中考数学——数形结合专题
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第九讲数形结合思想
【中考热点分析】
数形结合思想是数学中重要的思想方法,它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙的结合起来,并充分利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观,便于理解;代数方法的一般性,解题过程的操作性强,便于把握。 【经典考题讲练】
例1.(2015衢州)如图,已知直线3
34
y x =-
+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,P 是抛物线21
252y x x =-++的一个动点,其横坐标为a ,过点P 且平行于y 轴的直线交直线
3
34
y x =-+于点Q ,则当PQ =BQ 时,a 的值是 .
例2.(2014•)已知平面直角坐标系中两定点A (-1,0),B (4,0),抛物线(
)过点A 、B ,顶点为C .点P (m ,n )(n <0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式与顶点C 的坐标. (2)当∠APB 为钝角时,求m 的取值范围. (3)若
,当∠APB 为直角时,将该抛物线向左或向右平移t (
)个单位,点
P 、C 移动后对应的点分别记为、
,是否存在t ,使得首尾依次连接A 、B 、
、
所
构成的多边形的周长最短?若存在,求t 值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.
解析:(1)待定系数法求解析式即可,求得解析式后转换成顶点式即可.
(2)因为AB 为直径,所以当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时,满足∠APB 为钝角,所以-1<m <0,或3<m <4.
(3)左右平移时,使A ′D+DB ″最短即可,那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″,得到直线P ″C ″的解析式,然后把A 点的坐标代入即可.
答案:(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:
抛物线解析式为
顶点横坐标,将代入抛物线得
(2)如图,当时,设,
则
过作直线轴,
(注意用整体代入法)
解得
,
当在之间时,
或时,为钝角.
(3)依题意,且
设移动(向右,向左)
连接
则
又的长度不变
四边形周长最小,只需最小即可
将沿轴向右平移5各单位到处
沿轴对称为
∴当且仅当、B、三点共线时,最小,且最小为,此时,设过的直线为,代入
∴即
将代入,得:,解得:
∴当,P、C向左移动单位时,此时四边形ABP’C’周长最小。
例3.(2012杭州)如图,A E切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段O E交AT于点C,O B⊥AT于点B,已知∠E AT=30°,,.(1)求∠C O B的度数;(2)求⊙O的半径R;(3)点F在⊙O上(是劣弧),且E F=5,把△O B C经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在E F的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△O B C的周长之比.
解:(1)∵AE切⊙O于点E,∴OE⊥AE,
∵OB⊥AT,∴在△CAE和△COB中,∠AEC=∠CBO=90°,
而∠BCO=∠ACE,∴∠COB=∠A=30°.(3分)
图(1)
(2)在Rt△ACE中,AE=3,∠A=30°,
∴EC=AE·tan30°=3.
如图(1),连接OM,
在Rt△MOB中,OM=R,MB==,
∴OB==.
在Rt△COB中,∠COB=30°,
∴OC=.
∵OC+EC=R,∴·+3=R
整理得R2+18R-115=0,即(R+23)(R-5)=0,
∴R=-23(不符合题意,舍去),或R=5,∴R=5.(8分)
(3)在EF的同一侧,满足题意的三角形共有6个,如图(2)(3)(4),每个图有2个满足题意的三角形.
能找出另一个顶点也在⊙O上的三角形,如图(1),延长EO交⊙O于D,连接DF,则△DFE 为符合条件的三角形.
图(2)图(3)图(4)
由题意得,△DFE∽△OBC.
由(2)得,DE=2R=10,OC==2,∴===5.(14分) 【解答策略提炼】
解题策略,数形结合思想包含“以形助教”和“以数助形”两个方面,即用数形结合思想解题可分两类:一是依形判教,用形解决数的问题,常见于借助数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题;二十就数论形,用数解决形的问题,常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题。
【专项达标训练】 一、填空题
1.如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC=90°,AD=AB=6,BC=14,点M 是线段BC 上一定点,且MC=8,动点P 从C 点出发沿C →D →A →B 的路线运动,运动到点B 停止,在点P 的运动过程中,使△PMC 为等腰三角形的点P 有( )个。
2.已知抛物线y=ax 2-2ax-1+a(a>0)与直线x=2,x=3,y=1围成的正方形有公共点,则a 的取值范围是 。
3.如图,抛物线y=
2
1x 2
+bx-2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且A (-1,0),点M (m,0)是x 轴上的一个动点,当MC+MD 的值最小时,m 的值是 24/41 。
4.抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,若△ABC 是直角三角形,则ac= .
5.如图,半径为r1的圆内切于半径为r2的圆,切点为P ,过圆心O1的直线与
⊙O2交于A 、B ,与⊙O1交于C 、D ,已知AC :CD :DB=3:4:2,则2
1
r r = .