平面向量线性运算复习

平面向量的线性运算知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们具有方向和大小，并且可以进行线性运算。

本文将对平面向量的线性运算相关知识进行总结，包括加法、数乘和线性组合三个方面。

一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量合成为一个新向量的运算。

具体而言，设有两个向量A和B，它们的加法运算符号为"＋"，则其加法公式为：A +B = (Aₓ + Bₓ, Aᵧ + Bᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量，Bₓ和Bᵧ分别表示向量B在坐标系中的x轴和y轴上的分量。

需要注意的是，向量的加法满足交换律和结合律。

即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)二、平面向量的数乘数乘是指将向量与一个实数相乘得到一个新向量的运算。

具体而言，设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘运算符号为"·"，则其数乘公式为：k·A = (k·Aₓ, k·Aᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量。

数乘的运算法则如下：1. 若k>0，则k·A的方向与A的方向相同。

2. 若k<0，则k·A的方向与A的方向相反。

3. 若k=0，则k·A的方向为零向量。

4. |k·A| = |k|·|A|三、平面向量的线性组合线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到一个新向量的运算。

具体而言，设有n个向量A₁、A₂、...、Aₙ和n个实数k₁、k₂、...、kₙ，它们的线性组合公式为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ线性组合的运算法则如下：1. 线性组合的次序不影响结果，即k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ =kₙAₙ + ... + k₂A₂ + k₁A₁。

2. 向量的线性组合满足数乘与加法的结合律，即k₁(A₁ + A₂) =k₁A₁ + k₁A₂。

第一节平面向量的概念及线性运算课标解读考向预测1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.必备知识——强基础1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有大小又有方向的量用a ，b ，c ，…或AB →，BC →，…表示向量的模向量a 的大小，也就是表示向量a 的有向线段AB →的长度(或称模)|a |或|AB →|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e 表示，|e |＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a ∥b 相等向量长度相等且方向相同的向量a ＝b相反向量长度相等，方向相反的向量向量a 的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝01b ＋a ；结合律：(a ＋b)＋c ＝02a＋(b ＋c )减法a －b ＝03a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向04相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向05相反；当λ＝0时，λa ＝060λ(μa )＝07(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝08λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝09λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .提醒：当a ≠0时，定理中的实数λ才唯一．1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．()(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .()(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是()A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|答案D解析AE →＝12AC →，故D 错误．故选D.(2)(人教B 必修第二册6.2.1例3改编)设向量a ，b 不共线，向量λa ＋b 与a ＋2b 共线，则实数λ＝________．答案12解析∵λa ＋b 与a ＋2b 共线，∴存在实数μ使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )＝μ，＝2μ，＝12，＝12.(3)(人教A 必修第二册6.2例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)答案b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .(4)(人教A 必修第二册习题6.2T10改编)若a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为________，最小值为________．答案82解析|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8，当且仅当a ，b 同向时取等号，所以|a ＋b |max ＝8.又|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|3－5|＝2，当且仅当a ，b 反向时取等号，所以|a ＋b |min ＝2.考点探究——提素养考点一平面向量的有关概念例1(多选)下列命题中的真命题是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 答案BC解析A 是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B 是真命题，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →；C 是真命题，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；D 是假命题，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.【通性通法】平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四a|a |是与a 同方向的单位向量【巩固迁移】1．(多选)下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 反向共线时才成立，故C 正确；若b ＝0，则不共线的a ，c 也有a ∥0，c ∥0，故D 错误．考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1平面向量加、减运算的几何意义例2设P 为▱ABCD 对角线的交点，O 为平面ABCD 内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝()A ．OP →B ．2OP →C ．3OP →D ．4OP→答案D解析由题意知，P 为AC ，BD 的中点，所以在△OAC 中，OP →＝12(OA →＋OC →)，即OA →＋OC →＝2OP →，在△OBD 中，OP →＝12(OB →＋OD →)，即OB →＋OD →＝2OP →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OP →.故选D.【通性通法】1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．【巩固迁移】2．(2024·山东青岛二中月考)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.考向2平面向量的线性运算例3(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.【通性通法】平面向量的线性运算的求解策略【巩固迁移】3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD 中，BE →＝12BC →，AF →＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A ．12B ．34C ．56D ．43答案D解析由题意可得AB →＝AE →＋EB →＝AE →＋12DA →＝AE →＋12(DF →＋FA →)＝AE→＋12(DF →－13AE →)＝12DF →＋56AE →，所以m ＝12，n ＝56，所以m ＋n ＝43.故选D.考点三向量共线定理的应用(多考向探究)考向1判定向量共线、三点共线例4设两个非零向量a 与b 不共线．若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．【通性通法】共线向量定理的三个应用【巩固迁移】4．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在()A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案B解析由CB →＝λPA →＋PB →，得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →，则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在AC 边所在直线上．故选B.考向2利用向量共线定理求参数例5若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k ＝()A ．－1B ．1C ．32D ．2答案B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.【通性通法】一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．【巩固迁移】5．如图，在△ABC 中，AD →＝λDC →，E 是BD 上一点，若AE →＝1116→＋14AC →，则实数λ的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案B解析由AD →＝λDC →，得AC →＝λ＋1λAD →，因为AE →＝1116AB →＋14AC →，所以AE →＝1116AB →＋14·λ＋1λAD →，因为E ，B ，D 三点共线，所以1116＋λ＋14λ＝1，解得λ＝4.故选B.课时作业一、单项选择题1．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．故选B.2．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；因为a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；因为|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．故选B.3．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－3a ＋6b ，CD →＝4a －b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案A解析由题意得BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，又BD →，AB →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.4．(2024·安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD 中，M 是CD 边上的中点，则2AM →＝()A ．AC →－2AB →B ．AC →＋2AB →C ．2AC →－AB →D ．2AC →＋AB→答案C解析因为M 是平行四边形ABCD 的CD 边上的中点，所以CM →＝－12AB →，所以AM →＝AC →＋CM→＝AC →－12AB →，所以2AM →＝2AC →－AB →.故选C.5．已知向量a 和b 不共线，向量AB →＝a ＋m b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，若A ，B ，D 三点共线，则m ＝()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案A解析因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得BD →＝λAB →，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ，所以2a ＋6b ＝λa ＋mλb ，＝λ，＝mλ，解得m ＝3.故选A.6．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A ．58B ．14C ．1D ．516答案A解析DE →＝AE →－AD →＝14AC →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34.∴λ2＋μ2＝116＋916＝58.故选A.7．正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF →＝()A ．13AB →＋23AD→B ．34AB →＋14AD→C ．14AB →＋34AD→D ．13AD →＋AB→答案C解析如图，∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，∴DE ＝13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，可得EF AF ＝13，可得AF ＝34AE ，∴AF →＝34AE →＝34(AD→＋DE →)＋13AB ＝14AB →＋34AD →.故选C.8．(2023·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为()A ．3B ．23C ．33D ．43答案B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.故选B.二、多项选择题9．下列式子中，结果为零向量的是()A ．AB →＋BC →＋CA →B ．AB →＋MB →＋BO →＋OM →C ．OA →＋OB →＋BO →＋CO →D ．AB →－AC →＋BD →－CD →答案AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．故选AD.10．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，所以|CB →|－|(PB→－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD.11．(2023·安徽合肥期末)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下列结论中正确的是()A ．AB →－BC →＝CA →B ．AG →＝13(AB →＋AC →)C ．AF →＋BD →＋CE →＝0D ．GA →＋GB →＋GC →＝0答案BCD解析如图，对于A ，AB →－BC →＝AB →＋CB →＝2EB →≠CA →，故A 错误；对于B ，点G 为△ABC 的重心，则AG →＝23→＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，故B 正确；对于C ，AF →＋BD →＋CE →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0，故C 正确；对于D ，GA →＝－2GD →＝－2×12(GB →＋GC →)，故GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，＝μ，＝2μ，解得λ＝μ＝12.13．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________．答案②③④解析BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12AB →＋12AC →＝12(AC →＋CB →)＋12AC →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错误；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD→＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．14．(2024·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4＋23解析由题意知，点D 满足AD →＝13AC →，故AQ →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋3yAD →，由Q ，B ，D 三点共线，可得x ＋3y ＝1，x >0，y >0，则1x ＋1y＝x ＋3y )＝4＋3y x ＋x y ≥4＋23，当且仅当3yx ＝x y ，即x ＝3－12，y ＝3－36时等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为4＋2 3.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝2AE →，AF →＝FD →，点G 为CE 与BF 的交点，则AG →＝()A ．25AB →＋15AC→B ．15AB →＋25AC→C ．15AB →＋415AC→D ．310AB →＋25AC→答案A解析由AB →＝2AE →，AF →＝FD →，知E ，F 分别为AB ，AD 的中点．如图，设AC 与BF 的交点为P ，易得△APF ∽△CPB ，所以AP CP ＝AF CB ＝AF AD ＝12，所以AP →＝13AC →.因为E 是AB 的中点，所以AE →＝12AB →.由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG →＝mAP →＋(1－m )AB →＝13mAC →＋(1－m )AB →.由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG →＝nAE →＋(1－n )AC →＝12nAB →＋(1－n )AC →，所以13mAC →＋(1－m )AB →＝12nAB →＋(1－n )AC →.又因为AC →，AB →为不共线的非零向量，所以m ＝12n ，＝1－n ，＝35，＝45，所以AG →＝25AB →＋15AC →.16．(多选)(2024·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是其外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列结论中正确的是()A ．GH →＝2OG →B ．OD ∥AHC ．AH →＝3OD →D ．OA →＝OB →＝OC→答案AB解析由题意作图，如图所示，易知BC 的中点D 与A ，G 共线．对于A ，由题意，得AG →＝2GD →，OD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以OD ∥AH ，所以GH →＝2OG →，所以A ，B 正确；对于C ，由题意，知AG ＝2GD ，又GH ＝2OG ，∠AGH ＝∠DGO ，所以△AGH ∽△DGO ，所以AH →＝2OD →，所以C 错误；对于D ，向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，所以D 错误．故选AB.17.如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CNCE＝r ，则B ，M ，N 三点共线时，r 的值为________．答案33解析连接AD ，交EC 于点G ，设正六边形的边长为a ，由正六边形的性质知，AD ⊥CE ，AD ∥CB ，G 为EC 的中点，且AG ＝32a ，则CA →＝CG →＋GA →＝12CE →＋32CB →，又AM AC ＝CNCE ＝r (r >0)，则CA →＝CM →1－r ，CE →＝CN →r ，故CM →1－r ＝CN →2r ＋32CB →，即CM →＝1－r 2r CN →＋3（1－r ）2CB →，若B ，M ，N三点共线，则1－r 2r ＋3（1－r ）2＝1，解得r ＝33或r ＝－33(舍去)．18．经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m >0，n >0，则m ＋n 的最小值为________．答案43解析设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝＋13λb ，m ＝＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.于是m ＋nm ＋n )＋n m ＋≥13×(2＋2)＝43，当且仅当m ＝n ＝23时，m ＋n 取得最小值，为43.。

