2014年山东省高考文科数学压轴卷(含解析)

【全国新课标I ·第20题】已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2-8y =0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积 解：（1）设M （x ，y ），由P （2，2）得：PM JJJ G=（x -2，y -2）由x 2+y 2-8y =0得：222(4)4x y +−= ∴圆心C （0，4）连接CM ，则CM JJJ J G=（x ，y -4）∵M 是AB 的中点 ∴CM ⊥AB∴PM CM ⋅JJJ G JJJ J G=0∴(2)(4)(2)0x x y y −+−−= 整理得22(1)(3)2x y −+−=∴M 的轨迹方程为22(1)(3)2x y −+−= （2）易得OP=M （x ，y ）由|OP|=|OM|得：228x y += 联立M 的轨迹方程，解得：22x y =⎧⎨=⎩ 或 25145x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为当M （2，2）时，点P 与点M 重合，不能构成△POM ，故舍去∴M （25−，145） ∴直线l 的斜率为14215325k −==−+∴直线l 的方程为12(2)3y x −=−−即380x y +−=设点O 到直线l 的距离为d ，则5d∵=∴△POM 的面积为：11|MP |22d ⋅⋅=【全国新课标I ·第21题】设函数21()ln 2a f x a x x bx −=+−（a ≠1），曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的斜率为0 （1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得0()1a f x a <−，求a 的取值范围。

解：（1）函数()f x 的定义域为（0，+∞）'()(1)af x a x b x=+−− 由题意得：'(1)(1)10f a a b b =+−−=−= ∴b =1（2）由（1）得：21()ln 2a f x a x x x −=+−则'()(1)1a f x a x x=+−−(1)[(1)]x a x a x−−−=令'()0f x =，由a ≠0得：x =1或1a x a =−① 当a ＞1时，011a a<<−，则当x ＞1时，'()0f x <，()f x 单调递减 ∴1()(1)2a f x f −−<=∵212(1)0212(1)a a a a a −−−+−=<−−∴121a a a −−<−∴()1a f x a <−，满足条件② 当11a a>−，即112a <<时，则当11a x a <<−时，'()0f x <，()f x 单调递减当1a x a>−时，'()0f x >，()f x 单调递增∴2min 2()()ln 112(1)a a a a f x f a a a a −==+−−−令22()ln 12(1)1a a a a g a a a a a −=+−−−−[ln12(1)a aa a a =+−− 设1a m a =−＞1，令()ln 2m h m m =+∵11'()02h m m =+>∴()h m 在m ＞1时单调递增 ∴1()(1)02h m h >=>∴22()ln 012(1)1a a a a g a a a a a −=+−>−−−∴22ln 12(1)1a a a a a a a a −+>−−− 即min ()1a f x a >−故，不存在满足条件的x 0③ 当11a a ≤−，即12a ≤时，则当x ＞1时，'()0f x >，()f x 单调递增 ∴min 1()(1)21a a f x f a −−==<−整理得：2210a a +−<解得：11a −<−综上所述，a 的取值范围为：(11−−∪(1，+∞)1=（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．解：（1）易得，点F 1（-c ，0），点F 2（c ，0） 其中c ，则F 1F 2=2c∵直线MN 的斜率为34∴点M 在第一象限∵MF 2⊥x 轴 ∴点M 坐标为（c ，2b a）∴MF 2=2b a∴2212123tan 24MF b MF F F F ac ∠=== 即22232b ac a c ==− 解得12a c =−（负值舍去）或2a c =∴C 的离心率为12c e a ==（2）∵点O 是F 1F 2的中点，OB ∥MF 2，OB=2∴MF 2=2b a=2OB=4，即24b a = ……①过点N 作NA ⊥x 轴于A ，由|MN|=5|F 1N|得1112121114F A F N F N NA MF F F F M MN F N ====−∵MF 2=4，F 1F 2=2c∴NA=1，F 1A=2c ∴OA=OF 1+F 1A=32c∴点N （32c −，-1）或（32c−，1）代入C 方程得：2229114c a b+=将222c a b =−代入上式得：22291544b a b −= ……②由①②解得：7a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【全国新课标II ·第21题】已知函数32()32f x x x ax =−++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为-2． （1）求a ；（2）证明：当k ＜1时，曲线()y f x =与直线y =kx -2只有一个交点解：（1）∵2'()36f x x x a =−+ ∴'(0)f a =∴曲线()y f x =在点（0，2）处的切线方程为：2y ax −= ∵当y =0时，2x a =−∴22x a =−=−∴a =1（2）由(1)得：32()32f x x x x =−++令32()32(2)g x x x x kx =−++−− 323(1)4x x k x =−+−+∵k ＜1∴1-k ＞0① 当x ≤0时，2'()3610g x x x k =−+−> 则()g x 在（-∞，0]上单调递增 ∵max ()(0)40g x g ==> ∴()g x 在（-∞，0]上只有一个零点∴曲线()y f x =与直线y =kx -2在（-∞，0]上有一个交点② 当x ＞0时，令32()34h x x x =−+ 则()()(1)()g x h x k x h x =+−> ∵2'()363(2)h x x x x x =−=−∴当x ∈（0，2）时，'()0h x <，()h x 单调递减 当x ∈（2，+∞）时，'()0h x >，()h x 单调递增 ∴min ()(2)0h x h == ∴()0g x >∴()g x 在（0，+∞）上没有零点∴曲线()y f x =与直线y =kx -2在（0，+∞）上没有交点综上，当k ＜1时，曲线()y f x =与直线y =kx -2只有一个交点【全国大纲版·第21题】函数32()33f x ax x x =++（a ≠0）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围解：（1）2'()363f x ax x =++令'()0f x =，则2210ax x ++= ∴Δ=4(1)a −① 当a ＞1时，即Δ＜0，则'()0f x > ∴()f x 在R 上单调递增 ② 当a =1时，即Δ=0，则'()0f x ≥ ∴()f x 在R 上单调递增③ 当a ＜1时，即Δ＞0，则2'()210f x ax x =++=有两个不相等的实数根解得：11x a −=或21x a −=当0＜a ＜1时，12x x <则当x ∈（-∞，1x ）∪（2x ，+∞）时，'()f x ＞0，()f x 单调递增；当x ∈（1x ，2x ）时，'()f x ＜0，()f x 单调递减当a ＜0时，12x x >则当x ∈（-∞，2x ）∪（1x ，+∞）时，'()f x ＜0，()f x 单调递减；当x ∈（2x ，1x ）时，'()f x ＞0，()f x 单调递增（2）由（1）的结论知：① 当a ≥1时，()f x 在区间（1，2）是增函数 ② 当0＜a ＜1时，要使()f x 在区间（1，2）是增函＜2，即2450a a +>，显然成立③ 当a ＜0时，要使()f x 在区间（1，2）是增函数，则应有121a ⎧−≥⎪⎪≤，解得504a −≤< 综上所述，a 的取值范围为[54−，0）∪（0，+∞）【全国大纲版·第22题】已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|=54|PQ|． （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程． 解：（1）设点Q 坐标为（m ，4）则|QF|=2pm +，|PQ|=m∵|QF|=54|PQ| ∴524p m m +=，得m =2p 将点Q （2p ，4）代入C 得： 2164p =，解得p =2或-2（舍去） ∴C 的方程为24y x = （2）由(1)得，点F （1，0）设l 的方程为1x ky =+代入C 方程，得2440y ky −−= 则4A B y y k +=，4A B y y =−∴242A B x x k +=+，1A B x x =∴线段AB 的中点D 为（221k +，2k ） 则l ’的方程为2121(2)x k y k k−−=−−∴2123x y k k=−++ 代入C 方程得：2248120y y k k+−−= 则4M N y y k +=−，2812M N y y k =−−∴22446M N x x k k+=++ ，22(23)M N x x k =+ ∴线段MN 的中点E 为（22223k k ++，2k−） ∵A 、M 、B 、N 四点在同一圆上 且MN 垂直平分AB∴MN 是圆的直径，点E 为圆心∴AD 2+DE 2=AE 2，即14AB 2+DE 2=14MN 2 ∵AB 2=22()()A B A B x x y y −+−22()4()4A B A B A B A B x x x x y y y y =+−++− 222(42)41616k k =+−++ 2216(1)k =+同理可得MN 2=222416(1)(21)m m k++ DE 2=22222(2)(2)k k k+++∴224(1)k ++22222(2)(2)k k k+++ =22244(1)(21)m m k ++化简整理得21k =，解得1k =± ∴l 的方程为1x y =+或1x y =−+【北京市·第19题】已知椭圆C ：x 2+2y 2=4。

