竖曲线计算公式及计算方法

竖曲线竖曲线在线路纵断面上，以变坡点为交点，连接两相邻坡段的曲线称为竖曲线。

竖曲线有凸形和凹形两种。

道路纵断面线形常采用直线(又叫直坡段)、竖曲线两种线形，二者是纵断面线形的基本要素。

竖曲线常采用抛物线，因为在设计和计算上，抛物线比圆曲线更方便。

在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点，被称为变坡点。

为了保证行车安全、舒适以及视距的需要，在变坡处设置竖曲线。

竖曲线的主要作用是：缓和纵向变坡处行车动量变化而产生的冲击作用，确保道路纵向行车视距；将竖曲线与平曲线恰当地组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒适感。

竖曲线技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。

凸形的竖曲线的视距条件较差，应选择适当的半径以保证安全行车的需要。

凹形的竖曲线，视距一般能得到保证，但由于在离心力作用下汽车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制离心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。

凹形竖曲线最小半径为100M,凸形竖曲线为300M.拉坡后，坡度差已知，变坡点高程已知，切线上各点和高程也就知道了。

选定竖曲线半径R ，用竖距计算公式求出切线上各点的竖距，切线高程减竖距就是竖曲线高程。

竖距公式如下：h=距离的平方除以两倍的半径.纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。

竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。

在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。

纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。

当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。

一、竖曲线如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i 1 和i 2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i 1-i 2 ，其中i 1、i 2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。

当 i 1- i 2为正值时，则为凸形竖曲线。

当 i 1 - i 2 为负值时，则为凹形竖曲线。

（一）竖曲线基本方程式我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。

竖曲线上高程计算
已知：①第一坡度：i 1(上坡为“＋”，下坡为“－”)
②第二坡度：i 2(上坡为“＋”，下坡为“－”)
③变坡点桩号：S Z
④变坡点高程：H Z
⑤竖曲线的切线长度：T
⑥待求点桩号：S
计算过程：
1、切线上任意点与竖曲线间的竖距h 通过推导可得：
==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-R
l 22= 2、竖曲线曲线长： L = R ω
3.竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =
2ωR
4、竖曲线的外距： E =R
T 22
5. 竖曲线上任意点至相应切线的距离：R
x y 22= 式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；
R —为竖曲线的半径，m 。

竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高，其计算步骤如下：
（1）计算竖曲线的基本要素：竖曲线长：L ；切线长：T ；外距：E 。

（2）计算竖曲线起终点的桩号： 竖曲线起点的桩号 = 变坡点的桩号－T
（3）计算竖曲线上任意点切线标高及改正值：
切线标高 = 变坡点的标高±（x T -）⨯i ；改正值：y=R
x 22 （4）计算竖曲线上任意点设计标高
某桩号在凹形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高 + y 某桩号在凸形竖曲线的设计标高 = 该桩号在切线上的设计标高－ y。

竖曲线：竖曲线是指在线路纵断面上，以变坡点为交点，连接两相邻坡段的曲线。

竖曲线有凸形和凹形两种。

道路纵断面线经常采用直线(又叫直坡段)、竖曲线两种线形，二者是纵断面线形的基本要素。

竖曲线常采用抛物线，因为在设计和计算上，抛物线比圆曲线更方便。

在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点，被称为变坡点。

为了保证行车安全、舒适以及视距的需要，在变坡处设置竖曲线。

竖曲线的主要作用是：缓和纵向变坡处行车动量变化而产生的冲击作用，确保道路纵向行车视距；将竖曲线与平曲线恰当地组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒适感。

竖曲线技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。

凸形的竖曲线的视距条件较差，应选择适当的半径以保证安全行车的需要。

凹形的竖曲线，视距一般能得到保证，但由于在离心力作用下汽车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制离心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。