第二十六课时平面向量的概念及线性运算考纲要求：1.平面向量的概念(B) 2.平面向量的加法、减法及数乘运算(B)知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在惟一一个实数λ，使得b＝λa.基础训练：：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( )(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )( )(4)向量a－b与b－a是相反向量．( )(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )(6)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )(7)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×(7)√2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量有________．3．化简：4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.答案：－13[典题1](1)给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________． (2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题为________．(填序号) 解析：(1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.(2)①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 答案：(1)②③ (2)①③④ 小结：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．[典题2](1)设D 为△ABC 所在平面内一点，则下列结论正确的是________．(填序号)(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC . (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案：(1)① (2)12答案：23小结：向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．练习：答案：3[典题3]设两个非零向量a 和b 不共线．(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线． (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 解析： (1)因为＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，所以＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5，所以，共线．又与有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.即k ＝±1时，k a ＋b 与a ＋k b 共线． [探究1] 若将本例(1)中“＝2a ＋8b ”改为“＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A 、B 、D 三点共线？解：＋＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，即＝4a ＋(m －3)b .若A 、B 、D 三点共线，则存在实数λ，使＝λ，即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A 、B 、D 三点共线．[探究2] 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1.故当k ＝－1时两向量反向共线． 小结：(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．练习：1．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.解析：∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，即t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上．答案：3总结：1．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．注意：1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.课后作业1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量与相等；④若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．则所有正确命题的序号是________．解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误；由于方向相同或相反的向量为共线向量，故与也可能平行，即A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故④错误．3．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝________.解析：连结CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且＝12a ，所以＝b ＋12a .4．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则＝________.6．如图，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M为AH的中点，若则λ＋μ＝________.7．△ABC所在的平面内有一点P，满足则△PBC与△ABC的面积之比是________．9．如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，若且 (λ∈R)，则实数λ的值为________．10．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若(m ，n ∈R )，则m n的值为________．解析：设＝a ，＝b ，则＝m a ＋n b ，＝12b －a ，由向量与共线可知存在实数λ，使得即m a ＋n b ＝12λb －λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12λ，所以mn＝－2.11.如图，在平行四边形ABCD 中，设S ，R ，Q ，P 分别为AP ，SD ，RC ，QB 的中点，若＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________.答案：6512．如图所示，在△ABO 中，AD 与BC 相交于点M ，设试用a 和b 表示向量.解：设＝m a ＋n b ，则＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ，＝12 ＝－a ＋12b . ∵A 、M 、D 三点共线，故存在实数t ，使得即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b ， ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①联立①②，解得m ＝17，n ＝37.故＝17a ＋37b .。

2024年中考重点之平面向量的线性运算一、平面向量的定义与表示平面向量是指在平面内具有大小和方向的量，一般表示为箭头形式。

通常用有序数对表示平面向量，如AB表示起点为A、终点为B的平面向量。

二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下运算规律：1. 交换律：AB+CD=CD+AB2. 结合律：(AB+CD)+EF=AB+(CD+EF)3. 平移性质：向量的平移不影响其大小和方向，即若P、Q为平面上两点，则PQ=QR，其中R为PQ的平移向量。

三、平面向量的数乘平面向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。

设k为实数，AB为平面向量，则kAB为平面向量，其大小为|k|·|AB|，方向与AB相同（k>0）或相反（k<0）。

四、平面向量的线性运算平面向量的线性运算包括加法和数乘。

根据向量运算规律，我们可以得出以下结论：1. 乘法分配律：k(AB+CD)=kAB+kCD，(k+m)AB=kAB+mAB，其中k、m为实数。

2. 结合律：k(mAB)=(km)AB，其中k、m为实数。

3. 零向量：0AB=O，其中O为原点。

4. 相反向量：(-1)AB=-AB。

五、平面向量的应用平面向量的线性运算在几何学和物理学中有广泛的应用，尤其是解决平面几何问题和力学问题时。

其中一些常见的应用包括：1. 平面向量的模运算：通过向量的数乘和加法，我们可以求解平面向量的模和方向角。

2. 平面向量的共线与垂直判定：设有两个非零向量AB和CD，若存在实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线；若CD·AB=0，则称向量CD与向量AB垂直。