2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi += (A) 34i - (B) 34i + (C) 43i -(D) 43i + (2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3)函数()f x =(A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是(A) 方程30x ax b ++=没有实根 (B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是(A) 33x y > (B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+ (D) 221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<>(D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m = (A) (B) (C) 0 (D)(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

2014年山东省高考文科数学真题及答案注意事项：１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。

３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

（1）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a +bi -=2，则=+2）（bi a （A ）i 43- （B ）i 43+ （C ）i 34- （D ）i 34+【解析】由i a +bi -=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=- 故答案选A（2）设集合},41{,}02{2≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A（A ）(0,2] （B ） (1,2) （C ） [1,2) （D ）(1,4)【解析】[]4,1)20(==B A ，，，数轴上表示出来得到=B A [1,2) 故答案为C （3）函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（A ）)20(， （B ）]2,0(（C ）),2(+∞ （D ）)2[∞+，【解析】01log 2>-x 故2>x 。

选D（4）用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是（A ）方程02=++b ax x 没有实根 （B ）方程02=++b ax x 至多有一个实根 （C ）方程02=++b ax x 至多有两个实根 （D ）方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【解析】答案选A ，解析略。

2014山东省高考压轴卷文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ． 0 B ． 0 B.1 C.2 D.32. 复数21i z ()i=-，则复数1z +在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ） A ． 8 B ． 7 C ． 6 D ． 55．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ． 4B ． 8C ． 16D ． 206.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x 的值为2014，则输出的i 的结果为（ ）A．3 B．5 C．6 D．87．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A.[6K-1，6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)8．在约束条件121y xy xx y≤⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩下，目标函数12z x y=+的最大值为( )(A) 14(B)34(C)56(D)539. 直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（）A．5 B．6 C．7 D．810. 已知函数f（x）=ln（e x﹣1）（x＞0）（）A．若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＞b B．若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＜bC．若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＞b D．若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＜b二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是[40，50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90) ,[90,100]．则成绩在[80 ,100]上的人数为__________. 12.设函数f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是 ________________.．13. 设数列是公差为1的等差数列，且a 1=2，则数列{lga n }的前9项和为_______________．14. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f（3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是________________． 15.若正数x ，y 满足3x+y=5xy ，则4x+3y 的最小值是__________________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 16.在△ABC 中，已知A=4π，255cos B =． (I)求cosC 的值；(Ⅱ)若BC=25，D 为AB 的中点，求CD 的长．17.如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2． （1）求证：B 1B∥平面D 1AC ；（2）求证：平面D 1AC⊥平面B 1BDD 1．18.某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为整数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题： （Ⅰ）求a b 、的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线312y x =-上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T .20. 给定椭圆C ：，称圆心在坐标原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是．（1）若椭圆C 上一动点M 1满足||+||=4，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P （0，t ）（t ＜0）作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为2，求P 点的坐标.21. 已知函数f （x ）=alnx+1（a ＞0）组号 分组 频数 频率第1组 [)50,60 5 0.05 第2组 [)60,70 a0.35 第3组 [)70,8030 b第4组 [)80,90 200.20第5组 [)100,9010 0.10 合计1001.00（Ⅰ）若a=2，求函数f （x ）在（e ，f （e ））处的切线方程； （Ⅱ）当x ＞0时，求证：f （x ）﹣1≥a.2014山东省高考压轴卷 文科数学参考答案 1. 【答案】C.【解析】由A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}={0，2，4}， 所以A∩B={0，1，2}∩{0，2，4}={0，2}． 所以A∩B 中元素的个数为2． 故选C ．2. 【答案】D.【解析】因为22211()1(1)22i i z i i i i -====----，所以1112z i +=-，所以复数1z +在复平面上对应的点位于第四象限.3. 【答案】A.【解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。

2014高考数学【山东文】一、选择题1．已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=( )A ．34i -B.34i +C.43i -D.43i +2．设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =( )A .(0,2]B.(1,2)C.[1,2)D.(1,4)3．函数()f x =的定义域为( )A .(0,2)B .(0,2]C.(2,)+∞D.[2,)+∞4．用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C. 方程30x ax b ++=至多有两个实根D. 方程30x ax b ++=恰好有两个实根5．已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是( )A. 33x y >B.sin sin x y >C. 22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 6．已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则 下列结论成立的是( )A. 0,1a c >>B.1,01a c ><<C.01,1a c <<>D.01,01a c <<<<7． 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =( )(A)(C) 0(D) 8、为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．6B ．8C ． 12D ．