一般城市干路相邻坡段的坡度小于0.5%或外距小于5cm 时，可以不设置竖曲线。

竖曲线的最小半径与设计速度有关，凹形竖曲线最小半径为100M，凸形竖曲线为100M。

拉坡后，坡度差已知，变坡点高程已知，切线上各点和高程也就知道了。

选定竖曲线半径R，用竖距计算公式求出切线上各点的竖距，切线高程减竖距就是竖曲线高程。

竖距公式如下：h=距离的平方除以两倍的半径高速公路计算在公路纵断面设计过程中，竖曲线设计的本质就是根据纵坡变化的大小、设计车速、行车视距来确定竖曲线的长度。

在满足《公路路线设计规范》(以下简称《规范》)要求且造价增加不大的情况下，适当选择较大的竖曲线对于保证纵坡度的平滑过渡、行车安全，畅通是非常有利的。

就行车舒适、高速运行的角度考虑，要求纵坡小一些为好，但从路面排水的角度考虑，又要求有一定的纵坡。

按照《规范》要求，公路纵坡不宜小于0.3%，横向排水不畅的路段或长路堑路段，采用平坡0%或小于0.3%的纵坡时，其边沟应做纵向排水设计。

竖曲线内任意点纵坡的分析1）竖曲线表达式路线设计中的竖曲线，可采用抛物线形式，也可采用圆曲线形式，但为了简化计算，圆曲线方程最终还是可简化为抛物线方程，因此，竖曲线的方程采用抛物线方程是没有异议的。

竖曲线的计算⼀、设置竖曲线的要求铁路线路所包含的坡度除平坡外，有上坡、下坡。

所谓坡度，即铁路线路的⾼程变化率，⽤千分率表⽰，就是每1000m ⽔平距离⾼程上升或下降的数值，通常⽤符号“+、-、0”依次表⽰上坡、下坡或平坡。

在进⾏纵断⾯设计时，相邻两坡段的交点叫变坡点，两变坡点之间的⽔平距离叫坡段长度。

《铁路线路设计规范》规定：⼯、Ⅱ级铁路相邻坡段坡度的代数差⼤于3％0和Ⅲ级铁路相邻坡段坡度的代数差⼤于4‰时，需⽤竖曲线连接。

竖曲线的形状主要分为圆曲线形和抛物线形两种。

《新建客货共线铁路设计暂⾏规定》规定：纵断⾯宜设计为较长的坡段，相邻坡段的连接宜设计为较⼩的坡度差。

旅客列车设计⾏车速度为200 km／h的路段，最⼩坡段长度不宜⼩于600m，困难条件下最⼩坡段长度不应⼩于400m，且最⼩坡段长度不得连续使⽤2个以上。

旅客列车设计⾏车速度为160km／h的路段，最⼩坡段长度不宜⼩于400m，且最⼩坡段长度不宜连续使⽤2个以上。

竖曲线不得与缓和曲线、相邻竖曲线重叠设置，也不得设在明桥⾯和正线道岔内。

⼆、竖曲线的计算⽅法1.圆曲线形竖曲线计算《铁路线路设计规范》规定：Ⅰ、Ⅱ级铁路竖曲线半径为10000m Tv=5 X △i ，Ⅲ级铁路竖曲线半径为5000m。

Tv=2.5 X △i(1)竖曲线的切线长 Tv=Rv ×tan a/2 = Rv/2 ×tan a= Rv/2000 × △i △i=△i2-△i1 的绝对值Tv－竖曲线的切线长(m)；Rv--竖曲线半径，a----竖曲线转⾓，△i－相邻坡段坡度的代数差(‰)。

(2)竖曲线的曲线长 C≈2T。

(3)竖曲线的纵距竖曲线的纵距即竖曲线上任意点与切线上相邻点的标⾼差，⽤y表⽰，即 y=x2/2Rv式中Y－竖曲线的纵距(m)； x－竖曲线上任意点距竖曲线始点或终点的距离(m)；(4)竖曲线标⾼ H=Hp±y 式中H－竖曲线标⾼(m)； Hp－计算点坡度线标⾼，【例题】某⼀级铁路，有⼀圆曲线形竖曲线(如图3－20所⽰)，竖曲线中点⾥程为K24+400，标⾼为65.7 m，上坡i1=+2‰，下坡i2=-4‰，试计算竖曲线上每20 m点的标⾼。

