六年级上册第18讲 数的整除特征 1讲义

数的整除特征（一）新课引入：数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。

常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。

（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

如312。

新课讲授：例1．在能被2,3,5整除。

能被2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，里填能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。

小学六年级数学必须掌握的知识点数的整除与分解质因数数学是小学生们学习的一门基础学科，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

尤其是在小学六年级，数学的难度和复杂性逐渐增加，需要学生掌握更多的知识点。

其中，数的整除和分解质因数是数学学习的重要内容。

本文将详细介绍小学六年级数学必须掌握的数的整除与分解质因数的知识点。

一、数的整除1. 定义与性质在数学中，如果一个数能够被另一个数整除，我们称前者为后者的倍数，后者为前者的约数。

例如，6能够被2整除，所以6是2的倍数，而2是6的约数。

任何一个数都是其本身的约数和倍数。

一个数的约数不会超过它自身的一半，即一个数的最大约数不会超过其本身的一半。

如果一个数同时是两个数的约数，则它也是这两个数的公约数。

2. 判断一个数是否能够被另一个数整除的方法如果一个数能够被2整除，那么这个数的个位数必定是偶数。

如果一个数能够被10整除，那么这个数的个位数是0。

3. 最大公约数与最小公倍数最大公约数是指两个或多个数共有的约数中最大的一个数。

最小公倍数是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。

二、分解质因数1. 定义与性质素数是只能被1和自身整除的数，大于1的素数只有2、3、5、7、11、13等。

合数是能够被除了1和自身之外的其他数整除的数。

例如，6是合数，因为它能够被2和3整除。

2. 求一个数的质因数将一个数分解成几个质数的乘积，称为分解质因数。

例如，分解质因数的步骤如下：（1）从最小的素数2开始，如果这个数能够被2整除，则将其除以2，得到一个商和一个余数。

（2）如果商不为1，则继续将商进行分解，直到商为1为止。

最终得到的全部因数即为这个数的质因数。

3. 使用分解质因数的方法求最大公约数和最小公倍数通过分解质因数的方法，可以方便地求两个或多个数的最大公约数和最小公倍数。

例如，求最大公约数的步骤如下：（1）将两个数分别分解质因数。

（2）找出这两个数分解质因数中相同的质因数，并将这些质因数相乘，得到的积即为最大公约数。

数的整除知识点数的整除问题，容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的容之一。

数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

第一讲整除特征（1）[知识要点]数的整除特征：（1）末位数字是偶数的能被2整除；末位数字是0或5的能被5整除；末两位是4或25的倍数的能被4或25整除；末三位是8或125的倍数的能被8或125整除。

（2）各位数字之和能被3或9整除的数能被3或9整除。

（3）如果一个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

（4）一个数分成两个数：末三位为一个数，其余各位为一个数，如果这两个数之差能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。

例1、（1）六位数43256□能被4整除，□里应当填几？（2）33690□中，□内填上几，这个数能被25整除？（3）125745□中，□中填上几，这个数能被8整除？例2、在□内填上适当的数，使得下列五位数能被9整除1849□716□2 3□757例3、用1，2，3，4，5，6这六个数中的四个组成一个四位数，它是4的倍数且最大是多少？最小是多少？例4、六位数23□56□是8的倍数，也是9的倍数，这个数是几？例5、小明的生日是2月29日，他2010年能否过生日？例6、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.例7、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？例8、试找出这样的最小自然数,它可被11整除,且它的各位数字之和等于13.练习:1．四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2．已知四位数7**1能被9整除，*代表相同的数，问*代表几？3．□32347中，□内填上几能被9整除？4．在□内填上适当的数，使得下列五位数能被9整除，并且后两位数字能被7整除，求出所有的可能情况。

□81□4 32□3□5．能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.6．能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.7．1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.8．所有能被3整除的两位数的和是______.第二讲整除性质例题分析：例1，（1）试判断123453与2376能否被11整除，由此125829能否被11整除。