189、对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是（ ）A．()f x =B ．3()f x x =C ．()tan f x x =D ．()cos(1)f x x =+10、已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ） A ．5B ．4CD ．2二、填空题11、执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ；12、函数22cos y x x =+的最小正周期为 ； 13、一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ；14、圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ；15、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 ；三、解答题16、海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（Ｉ）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（II ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos 32a A B A π===+. （Ｉ）求b 的值； （II ）求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，1,,,,2AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==平面∥分别为线段,AD PC 的中点.（Ｉ）求证：AP BEF ∥平面； （II ）求证：BE PAC ⊥平面.19.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .20.（本小题满分13分） 设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）讨论函数()f x 的单调性.A FCDBPE在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线y x =被椭圆C 截得的. （Ｉ）求椭圆C 的方程；（II ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥， 直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点. （i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求OMN ∆面积的最大值.2014山东【文】参考答案一、选择题二、填空题三、解答题 16．【解析】（Ⅰ）因为样本容量与总体中的的个数的比是615015010050=++，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是： 150150⨯=，1150350⨯=，1100250⨯=. 所以，A ,B ,C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2. (Ⅱ)设6件来自A ,B ,C 三个地区的样品分别为：A ;B 1,B 2,B 3;C 1,C 2.则抽取的这两件商品构成的所有基本事件为:{A , B 1},{A , B 2},{A , B 3},{A , C 1},{A , C 2},{ B 1, B 2}, { B 1, B 3}, { B 1, C 1}, { B 1, C 2}, { B 2, B 3}, { B 2, C 1},{ B 2, C 2},{ B 3, C 1},{ B 3, C 2},{ C 1, C 2},共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现是等可能的. 记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”， 则事件D 包含的基本事件有:{ B 1, B 2}, { B 1, B 3},{ B 2, B 3},{ C 1, C 2},共4个.所以P (D )＝415,即这2件商品来自同一地区的概率是415. 17．【解析】(Ⅰ)在△ABC 中，由题意知sin A =， 又因为 B ＝A ＋2π,所以sin sin()cos 2B A A π=+==由正弦定理可得3sin sin a B b A === (Ⅱ)由B ＝A ＋2π得cos cos()sin 2B A A π=+=-= 由,A B C ++=π得(A B).C =π-+所以sin sin[(A B)]sin(A B)C =π-+=+ sin cos cos sin A B A B =+(=+ 1.3= 因此，△ABC的面积111sin 3223S ab C ==⨯⨯=18．【解析】（Ⅰ）设,ACBE O =连接,.OF EC 由于E 为AD 的中点，1,2AB BC AD AD ==//,BC 所以AE //,BC ,AE AB BC ==因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点. 又F 为PC 的中点，因此在PAC ∆中，可得AP //OF .又 OF ⊂平面,BEF AP ⊄平面,BEF 所以AP //平面.BEF（Ⅱ）由题意知，ED //,BC .ED BC = 所以四边形BCDE 为平行四边形，因此BE //.CD（第18题）A又AP ⊥平面PCD ，所以,AP CD ⊥因此.AP BE ⊥ 因为四边形ABCE 为菱形，所以.BE AC ⊥ 又,,AP AC A AP AC =⊂平面,PAC 所以BE ⊥平面.PAC19.【解析】（I ）由题意知()2111(3)a d a a d +=+，即()21112(6)a a a +=+，解得12a = 所以，数列{an}的通项公式为2n a n =（Ⅱ）由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+所以，122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+因为，12(1)n n b b n +-=+，可得，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+48122(42)22(2)2nnn n n =+++++=+=当n 为奇数时，1()n n T T n -=+-2(1)(1)(1)2(1)2n n n n n -+=-++=所以，n T =2(1)2(2)2n n n n n ⎧+-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数20.【解析】（1）由题意知 0a =时，1(x),(0,)1x f x x -=∈+∞+.此时'22(x)(x 1)f =+可得'1(1),(1)02f f ==，所以 (x)y f = 在 (1,(1))f 处的切线方程为x 2y 10--=（2） 函数 (x)f 的定义域为(0,)+∞.2'222(2a 2)a(x)(x 1)(x 1)a ax f x x +++=+=++当'0,(x)0a f ≥≥ ，函数(x)f 在(0,)+∞上单调递增； 当a 0<时，令2(x)ax (2a 2)x a g =+++， 由于22(2a 2)44(2a 1)a ∆=+-=+，①当12a =-时，0∆=， 2'21(x 1)2(x)0(x 1)f x --=≤+，函数(x)f 在(0,)+∞上单调递减； ②12a <-时，0∆<，(x)0g <，'(x)0f <，函数(x)f 在(0,)+∞上单调递减； ③当102a -<<时，0∆>设 1x 2x 12()x x <是函数(x)g 的两个零点则1(1)a x a -+=，2(1)a x a -+-=由10x ==>所以 1x (0,x )∈时，(x)0g <，'(x)0f <，函数(x)f 单调递减12x (,x )x ∈ 时， (x)0g >，'(x)0f >函数(x)f 单调递增2x (,)x ∈+∞时，(x)0g <，'(x)0f <函数(x)f 单调递减 综合可得：当0a ≥时，函数()f x 在(,)o +∞上单调递增加； 当12a ≤-时，函数()f x 在(,)o +∞上单调递减；当102a -<<时， ()f x 在∞)上单调递减，在（(1)a a -+(1)a a-+）上单调递增.21.【解析】（I224a b =，椭圆C 的方程可化简为2224x y a -=将y x =代入可得x =⨯，可得2a =. 因此1b =,所以椭圆C 的方程式为2214x y += （II ）（i ）设A （1x ，1y ）（1x 1y ≠0），D(2x ，2y )，则B(-2x ，-2y ),因为直线AB 的斜率AB k =11y x ，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率K=-11yx 设直线AD 的方程为y=kx+m ，由题意知k ≠0，m ≠0由2214x my y kx ⎧⎪⎨+==+⎪⎩ 可得（1+42k ）2x +8mkx+42m -4=0 所以1x +1y =-2814mkk +，因此1y +2y =k(1x +2x )+2m=2214mk +，所以12,112y y k x x +=+=-14k =114y x 所以，直线BD 的方程为1111(x x )4y y y x +=+. 令y=0,得x=31x ,即M(31x ,0).可得121k 2y x =-，所以，1212k k =-，即λ=12-因此，存在常数λ=12-使得结论成立. （2）直线BD 的方程1111x+x 4y y y x +=（），令x=0,得y=34-，即N(0，234y -) 由（1）知，M(31x ,0)，可得△OMN 的面积S=12⨯311113948x y x y ⨯=因为11x y ≤221114x y +=，当且仅当112x y ==时等号成立， 此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =I(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3) 函数2()log 1f x x =-的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是 (A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==r r . 若向量,a b r r 的夹角为6π，则实数m =(A) 23(B) 3(C) 0(D) 3-(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