3. 平面向量的平行判定：设有两个非零向量AB和CD，若存在实数k，使得CD=kAB或CD=k(-AB)，则称向量CD与向量AB平行。

4. 向量的投影：向量的投影是指将一个向量沿另一个向量的方向分解的过程，用于求解向量的分解与合成问题。

5. 平面向量的线性方程组：由平面向量的线性运算性质，我们可以建立平面向量的线性方程组，用于求解几何和物理问题。

考点30平面向量的概念及线性运算（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【知识点】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的．(2)零向量：长度为的向量，记作．(3)单位向量：长度等于 长度的向量．(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量．(5)相等向量：长度相等且方向 的向量．(6)相反向量：长度相等且方向 的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝ ；结合律：(a ＋b )＋c ＝________减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λa |＝，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝ ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→ ＋A 2A 3—→ ＋A 3A 4—→ ＋…＋A n －1A n ———→ ＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF → ＝12(OA → ＋OB → )．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA → ＋PB → ＋PC → ＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP → ＝13(AB → ＋AC → )．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.【核心题型】题型一　平面向量的基本概念平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与a 同方向的单位向量．【例题1】（2024·湖南永州·三模）在ABC V 中，120ACB Ð=o，3AC uuu r =，4BC =uuu r，0DC DB ×=uuu r uuu r，则AB AD +uuu r uuu r 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．1D 2【变式1】（2023·北京大兴·三模）设a r ，b r 是非零向量，“a a bb =r r rr ”是“a b =r r”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】（2022·江苏·三模）已知向量()6,2a =r ，与a r共线且方向相反的单位向量b =r.【变式3】（2022·上海虹口·二模）已知向量a r ，b r满足2a =r ，1b =r ，a +r ，则a b -=r r.题型二　平面向量的线性运算平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．命题点1　向量加、减法的几何意义【例题2】（2024·福建福州·三模）已知线段AB 是圆O 的一条长为2的弦，则AO AB ×=uuu r uuu r（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·河南三门峡·模拟预测）在ABC V 中，3,4AN NC BP PN ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，则AP =uuu r （ ）A ．1355AB CA+uuur uuu r B ．3455AB CA-uuur uuu r C ．3155AB CA-uuur uuu r D ．1355AB CA-uuur uuu r 【变式2】（2023·四川乐山·一模）已知正六边形ABCDEF 边长为2，MN 是正六边形ABCDEF 的外接圆的一条动弦，2MN =，P 为正六边形ABCDEF 边上的动点，则PM PN ×uuuu r uuu r的最小值为 .【变式3】（2023·上海金山·二模）已知a r 、b r 、c r 、d ur 都是平面向量，且|||2||5|1a a b a c =-=-=r r r r r ，若,4a d p =r u r ，则||||b dcd -+-r u r r u r的最小值为．命题点2　向量的线性运算【例题3】（2023·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，已知24==A D A B ，且4AB BC ×=-uuu r uuu r ，则向量AB uuu r与AC uuu r 的夹角的余弦值为（ ）A ．12-B ．0C ．12D 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知O 为等边ABC V 的中心，若3,2OA a AB b ==uuu r uuu r r r，则AC =uuu r．（用,a b r r 表示）【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知不共线的三个单位向量,,a b c r r r 满足0,a b c a l ++=r r r r r 与b r 的夹角为π3，则实数l =.【变式3】（2024·江苏扬州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c a b c +++-=，且ABC V (1)求角C ；(2)若2AD DB =uuu r uuu r，求CD 的最小值.命题点3　根据向量线性运算求参数【例题4】（2024·江苏·二模）已知非零向量π(cos 2,sin())4a a a =+r ，π(sin(4b a =+r ，若//a b r r ，则sin 2a =（ ）A ．1-B C ．45D ．35【变式1】（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量a r ，b r满足()()2a b a b l l ++∥r r r r ，则正数l =（ ）A ．1B C D ．2【变式2】（2024·上海·三模）设平面向量()sin ,1a q =r ，(cos b q =r ，若a r ，b r 不能组成平面上的一个基底，则tan q = ．【变式3】（2023·四川南充·一模）在ABC V 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量),sin m A A =r，()1,1n =-r ，且m n ∥r r．(1)求角A 的大小；(2)若a =sin sin 0a B c A -=，求ABC V 的面积．题型三　共线定理及其应用利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)若OA → ＝λOB → ＋μOC → (λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.【例题5】（2024·全国·模拟预测）已知平面上点O ，A ，B 满足2OA OB ==uuu r uuu r ，且||OA OB OA +=uuu r uuu r uuu r ，点C 满足OC OB -=uuu r uuu rP 满足()1OP tOA t OC =+-uuu r uuu r uuu r ，则OP uuu r 的最小值为（ ）A B C ．1D ．1【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量1e u r ，2e u ur 是平面上两个不共线的单位向量，且122AB e e =+u r uuu r u u r ，1232BC e e =-+uuur u r u u r ，1236DA e e =-uuu r u r u u r ，则（ ）A ．、、ABC 三点共线B ．A BD 、、三点共线C ．A C D 、、三点共线D ．B C D 、、三点共线【变式2】（2024·上海松江·二模）已知正三角形ABC 的边长为2，点D 满足CD mCA nCB =+uuu r uuu r uuu r，且0m >，0n >，21m n +=，则||CD uuu r 的取值范围是 .【变式3】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB ，CD 分别交于点M ，N ．(1)若Q 是BC 的中点，求QM QN ×uuuu r uuu r的取值范围；(2)若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC l l =+-uuu r uuu r uuu r ，求PM PN ×uuuu r uuu r的最小值．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量a r ，b r ，则“//a b rr ”是“存在R l Î，使得a b l =r r ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·贵州黔东南·三模）在△ABC 中，已知4AB =，M 为线段AB 的中点，3CM =，若2CN NM=uuu r uuuu r，则NA NB ×=uuu r uuu r （ ）A ．92-B ．3-C ．D ．3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点()2,6A ，()2,3B --，()0,1C ，7,62D æöç÷èø，则与向量2AB CD +uuu r uuu r同方向的单位向量为（ ）A ．B ．C ．D ．43,55æö-ç÷èø4．（2024·山西朔州·一模）已知)2,a b ==r r，且a b ^r r ，则2a b -=r r （ ）A ．B ．C ．4D ．二、多选题5．（2024·辽宁·二模）ABC V 的重心为点G ，点O ，P 是ABC V 所在平面内两个不同的点，满足OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则（ ）A ．,,O P G 三点共线B ．2OP OG =uuu r uuu rC ．2OP AP BP CP =++uuu r uuu r uuu r uuu rD ．点P 在ABC V 的内部6．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量,,a b c r r r 满足1,1,3a b c ===r r r 且a c b c ×=×r r r r ，则（ ）A ．a b c ++r r r的最小值为2B ．a b c ++r r r的最大值为5C ．a b c -+r r r 的最小值为2D ．a b c -+r r r的最大值为三、填空题7．（2023·重庆·一模）在PAB V 中，4,3AB APB p=Ð=，点Q 满足2()QP AQ BQ =+uuu r uuu r uuu r ，则QA QB×uuu r uuu r的最大值为.8．（2023·云南大理·模拟预测）若a b =r r ，8a b +=r r ，6a b -=r r ，则a r 在b r上投影向量的模为．9．（2023·陕西西安·模拟预测）若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=uuu r uuu r r，()0AB AD AC -×=uuu r uuu r uuu r ，则该四边形一定是 .四、解答题10．