北京市春季普通高中会考数学试卷

马 车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：
年龄
12﹣20 岁
20﹣30 岁
30﹣40 岁
40 岁及以上
考 比例
14%
45.5%
34.5%
6%
为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为 200
的样本进行调查，那么应抽取 20﹣30 岁的人数为（ ）
高 A．12 B．28 C．69 D．91
8．（3 分）设数列{an}的前项和为 Sn，如果 a1=1，an+1=﹣2an（n∈N*），那么 S1，
S2，S3，S4 中最小的是（ ）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
9．（3 分）
等于（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
10．（3 分）如果 α 为锐角，
，那么 sin2α 的值等于（ ）
A．﹣3 B． C． D．3
！
3．（3 分）对任意，下列不等式恒成立的是（ ）
A．x2＞0 B．
C．
D．lgx＞0
功
4．（3 分）已知向量 A．2 B．3 C．4
， D．6
，且
成，那么 x 的值是（
）
5．（3 分）给出下列四个函数① 数的序号是（ ）
到 ；②y=|x|； ③y=lgx； ④y=x3+1，其中奇函
！ 功
成 2．（3 分）已知直线 l 经过两点 P（1，2），Q（4，3），那么直线 l 的斜率为（
）
A．﹣3 B． C． D．3 【解答】解：直线 l 的斜率 k= = ，
到
故选：C．
马
考 3．（3 分）对任意，下列不等式恒成立的是（ ）
A．x2＞0 B．

2023年高中会考数学试卷含答案第一部分：选择题（共40分）1. 一种高速公路的限速为每小时100公里。

小明驾驶小汽车在这条高速公路上行驶了2小时半，行驶的路程为300公里。

那么小明的平均时速是多少？a) 80公里/小时b) 100公里/小时c) 120公里/小时d) 150公里/小时答案：b2. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 4，求 f(-1) 的值是多少？a) -6b) 1c) 0d) -9答案：b...第二部分：填空题（共30分）1. 在一个三角形中，三个内角的度数分别是60°、70°和（）°。

答案：502. 已知直线 y = 2x - 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B。

直线 y = -x + 4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D。

那么 AB 的斜率是（）， CD 的斜率是（）。

答案：2，-1...第三部分：解答题（共30分）1. 已知集合 A = {2, 4, 6, 8, 10}，集合 B = {4, 5, 6, 7, 8}，求 A∪ B 和A ∩ B。

答案：A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}，A ∩ B = {4, 6, 8}2. 某推销员从一家餐厅进货，他为每件产品支付进货价格的80%，然后在售价上加价50%出售。