2014年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题每小题5分，共50分1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值．解答：解：∵a+i=2﹣bi，∴a=2、b=﹣1，则（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题．2．（5分）（2014•山东）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2）C．[1，2）D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可．解答：解：A={x|0＜x＜2}，B={x|1≤x≤4}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．点评：本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题．3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：分析可知，，解出x即可．解答：解：由题意可得，，解得，即x＞2．∴所求定义域为（2，+∞）．故选：C．点评：本题是对基本计算的考查，注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时，被开方数要大于等于0”，及“分母不为0”，即可确定所有条件．高考中对定义域的考查，大多属于容易题．4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根考点：反证法与放缩法．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用命题的否定写出假设即可．解答：解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．s inx＞sinyC．l n（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．解答：解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6．（5分）（2014•山东）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的图象和性质即可得到结论．解答：解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）（2014•山东）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2B．C．0D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．8．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6B．8C．12 D．18考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；解答：解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．点评：本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．9．（5分）（2014•山东）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可．解答：解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．故选：D．点评：本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查．10．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5B．4C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．二.填空题每小题5分，共25分11．（5分）（2014•山东）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．解答：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．12．（5分）（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．13．（5分）（2014•山东）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．解答：解：∵一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，∴h=1，棱锥的斜高为：==2，该六棱锥的侧面积为：=12．故答案为：12．点评：本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题．14．（5分）（2014•山东）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．15．（5分）（2014•山东）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x．解答：解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，F，∵|FA|=c，∴抛物线的准线方程为由得，，c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x．点评：熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．三.解答题共6小题，共75分16．（12分）（2014•山东）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 150 100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．17．（12分）（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．18．（12分）（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；（Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC．解答：证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF，∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键19．（12分）（2014•山东）在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a，记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得b n=a=n（n+1），因此T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）．对n分奇偶讨论即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵a2是a1与a4的等比中项，∴，∵在等差数列{a n}中，公差d=2，∴，即，化为，解得a1=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n．（Ⅱ）∵b n=a=n（n+1），∴T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）．当n=2k（k∈N*）时，b2k﹣b2k﹣1=2k（2k+1）﹣（2k﹣1）（2k﹣1+1）=4kT n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣b2k﹣1）=4（1+2+…+k）=4×=2k（k+1）=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣2﹣b2k﹣3）﹣b2k﹣1=n（n+1）=﹣．故T n=．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题．20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），代入计算即可．（Ⅱ）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣＜a＜0，a≤﹣三种情况分别讨论即可．解答：解：，（Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）．（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a ＞0，令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0．以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程．①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0，∴g（x）=0的两根均大于零，计算得当＜x＜时，g（x）＞0；当0＜x＜或x＞时，g（x）＜0．综合（1）（2）可知，当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣＜a＜0时，f（x）在（，）上单调递增，在（0，），（，+∞）上单调递减；当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．点评：导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法．21．（14分）（2014•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C 上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，则a2=4b2．∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2．将y=x代入可得，因此，解得a=2．则b=1．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）．∵直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率．设AD方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴．因此．由题意可得．∴直线BD的方程为．令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．可得．∴，即．因此存在常数使得结论成立．（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）．由（i）知M（3x1，0），可得△OMN的面积为S==．当且仅当时等号成立．∴△OMN面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．。