二、竖曲线的计算方法1.圆曲线形竖曲线计算《铁路线路设计规范》规定：Ⅰ、Ⅱ级铁路竖曲线半径为10000m Tv=5 X △i ，Ⅲ级铁路竖曲线半径为5000m。

Tv=2.5 X △i(1)竖曲线的切线长Tv=Rv ×tan a/2 = Rv/2 ×tan a= Rv/2000 ×△i △i=△i2-△i1 的绝对值Tv－竖曲线的切线长(m)；Rv--竖曲线半径，a----竖曲线转角，△i－相邻坡段坡度的代数差(‰)。

(2)竖曲线的曲线长C≈2T。

(3)竖曲线的纵距竖曲线的纵距即竖曲线上任意点与切线上相邻点的标高差，用y表示，即y=x2/2Rv式中Y－竖曲线的纵距(m)；x－竖曲线上任意点距竖曲线始点或终点的距离(m)；(4)竖曲线标高H=Hp±y 式中H－竖曲线标高(m)；Hp－计算点坡度线标高，【例题】某一级铁路，有一圆曲线形竖曲线(如图3－20所示)，竖曲线中点里程为K24+400，标高为65.7 m，上坡i1=+2‰，下坡i2=-4‰，试计算竖曲线上每20 m点的标高。

【解】①计算△i相邻坡段坡度的代数差(‰) △i1-△i2=2-(-4)=6‰②竖曲线的切线长Tv=5·△i=5×6=30 m③竖曲线的曲线长C≈2Tv=2×30=60m④竖曲线的坡度线标高、纵距、标高计算。

竖曲线的起点计算A=K24+400-30=K24+370竖曲线的终点计算B=K24+400+30=K24+430各点坡度线标高K24+370 Hp =65.7-30×2‰=65.64K24+380 Hp H=65.7-20×2‰=65.66K24+400 Hp =65.7K24+420 Hp =65.7-20×4‰=65.62K24+430 Hp =65.7-30×4‰=65.58纵距计算K24+380 和K24+420 纵距y=10×10/2×10000=0.005K24+400 纵距y=30×30/2×10000=0.045 Y=C×C/8R=60×60/8×10000=0.045 纵距K24+370 和K24+430纵距为0竖曲线标高H(m) H=Hp±y竖曲线标高计算表2.抛物线型竖曲线计算(1)竖曲线的长度c=△i/γ.20(m)式中△i－相邻坡段坡度的代数差(‰)；γ－每20m长度的变坡率(‰)，由表3－17查得。

2.3.1竖曲线计算(Ⅰ)计算竖曲线一：已知起点高程88m ，设变坡点1桩号为K1+500,高程为80m ，%0.5331-=i ,已知变坡点2桩号为K2+650，高程87，%0.6082=i ,竖曲线半径为9000m 。