（2024·山西朔州·一模）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=--r r ，且//m n r r ．(1)求B ；(2)求222b a c+的最小值．11．（2024·四川·模拟预测）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2cos B a bC c-=．(1)求角C ；(2)若4AB AC +=uuu r uuu r，求ABC V 面积的最大值．【综合提升练】一、单选题1．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=uuu r uuu r uuu r （ ）A ．0B C ．D ．42．（2024·全国·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =-r ，则“4m =”是“a r 与b r共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量1e u r ，2e u u r 不共线，12(21)2a k e e =-+r u r u u r ，12b e e =-r u r ur ，且//a b r r，则k =（ ）A ．12-B ．0C ．1D ．324．（2024·四川遂宁·模拟预测）在ABC V 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r ，则12x y+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．95．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=uuu r uuu r uuu r （ ）A ．0B C ．2D ．6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量a r ，b r，满足a b a b ==-r r r r ，则()·a a b +=r r r （ ）A ．212a r B ．212b rC ．()212a b +r r D ．()212a b -r r7．（23-24高三上·全国·阶段练习）设平面向量(1,3)a =r ，||2b =r ，且||a b -=rr ，则()()2·a b a b +-r rr r =（ ）A ．1B ．14C D8．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量a r 、b r 满足：3a =r，4b =r ，a b ^r r .定义该平面上的向量集合{|||||,}A x x a x b x a x b =+<+×>×r rr r r r r r r .给出如下两个结论：①对任意c A Îr ，存在该平面的向量d A Îu r ，满足0.5c d -=rr ②对任意c A Îr ，存在该平面向量d A Ïu r ，满足0.5c d -=rr 则下面判断正确的为（ ）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①正确，②正确D ．①错误，②错误二、多选题9．（2023·海南海口·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）A ．一组数据22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位数是21B ．若等差数列{}n a 满足x y p q a a a a +=+(x 、y 、p 、*N )q Î，则x y p q +=+C ．非零平面向量a r 、b r 、c r 满足//a b r r ，//b c r r，则//a cr r D ．在ABC V 中，“AB AC >”与“cos cos C B <”互为充要条件10．（2024·全国·模拟预测）设,a b r r是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）A ．若0a b ×=r r，则//a b r r B ．若a b a b ×=×r r r r ，则//a br r C ．若a b ^r r，则()2a b a b×=×r r r r D ．若a b a b +=-r r r r ，则a b^r r11．（2022·辽宁·模拟预测）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =，弦AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA PC ×uu u r uuu r为定值B ．OA OC ×uuu r uuu r的取值范围是[]2,0-C ．当AC BD ^时，AB CD ×uuu r uuu r为定值D ．AC BD ×uuu r uuu r 的最大值为12三、填空题12．（2024·天津·一模）已知平行四边形ABCD 的面积为23πBAD Ð=，且2BE EC =uuu r uuu r .若F 为线段DE 上的动点，且56AF AB AD l =+uuu r uuu r uuu r，则实数l 的值为 ；AF uuu r 的最小值为 .13．（2023·河南·模拟预测）已知向量()1cos ,sin e a a =u r ，()2cos ,sin e b b =u u r ，()0,1m =u r ，若12e e m +=u r u u r u r ，则12e e ×=u r u u r．14．（2024·青海西宁·二模）若向量,a b r r 不共线，且()()//xa b a yb ++r r r r，则xy 的值为 ．四、解答题15．（2024·吉林延边·一模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin A B c aC b a +-=-．(1)求B ；(2)若点D 在AC 上，且2AD BD DC ==，求ac．16．（2024·浙江温州·模拟预测）ABC V 的角,,A B C 对应边是 a ，b ，c ，三角形的重心是 O .已知3,4,5OA OB OC ===.(1)求 a 的长.(2)求ABC V 的面积.17．（2023·湖南·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC V 的面积为πsin 3A A æö-ç÷èø.(1)求C 的大小.(2)点D 满足AD CA =uuu r uuu r.若c =,a b .18．（2023·四川成都·三模）在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6a =，()2sin 2sin()A C b B C +++=(1)求角B 的大小；(2)若3AC DC =uuu r uuu r ，BD =c 的值．19．（2024·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，点W 为O e ：224x y +=和M e 的公共点，0OM OW ×=uuuu r uuuu r ，M e 与直线20x +=相切，记动点M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若0n m >>，直线1:0l x y m --=与C 交于点A ，B ，直线2:0l x y n --=与C 交于点A ¢，B ¢，点A ，A ¢在第一象限，记直线AA ¢与BB ¢的交点为G ，直线AB ¢与BA ¢的交点为H ，线段AB 的中点为E ．①证明：G ，E ，H 三点共线；②若()217m n ++=，过点H 作1l 的平行线，分别交线段AA ¢，BB ¢于点T ，T ¢，求四边形GTET ¢面积的最大值．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形ABCD 中，//AB CD 且满足2AB DC =uuu r uuur，E 为AC 中点，F 为线段AB 上靠近点B 的三等分点，设AB a =uuu r r ，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （ ）．A ．2132a b -r r B ．3146a b -r r C ．51122a b -r r D ．1126a b -r r 2．（2024·北京西城·二模）已知向量a r ，b r 满足()4,3a =r ，()210,5a b -=-r r ，则（ ）A ．0a b +=r r r B ．0a b ×=r r C ．a b >r r D ．a br r ∥3．（2024·全国·二模）点,O P 是ABC V 所在平面内两个不同的点，满足OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则直线OP 经过ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P =uuu r uuu r 是BN 上一点且29AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r ，则AP AB ×=uuu r uuu r （ ）A ．29B ．19C ．23D ．1二、多选题5．（2024·福建厦门·三模）已知等边ABC V 的边长为4，点D ，E 满足2BD DA =uuu r uuu r ，BE EC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点O ，则（ ）A ．2133CD CA CB =+uuu r uuu r uuu r B ．8BO BC ×=uuu r uuu rC ．2CO OD =uuu r uuu r D ．||OA OB OC ++=uuu r uuu r uuu r 6．（2024·安徽淮北·一模）如图，边长为2的正六边形ABCDEF ，点P 是DEF V 内部（包括边界）的动点，AP xAB y AD =+uuu r uuu r uuu r ，x ，y ÎR .（ ）A ．0AD BE CF -+=uuu r uuu r uuu r rB ．存在点P ，使x y=C ．若34y =，则点P 的轨迹长度为2D ．AP AB ×uuu r uuu r 的最小值为2-三、填空题7．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF AF =，点P 在AB 上，2BP AP =，点Q 在DEF V 内 (含边界)一点，若PQ PD PA l =+uuu r uuu r uuu r ，则l 的最大值为 .8．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）点P 在椭圆2214x y +=上，P 不在坐标轴上，()2,0A ，()2,1C ，()10,1B ，()20,1B -，直线1B P 与2x =交于点T ，直线2B P 与x 轴交于点S ，设OS OA l ®®=，AT AC m ®®=，则l m +的值为 ．9．（2023·四川乐山·一模）已知正方形ABCD 边长为MN 是正方形ABCD 的外接圆的一条动弦，2MN =，P 为正方形ABCD 边上的动点，则MP PN ×uuu r uuu r 的最大值为 .四、解答题10．（2023·江西·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知M为BC 边的中点，()2a ab AM CB -×=uuuu r uuu r ．(1)求角C 的大小；(2)若ABC V 的面积为ABC V 周长的最小值．11．（2023·河北·模拟预测）如图，D 为ABC V 内部一点，DE BC ^于E ，AB AD =.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①3CE EB =uuu r uuu r ；②())sin sin sin B C B C +=-；③2AD DE AE DE AD AD DE +=×.。

