.【点睛】本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题. 19．在直角坐标系xOy 中，点(2,0)M -，N 是曲线2124x y =+上的任意一点，动点C 满足0.MC NC +=（1）求点C 的轨迹方程；（2）经过点(1,0)P 的动直线l 与点C 的轨迹方程交于,A B 两点，在x 轴上是否存在定点D （异于点P ），使得ADP BDP ∠=∠？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22y x =；（2）存在点(1,0)D -符合题意.【解析】（1）设(,)C x y ，()00,N x y ，利用相关点代入法得到点C 的轨迹方程；（2）设存在点(,0)D t ，使得ADP BDP ∠=∠，则0DA DB k k +=，因为直线l 的倾斜角不可能为0︒，故设直线l 的方程为1x my =+，利用斜率和为0，求得1t =-，从而得到定点坐标. 【详解】（1）设(,)C x y ，()00,N x y ，则(2,)MC x y =+，()00,NC x x y y =--，()0022,2MC NC x x y y +=-+-.又0MC NC +=，则00220,20,x x y y -+=⎧⎨-=⎩即0022,2.x x y y =+⎧⎨=⎩因为点N 为曲线2124x y =+上的任意一点， 所以200124x y =+， 所以2122(2)24x y +=+，整理得22y x =，故点C 的轨迹方程为22y x =.（2）设存在点(,0)D t ，使得ADP BDP ∠=∠，所以0DA DB k k +=.由题易知，直线l 的倾斜角不可能为0︒，故设直线l 的方程为1x my =+，将1x my =+代入22y x =，得2220y my --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y m +=，122y y =-.因为12121212011DA DB y y y y k k x t x t my t my t+=+=+=--+-+-，所以()12122(1)0my y t y y +-+=，即42(1)0m m t -+⋅-=，所以1t =-.故存在点(1,0)D -，使得ADP BDP ∠=∠.【点睛】本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题，考查函数与方程思想、数形结合思想的应用，求解时注意直线方程的设法，能使运算过程更简洁. 20．本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别123,,p p p 123,,p p p ，假设123,,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为123,,q q q ，其中123,,q q q 是123,,p p p 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ； （3）假定1231p p p >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．【答案】（1） 不变化；（2）121223q q q q --+；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小 【解析】【详解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()112123111P P P P P P P =+-+--123122331123PP P PP P P P P PP P =++---+． 若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为()()()113132111P P P P P P P =+-+--123122331123PP P PP P P P P PP P =++---+， 发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化.（2）由题意得X 可能取值为1,2,3∴()()()()()()112121;21;311P X q P X q q P X q q ====-==--， ∴其分布列为:X123P1q()121q q -()()()11212121212131123EX q q q q q q q q q ∴=⨯+⨯-+⨯--=--+．（3）()()()12122123211E X q q q q q q =--+=--+,1231p p p >>>∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小,则只能先派甲、乙中的一人.∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则1121223EX p p p p =--+；若先派乙,再派甲,最后派丙, 则2122123EX p p p p =--+，()()12121212212123230EX EX p p p p p p p p p p ∴-=--+---+=-<，∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．21．已知函数2()4x x f x e =-，其中e 为自然对数的底数.（1）设函数()(1)'()g x x f x =+（其中'()f x 为()f x 的导函数），判断()g x 在(1,)-+∞上的单调性；（2）若函数()ln(1)()4F x x af x =+-+在定义域内无零点，试确定正数a 的取值范围.【答案】(1) ()g x 在(1,)-+∞上单调递增.(2)(4,)a ∈+∞.【解析】（1）先分析得到()0g x '>，即得函数()g x 在(1,)-+∞上的单调性；（2）先利用导数求出 max ()()ln(1)()4F x F t t af t ==+-+，再对a 分三种情况讨论，讨论每一种情况下的零点情况得解.【详解】（1）因为2()4x x f x e =-，则211'()24x f x e =-，21()(1)'()(1)214x g x x f x x e ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ∴2211'()(3)12144x x g x e x e ⎡⎤⎛⎫=+->- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1212104e -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， ∴()g x 在(1,)-+∞上单调递增.（2）由()ln(1)()4F x x af x =+-+知11'()'()()11a F x af x g x x x a ⎡⎤=-=-⎢⎥++⎣⎦， 由（1）知()g x 在(1,)-+∞上单调递增，且(1)0g -=，可知当(1,)-+∞时，()(0,)g x ∈+∞， 则1'()()1a F x g x x a ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦有唯一零点，设此零点为x t =， 易知(1,)x t ∈-时，'()0F x >，()F x 单调递增；(,)x t ∈+∞时，'()0F x <，()F x 单调递减， 故max ()()ln(1)()4F x F t t af t ==+-+，其中1()a g t =. 令()()ln(1)4()f x G x x g x =+-+， 则21'()()()'()'()1[()]f x g x f x g x G x x g x -=-+2()'()[()]f x g x g x =， 易知()0f x >在(1,)-+∞上恒成立，所以'()0G x >，()G x 在(1,)-+∞上单调递增，且(0)0G =. ①当04a <<时，11()(0)4g t g a =>=，由()g x 在(1,)-+∞上单调递增知0t >，则max ()()()(0)0F x F t G t G ==>=，由()F x 在(1,)t -上单调递增，()()44110F e af e ---=--<，所以()4()10F t F e -⋅-<，故()F x 在(1,)t -上有零点，不符合题意； ②当4a =时，11()(0)4g t g a ===，由()g x 的单调性知0t =，则max ()()()(0)0F x F t G t G ====，此时()F x 有一个零点，不符合题意；③当4a >时，11()(0)4g t g a =<=，由()g x 的单调性知0t <，则max ()()()(0)0F x F t G t G ==<=，此时()F x 没有零点.综上所述，当()ln(1)()4F x x af x =+-+无零点时，正数a 的取值范围是(4,)a ∈+∞.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30，且经过点()2,1A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值．【答案】（Ⅰ）2112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，()22400.x x y x -+=≠；（Ⅱ）3. 【解析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l 1的参数方程，设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程； （Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得到关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP |•|AQ |的值．【详解】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为x 2tcos30y 1tsin30=+⎧⎪=+⎨⎪⎩，（t 为参数）即2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则1ρρ121θθ=⎧=⎨⎩，即3ρ12cos θ⋅=，即ρ=4cosθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0（x≠0）.（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得221(2t)42(1t)02⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪⎝⎭，即2t 30+-=，t 1，t 2为方程的两个根， ∴t 1t 2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t 1t 2|=|-3|=3．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23．已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R（I ）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集；（II ）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918a b b c c a++≥+++（a b c ++） 【答案】(Ⅰ) (2,2)-；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I ）代入a,b,c 的值，结合x 取不同范围，去掉绝对值，解不等式，即可。