1. 计算竖曲线要素141.1%)5333.0(%608.012=--=-=i i ω，为凹形。

曲线长：m R L 78.102%141.19000=⨯==ω 切线长：m L T 39.51278.1022=== 外 距：m R T E 146.09000289.51222=⨯== K0+500=80+0.146=80.1462. 计算竖曲线起终点桩号起点桩号8.6144K139.51)500K1(+=-+=起点高程m 234.80%)533.0(39.5180=-⨯-=终点桩号 1.3955K139.51)500K1(+=++=终点高程m 342.80%)608.0(39.5180=⨯+=3. 各桩号的设计高程的计算1. 桩号K1+450横距 X=K1+450－(K1+448.61) =1.39m ，竖距 Y=X 2/2R=1.392/(2×9000)=0.001m则K1+450的切线高程=80+（51.39-1.39)×0.533%=80.233m 设计高程=80.233+0.0001=80.233m .2.桩号K1+550横距 X=K1+551.39－(K1+550）=1.39m竖距 Y=X 2/2R=1.392/(2×9000)=0.001m则K1+550的切线高程=80+(51.30-1.39)×0608%=80.432m 设计高程=80.432+0.001=80.149m（Ⅱ）计算竖曲线二：已知变坡点2桩号为K2+650，高程87，%0.6082=i ,终点桩号为K3+879.852高80.554，%-0.5243=i ,竖曲线半径为12000m 。

竖曲线计算公式竖曲线计算公式是指在数学中用来计算竖曲线的公式，它是由多个变量组成的函数，可以用来表示曲线上的变化情况，并用来计算曲线的特定点的坐标值。

竖曲线计算公式是数学上非常重要的公式，它可以用来解决复杂的竖曲线数学问题，如求解曲线中的极值点、求解曲线的交点以及在曲线上定位特定点的坐标等。

竖曲线计算公式主要包括基本竖曲线计算公式、椭圆形竖曲线计算公式以及抛物形竖曲线计算公式，它们都是数学中用来计算竖曲线的公式。

1、基本竖曲线的计算公式基本竖曲线的计算公式为y=f(x)，它由一元一次方程组成，一般用来描述折线图上的变化状况，可以用来求解折线图上的特定点的坐标值。

2、椭圆形竖曲线计算公式椭圆形竖曲线的计算公式为y=f(x)，它由双曲线方程组成，它可以用来描述椭圆形曲线上变化的状况，可以用来求解椭圆形曲线上的特定点的坐标值。

3、抛物形竖曲线计算公式抛物形竖曲线的计算公式为y=f(x)，它由二次曲线方程组成，它可以用来描述抛物线形曲线上变化的状况，可以用来求解抛物线形曲线上的特定点的坐标值。

在实际的应用中，竖曲线计算公式有着广泛的用途，比如可以应用于物理学、工程学、经济学、社会学等诸多领域，它可以让我们准确无误地得出预测结果，是大量问题解决的重要手段。

竖曲线计算公式在学术研究中也有着重要的作用，诸如数学分析、微分方程等科学技术领域，准确求解曲线上各点的位置关系，是进行准确的数学研究和问题解决的前提条件。

因此，竖曲线计算公式一方面可以在实际应用中起到重要的作用，另一方面，它也有着重要的学术价值，可以帮助我们更好地进行数学研究和问题解决，因此，竖曲线计算公式是数学上非常重要的公式。

总之，竖曲线计算公式是数学中用来计算竖曲线的公式，它有基本的竖曲线计算公式、椭圆形竖曲线计算公式以及抛物形竖曲线计算公式，它在实际应用中有着重要的作用，在学术研究中也有着重要的价值，因此，竖曲线计算公式是数学上非常重要的公式。

竖曲线计算方法
竖曲线计算原则是：先按道路坡度计算某桩号的高程，再根据曲线参数计算该桩号的改正值，一个竖曲线要分四段计算：前坡段的直线段和曲线段,后坡段的曲线段和直线段。

直线计算=变坡点高程加某桩号到变坡点的距离*坡度,曲线部分=变坡点高程加某桩号到变坡点的距离*坡度，再加曲线改正值(Y)，其中Y=X2/(2R)，X是曲线起点到某桩号的距离，R是曲线半
径（见附件）。

本人认为坡度计算应区分正负，正表示上坡，负表示下坡，没有分清正负，还是无法计算竖曲线高程的，不是吗？竖曲线上各点的高程（凸曲线凹曲线统一公式）计算参考下面的公式：
H=竖曲线起点高程h+竖曲线起点到计算点的距离D*i1+SIGN((i2-i1))*D^2/(2R)
注意：1、i1、i2要区分正负，
2、SIGN()函数是取得前后两坡度差的符号，i2-i1为正时，值为1，为负时值为-1.
以上方法仅供参考。

