八年级上册 积的乘方(学生版)

八年级上册人教版数学积的乘方一、积的乘方的定义。

1. 文字表述。

- 积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘。

2. 公式表示。

- 对于(ab)^n（n为正整数），根据积的乘方的定义有(ab)^n = a^n× b^n。

- 这个公式可以推广到多个因数的积的乘方，例如(abc)^n=a^n× b^n× c^n（n 为正整数）。

二、积的乘方公式的推导。

1. 以(ab)^n为例（n为正整数）- 根据乘方的意义(ab)^n=⏟(ab)×(ab)×·s×(ab)_n个(ab)。

- 再根据乘法的交换律和结合律，可以将上式改写为⏟(a× a×·s× a)_n个a×⏟(b×b×·s× b)_n个b。

- 而⏟(a× a×·s× a)_n个a=a^n，⏟(b× b×·s× b)_n个b=b^n，所以(ab)^n = a^n×b^n。

三、积的乘方的应用。

（一）计算。

1. 简单计算示例。

- 计算(2x)^3。

- 根据积的乘方公式(ab)^n=a^n× b^n，这里a = 2，b=x，n = 3。

- 则(2x)^3=2^3× x^3=8x^3。

2. 多个因数积的乘方计算示例。

- 计算( - 3a^2b)^2。

- 这里a=-3，b = a^2b，n = 2。

- 根据公式(abc)^n=a^n× b^n× c^n，则( - 3a^2b)^2=( - 3)^2×(a^2)^2× b^2。

- 因为(-3)^2 = 9，(a^2)^2=a^2×2=a^4，所以( - 3a^2b)^2 = 9a^4b^2。

幂的运算 积的乘方学习目标：1 .理解、掌握和运用积的乘方的法则；2. 通过探索，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得的；3. 通过类比，对三个幂的运算法则在应用时进行选择和区别重点：积的乘方法则的理解和应用； 难点：积的乘方法则的推导过程的理解预习1、口述同底数幂的运算法则；2、口述幂的乘方运算法则；3、根据要求完成下列各小题 （1）若x 3·x a=x 5，则a= ； （2）（ ）·x 5 =x 8；（3）若 ， ， ，则 ＝（ ）； A 、20 B 、9 C 、54 D 、45（4）若 ， ，则 =( )； A 、2a+b B 、a 2b C 、ab 2 D 、2ab感受新知 一.探索（1）(ab)2 = (ab) • (ab) = aa • bb = a ( )b ( )根据上面的推理过程，请把下面两道题做出来（2）（ab ）3＝__________________________＝__________________________＝ a ( )b ( ) 二、发现积的乘方 试猜想：（ab ）n = ? 其中 n 是正整数※证明：（ab ）n ＝ ＝ ＝ a n b n∴（ab ）n ＝ a n b n （n 为正整数）语言叙述积的乘方法则：推广：1.三个或三个以上的积的乘方等于什么？2.逆运用可进行化简：a n b n = (ab)n （n 为正整数）三.实例例 计算:(1) (-2a)2 ; (2) (-5ab)3 ;(3) (xy 2)2 ; (4) (-2xy 3z 2)4.解<随堂练习>1计算：(1).(ab)8 (2).(2m)3 (3) .(-xy)5 (4).(5ab 2)3 (5).(2×102)2 (6) .(-3×103)32..判断下列计算是否正确，并说明理由：(1)（ab 2)3=ab 6 ( )(2) (3xy)3=9x 3y 3 ( )观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?53=x 43=y y x +3a x =2b x =37x(3) (-2a 2)2=-4a 4 ( ) (4) -(-ab 2)2=a 2b 4 ( )（ ）※3. 逆 用 法 则 进 行 计 算我们知道 （ab ）n ＝ a n b n 那么 a n b n ＝（ab ）n例： 24×44×0.1254 解：24×44×0.1254＝(2×4×0.125)4＝ 1（1） (－4)2005×(0.25)2005（2）－82000×(－0.125)2001四.巩固练习直接写出结果 ①(5ab)2=②(－xy 2)3=③(－2xy 3)4 = ④(－2×10) 3= ⑤(－3x 3)2－[(2x)2]3 = ⑥(－3a 3b 2c)4= ⑦(－a n b n+1)3 = ⑧0.52009×22009= ⑨ (－0.25)3×26 = ⑩ (－0.125) 8×230=1、积的乘方使用范围：底数是积的乘方2、在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，也可以是整式3、要注意运算过程和符号自我检测1、下列各式中，与x 5m+1相等的是（ ）A 、（x 5)m +1B 、（x m +1)5C 、 x · (x 5)mD 、 x · x 5 · x m 2、x 14不可以写成（ ）A 、x 5 · (x 3)3B 、 (－x ) · (－x 2) · (－x 3) · (－x 8)C 、(x 7)7D 、x 3 · x 4 · x 5 · x 23、若 ，则m= ；4、若n 是正整数，且m=-1，则 的值是 ；5、（1）a 6y 3=( )3；(2)81x 4y 10=( )2 ； (3)若(a 3y m )2=a n y 8, 则m= ,n=6、计算(1)（-2x 2y 3)3 (2) (-3a 3b 2c)4根据例题，试求1-)73377337-)5(555=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛（1022x x x m m =⋅-+122)(+-n n m 12331)()()3(+--⋅n n a a xyxy xy ⋅-23)2()()4(2222)2()2()5(n mn mn ⋅--()2020)211()32(6⋅、20082008)75()521()7(⋅-10013000)125.0(2)8(-⨯-（9）2(x 3)2 · x 3－(3x 3)3＋(5x)2 ·x77、先化简，再求值： ，其中a=1,b=-1；8、如果（a n•b m•b)3=a 9b 15,求m, n 的值9、试比较47，164，85 的大小10、试比较3555,4444,5333的大小.)()()(6)5(22232a b ab ab -⋅-⋅+-。