2014年山东高考数学文科试卷解析一．选择题： （1） 【解析】由ia +bi-=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=-故答案选A （2）【解析】[]4,1)20(==B A ，，，数轴上表示出来得到=B A [1,2) 故答案为C （3）【解析】01log 2>-x 故2>x 。

选D （4）【解析】答案选A ，解析略。

（5）【解析】由)10(<<<a a a y x 得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D 排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。

（6） 【解析】由图象单调递减的性质可得01a <<，向左平移小于1个单位，故01c <<答案选C （7）【解析】：()22333cos ,29233393a b m a b a b a b m m m m ⋅=+⋅==+⋅∴+=⋅+∴=r rr r r r r r答案：B （8）【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4200.450÷=500.361818612⨯=-=答案：C （9）【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。

答案：D （10）【解析】：10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。

答案： B二．填空题：11【解析】：根据判断条件0342≤+-x x ，得31≤≤x ，输入1=x第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x 第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x 第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x 第四次判断不满足条件，退出循环，输出3=n 答案：3 12【解析】：233111sin 2cos sin 2cos 2sin 2222262y x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴==. 答案：T π=13【解析】：设六棱锥的高为h ，斜高为h '，则由体积1122sin 6062332V h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭得：1h =，()2232h h '=+=∴ 侧面积为126122h '⨯⨯⨯=.答案：12 14【解析】 设圆心(),02a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，半径为a . 由勾股定理()22232a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：2a =∴圆心为()2,1，半径为2， ∴圆C 的标准方程为()()22214x y -+-= 答案：()()22214x y -+-=15【解析】 由题意知222Pc a b =-=， 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,2P c ⎛⎫⎪⎝⎭，即(),c b -代入双曲线方程为22221c ba b-=，得222c a=，∴渐近线方程为yx =±，2211b c a a∴=-=.答案：1 三．解答题 （16） 【解析】：（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：::50:150:1001:3:2A B C ==所以各地区抽取商品数为：1:616A ⨯=，3:636B ⨯=，2:626C ⨯=；（Ⅱ）设各地区商品分别为：12312,,,,,A B B B C C时间空间Ω为：()()()()()()()123121213,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C A C B B B B()()()()()()()()1112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,B C B C B B B C B C B C B C C C ，共15个.样本时间空间为：()()()()12132312,,,,,,,B B B B B B C C 所以这两件商品来自同一地区的概率为：()415P A = （17） 【解析】：（Ⅰ）由题意知：23sin 1cos 3A A =-=， 6sin sin sin cos cos sin cos 2223B A A A A πππ⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭，由正弦定理得：sin 32sin sin sin a b a Bb A B A⋅=⇒== （Ⅱ）由余弦定理得：2222126cos 43903,33,23b c a A c c c c bc +-==⇒-+=⇒== 又因为2B A π=+为钝角，所以b c >，即3c =，所以132sin .22ABCS ac B == （18）【解析】：（Ⅰ）连接AC 交BE 于点O ，连接OF ，不妨设AB=BC=1,则AD=2,//,BC AD BC AB = ∴四边形ABCE 为菱形AP OF PC AC F O //,,∴中点，分别为又BEF AP BEF OF 平面，平面//∴⊂ （Ⅱ）CD AP PCD CD PCD AP ⊥∴⊂⊥,平面，平面CD BE BCDE ED BC ED BC //,,//∴∴=为平行四边形， ,PA BE ⊥∴AC BE ABCE ⊥∴为菱形，又PAC AC PA A AC PA 平面、又⊂=⋂, ,PAC BE 平面⊥∴（19）【解析】： （Ⅰ）由题意知：{}n a 为等差数列，设()d n a a n 11-+=，2a 为1a 与4a 的等比中项4122a a a ⨯=∴且01≠a ，即()()d a a d a 31121+=+， 2=d 解得：21=an n a n 22)1(2=⨯-+=∴（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：n a n 2=，)1(2)1(+==+n n a b n n n①当n 为偶数时：()()()()()()()()[]()()222222642222624221153431214332212nn n n n n n n n n n T n +=+⨯=++++⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=++--+++-++-=+++⨯-⨯+⨯-=②当n 为奇数时：()()()()()()()()[]()()()()[]()()()212122112211642212126242212153431214332212++-=----+⨯=+--++++⨯=+-⨯-++⨯+⨯+⨯=+-+---+++-++-=+-+⨯-⨯+⨯-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T n综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=为偶数为奇数，n n n n n n T n ,2221222 (20)【解析】(1)0a =当时212(),()1(1)x f x f x x x -'==++ 221(1)(11)2f '==+ (1)0(1,0)f =∴又直线过点1122y x ∴=- (2) 22()(0)(1)af x x x x '=+>+ 220()0.()(1)a f x f x x '==+①当时，恒大于在定义域上单调递增. 2222(1)20()=0.()(1)(1)a a x x a f x f x x x x x ++'>=+>++②当时，在定义域上单调递增.2210(22)4840,.2a a a a a <∆=+-=+≤≤-③当时，即()f x 开口向下，在定义域上单调递减。