竖曲线计算示意图及说明
复曲线及竖曲线计算示意图及说明
复曲线计算示意图及说明
1、此程序可计算直线、圆曲线、缓和曲线以及由不同半径连接的卵形曲线。

但在起点与终点之间不能有半径变化点。

2、输入坐标时，X与Y之间用“+”号连接，Y后加小写字
母i，里程不应有千米后边的“+”号。

其它按汉语拼音的提示输入。

3、计算点为K，右侧和左侧的点分别为U与V。

右夹角为计
算点切线方向与构筑物轴线右侧前方的夹角，如果计算里程小于起点里程，则线路的左右相反。

3、如果计算点超过终点之外，则终点的数据自动变为起点，
再输入下一段半径和里程可继续进行计算。

竖曲线计算示意图及说明
1、竖曲线只能计算两个变坡点之间的高程。

按上图中所示的汉语拼音提示输入数据。

2、如果计算里程超过终点里程，则终点自动变为起点，然后再按提示输入下一个变坡点的数据，继续进行计算。

纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，称为竖曲线。

在纵坡设计时．由于纵断面上只反映水平距离和竖直高度，因此竖曲线的切线长与弧长是其在水平面上的投影，切线支距是竖直的高程差，相邻两条纵坡线相交角用转坡角表示。

当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线：一、竖曲线要素计算公式如图1-3-6所示，设转坡处相邻两纵坡度分别为i1和i2，转坡角以w表示，则转坡角w为式中符号意义同前。

从以上两种情况的计算公式可知，式(1-3-12)计算结果明显大于式(1-3-10)，因此是凸形竖曲线上满足视距要求的计算公式。

(二)按行程时间求竖曲线最小长度和半径汽车从直坡段驶入竖曲线时，当竖曲线的转坡角很小，即使半径较大，如果其竖曲线长度过短，汽车倏忽而过，冲击力大，旅客会感到不舒适，太短的竖曲线长度从视觉上也会感到线形突然转折。

因此，应限制汽车在竖曲线上的行程时间不宜过短．以此来控制竖曲线的最小长度和半径，即式中：v——计算行车速度，km/h；t——汽车在竖曲线上行程时间，一般取t＝3s。

(三)按径向离心力求坚曲线最小长度和半径汽车在竖曲线上行驶时，产生径向离心力。

这个力在凸形竖曲线上是减少重力．在凹形竖曲线上是增加重力，如果这种离心力达到某种程度时，旅客就会有不舒适的感觉，同时对汽车的悬挂系统也有不利影响。

因此，应对径向离心力加以控制。

汽车在竖曲线上行驶时其径向离心力为式中：F——径向离心力，N；G——汽车的总重力，N；g——重力加速度，m/s2；V—计算行车速度，km/h；v——车速，m/s；R——竖曲线半径，m。

为保证车辆在竖曲线上行驶的安全和舒适，根据试验得知，一般应将F/G控制在0.025以内，则得竖曲线最小半径为：根据汽车在凸形竖曲线上行驶的视距要求，行程时间及径向离心力三种影响因素，分别计算出凸形竖曲线的最小长度和半径，取其中较大者作为确定依据。

各级公路的竖曲线最小长度和半径规定如表l-3-9所示。

竖曲线高程计算公式
竖曲线高程计算公式可以使用以下两个公式之一：
1. 高斯-沙伦公式（Gauss-Chordan Formula）：
H = (L/2) * (tan(A) + tan(B))
其中，
H为竖曲线的高程差（垂直偏移量）；
L为竖曲线的水平长度；
A为起点切线与水平线的夹角；
B为终点切线与水平线的夹角。