如果推销员每件产品进货价格为200元，那么他应该以多少元的价格出售产品以实现50%的利润？答案：480元...以上是2023年高中会考数学试卷的部分内容和答案。

请同学们认真作答，祝你们取得优异的成绩！。

市春季普通高中会考数学试卷HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】2018年北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．33．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C．D．lgx＞04．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．65．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．① B．② C．③ D．④6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A．3 B．6 C．10 D．158．（3分）设数列{an }的前项和为Sn，如果a1=1，an+1=﹣2an（n∈N*），那么S1，S2，S 3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S49．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．610．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．3212．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄12﹣20岁20﹣30岁30﹣40岁40岁及以上比例14%%%6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．9114．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．2π+415．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．318．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）A．B．C．D．20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．300022．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．924．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1] C．[0，+∞）D．二、解答题（共5小题，满分25分）26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）= ；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．28．（5分）已知数列{an}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{an }的通项公式为an= ；（2）数列{bn }满足bn=log2an（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn的最小值．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b= ；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．2018年北京市春季普通高中会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．3【解答】解：直线l的斜率k==，故选：C．3．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C．D．lgx＞0【解答】解：A．x2≥0，因此不正确；B.≥0，因此不正确；C．∵＞0，∴+1＞1＞0，恒成立，正确；＜x≤1时，lgx≤0，因此不正确．故选：C．4．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：向量，，且，则6x﹣3×4=0，解得x=2．故选：A．5．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：①满足f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；②y=|x|满足f（﹣x）=f （x），为偶函数；③y=lgx为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数．故选A．6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可得到函数的图象，故选：B．7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A．3 B．6 C．10 D．15【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0满足条件i＜4，执行循环体，S=1，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=3，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为6．故选：B．8．（3分）设数列{an }的前项和为Sn，如果a1=1，an+1=﹣2an（n∈N*），那么S1，S2，S 3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解：{an }的前n项和为Sn，如果a1=1，an+1=﹣2an（n∈N*），则数列{an}为首项为1，公比为﹣2的等比数列，则S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则其中最小值为S4．故选：D．9．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．6【解答】解：原式===2．故选：B．10．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵α为锐角，，∴cosα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故选：A．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：a＞0，b＞0，且a+2b=8，则ab=a?2b≤（）2=×16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号．则ab的最大值为8．故选：B．12．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=cos（12°+18°）=cos30°=，故选：D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄12﹣20岁20﹣30岁30﹣40岁40岁及以上比例14%%%6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20﹣30岁的人数为200×%=91人，故选：D14．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．2π+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，∴这个几何体的表面积：S=2×πr2+2πr×2=2π+4π=6π．故选：C．15．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：根据题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则cosθ==，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；故选：B．16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p=．故选：D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据题意，对于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令t=，有t≥0，则有t2﹣t﹣2=0，解可得t=2或t=﹣1（舍），若t==2，则x=4，即方程x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有1个零点；故选：B．18．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：圆M：x2+y2=2的圆心为M（0，0），半径为r=；1=；圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3的圆心为N（1，2），半径为r2|MN|==，且﹣＜＜+，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）A．B．C．D．【解答】解：经过（2，0），（0，2）点的直线方程为+=1，即x+y﹣2=0，经过（2，0），（0，﹣2）点的直线方程为﹣=1，即x﹣y﹣2=0，经过（﹣1，0），（0，2）点的直线方程为﹣x+=1，即2x﹣y+2=0，则阴影部分在x+y﹣2=0的下方，即对应不等式为x+y﹣2≤0阴影部分在2x﹣y+2=0，的下方，即对应不等式为2x﹣y+2≥0阴影部分在x﹣y﹣2=0的上方，即对应不等式为x﹣y﹣2≤0，即对应不等式组为，故选：A20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，，则：，解得：．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（ ） A ．1235B ．1800C ．2600D ．3000【解答】解：∵长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行里， ∴前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为： S 4=（4×193+）+[4×]=1235．故选：A ．22．（3分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，给出下列四个推断： ①A 1C 1⊥AD 1 ②A 1C 1⊥BD③平面A 1C 1B ∥平面ACD 1 ④平面A 1C 1B ⊥平面BB 1D 1D 其中正确的推断有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， 在①中，A 1C 1与AD 1成60°角，故①错误；在②中，∵A 1C 1∥AC ，AC ⊥BD ，∴A 1C 1⊥BD ，故②正确； 在③中，∵A 1C 1∥AC ，AD 1∥BC 1， A 1C 1∩BC 1=C 1，AC ∩AD 1=A ，A 1C 1、BC 1?平面A 1C 1B ，AC 、AD 1?平面ACD 1， ∴平面A 1C 1B ∥平面ACD 1，故③正确；在④中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1=B 1， ∴平面A 1C 1B ⊥平面BB 1D 1D ，故④正确．23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．9【解答】解：∵=﹣，∠BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴?=?（+）=?（+）=?（+﹣）=?（+）=2+?=×9+0=6，故选：C24．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高【解答】解：由折线图知：在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确．故选：C．25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1] C．[0，+∞）D．【解答】解：f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=|（x﹣1）2﹣1﹣a|，∵x∈[﹣1，3]，∴x2﹣2x∈[﹣1，3]，当a＞3时，x2﹣2x﹣a＜0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1﹣2a，当x=1时，取的最大值，即1﹣2a=3，解得a=﹣1，与题意不符；当a≤﹣1时，x2﹣2x﹣a≥0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x=﹣1或3时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣1]故选：B．二、解答题（共5小题，满分25分）26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）= ；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB?平面EFG，FG?平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG?平面EFG，∴BC⊥EG．28．（5分）已知数列{an}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{an }的通项公式为an= 2n﹣4；（2）数列{bn }满足bn=log2an（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn的最小值．【解答】解：（1）数列{an}是等比数列，且，公比q=2，可得an=?2n﹣1=2n﹣4；故答案为：2n﹣4；（2）bn =log2an=log22n﹣4=n﹣4，Sn=n（﹣3+n﹣4）=（n2﹣7n）=[（n﹣）2﹣]，可得n=3或4时，Sn取得最小值，且为﹣6．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为（，0）；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．【解答】解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b= 1 ；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x+be﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即e﹣x+be x=e x+be﹣x，则b=1．（2）当a=1时，b=﹣1时，f（x）=e x﹣e﹣x，为增函数．（3）当ab≤0时，f（x）为单调函数，此时函数没有最小值，若f（x）有最小值为2，则必有a＞0，b＞0，此时f（x）=ae x+be﹣x≥2=2=2，即=1，即ab=1，则a+b≥2=2，即a+b的最小值为2．故答案为：1。