《积的乘方》教案一、教学目标：1.理解积的乘方的意义，掌握积的乘方的运算法则，并能运用法则进行熟练计算。

2.学会观察、分析、归纳和概括，通过具体实例体验数学化的过程。

3.培养学生对所学知识的归纳、概括和演绎的能力，以及应用意识和解决问题的能力。

二、教学重点：积的乘方的运算法则及其应用。

三、教学难点：灵活运用积的乘方的运算法则进行计算，解决实际问题。

四、教学准备：教师准备多媒体课件、小黑板；学生准备计算器、纸张等。

五、教学过程：1.导入新课：通过复习旧知，引出新课题。

2.新课学习：通过具体实例，引导学生探究积的乘方的意义和运算法则，并尝试用符号语言表示。

然后通过例题讲解和练习，让学生掌握法则的运用。

3.课堂练习：通过练习题，让学生巩固所学知识，加深对积的乘方的理解。

4.归纳小结：总结积的乘方的意义和运算法则，强调运算法则的关键是确定指数，并注意符号问题。

同时提醒学生注意计算过程中符号的变化规律。

5.布置作业：根据学生的实际情况，布置适当的课后练习题，并要求学生在规定的时间内完成。

同时可以安排一些拓展性的任务，如让学生自己设计一个与积的乘方相关的题目等。

6.教学反思：根据学生的学习情况，对教学方法和过程进行反思和总结，发现问题并及时改进。

同时可以引导学生思考积的乘方在现实生活中的应用和价值，培养学生的数学应用意识。

六、板书设计：积的乘方定义：几个数相乘，每个数都提到一个相同的幂次。

法则：a×b^n=a×b×…×b（n个b）。

运算顺序：先乘后指数化。

《积的乘方》教学设计【教材分析】《积的乘方》是人教版八年级数学上册第十四章《整式乘法与因式分解》中的第一节的第三课时，是学生在学习了同底数幂的乘法、幂的乘方两种幂的运算性质之后紧接着的第三种运算性质，是幂的运算性质的重要组成局部。

它同幂的意义，乘法交换律、结合律有着紧密的联系，教材在后面结合同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项等知识将幂的运算自然地引入到整式的乘法运算，为整式乘法运算和因式分解打下根底和提供依据，同时也为分式、分式方程、一元二次方程等知识学习做好了铺垫。

【学情分析】本班有学生28名，属于小班额，局部学生学习认真，习惯良好，善于思考，团体合作意识强，有较强的组织参与能力。

但整体看两极分化比拟严重，个别学生数学根底非常薄弱，学习吃力。

如何最大限度的调动学生学习的积极性，使每一名学生在课堂上获得最大程度的开展，成为教者重点思考的问题。

【教学目标】1．探究并理解积的乘方运算性质，能运用积的乘方运算性质进行计算．2．在探索积的乘方的运算性质的过程中，经历计算、观察、猜测、推理验证的过程，开展推理能力和抽象概括能力．3．类比同底数幂的乘法和幂的乘方，体会知识之间的内在联系与区别，通过符号语言的运用，感受数学的简洁美．【教学重点】理解积的乘方运算性质，能运用乘方运算性质进行计算．【教学难点】推导积的乘方运算性质过程的理解以及性质的灵活运用．【教学方法】1．教法设计：自学展示法，合作探究法，展示归纳法，类比练习法．同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方成一个体系，研究方法类同，有前两节课做根底，本节课以问题为导向，放手让学生自主学习，合作探究，归纳总结，从而真正理解积的乘方的运算方法；再运用性质进行计算，注重类比，辨析知识间的区别与和联系．2．学法指导：学生根据问题指导，计算、观察、归纳，从数字到字母，从特殊到一般，从具体到抽象，总结性质。