2. 巴布松公式（Babson Formula）：
H = (L/2) * (cot(A/2) - cot(B/2))
其中，
H为竖曲线的高程差（垂直偏移量）；
L为竖曲线的水平长度；
A为起点切线与水平线的夹角；
B为终点切线与水平线的夹角。

这些公式用于计算竖曲线的高程差，其中起点和终点的切线与水平线的夹角是关键参数。

使用这些公式可以帮助工程师在设计道路、铁路等工程时进行竖曲线的高程计算。

竖曲线计算公式
一、公路施工中经常见到线路竖向曲线计算标高的问题，采用近似计算方法以外耻距（E）变化量代替标高增减量计算，设和用于半径（R）大于5000m时，误差为0.2mm。

1、凸曲线：H计算=H起坡点+i×△L起坡点至计算点的距离-（1/conα-1）×R
2、凹面线:H计算=H起坡点- i×△L起坡点至计算点的距离+（1/conα-1）×R
二、公路施工中经常见到线路竖向曲线计算标高的问题，采用近似计算方法以外变高差（h）变化量代替标高增减量计算，适合用于半径（R）小于5000m时，误差为0.2mm。

1、凸曲线：H计算=H起坡点+ i×△L起坡点至计算点的距离-(△L起坡点至计算点的距离)2/2R
2、凹面线:H计算=H起坡点- i×△L起坡点至计算点的距离+(△L起坡点至计算点的距离)2/2R
三、计算时考虑是正方计算方向来确定公式变换，如果凹面曲线从坡度终点返算时：坡度值为正值采用2公式时就应为+（- i×△L）。

第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。

可采用抛物线或圆曲线。

一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。

1.二次抛物线基本方程：或ω：坡度差（%）；L：竖曲线长度；R：竖曲线半径2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：二、竖曲线最小半径（三个因素）1.缓和冲击对离心加速度加以控制。

ν(m/s)根据经验，a=0.5~0.7m/s2比较合适。

我国取a=0.278,则Rmin=V2/3.6 或Lmin=V2ω/3.62.行驶时间不过短 3s的行程Lmin=V.t/3.6=V/1.23.满足视距的要求分别对凸凹曲线计算。

(一)凸形竖曲线最小半径和最小长度按视距满足要求计算1.当L<ST时，Lmin = 2ST - 4/ω2.当L≥ST时，ST为停车视距。

以上两个公式，第二个公式计算值大，作为有效控制。

按缓和冲击、时间行程和视距要求（视距为最不利情况）计算各行车速度时的最小半径和最小长度，见表4-13。

表中：（1）一般最小半径为极限最小半径的1.5~2倍；（2）竖曲线最小长度为3s行程的长度。

（二）凹曲线最小半径和长度1.夜间行车前灯照射距离要求：1）L<ST2) L≥STL<ST Lmin = 2ST - 26.92/ω (4-14)L≥STω /26.92 (4-15)3s时间行程为有效控制。

例：设ω＝2%=0.02;则L＝ωＲ竖曲线最小长度Ｌ＝Ｖ/1.2速度Ｖ=120km/h V=40km/h 一般最小半径Ｒ凸17000 700一般最小半径Ｒ凹6000 700 L凸340 14Ｌ凹120 14 例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始高程＝427.68 - 5%*90=423.18m桩号k5+000处：x1=k5+000-k4+940=60m切线高程＝423.18+60*0.05=426.18m h1=x21/2R=602/2*2000=0.90m设计高程＝426.18 - 0.90=425.28m 桩号k5+100处：x２=k5+100-k4+940=160m切线高程＝423.18+160*0.05=431.18m h2=x22/2R=1602/2*2000=6.40m设计高程＝431.18 - 6.40=424.78m第一节平面线形概述一、路线路线指路的中心线；路线在水平面上的投影叫路线的平面；路线设计：确定路线空间位置和各部分几何尺寸的工作；可分为平面设计、纵断面设计、横断面设计。