北京春季普通重点高中会考数学(含解析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷 第一部分 选择题（每小题3分，共60分）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．如果集合{}1,2A =-，{}0B x x =>，那么集合AB 等于（ ）． A ．∅ B ．{}1- C ．{}2 D ．{1,2}-2．不等式220x x -<的解集为（ ）．A ．{|2}x x >B ．{|0}x x <C ．{|02}x x <<D ．{|0x x <或2}x >3．已知向量(2,3)a =-，(1,5)b =，那么a b ⋅等于（ ）．A ．13-B ．7-C ．7D ．134．如果直线3y x =与直线1y mx =-+平行，那么m 的值为（ ）．A ．3-B ．13-C ．13 D ．35．如果0a >，那么11a a++的最小值是（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．要得到函数2sin()6y x π=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象（ ）．A ．向左平移6π个单位B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位7．在等差数列{}n a 中，已知11a =，525S =，那么5a 等于（ ）．A ．9B ．8C ．7D ． 68．在函数cos y x =，3y x =，e x y =，ln y x =中，奇函数是（ ）．A ．cos y x =B ．3y x =C ．e x y =D ．ln y x =9．11cos6π的值为（ ）． A ．32- B ．22- C ．22 D ．3210．函数sin 2cos2()y x x x =+∈R 的最小正周期是（ ）．A ．2πB ．πC ．2πD ．4π11．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[0,1]上最大值是2，那么a 等于（ ）．A ．14B ．12C ．2D ．412．在ABC ∆中，60A ∠=︒，23AC =，32BC =，则角B 等于（ ）．A ．45︒B ．30︒或60︒C ．135︒D ．45︒或135︒13．口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（ ）．A ．16B ．13C ．12D ．2314．为了解决某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机抽取200辆进行统计分析，绘制出关于它们车速的频率分布直方图（如图所示），那么车速在[60,70)区间的汽车大约有（ ）．A ．20B ．40C ．60D ．8015．已知平面α、β，直线a 、b ，下面的四个命题①//a b a α⎫⎬⊥⎭b α⇒⊥；②a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭//a b ；③a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊥⎭；④////a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭中， 所有正确命题的序号是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④16．当x ，y 满足条件0230x y y x y ⎧⎪⎨⎪++⎩≥≥≤ 时，目标函数3z x y =+的最大值是（ ）．A ．1B ．1.5C ．4D ．917．针对2020年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告中首次提出“实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”的新指标．按照这一指标，城乡居民人均收入在这十年间平均增长率x 应满足的关系式是（ ）．A ．1102x +=B ．10(1)2x +=C ．10(1)2x +=D ．10(1)2x +=18．一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（ ）．A ．12B ．18C ．24D ．3619．将长度为1米的绳任意剪成两段，其中一段的长度小于0.4米的概率是（ ）．A ．1B ．0.8C ．0.6D ．0.520．记时钟的时针、分针分别为OA 、OB （O 为两针的旋转中心）．从12点整开始计时，经过m 分钟，OA OB ⋅的值第一次达到最小时，那么m 的值是（ ）． A ．30 B ．36011 C ．31 D ．211π第二部分 非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．计算131()log 12-+的结果为 ．22．已知圆:C 22(1)(1)1x y -++=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是 ．俯视图侧(左)视图正(主)视图433323．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值为 ．24．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果11a =，16n a =，那么n d +的最小值为 ．三、解答题（共4个小题，共28分） 25．（本小题满分7分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点． （Ⅰ）证明：1//AC 平面BDE ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥．否是结束输出Si = i +1S=S +2i i ≤ 4S=1，i=1开始D 1B 1C 1A 1DBE CA在平面直角坐标系xOy 中，角α，β02πα⎛<< ⎝，2πβπ⎫<<⎪⎭的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为513，35．（Ⅰ）求tan β的值；（Ⅱ）求AOB △的面积．已知圆222:5(0)C x y m m +=>，直线l 过点(),0M m -且与圆C 相交于A ，B 两点． （Ⅰ）如果直线l 的斜率为1，且||6AB =，求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与y 轴交于点P ，如果||2||PA PM =，求直线l 的斜率．已知函数2()f x ax bx c =++满足：①()f x 的一个零点为2；②()f x 的最大值为1； ③ 对任意实数x 都有(1)(1)f x f x +=-． （Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）设函数(),(),x x Ag x f x x B ∈⎧=⎨∈⎩是定义域为(0,1)的单调增函数，且001x x '<<<．当0x B ∈时，证明：x B '∈．2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷参考答案一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．【答案】C ．【解析】由于集合{1,2}A =-，{|0}B x x =>，因此{}2A B =，故选C ．2．【答案】C ．【解析】令220x x -=，解得0x =或2x =，因此不等式220x x -<的解集为{|02}x x <<，故选C ． 3．【答案】D ．【解析】根据向量的坐标运算()1212213513a b x x y y ⋅=+=-⨯+⨯=，故选D ． 4．【答案】A ．【解析】根据两条直线平行的条件可知，3m =-，得3m =-，故选A ． 5．【答案】B ．【解析】根据题意，求11a a++的最小值可应用均值不等式，则111132a a a a ++⋅+=≥，当且仅当1a a=，即1a =时等号成立，故选B ． 6．【答案】A ．【解析】根据图象平移左加右减的原理，要得到函数2sin()6y x π=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，故选A ． 7．【答案】A ．【解析】由等差数列前n 和n S 的计算公式()12n n n a a S +=，知()15552a a S +=，解得59a =，故选A ．8．【答案】B ．【解析】对于A ，定义域为R ，()()()cos cos f x x x f x -=-==，是偶函数；对于B ，定义域为R ，()()()33f x x x f x -=-=-=-，是奇函数； 对于C ，定义域R ，()()x f x e f x --=≠±，因此是非奇非偶函数；对于D ，定义域()0,+∞，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数，故选B ．9．【答案】D ．【解析】根据诱导公式，113cos cos 2cos 6662⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ππππ，故选D ． 10．【答案】B ．【解析】根据辅助角公式，22sin 2cos 22sin 2cos 22sin 2224y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π， 最小正周期22T π==π，故选B ． 11．【答案】C ．【解析】①当01a <<时，函数()x f x a =是减函数，那么当0x =时，取得最大值012a =≠，不符合题意； ②当1a >时，函数()x f x a =是增函数，那么当1x =时，取得最大值12a =，即2a =，故选C ．12．【答案】A ．【解析】根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，可得3223sin 60sin B =︒，即2s i n 2B =， 那么4B π=或34B π=，因为AC BC <，所以A B >，所以4B π=，故选A ．13．【答案】A ．【解析】根据题意符合古典概型的条件，基本事件空间{（红色，黄色），（红色，蓝色），（红色，白色），（黄色，蓝色），（黄色，白色），（蓝色，白色）}基本事件总数为6，摸到红色小球和白色小球的事件为{（红色，白色）}，事件数为1，摸到红色小球和白色小球的概率是16，故选A ． 14．【答案】D ．【解析】根据频率分布直方图可知，车速在[60,70)区间的概率为0.04100.4⨯=，车辆数为：2000.480⨯=，故选D ．15．【答案】A ．【解析】若两条直线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面①正确；若两条都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，②正确； 若两个面垂直，两个面内的直线不一定互相垂直，③错误； 若两个平面平行，两个面内的直线平行或异面，④错误，故选A ．16．【答案】C ．【解析】根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当过点()1,1时，z 取得最大值4，故选C ．y=-13x+13z2x+y -3=0x-y=0oy x17．【答案】C ．【解析】根据题意可知，设原收入为()0a a ≠，则十年后为2a ，因此10(1)2a x a +=，即10(1)2x +=，故选C ．