2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案新东方在线举国瞩目的2014高考数学科目的考试已结束，新东方在线高考名师团队第一时间对2014高考数学真题进行了解析，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。

以下是济南新东方高考名师团队老师提供的2014高考山东卷文科数学真题及参考答案，供广大考生参考。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

（1）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a +bi -=2，则=+2）（bi a （A ）i 43-（B ）i 43+（C ）i 34-（D ）i 34+【解析】由i a +bi -=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=- 故答案选A（2）设集合},41{,}02{2≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A （A ）(0,2]（B ） (1,2)（C ） [1,2)（D ）(1,4)【解析】[]4,1)20(==B A ，，，数轴上表示出来得到=B A [1,2) 故答案为C （3）函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（A ）)20(， （B ）]2,0(（C ）),2(+∞（D ）)2[∞+，【解析】01log 2>-x 故2>x 。

选D（4）用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是（A ）方程02=++b ax x 没有实根 （B ）方程02=++b ax x 至多有一个实根 （C ）方程02=++b ax x 至多有两个实根 （D ）方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【解析】答案选A ，解析略。

（5）已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx ，则下列关系式恒成龙的是（A ）33y x >（B ）y x sin sin >（C ）)1ln()1ln(22+>+y x（D ）111122+>+y x 【解析】由)10(<<<a a a yx得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。