数的整除特征（一）（一）阅读思考1. 整除的意义：整数除以整数商是整数而没有余数，那么a就能被b整除。

记作b|a。

如果数a不能被数b整除，记作。

2. 数的整除特征：有时候，我们判断一个整数能不能被另一个整数整除，不需要通过除法演算来验证，而可以通过某些规律来判断，这些规律叫做“数的整除特征”。

下面就给同学们介绍一下：（1）个位是0，2，4，6，8的整数能被2整除。

例如：102，584，316976（2）个位是0或5的整数能被5整除。

例如：15，31560（3）各个数位上数字的和能被3或9整除的整数能被3或9整除。

例如：21能被3整除；36能被9整除。

能被9整除的数一定能被3整除。

（4）末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。

例如：912能被4整除。

3175能被25整除；500既能被4整除又能被25整除。

（5）末尾三位数是8或125的倍数的整数，能被8或125整除。

例如：1008能被8整除。

1125能被125整除。

41000既能被8整除，又能被125整除。

（如果一个数既能被8整除，又能被125整除，这个数一定是整千数。

）（6）如果一个数奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差是11的倍数，那么这个数一定能被11整除。

例如：189354，奇数位上数字的和是,偶数位上数字的和是,它们的差是,因为0能被11整除，所以189354能被11整除。

（7）把一个数的末尾数字割去，从留下的数中减去所割去数字的2倍，这样继续下去，如果最后的结果是7的倍数，那么这个数就能被7整除。

例如：判断4158能不能被7整除。

4158割去末尾数字8399割去末尾数字921是7的倍数，所以4158能被7整除。

（8）把一个数的末尾数字割去，在留下的数上加上末尾数字的4倍，照这样做下去，如果最后的结果是13的倍数，这个数就能被13整除。

例如：判断10686能不能被13整除。

10686割去末尾数字61092割去末尾数字2117割去末尾数字739是13的倍数，所以10686能被13整除。

六年级数的整除知识点“同学们，今天我们来好好讲讲六年级数的整除知识点啊。

”那什么是数的整除呢？简单来说，就是一个整数除以另一个整数，得到的商也是整数，而没有余数，这就叫整除。

比如说，12 除以 3 等于 4，没有余数，我们就说 12 能被 3 整除，或者说 3 能整除 12。

整除有一些重要的性质呢。

比如，任何整数都能被 1 整除，这很好理解吧。

还有，如果一个数能同时被几个数整除，那它也一定能被这几个数的最小公倍数整除。

就像 12 既能被 3 整除，又能被 4 整除，而 3 和 4 的最小公倍数是 12，那 12 当然也能被 12 整除啦。

在实际做题中，我们经常会用到这些性质。

比如说，判断一个数能不能被 9 整除，我们只要把这个数的各个数位上的数字相加，如果和能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。

举个例子，279，2+7+9=18，18 能被 9 整除，所以 279 能被 9 整除。

还有整除中的一些特殊情况。

像能被 2 整除的数，个位上一定是 0、2、4、6、8 中的一个。

能被 5 整除的数，个位上一定是 0 或 5。

能被 4 整除的数，只要看最后两位能不能被 4 整除就行啦。

再来说说常见的整除特征。

能被 3 整除的数，它的各个数位上的数字之和能被 3 整除。

比如说 369，3+6+9=18，18 能被 3 整除，所以 369 能被 3 整除。

同学们，咱们来做几道题巩固一下啊。

判断 456 能不能被 3 整除，大家算一下。

对啦，4+5+6=15，15 能被 3 整除，所以 456 能被 3 整除。

那 780 能不能被 2 和 5 同时整除呢？个位是 0，所以能被 2 和 5 整除。

数的整除知识点在我们生活中也有很多应用呢。

比如说，分东西的时候，我们就会用到整除的知识，要保证能平均分。

同学们，一定要好好掌握这些知识点啊，以后做题会经常用到的。

大家还有什么不明白的地方，随时问老师哦。