18．【答案】B ．【解析】由三视图可知该空间几何体的直观图为横着放的直三棱柱，1433182V S h =⋅=⨯⨯⨯=，故选B ．19．【答案】B ．【解析】根据题意，符合几何概型的条件，因此将概率转化为长度的比，那么长度小于0.4 米的概率是20.40.81⨯=，故选B ． 20．【答案】B ．【解析】因为cos ,OA OB OA OB OA OB ⋅=⋅〈〉，所以要使OA OB ⋅的值第一次达到最小时， 对应的夹角cos ,180OA OB 〈〉=︒， 因为时针一分钟转的角度为：13600.51260⨯︒=︒⨯，分针一分钟旋转的角度为：1360660⨯︒=︒， 经过m 分钟后，有60.5180m m -=， 即5.5180m =，解得36011m =，故选B ．第二部分 非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21．【答案】2．【解析】根据指数与对数的运算法则，131()log 12022-+=+=，故答案为：2．22．【答案】2．【解析】由题知，圆心()1,1C -，因此圆心C 到坐标原点O 的距离2d =，故答案为：2． 23．【答案】31．【解析】第一次循环，当1i =时，1123S =+=；第二次循环，当2i =时，2327S =+=； 第三次循环，当3i =时，37215S =+=； 第四次循环，当4i =时，415231S =+=；当5i =时，循环结束，输出S 的值为31，故答案为31．24．【答案】9．【解析】根据等差数列的通项公式()11n a a n d =+-，且各项均为正整数，即()11511535n d -==⨯=⨯，只有当13n -=，5d =或15n -=，3d = 解得4n =，5d =或6n =，3d =，n d +有最小值9，故答案为：9．三、解答题（共4个小题，共28分）25．证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，因为ABCD 是正方形，所以O 为AC 的中点， 因为E 是棱1CC 的中点，所以1//AC OE ． 又因为1AC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， 所以1//AC 平面BDE ．（Ⅱ）因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥因为1CC ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以1CC BD ⊥． 又因为1CC AC C =，所以BD ⊥平面1ACC ． 又因为1AC ⊂平面1ACC ，所以1AC BD ⊥．26．解：（Ⅰ）因为在单位圆中，B 点的纵坐标为35，所以3sin 5β=，因为2πβπ<<， 所以4cos 5β=-，所以sin 3tan cos 4βββ==-．（Ⅱ）因为在单位圆中，A 点的纵坐标为513，所以5sin 13α=．因为02πα<<，所以12cos 13α=． 由（Ⅰ）得3sin 5β=，4cos 5β=-， 所以56sin sin()sin cos cos sin 65AOB βαβαβα∠=-=-=． 又因为1OA =，1OB =， 所以AOB △的面积128||||sin 265S OA OB AOB =⋅∠=． 27．解：（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为y x m =+，圆心()0,0到l 直线的为||2m ．因为6AB =，所以22||5()92m m -=，解得22m =．由0m >，得2m =．（Ⅱ）设()11,A x y ，直线l ：()y k x m =+，则点()0,P km ．因为||2||PA PM =，所以2PA PM =或2PA PM =-， ①当2PA PM =时，11(,)2(,)x y km m km -=--， 所以12x m =-，1y km =-．由方程组222111152x y m x m y km ⎧+=⎪=-⎨⎪=-⎩，得1k =±．②当2PA PM =-时，11(,)2(,)x y km m km -=---， 所以12x m =，13y km =．由方程组2221111523x y m x m y km⎧+=⎪=⎨⎪=⎩得13k =±．综上，直线l 的斜率为1±，13±．28． 解：（Ⅰ）因为()f x 的一个零点为2，所以(2)0f =，即420a b c ++=．又因为对任意x 都有(1)(1)f x f x +=-，所以(0)(2)0f f ==，即0c =．因为()f x 的最大值为1，所以2414ac b a-=，所以1,2a b =-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，2()2f x x x =-+．因为0x B ∈，所以2000()2g x x x =-+． 因为001x <<，所以00()1x g x <<．因为()g x 是单调递增函数，所以2000[,2]x x x B -+⊆． 记21002(0,1)x x x =-+∈，22112x x x =-+，…，2112n n n x x x --=-+，…所以01[,]x x B ⊆． 同理12[,]x x B ⊆，…，1[,]n n x x B -⊆，…由2112n n n x x x --=-+，得22111112(1)n n n n x x x x ----=+-=-．所以22221201(1)(1)(1)nn n n x x x x ---=-=-==-由于01x x '<<，可取自然数02(1)log log 1x x n x '-'-≥（）， 于是x n x x ''≤，即0[,]x n x x x '∈． 而且0[,]x n x x x B '∈⊆，所以x B '⊆．。

