第九讲数形结合思想
【中考热点分析】
数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。 【经典考题讲练】
例1.（2015）如图，已知直线3
34
y x =-
+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21
252y x x =-++的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线
3
34
y x =-+于点Q ，则当PQ =BQ 时，a 的值是 ．
例2.（2014•）已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0），B （4，0），抛物线（）过点A 、
B ，顶点为
C ．点P （m ，n ）（n <0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标． （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值围．
（3）若，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （）个单位，点P 、C 移动后对应的点分别记为、，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
解析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
（2）因为AB 为直径，所以当抛物线上的点P 在⊙C 的部时，满足∠APB 为钝角，所以-1＜m ＜0，或3＜m ＜4．
（3）左右平移时，使A ′D+DB ″最短即可，那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″，得到直线P ″C ″的解析式，然后把A 点的坐标代入即可． 答案：(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得: 抛物线解析式为
顶点横坐标,将代入抛物线得
(2)如图,当时,设,
则
过作直线轴,
(注意用整体代入法)
解得
,
当在之间时，
或时，为钝角.
(3)依题意，且
设移动（向右，向左）
连接
则
又的长度不变
四边形周长最小，只需最小即可
将沿轴向右平移5各单位到处
沿轴对称为
∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时
，设过的直线为，代入
∴即
将代入，得：，解得：
∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
例3.（2012）如图，A E切⊙O于点E，A T交⊙O于点M，N，线段O E交A T 于点C，O B⊥A T于点B，已知∠E A T＝30°，，．（1）求∠C O B的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且E F＝5，把△O B C经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在E F的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△O B C的周长之比．
解：(1)∵AE切⊙O于点E，∴OE⊥AE，
∵OB⊥AT，∴在△CAE和△COB中，∠AEC＝∠CBO＝90°，
而∠BCO＝∠ACE，∴∠COB＝∠A＝30°.(3分)
图(1)
(2)在Rt△ACE中，AE＝3，∠A＝30°，
∴EC＝AE·tan30°＝3.
如图(1)，连接OM，
在Rt△MOB中，OM＝R，MB＝＝，
∴OB＝＝.
在Rt△COB中，∠COB＝30°，
∴OC＝.
∵OC＋EC＝R，∴·＋3＝R
整理得R2＋18R－115＝0，即(R＋23)(R－5)＝0，
∴R＝－23(不符合题意，舍去)，或R＝5，∴R＝5.(8分)
(3)在EF的同一侧，满足题意的三角形共有6个，如图(2)(3)(4)，每个图有2个满足题意的三角形．
能找出另一个顶点也在⊙O上的三角形，如图(1)，延长EO交⊙O于D，连接DF，则△DFE 为符合条件的三角形．
图(2) 图(3) 图(4)
由题意得，△DFE∽△OBC.
由(2)得，DE＝2R＝10，OC＝＝2，∴＝＝＝5.(14分)
【解答策略提炼】
解题策略，数形结合思想包含“以形助教”和“以数助形”两个方面，即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判教，用形解决数的问题，常见于借助数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题；二十就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程（组）、面积转换等求解几何问题。
【专项达标训练】
一、填空题
7.如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE=DC,作EF⊥AC于F点，交AD于M点。（1）求证：BC是⊙O的切线。（2）EM=FM.
8.（2015•）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【基础重点轮动】 选择题 1.（-
2
1）-1+（π-3）0+√（-2）2
的值为 （ ） A.-1 B.-3 C.1 D.0 2.要使分式
1
5
-x 有意义，则x 的取值围是 （ ） A.x ≠1 B.x<1 C.x>1 D.x ≠-1
3.对于函数，下列说法错误的是 （ ）
A.它的图象分布在一、三象限
B.它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C.当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大
D.当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小
4.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点是A 、B ，已知∠P=60°，OA=3，那么∠AOB 所对弧的长度为（ ）。
A.6π
B.5π
C.3π
D.2π
5.抛物线y=x 2
+bx+c （a ≠0）图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得的图像解析
式为=x 2
-2x-3，则b ，c 的值为（ ）。
A.b=2，c=2
B.b=2，c=0
C.b=-2，c=-1
D.b=-3，c=2 6.如图，△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D 。下列条件中，不能证明△ABC 是直角三角形的是（ ）
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C ．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D ．两边相等的平行四边形是菱形
8.如图所示，正方形网格中，网格线的交点称为格点。已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则C 点的个数是（ C ）