2014-山东-高考数学（文）-试卷一.选择题1.已知a ，b R ∈，i 是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=（ ）A.34i -B.34i +C.43i -D.43i +【答案】A 【解析】先依据两复数相等的充要条件确定出a ，b 的值，再进行复数的平方运算.由i a +bi -=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=-. 【知识点】复数相等的条件;复数的四则运算2.设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =（ ）A.(0,2]B.(1,2)C.[1,2)D.(1,4)【答案】C 【解析】先将集合化简，再求交集.2{|20}{|(2)0}(02)A x x x x x x =-<=-<=，，{|14}[14]B x x =≤≤=，，[12)A B ∴=，. 【知识点】一元二次不等式;集合的基本运算3.函数()f x =的定义域为（ ）A.(0,2)B.(0,2]C.(2,)+∞D.[2,)+∞【答案】C 【解析】求函数的定义域时要保证函数解析式有意义.要使函数有意义，2log 100x x ->⎧⎨>⎩，，故2>x .【知识点】函数的定义域与值域;对数函数的概念、图像和性质;对数不等式4.用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根【答案】A 【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也灭有，直接写出命题的否定. 方程30x ax b ++=至少有一个实根的反面是方程30x ax b ++=没有实根，故选A. 【知识点】命题及其关系;反证法5.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 【答案】A 【解析】先依据指数函数的性质确定x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.,01x y a a a <<<Q ，x y ∴>.排除C ，D ，对于B ，sin x 是周期函数，排除B. 函数3=y x 在R 上是增函数，故选A.【知识点】基本初等函数的性质;不等式性质6.已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（ ） A.0,1a c >>B.1,01a c ><<C.01,1a c <<> D .01,01a c <<<<【答案】D 【解析】依据对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换求解.由图象单调递减的性质可得01a <<，向左平移小于1个单位，故01c << 【知识点】对数函数的概念、图像及其性质;函数的图像变换7.已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =（ ）A.C.0D.【答案】B 【解析】依据向量数量积的定义和坐标运算列出关于m 的方程.3a b ⋅=r r Q ，又()||||cos ,2a b a b a b ⋅===r r r r r r3∴m ∴【知识点】平面向量的数量积;平面向量的坐标运算8.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ） 的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一 组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组 共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A.6B.8C.12D.18【答案】C 【解析】一局频率分布直方图及频率公式求解.第一组与第二组频率之和为0.240.160.4+=，所以志愿者的总人数为200.450÷=，所以第三组人数为500.3618⨯=，有疗效的人数为18612-=.【知识点】用样本估计总体9.对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则 称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）A.()f x =B.3()f x x =C.()tan f x x =D.()cos(1)f x x =+【答案】D 【解析】在正确理解新定义的基础上对所给选项作出判断.由()(2)f x f a x =-知()f x 的图像关于x a =对称，且0a ≠，A ，C 中两函数图像无对称轴，B 中函数图像的对称轴只有0x =，而D 中当1()a k k Z π=-∈时，x a =都是()cos(1)f x x =+的 图像的对称轴. 【知识点】函数新定义10.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）A.5B.4D.2【答案】B 【解析】先正确作出可行域，运用平移直线法确定出关于a ，b 的不等式，再进一步求出22a b +的最小值.线性约束条件所表示的可行域如图所示.由10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，，解得21x y =⎧⎨=⎩，，所以z ax by =+在(21)A ，处取得最小值，故2a b +=222222)4)44a b a a +=+=-+≥. 【知识点】线性规划;函数的极值和最值二.填空题11.执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 . 【答案】3 【解析】按照程序框图逐一进行.根据判断条件0342≤+-x x ，得31≤≤x ，输入1=x第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x ； 第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x ；第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x ； 第四次判断不满足条件，退出循环，输出3=n . 【知识点】算法的概念;基本算法语句12.函数22cos y x x =+的最小正周期为 . 【答案】π 【解析】先将函数化为sin()y A x ωϕ=+的形式，再依据周期公式进行求解.23111sin 2cos 2cos 2sin 22262y x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数的最小正周期22T ππ==. 【知识点】三角恒等变换;三角函数的周期性13.一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积 为 . 【答案】12 【解析】利用体积公式求出正六棱锥的高，再利用截面图确定正六棱锥斜高，最后求侧面积. 设六棱锥的高为h ，斜高为h '，则由体积1122sin 60632V h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭1h =，2h '==∴ 侧面积为126122h '⨯⨯⨯=.【知识点】空间几何体的表面积和体积14.圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦长为C 的 标准方程为 . 【答案】22(2)(1)4x y -+-= 【解析】设出圆心坐标，由弦长公式求解.设圆心(),02a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，半径为a .由弦长公式2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：2a =∴圆心为()2,1，半径为2， ∴圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=【知识点】圆的方程;直线与圆的位置关系;弦长公式15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线 为 . 【答案】y x =± 【解析】依据题意得到关于a ，b 的等式，进而得出双曲线的渐近线方程. 抛物线的准线2p y =-，焦点(0)2p F ，，222()2p a c ∴+=. ① 设抛物线的准线2p y =-交双曲线于1()2p M x -，，2()2p N x -，两点，222221p y x y a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，，22c ∴=. ② 又222b c a =-，③ ∴由①②③，得222c a =. 222211b c a a∴=-=，解得1b a =.∴双曲线的渐近线方程为y x =±【知识点】双曲线的定义及其标准方程;双曲线的几何性质;抛物线的定义及其标准方程;抛物线的几何性质三.解答题16.海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（1）求这6件样品中来自A （2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【答案】（1）A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2；（2）415【解析】（1）按照分层抽样中抽样比与每层抽出的数量成比例求解. 因为样本容量与总体中的个体数的比时615015010050=++，所以，样本中包含三个地区的个体数量分别是：111501,1503,1002505050⨯=⨯=⨯=. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2. （2）列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解. 设6件来自A,B,C 三个地区的样品分别为12312;,,;,A B B B C C .则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：12312{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A C A C1213111223{,},{,},{,},{,},{,}B B B B B C B C B B ，2122313212{,},{,},{,},{,},{,}B C B C B C B C C C 共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现时等可能的. 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同的地区”，则事件D 包含的基本事件由12132312{,},{,},{,},{,}B B B B B B C C 共4个.所以4()15P D =，即这2件商品来自相同地区的概率为415. 【知识点】分层抽样;古典概型17.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c . 已知3,cos 2a A B A π===+. （1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）（2）2【解析】（1）先求出的sin A ，sin B 的值，再用正弦定理求解. 在ABC ∆中，由题意知sin A ==，又因为2B A π=+，所以sin sin()cos 2B A A π=+==由正弦定理可得3sin sin a B b A ===. （2）先用三角函数的诱导公式、两角和公式求出sin C ，再代入三角形面积公式即可求得面积. 由2B A π=+得cos cos()sin 23B A A π=+=-=-. 由A B C π++=，得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(=+13=. 因此ABC ∆的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=. 【知识点】正弦定理;诱导公式;三角恒等变换;解三角形18.如图，四棱锥P ABCD -中，1,,,,2AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==平面∥分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：AP BEF ∥平面； （2）求证：BE PAC ⊥平面. 【答案】见解析 【解析】证明（1）在平面中连接OF ，依据线面平行的判定定理只需证明//AP OF 即可. 设ACBE O =，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==， 因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点，因此在PAC ∆中，可得//AP OF .又OF BEF AP BEF ⊂⊄平面，平面 所以//AP BEF 平面.（2）依据线面垂直的判定定理，只需证明BE 垂直于平面PAC 内的两条相交直线即可.由题意知//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形，因此//BE CD .又AP PCD ⊥平面，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥.因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥. 又APAC A =，且AP ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC .【知识点】线面位置关系;线面平行的判定和性质;线面垂直的判定和性质19.在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .【答案】（1）2n a n =；（2）2(1),2(1),2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数 【解析】（1）根据条件建立首项1a 的方程求解.由题意知2111(3)a d a a d +=+（），即21112(6)a a a +=+（），解得12a =.所以，数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）分n 为奇数和偶数进行讨论，求出数列{}n b 的前n 项和n T .由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+，所以122334...(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+.因为12(1)n n b b n +-=+，可得， 当n 为偶数时，12141()()...()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+4812...2n =++++(42)22nn +=(2)2n n +=. 当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-. 所以2(1),2(1),2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数 【知识点】等差数列的概念和性质;等差数列的通项公式;等差数列的前n 项和公式;等比数列的概念和性质;等比数列的通项公式;等比数列的前n 项和公式;数列求和方法.20.设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （1）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）210x y --=；（2）见解析 【解析】（1）利用导数求出曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率，再用点斜式求出切线方程. 由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+. 此时22()(1)f x x '=+，可得1(1)2f '=，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=.（2）对()f x 的导函数中的字母参数进行分类讨论，确定出导函数的符号，从而得出函数()f x 的单调性.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++. 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，①当12a =-时，0∆=，221(1)2()0(1)x f x x x --'=≤+，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ②当12a <-时，0,()0g x ∆<<， ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ③当102a -<<时，0∆>. 设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则12x x ==由11a x a +=-0a=>-，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.综上可得：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a <-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，函数()f x 在)+∞上单调递减，在上单调递增. 【知识点】导数的概念与几何意义;导数计算;利用导数研究函数的单调性21.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线y x =被椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.（Ⅰ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； （Ⅱ）求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）（Ⅰ）12λ=-；（Ⅱ）98 【解析】（1）由椭圆的离心率得出a ，c 的关系，结合y x =被椭圆C 截得的线段长确定a ，b 的值.由题意知2a =，可得224ab =.椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=.将y x =代入可得x ==2a =，因此1b =. 所以，椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）（Ⅰ）设出A ，B ，D 三点坐标，进而确定出直线BD ，AM 的斜率，代入表达式即可证明.设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，因为直线AB 的斜率11AB y k x =，又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-. 设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠ 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mk x x k +=-+，因此121222()214m y y k x x m k +=++=+. 由题意知12x x ≠，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+. 所以，直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+. 令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x ，可得1212y k x =-，所以1212k k =-，即12λ=-. 因此，存在常数12λ=-使得结论成立. （Ⅱ）求出含参数的OMN ∆的面积的表达式，应用均值不等式求最小值. 直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -. 由（Ⅰ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393||||||||248S x y x y =⨯⨯=. 因为221111||||14x x y y ≤+=当且仅当11||||22x y ==时等号成立，此时S 取得最大值98， 所以OMN ∆面积的最大值为98. 【知识点】椭圆的定义及标准方程;椭圆的几何性质;直线与圆锥曲线的位置关系;均值不等式。