2015年北京市春季普通高中会考数学试卷第一部分 选择题（每小题3分，共60分）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}{}5,3,1,8,6,5,3==B A ，那么A B 等于（ ）A. {}8,6,5,3,1 B. {}8,6 C. {}5,3 D. {}8,6,1 2. 平面向量a ，b 满足b=2a 如果a )1,1(=，那么b 等于( ) A. )2,2(- B. )2,2(-- C. )2,2(- D. )2,2(3. 已知函数)1lg()(-=x x f ，那么)(x f 的定义域是（ ）A RB {}1 x xC {}1≠x xD {}≠x x4.一个几何体的三视图如图所示，该集合体的体积是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 605.如果0 a ，那么21++a a 的最小值为（ ）A. 2B. C. 3 D. 4 6.已知过两点),4(),1,1(a B A -的直线斜率为1，那么a 的值是( ) A. 6- B. 4- C. 4 D. 67.65tanπ等于（ ）A ．1-；B ．33-； C ．22； D ．1．8. 已知定义在R 上的函数)(x f 的图像是一条连续不断地曲线，且有部分对应值如表所示，那么函数)(x f 一定存在零点的区间是（ ）A. )1,(-∞B. )2,1(C. )3,2(D. ),3(+∞俯视图9.函数x y 1=，2x y =，x y 3=，x y 2log =中，在区间),0(+∞上单调递减的是（ ）Ax y 1=B 2x y = C x y 3= D x y 2log =10.已知直线02=--y x 与直线0=+y mx 垂直，那么m 的值是（ ） A. 2- B. 1- C. 1 D. 211. 在同一坐标系中，函数xy 3=的图与xy )31(=的图象（ ） A ．关于x 轴对称； B ．关于y 轴对称；C ．关于原点x y =对称；D ．关于直线x y =对称． 12. 在等比数列{}n a 中，8,141==a a ，那么{}n a 的前5项和是（ ）A ．31-B ．15C ．31D ．6313.已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤--00202y y x y x ，那么目标函数y x z 2+=的最小值是（ ）A. 6-B. 4-C. 2-D. 414. 某程序框图如图所示，执行该程序后输出的S 的值是（ ）A. 32B. 43C. 54D. 6515. 函数=y 2)cos (sin x x +的最小正周期是：（ ）Ａ．2π； Ｂ．π； Ｃ．23π； Ｄ．π2．16. 已知函数)(x f 是定义在]4,0()0,4[ -上的奇函数，当时，)(x f 的图像如图所示，那么)(x f 的值域是（ ）A. )4,4(-B. ]6,6[-C. ]6,4()4,4( -D. ]6,4()4,6[ --864224510154O13579110元0 概率是（ ）A. 13B. 12C. 52D. 5318. 设a ，b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ① 如果//,//a b αα，那么//a b ； ②如果a ∥β ，a ⊂α, b ⊂β ，那么//a b ；③如果βα⊥ , a ⊂α, 那么 β⊥a ； ④如果β⊥a ，//a b ， b ⊂α, 那么βα⊥其中正确命题的序号是（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④19. 在ABC ∆中，如果4,3,5===BC AC AB ，那么角AC AB •等于：（ ）Ａ．9； Ｂ．12； Ｃ．15； Ｄ．20． 20. 已知函数1)(-=ax x f 与x a x g )1()(-=的图像没有交点，那么实数的取值范围是（ ）A. ]0,(-∞B.21,0( C. )1,21[ D. ),1[+∞第二部分 非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21.计算=+4log 9221．22.一家电讯公司在某大学对学生每月的手机话费进行抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的手机话费情况进行统计分析，绘制成频率分布直方图（如图所示）。