《6.2.1 平面向量的线性运算》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一 向量的加法运算【例1-1】如图，在下列各小题中，已知向量a 、b ，分别用两种方法求作向量a b +．【例1-2】如果a 表示“向东走10km ”， b 表示“向西走5km ”， c 表示“向北走10km ”， d 表示“向南走5km ”，那么下列向量具有什么意义？ （1）a a +；（2）a b +；（3）a c +；（4）b d +；（5）b c b ++；（6）d a d ++.【例1-3】向量()()AB MB BO BC OM ++++﹒化简后等于（ ）A.AMB.0C.0D.AC 【例1-4】已知点D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列等式中错误的（ ）A ．FD DA FA +=B ．0FD DE EF ++=C ．DE DA EC +=D ．DE DA FD +=【一隅三反】1.如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .2．在平行四边形ABCD 中，AB AD +等于（ ）A ．ACB ．BDC ．BCD ．CD3．（多选）如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是（ ）A ．AB AD AC +=B ．AC CD DO OA ++= C ．AB AD CD AD ++= D ．0AC BA DA ++=4.化简(1)BC →＋AB →； (2)AO →＋BC →＋OB →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.(4)DB →＋CD →＋BC →； (5)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →.考法二 向量的减法运算【例2-1】如图，在各小题中，已知,a b ，分别求作a b -．【例22-2】．化简下列各式：①()AB CB CA --；②AB AC BD CD -+-；③OA OD AD -+；④NQ QP MN MP ++-.其中结果为0的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【一隅三反】1．如图，已知向量,,,a b c d ，求作向量a b -，c d -．2.如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .3．在五边形ABCDE 中（如图），AB BC DC +-=（ ）A ．ACB ．ADC ．BD D ．BE 4．化简AB CD AC BD --+=______.5.化简（1）(AB →－CD →)－(AC →－BD →) (2)OA →－OD →＋AD →；(3)AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →．考法三 向量的数乘的运算【例3-1】把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：（1）3a e =，6b e =；（2）8a e =，14b e =-；（3）23a e =-，13b e =； （4）34a e =-，23b e =-．【例3-2】如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==为边的平行四边形，又11,33BM BC CN CD ==，试用,a b 表示,,OM ON MN ．【一隅三反】1．计算：（1）(3)4a -⨯；（2）3()2()a b a b a +---；（3）(23)(32)a b c a b c +---+．2．化简：（1）()()522423a b b a -+-；（2）()()634a b c a b c -+--+-； （3）()()113256923a b a a b ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦； （4）()()()()x y a b x y a b -+---.3．如图，解答下列各题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC ．考法四 向量的共线定理【例4-1】判断向量,a b 是否共线(其中1e ,2e 是两个非零不共线的向量):(1)113,9a e b e ==-; (2)121211,3223a e eb e e =-=-; (3)1212,33a e e b e e =-=+.【例4-2】 (1)已知向量12,e e 不共线,若12210AB e e =+,1228BC e e =-+,()123CD e e =-,试证:,,A B D 三点共线.(2)设12,e e 是两个不共线向量,已知122AB e ke =+,123CB e e =+,122CD e e =-,若,,A B D 三点共线,求k 的值.【一隅三反】1．判断下列各小题中的向量a ,b 是否共线（其中12,e e 是两个非零不共线向量）．（1）115,10a e b e ==-；（2）121211,3223a e eb e e =-=-； （3）1212,33a e e b e e =+=-．2．设,a b 是不共线的两个非零向量.（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线；（2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值.3．O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．13 B ．14 C ．12 D ．23《6.2.1 平面向量的线性运算（精讲）》考点讲解答案解析考法一 向量的加法运算【例1-1】如图，在下列各小题中，已知向量a 、b ，分别用两种方法求作向量a b +．【答案】见解析【解析】将b 的起点移到a 的终点，再首尾相接，可得a b +；将两个向量的起点移到点A ，利用平行四边形法则，以a 、b 为邻边，作出平行四边形，则过点A 的对角线为向量a b +.如图所示，AB a b =+．（1）；（2）；（3） ；（4）.【例1-2】如果a 表示“向东走10km ”， b 表示“向西走5km ”， c 表示“向北走10km ”， d 表示“向南走5km ”，那么下列向量具有什么意义？ （1）a a +；（2）a b +；（3）a c +；（4）b d +；（5）b c b ++；（6）d a d ++.【答案】（1）向东走20km ；（2）向东走5km ；（3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走.【解析】由题意知：a 表示“向东走10km ”， b 表示“向西走5km ”， c 表示“向北走10km ”， d 表示“向南走5km ”（1）a a +表示“向东走20km ”（2）a b +表示“向东走5km ”（3）a c +表示“向东北走”（4）b d +表示“向西南走”（5）b c b ++表示“向西北走”（6）d a d ++表示“向东南走”【例1-3】向量()()AB MB BO BC OM ++++﹒化简后等于（ ）A.AMB.0C.0D.AC 【答案】D【解析】()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AO OM MB BC ++++=++++=+++ AM MB BC AB BC AC =++=+=, 故选D.【例1-4】已知点D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列等式中错误的（ ）A ．FD DA FA +=B ．0FD DE EF ++=C ．DE DA EC +=D ．DE DA FD +=【答案】D 【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得FD DA FA +=，故A 正确； 由0FD DE EF FE EF ++=+=，故B 正确；根据平行四边形法则，可得DE DA DF EC =+=，故C 正确，D 不正确.故选：D.【一隅三反】1.如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【答案】见解析【解析】 方法一 可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图①，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB →＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．① ②方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；(3)再作向量OD →＝c ； (4)作平行四边形CODE ，则OE →＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .即OE →即为所求.2．在平行四边形ABCD 中，AB AD +等于（ ）A ．ACB ．BDC ．BCD ．CD【答案】A【解析】根据向量加法的平行四边形法则可得AB AD AC +=，故选：A.3．（多选）如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是（ ）A ．AB AD AC +=B ．AC CD DO OA ++= C ．AB AD CD AD ++=D ．0AC BA DA ++=【答案】ACD 【解析】由向量加法的平行四边形法则可知AB AD AC +=，故A 正确；AC CD DO AD DO AO OA ++=+=≠，故B 不正确；AB AD CD AC CD AD ++=+=，故C 正确；0AC BA DA BA AC DA BC DA ++=++=+=，故D 正确.故选：ACD. 4.化简(1)BC →＋AB →； (2)AO →＋BC →＋OB →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.(4)DB →＋CD →＋BC →； (5)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →.【答案】（1）AC →（2）AC →（3）0（4）0（5）AB →【解析】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)AO →＋BC →＋OB →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AD →＋DF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0.(4)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →＝BD →＋DB →＝0.(5)方法一 (AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.方法二 (AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →.方法三 (AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →＋OM →)＋MB →＝AM →＋MB →＝AB →.考法二 向量的减法运算【例2-1】如图，在各小题中，已知,a b ，分别求作a b -．【答案】见解析【解析】将,a b 的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，BA a b =-，(1) (2)(3) (4)【例22-2】．化简下列各式：①()AB CB CA --；②AB AC BD CD -+-；③OA OD AD -+；④NQ QP MN MP ++-.其中结果为0的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】①()0AB CB CA AB BC CA AC CA --=++=+=；②()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=；③0OA OD AD DA AD -+=+=；④0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=；以上各式化简后结果均为0,故选:D【一隅三反】1．如图，已知向量,,,a b c d ，求作向量a b -，c d -．【答案】见解析【解析】如下图所示，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，则BA a b =-，DC c d =-．2.如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .【答案】见解析【解析】在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，再作向量BC →＝c ，则向量CA →＝a －b －c .3．在五边形ABCDE 中（如图），AB BC DC +-=（ ）A ．ACB ．ADC ．BD D ．BE【答案】B 【解析】AB BC DC AB BC CD AD +-=++=.故选：B4．化简AB CD AC BD --+=______.【答案】0【解析】0AB CD AC BD AB BD DC CA --+=+++=．故答案为：0．5.化简（1）(AB →－CD →)－(AC →－BD →) (2)OA →－OD →＋AD →；(3)AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →．【答案】（1）0⃑ （2）0⃑ （3）AB →【解析】（1）方法一(统一成加法) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝AD →＋DA →＝0.方法二(利用OA →－OB →＝BA →) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD →＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0.方法三(利用AB →＝OB →－OA →) 设O 是平面内任意一点，则(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →)＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0. (2)OA →－OD →＋AD →＝OA →＋AD →－OD →＝OD →－OD →＝0．(3)AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝AB →＋DA →＋BD →＋CB →＋AC →＝(AB →＋BD →)＋(AC →＋CB →)＋D A →＝AD →＋AB →＋DA →＝AD →＋DA →＋AB →＝0＋AB →＝AB →．考法三 向量的数乘的运算【例3-1】把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：（1）3a e =，6b e =；（2）8a e =，14b e =-；（3）23a e =-，13b e =； （4）34a e =-，23b e =-． 