2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案新东方在线举国瞩目的2014高考数学科目的考试已结束，新东方在线高考名师团队第一时间对2014高考数学真题进行了解析，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。

以下是济南新东方高考名师团队老师提供的2014高考山东卷文科数学真题及参考答案，供广大考生参考。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

（1）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a +bi -=2，则=+2）（bi a （A ）i 43-（B ）i 43+（C ）i 34-（D ）i 34+【解析】由i a +bi -=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=- 故答案选A（2）设集合},41{,}02{2≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A （A ）(0,2]（B ） (1,2)（C ） [1,2)（D ）(1,4)【解析】[]4,1)20(==B A ，，，数轴上表示出来得到=B A [1,2) 故答案为C （3）函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（A ）)20(， （B ）]2,0(（C ）),2(+∞（D ）)2[∞+，【解析】01log 2>-x 故2>x 。

选D（4）用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是（A ）方程02=++b ax x 没有实根 （B ）方程02=++b ax x 至多有一个实根 （C ）方程02=++b ax x 至多有两个实根 （D ）方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【解析】答案选A ，解析略。

（5）已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx ，则下列关系式恒成龙的是（A ）33y x >（B ）y x sin sin >（C ）)1ln()1ln(22+>+y x（D ）111122+>+y x 【解析】由)10(<<<a a a yx 得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。

2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

（1）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a +bi -=2，则=+2）（bi a （A ）i 43- （B ）i 43+ （C ）i 34- （D ）i 34+【解析】由i a +bi -=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=- 故答案选A（2）设集合},41{,}02{2≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A（A ）(0,2] （B ） (1,2) （C ） [1,2) （D ）(1,4)【解析】[]4,1)20(==B A ，，，数轴上表示出来得到=B A [1,2) 故答案为C （3）函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（A ）)20(， （B ）]2,0(（C ）),2(+∞（D ）)2[∞+，【解析】01log 2>-x 故2>x 。

选D（4）用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是（A ）方程02=++b ax x 没有实根 （B ）方程02=++b ax x 至多有一个实根 （C ）方程02=++b ax x 至多有两个实根 （D ）方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【解析】答案选A ，解析略。

（5）已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx ，则下列关系式恒成龙的是 （A ）33y x >（B ）y x sin sin > （C ）)1ln()1ln(22+>+y x（D ）111122+>+y x 【解析】由)10(<<<a a a yx 得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3)函数()f x =的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<， 则下列关系式恒成立的是(A) 33x y >(B) sin sin x y > (C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >> (B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<>(D) 01,01a c <<<<(7)已知向量(3,)a b m == . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A)(C) 0(D) (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi += (A) 34i - (B) 34i + (C) 43i - (D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4) (3) 函数21()log 1f x x =-的定义域为(A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是(A) 方程30x ax b ++=没有实根 (B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是(A) 33x y > (B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+ (D) 221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m == . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A) 23 (B) 3 (C) 0 (D) 3-(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。