在性质的运用中，由抽象到具体，由法那么〔间接经验〕到解题〔直接经验〕，经历数学根本活动经验的积累过程。

八年级数学上册《第十四章积的乘方》练习题附答案-人教版一、选择题1.计算(-2a2)3的结果是( )A.-6a2B.-8a5C.8a5D.-8a62.计算(﹣2a2b)3的结果是（）A.﹣6a6b3B.﹣8a6b3C.8a6b3D.﹣8a5b33.下列计算正确的是( )A.(a2)3=a5B.2a﹣a=2C.(2a)2=4aD.a•a3=a44.计算(﹣3x2)3的结果是（）A.9x5B.﹣9x5C.27x6D.﹣27x65.计算﹣(﹣3a2b3)4的结果是( )A.81a8b12B.12a6b7C.﹣12a6b7D.﹣81a8b126.如果(a n•b m b)3=a9b15，那么( )A.m=4，n=3B.m=4，n=4C.m=3，n=4D.m=3，n=37.如果(2a m•b m+n)3=8a9b15，则( )A.m=3，n=2B.m=3，n=3C.m=6，n=2D.m=2，n=58.﹣x n与(﹣x)n的正确关系是( )A.相等B.互为相反数C.当n为奇数时它们互为相反数，当n为偶数时相等D.当n为奇数时相等，当n为偶数时互为相反数9.已知a=1.6×109，b=4103，则a2×2b=（）A.2×107B.4×1014C.3.2×105D.3.2×101410.已知2a=3，2b=6，2c=12，则a，b，c的关系为：①b=a+1；②c=a+2；③a+c=2b；④b+c=2a+3.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题11.若x n＝2，y n＝3，则(xy)n＝________．12.计算：(﹣2xy2)3= ．13.填空：45×(0.25)5= (________×________)5= ________5= ________.14.计算：(-3a2)3= ．15.已知2m+5n-3=0，则4m×32n的值为．16.已知2a=5,2b=10,2c=50,那么a、b、c之间满足的等量关系是 .三、解答题17.计算：[(－3a2b3)3]2；18.计算：(2x2)3－x2·x419.计算：(－2xy2)6＋(－3x2y4)3；20.已知273×94=3x，求x的值．21.已知n是正整数，且x3n= 2，求(3x3n)3＋(－2x2n)3的值.22.已知x3m=2，y2m=3，求(x2m)3＋(y m)6－(x2y)3m·y m的值.23.(1)若2x+5y-3=0，求4x•32y的值.(2)若26=a2=4b，求a+b值.参考答案1.D2.B3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.D10.D11.答案为：6.12.答案为：﹣8x3y6．13.答案为：4 0.25 1 114.答案为：-27a6．15.答案为：8.16.答案为：a+b=c.17.解：原式=729a12b18.18.解：原式=7x6；19.解：原式=37x6y12；20.解：因为273×94=(33)3×(32)4=39×38=39+8=317即3x=317，所以x=17．21.解：(3x3n)3＋(－2x2n)3= 33×(x3n)3＋(－2)3×(x3n)2= 27×8＋(－8)×4= 184.22.解：原式=－5.23.解：(1)8；(2)11或-5；。

人教版义务教育教科书八年级《数学》上册第十四章 整式的乘法与因式分解整式的乘法积的乘方一、教学内容积的乘方（，•你能计算出它的体积是多少吗学生分析，并得出结论，该正方体的体积为V=2×1033cm 3提问：体积V=（2×103）3cm 3 ，结果是幂的乘方形式吗底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。

积的乘方如何运算呢能不能找到一个运算法则•有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒．（三）、自主探究，引出结论1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律①ab 2=ab •ab=a •a •b •b=a b②ab 3=______=_______=a b③ab n =______=______=a b （n 是正整数）2．分析过程：①ab 2=ab •ab=a •a •b •b=a 2b 2；②ab 3=ab •ab •ab=a •a •a •b •b •b=a 3b 3；③ab n ==•=a n b n3．得到结论：积的乘方：abn=an •bn n 是正整数把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：a n •b n =ab n （n 为正整数）a n •b n =•──幂的意义 =──乘法交换律、结合律=a •b n ──乘方的意义同指数幂相乘，底数相乘，指数不变（四）、巩固练习1、计算：（1） 32a （）； （2）35-b （）；　（3） 22xy （）； （4）342-.x （）　2、口算:（1）ab 4 ; 2 -2y 3;3 -3×1023 ;4 2ab 23（五）、课堂小结：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 当n 是正整数时，三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质吗推广：.=n n n n abc a b c （）　◎这节课我学会了：_______________;◎还存在的疑惑是：______________（六）、布置作业：练习册《积的乘方》。