【答案】（1）2b a =；（2）74b a =-；（3）12b a =-；（4）89b a =． 【解析】（1）623b e e ==⨯，2b a =；（2）71484b e e =-=-⨯，74b a =-； （3）112()323b e e ==-⨯-，12b a =-； （4）283()394b e e =-=⨯-，89b a =． 【例3-2】如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==为边的平行四边形，又11,33BM BC CN CD ==，试用,a b 表示,,OM ON MN ．【答案】1566OM a b =+，2233ON a b =+，1126MN a b =- 【解析】14222,()33333CN CD ON OC OA OB a b =∴==+=+ 11,,36BM BC BM BA =∴= 1()6OM OB BM OB OA OB ∴=+=+-1566a b =+ 1126MN ON OM a b ∴=-=- 【一隅三反】1．计算：（1）(3)4a -⨯；（2）3()2()a b a b a +---；（3）(23)(32)a b c a b c +---+．【答案】（1）12a -；（2）5b ；（3）52a b c -+-.【解析】（1）原式(34)12a a =-⨯=-；（2）原式33225a b a b a b =+-+-=；（3）原式233252a b c a b c a b c =+--+-=-+-．2．化简：（1）()()522423a b b a -+-；（2）()()634a b c a b c -+--+-； （3）()()113256923a b a a b ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦； （4）()()()()x y a b x y a b -+---.【答案】（1）22a b --；（2）102210a b c -+；（3）132a b +；（4）2()x y b - 【解析】（1）()()522423101081222a b b a a b b a a b -+-=-+-=--.（2）()()6346186444102210a b c a b c a b c a b c a b c -+--+-=-++-+=-+. （3）()()()()1115113256932693232262a b a a b a b a a b a b ⎡⎤-+--=-+--=+⎢⎥⎣⎦. （4）()()()()()()()2x y a b x y a b x y x y a x y x y b x y b -+---=--++-+-=-.3．如图，解答下列各题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC ．【答案】（1）DB d e a =++．（2）DB b c =--．（3）EC e a b =++．（4）EC c d =--．【解析】由题意知，AB a =，BC b =，CD c =，DE d =，EA e =，则（1）DB DE EA AB d e a =++=++．（2）DB CB CD BC CD b c =-=--=--．（3）EC EA AB BC e a b =++=++．（4）()EC CE CD DE c d =-=-+=--．考法四 向量的共线定理【例4-1】判断向量,a b 是否共线(其中1e ,2e 是两个非零不共线的向量):(1)113,9a e b e ==-; (2)121211,3223a e eb e e =-=-; (3)1212,33a e e b e e =-=+.【答案】(1)共线，(2)共线，(3)不共线.【解析】(1)∵113,9a e b e ==-,∴3b a =-,∴,a b 共线.(2)∵1211,23a e e =-12121132623b e e e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,∴6b a =,∴,a b 共线. (3)假设()b a λλ=∈R ,则()121233e e e e λ+=-,∴12(3)(3)0e e λλ-++=. ∵12,e e 不共线,∴30,30.λλ-=⎧⎨+=⎩此方程组无解.∴不存在实数λ,使得b a λ=,∴,a b 不共线.【例4-2】 (1)已知向量12,e e 不共线,若12210AB e e =+,1228BC e e =-+,()123CD e e =-,试证:,,A B D 三点共线.(2)设12,e e 是两个不共线向量,已知122AB e ke =+,123CB e e =+,122CD e e =-,若,,A B D 三点共线,求k 的值.【答案】(1)见解析(2)-8【解析】(1)()1212122835BD BC CD e e e e e e =+=-++-=+，12210AB e e =+， 2AB BD ∴=，BD ∴与AB 共线.又BD 与AB 有公共点B ，,,A B D ∴三点共线.(2)()()121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-. ,,A B D 三点共线，,AB BD ∴共线.∴存在实数λ使AB BD λ=，即()121224e ke e e λ+=-. 12(2)(4)e k e λλ∴-=--.1e 与2e 不共线，24k λλ=⎧∴⎨=-⎩，，8k ∴=-. 【一隅三反】1．判断下列各小题中的向量a ,b 是否共线（其中12,e e 是两个非零不共线向量）．（1）115,10a e b e ==-；（2）121211,3223a e eb e e =-=-；（3）1212,33a e e b e e =+=-．【答案】(1) a 与b 共线；(2) a 与b 共线；(3) a 与b 不共线．【解析】（1）∵2b a =-，∴a 与b 共线．（2）∵16a b =，∴a 与b 共线． （3）设a b =λ，则()121233e e e e λ+=-，∴12(13)(13)0e e λλ-++=．∵1e 与2e 是两个非零不共线向量，∴130λ-=，130λ+=．这样的λ不存在，∴a 与b 不共线． 2．设,a b 是不共线的两个非零向量.（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线；（2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）4±.（3）43k =. 【解析】证明：（1）22AB OB OA a b AC OC OA a b =-=+=-=--，，所以AC AB =-. 又因为A 为公共点，所以A B C ，，三点共线.（2）设()82a kb ka b λλ+=+∈R ，，则82k k λλ=⎧⎨=⎩，，解得42k λ=⎧⎨=⎩，或42k λ=-⎧⎨=-⎩，， 所以实数k 的值为4±.（3）()()2332AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，因为A C D ，，三点共线，所以AC 与CD 共线.从而存在实数μ使AC CD μ=，即()322a b a kb μ-=-，得322.k μμ=⎧⎨-=-⎩，解得324.3k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以43k =. 3． O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．13B ．14C ．12D ．23【答案】A【解析】由AD t AC =有()OD OA t OC OA -=-,所以(1)OD tOC t OA =+-,因为B ，O ，D 三点共线,所以BO OD λ=,则2(1)OA OC tOC t OA λλ+=+-,故有2(1){1t tλλ=-=,13t =,选A.《6.2 1 平面向量的线性运算》同步练习【题组一 向量的加法运算】1．化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++．2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +-B ．()()AD MB BC CM +++ C ．()AB CD BC ++ D ．OC OA CD -+ 3．（1）如图（1），在ABC 中，计算AB BC CA ++；（2）如图（2），在四边形ABCD 中，计算AB BC CD DA +++；（3）如图（3），在n 边形123n A A A A 中，12233411?n n n A A A A A A A A A A -+++++=证明你的结论.4．（1）已知向量a ,b ,求作向量c ，使0a b c ++=.（2）（1）中表示a ,b ,c 的有向线段能构成三角形吗？5．一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16/km h ，同时河水流速的大小为4/km h 求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l °）.6．一架飞机向北飞行300km ，然后改变方向向西飞行400km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【题组二 向量的减法运算】1．已知向量a ，b ，c ，求作a b c -+和()a b c --.2．化简：AB CB CD ED AE -+--=（ ）A ．0B ．ABC ．BAD ．CA3．化简：（1）AB BC CA ++； （2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++； （4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+； （6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-.4．（多选）下列各式中，结果为零向量的是（ ）A ．AB MB BO OM +++B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+-5．（多选）已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( )A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同【题组三 向量的数乘运算】1．化简：（1）5(32)4(23)a b b a -+-；（2）111(2)(32)()342a b a b a b -----；（3）()()x y a x y a +--．2．化简下列各式：（1）2(32)3(5)5(4)a b a b b a -++--；（2）1[3(28)2(42)]6a b a b +--．3．作图验证： （1）11()()22a b a b a ++-= （2）11()()22a b a b b +--=4．已知点B 是平行四边形ACDE 内一点，且AB ＝ a ，AC ＝ b ，AE ＝ c ，试用,,a b c表示向量CD 、BC 、BE 、CE 及BD ．4．如图，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为边的平行四边形，又13BM BC =，13CN CD =，试用a 、b 表示OM 、ON 、MN .5．向量,,,,a b c d e 如图所示，据图解答下列问题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC .【题组四 向量的共线定理】1．设12,e e 是两个不共线的向量,若向量()12a e e R λλ=+∈与()212b e e =--共线,则( )A ．λ=0B ．λ=-1C ．λ=-2D ．λ=-122．设,a b 是不共线的两个非零向量，已知2AB a pb =+，,2BC a b CD a b =+=-，若,,A B D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．-2D ．-13．判断下列各小题中的向量a 与b 是否共线：（1）2a e =-，2b e =；（2）12a e e =-，1222b e e =-+．4．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+（1）判断a ，b 是否共线；（2）若a c ，求x 的值5．已知非零向量12,e e 不共线，且122AP e e =-，1234PB e e =-+，122CQ e e =--，1245QD e e =-，能否判定A ，B ，D 三点共线？请说明理由．6．设12,e e 是两个不共线向量，已知1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-．若123BF e ke =-，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．7．已知12,e e 是两个不共线的向量，若1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线．8．如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD a = ，AB b =,M 为AB 的中点,点N 在DB 上,且2DN NB =.证明:M ,N ,C 三点共线.9．如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设,AB a AO b ==.(1)用向量a 与b 表示向量,OC CD ;(2)若45OE OA =,求证:C ,D ,E 三点共线.10．如图所示，已知D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 的中点，延长CD 至点M 使DM CD =，延长BE 至点N 使BE EN =，求证：M ，A ，N 三点共线．《6.2 1 平面向量的线性运算（精练）》同步练习答案解析【题组一 向量的加法运算】1．化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++． 【答案】（1）0；（2）AC .【解析】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA +++=+++=；（2）()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +-B ．()()AD MB BC CM +++ C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+ 【答案】A【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.3．（1）如图（1），在ABC 中，计算AB BC CA ++；（2）如图（2），在四边形ABCD 中，计算AB BC CD DA +++；（3）如图（3），在n 边形123n A A A A 中，12233411?n n n A A A A A A A A A A -+++++=证明你的结论.【答案】（1）0（2）0（3）0，见解析【解析】（1）0AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-=（2）0AB BC CD DA AC CD DA AD DA AD AD +++=++=+=-=.（3）122334n 110n n A A A A A A A A A A -+++++=.证明如下：12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++ 133411n n n A A A A A A A A -=++++ 1411n n n A A A A A A -=+++11110n n n n A A A A A A A A =+=-=4．（1）已知向量a ,b ,求作向量c ，使0a b c ++=.（2）（1）中表示a ,b ,c 的有向线段能构成三角形吗？【答案】（1）见解析.【解析】（1）方法一：如图所示，当向量a ,b 两个不共线时，作平行四边形OADB ，使得OA a =，OB b =，则a b OD +=，又0a b c ++=，所以0OD c +=，即OD c OC =-=-，方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作ABC ∆，使得AB a =，BC b =，CA c =，则0AB BC CA ++=，即0a b c ++=，当向量a ,b 两个共线时，如下图：使得AB a =，BC b =，DE c =则AB BC a b +=+，()DE a b =-+，所以，0AB BC DE ++=，即0a b c ++=.（2）向量a ,b 两个不共线时，表示a ,b ,c 的有向线段能构成三角形，向量a ,b 两个共线时，a ,b ,c 的有向线段不能构成三角形.5．一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16/km h ，同时河水流速的大小为4/km h 求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l °）.【答案】，方向与水流方向成76°角【解析】设船的航行速度为1v ，水流速度为2v ，船的实际航行速度为v ，v 与2v 的夹角为α，则||416//)v km km h === 由16tan 44α==，得76α︒≈.船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角.6．一架飞机向北飞行300km ，然后改变方向向西飞行400km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【答案】飞机飞行的路程为700km ；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行500km .【解析】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是700km ；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行500km .【题组二 向量的减法运算】1．已知向量a ，b ，c ，求作a b c -+和()a b c --.【答案】详见解析【解析】由向量加法的三角形法则作图：a b c -+由向量三角形加减法则作图：()a b c --2．化简：AB CB CD ED AE -+--=（ ）A ．0B ．ABC ．BAD ．CA 【答案】A【解析】AB CB CD ED AE -+--AB BC CD DE AE =+++-0AE AE =-=．故选：A ．3．化简：（1）AB BC CA ++； （2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++； （4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+； （6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-.【答案】（1）0.（2）AB （3）BA .（4）0（5）0（6）CB .（7）0【解析】（1）原式0AC AC =-=.（2）原式AB BO OM MB AB =+++=（3）原式OA OC OB OC BA =+--=.（4）原式0AB BD DC CA =+++=（5）原式0OA AD DO =++=（6）原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.（7）原式0MN NQ QP PM =+++=4．（多选）下列各式中，结果为零向量的是（ ）A ．AB MB BO OM +++B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+- 【答案】BD【解析】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.故选：BD5．（多选）已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( )A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同【答案】ABD【解析】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+.当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-.当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-故选：ABD【题组三 向量的数乘运算】1．化简：（1）5(32)4(23)a b b a -+-；（2）111(2)(32)()342a b a b a b -----； （3）()()x y a x y a +--．【答案】（1）32a b -；（2）111123a b -+；（3）2ya . 【解析】（1）原式151081232a b b a a b =-+-=-；（2）原式123111111334222123a b a b a b a b =--+-+=-+； （3）原式2xa ya xa ya ya =+-+=．2．化简下列各式：（1）2(32)3(5)5(4)a b a b b a -++--；（2）1[3(28)2(42)]6a b a b +--．【答案】(1)149a b -； (2) 11433a b -+.【解析】（1）原式64315205149a b a b b a a b =-++-+=-．（2）原式11114(62484)(228)6633a b a b a b a b =+-+=-+=-+． 3．作图验证：（1）11()()22a b a b a ++-= （2）11()()22a b a b b +--= 【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】如图，在平行四边形ABCD 中，设,AB a AD b ==，则11(),()22AO a b OB a b =+=-.（1）因为AO OB AB +=，所以11()()22a b a b a ++-= （2）因为AO OB AO BO AO OD AD -=+=+=，所以11()()22a b a b b +--= 4．已知点B 是平行四边形ACDE 内一点，且AB ＝ a ，AC ＝ b ，AE ＝ c ，试用,,a b c 表示向量CD 、BC 、BE 、CE 及BD ．【答案】CD c BC b a ==-；；BE =c a -；CE ＝c b - ；BD ＝b a c -+．【解析】∵四边形A CDE 为平行四边形．∴CD ＝AE ＝c ； BC ＝AC －AB ＝b a -； BE ＝AE －AB ＝ -c a ； CE ＝AE －AC ＝-c b ； BD ＝BC ＋CD ＝ b a c -+．4．如图，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为边的平行四边形，又13BM BC =，13CN CD =，试用a 、b 表示OM 、ON 、MN .【答案】1566OM a b =+；()23ON a b =+；1126MN a b =- 【解析】13BM BC =，BC CA =，16BM BA ∴=， ∴111()()666BM BA OA OB a b ==-=-． ∴()115666OM OB BM b a b a b =+=+-=+． 13CN CD =，CD OC =， ∴2222()3333ON OC CN OD OA OB a b =+==+=+．∴221511336626MN ON OM a b a b a b =-=+--=-．5．向量,,,,a b c d e 如图所示，据图解答下列问题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC .【答案】（1）DB d e a =++；（2）DB b c =--；（3）EC e a b =++；（4）EC c d =--.【解析】由图知,,,,AB a BC b CD c DE d EA e =====,（1）DB DE EA AB d e a =++=++；（2）DB CB CD BC CD b c =-=--=--；（3）EC EA AB BC e a b =++=++；（4）()EC CE CD DE c d =-=-+=--【题组四 向量的共线定理】1．设12,e e 是两个不共线的向量,若向量()12a e e R λλ=+∈与()212b e e =--共线,则( )A ．λ=0B ．λ=-1C ．λ=-2D ．λ=-12【答案】D【解析】由已知得存在实数k 使a kb =,即()12212e e k e e λ+=--,于是1=2k 且λ=-k ,解得λ=-12. 2．设,a b 是不共线的两个非零向量，已知2AB a pb =+，,2BC a b CD a b =+=-，若,,A B D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．-2D ．-1【答案】D【解析】因为,,A B C ，故存在实数λ，使得AB BD λ=，又2BD a b =-，所以22a pb a b λλ+=-，故1,1p λ==-，故选D.3．判断下列各小题中的向量a 与b 是否共线：（1）2a e =-，2b e =；（2）12a e e =-，1222b e e =-+．【答案】（1）a 与b 共线；（2）a 与b 共线．【解析】（1）2b e a ==-，所以a 与b 共线；（2）1212222()2b e e e e a ==-=-+--，所以a 与b 共线．4．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+（1）判断a ，b 是否共线；（2）若a c ，求x 的值 【答案】（1）a 与b 不共线.（2）23x = 【解析】（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量，则有b a λ=，即()6432m n m n λ-=+， ∴6342λλ=⎧⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-，∴λ不存在，即a 与b 不平行.（2）∵a c ∥，则c ra =，即32m xn rm rn +=+，即132r x r=⎧⎨=⎩，解得23x =. 5．已知非零向量12,e e 不共线，且122AP e e =-，1234PB e e =-+，122CQ e e =--，1245QD e e =-，能否判定A ，B ，D 三点共线？请说明理由．【答案】无法判定A ，B ，D 三点共线，见解析【解析】无法判定A ，B ，D 三点共线，证明如下：()()1212122343AB AP PB e e e e e e =+=-+-+=-+， ()()12121224526CD CQ QD e e e e e e =+=--+-=-，所以2CD AB =-，所以向量AB 与CD 共线．由于向量共线包括对应的有向线段平行与共线两种情况，所以无法判定A ，B ，D 三点共线．6.设12,e e 是两个不共线向量，已知1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-．若123BF e ke =-，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．【答案】12k =【解析】()()12121212234,3BD CD CB e e e e e e BF e ke =-=--+=-=-， ∵B ，D ，F 三点共线，∴BF BD λ=，即121234e ke e e λλ-=-． 由题意知12,e e 不共线，得34k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =． 7．已知12,e e 是两个不共线的向量，若1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线．【答案】见解析【解析】∵123CB e e =+，122CD e e =-，∴214BD CD CB e e =-=-．又()12122824AB e e e e =-=-，∴，∴AB BD ．∵AB 与BD 有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．8．如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD a = ，AB b =,M 为AB 的中点,点N 在DB 上,且2DN NB =.证明:M ,N ,C 三点共线.【答案】证明见解析【解析】∵2DN NB =, ∴111()()333NB DB AB AD b a ==-=-. 连接,MN NC ,则1111()2363MN MB BN MB NB b b a b a =+=-=--=+,2122()333NC DC DN AB NB b b a b a =-=-=--=+, ∴2NC MN =,∴NC 与MN 共线. 又NC 与MN 有公共点N ,∴M ,N ,C 三点共线.9．如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设,AB a AO b ==.(1)用向量a 与b 表示向量,OC CD ;(2)若45OE OA =,求证:C ,D ,E 三点共线.【答案】(1)OC b a =--,5133CD a b =+;(2)证明见解析. 【解析】(1)∵AB a =,AO b =,∴OC OA AC b a =+=--,11151()2()33333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+. (2)证明: 45OE OA = ()413555CE OE OC b a b a b CD ∴=-=-++=+=, ∴CE 与CD 平行,又∵CE 与CD 有共同点C ,∴C ，D ，E 三点共线.10．如图所示，已知D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 的中点，延长CD 至点M 使DM CD =，延长BE 至点N 使BE EN =，求证：M ，A ，N 三点共线．【答案】见解析【解析】连接BM ，CN （图略）．∵D 为MC 的中点，且D 为AB 的中点，∴四边形ACBM 为平行四边形，∴AB AM AC =+，∴AM AB AC CB =-=．同理可证，AN AC AB BC =-=．∴AM AN =-，∴AM ，AN 共线且有公共点A ，∴M ，A ，N 三点共线．。

ABabbaa a O =−→−OBA B O B a abb=−→−OB a +b ABAa +b向量的线性运算（一）1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a →--→--OB =→--OA +→--AB a +b2.向量的加法法则（1）共线向量的加法：同向向量反向向量（2）不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。

三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：→--AB −→−+BC=→--AC ．平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线→--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→−AC 叫做a与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→−AC【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况：探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加3.向量加法的运算律（1）向量加法的交换律：a +b =b +a（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→−CD c 则(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．例题：例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量：（1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水aaab bba +ba +b ABC ABCD三角形法则平行四边形法则的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。

平面向量的概念及线性运算一、知识梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.结论：(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→＋OB →＋OC →＝0；(2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB→＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.二、例题精讲 + 随堂练习考点一 平面向量的概念【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B.a ∥b C.a ＝－13bD.a ⊥b解析 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a 与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直.(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③B.①②C.③④D.②④解析：(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC→|， AB→∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →. ③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案 (1)C (2)A【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE→＝PF →D.EP→＝PF → (2)给出下列说法：①非零向量a 与b 同向是a ＝b 的必要不充分条件； ②若AB→与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上； ③a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向； ④设λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误说法的序号是________.解析 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD→与BC →不平行，AC →与BD →不平行，所以AD→＝BC →，AC →＝BD →均错误，PE →与PF →平行，但方向相反也不相等，只有EP →与PF →方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，所以EP→＝PF →.(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误. 答案 (1)D (2)④考点二 平面向量的线性运算 角度1 向量的线性运算【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →解析 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB→＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →， 又知D 是BC 的中点， ∴AD→＝12(AB →＋AC →)， 因此EB→＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →. 答案 A角度2 利用向量线性运算求参数【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12解析 (1)∵E 为线段AO 的中点，∴BE→＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在锐角△ABC 中，CM→＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y ＝________.解析：(2)由题设可得AM→＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC→＝34AB →＋14AC →， 则x ＝34，y ＝14.故x y ＝3. 答案 (1)B (2)3【训练2】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12b B.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b解析 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点， 得CD ∥AB 且CD→＝12AB →＝12a ，所以AD→＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 解析：(2)DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →， ∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23， 因此λ1＋λ2＝12. 答案 (1)D (2)12考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.【训练3】 (1)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1 C.λμ＝－1D.λμ＝1(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{0} B.∅ C.{－1}D.{0，－1}解析 (1)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，所以⎩⎨⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1.(2)法一 若要x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立，BC →必须与x 2OA →＋xOB →共线，由于OA →－OB→＝BA →与BC →共线，所以OA →和OB →的系数必须互为相反数，则x 2＝－x ，解得x ＝0或x ＝－1，而当x ＝0时，BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1.法二 ∵BC→＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC→＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线， ∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC→＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1. 答案 (1)D (2)C三、课后练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB→与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( )(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( )A.①B.③C.①③D.①②解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误. 答案 A3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B.2OM → C.3OM→D.4OM→ 解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →. 答案 D4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A.c ＝32b －12aB.c ＝2b －aC.c ＝2a －bD.c ＝32a －12b解析 因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB→－OA →)＝32OB →－12OA →＝32b －12a . 答案 A5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →且|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形D.菱形解析 因为AD →＝12BC →，所以AD →∥BC →，且|AD →|＝12|BC →|，所以四边形ABCD 为以AD 为上底，BC 为下底的梯形.又|AB →|＝|DC →|，所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边形ABCD 是等腰梯形. 答案 A6.(2019·菏泽调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.解析 依题意知向量a ＋λb 与2a －b 共线，设a ＋λb ＝k (2a －b )，则有(1－2k )a ＋(k ＋λ)b ＝0，所以⎩⎨⎧1－2k ＝0，k ＋λ＝0，解得k ＝12，λ＝－12. 答案 －127.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.8.(2019·青岛二模)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A.12AD →B.32AD →C.12AC →D.32AC →解析 因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC→＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →. 答案 D9.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.同理E ，F 分别是AC ，AB 的中点，因此点M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，则m ＝3.10.(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________. 解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2， 又e 1与e 2不共线，所以⎩⎨⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94.11.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心. 若aMA →＋bMB→＋33cMC →＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________.解析 由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c (－MA →－MB →)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －33c MA →＋⎝⎛⎭⎪⎫b －33c MB →＝0，且MA →与MB →不共线，∴a －33c ＝b －33c ＝0，∴a ＝b ＝33c .△ABC 中，由余弦定理可求得cos A ＝32，∴A ＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.答案 π6 934。