北京市５年春季会考试题分类汇编题型分布：选择题1 —２０，每题3分,共６0分 填空题２1—24，每题3分，共12分 解答题25—26，每题7分,共2８分一、集合(20１0年)1. 已知全集为R ,集合{|1}A x x =≥，那么集合A C R 等于A. {|1}x x >Ｂ. {|1}x x >-Ｃ. {|1}x x <D. {|1}x x <-(２011)1.已知集合A=｛１，2,3}，Ｂ={2,3,４，}，那么集合Ａ⋂Ｂ=（ ）A ． ｛２｝ B. {2,3} Ｃ.. {1,２,3} D. {１,2,３,4｝(20１2）1．已知集合{}0,1,2M =,{}1,4B =，那么集合A B 等于（ )(Ａ){}1 (B){}4 （C){}2,3 （D){}1,2,3,4 (201３)１.如果集合{1,2}A =-，{|0}B x x =>,那么集合A B 等于（ ）(2０14)1.已知集合{}{}0,1,3,0,1,2A B ==，那么AB 等于（ ）Ａ. {}0,1 B ． {}0,1,2 C ． {}3 D. {}0,1,2,3二、不等式 1.均值不等式（２010年）10. 已知0a >,那么1a a+的最小值是 A. 4B ． 3 C.2D ． 1(2０11)17.已知0a >,且4ab =，那么a b +的最小值是( ） A ． 2 B. ４ C. 6 D ． 8(２012)15．当>0x 时，122x x +的最小值是( ）A ． 1 B. 2 C． Ｄ． 4(2013)5．如果0a >,那么11a a ++的最小值是（ ）（A)∅(B ）{1}-（C){2}(D ）{1,2}-（A ）2 （B)3 (C ）4 （D ）5（２014)２.如果0m >,那么4m m+的最小值为( ) Ａ． 2B. Ｃ． 4 D. 82.一元二次不等式(201１）２．不等式220x x -<的解集是（ ) A.{}02x x << Ｂ.{}20x x -<< Ｃ.．{}0,2x x x <>或 D.{}2,0x x x <->或（2012)９．不等式23+20x x -<的解集是( ）A. {}2x x > Ｂ． {}>1x x C.{}12x x << Ｄ. {}1,2x x x <>或 （２013)2．不等式220x x -<的解集为（ ) （２014)3．不等式20x x +>的解集为( )A ． {}0x x > B. {}1x x <- C. {}10x x -<< D ． {}10x x x <->或三、向量（20１０年)４． 已知向量(2,8)=a ,(4,2)=-b ，且1()2=+c a b ，那么向量c 等于 A. (1,5)-B. (2,10)-C. (6,6)--Ｄ. (3,3)--(2010年）２１. 如果向量(4,2)=-a ,(,1)x =b ，且a ,b 共线,那么实数x = ． (２01１)11.在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么AB AC +等于（ ）A. BD Ｂ. AD C. 2BD D. 2AD(2０1２)3.已知向量(3,1),(2,5)==-a b ,那么2+a b 等于（ ）A.（－１,１1） B ． （4，７) C ．(1,６) D （5,-4）(2012）2１．已知向量(2,3),(1,)m ==a b ，且⊥a b ,那么实数m 的值为 .(２012)20.在△ABC 中，)BC BA AC AC +⋅=2||（,那么△ABC 的形状一定是（ ) A. 等边三角形 Ｂ． 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形（A){|2}x x >(B){|0}x x < (C ）{|02}x x << (D){|0x x <或2}x >(2０１3)3．已知向量(2,3)=-a ，(1,5)=b ，那么⋅a b 等于( ） （2014)12.已知平面向量(1,2),(2,)a b x =-=，且0a b •=,那么b 等于（ ) Ａ. 25 B.5 C ． 20 Ｄ. 5(2０14)２3.已知点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,3)，且2AC AB =,那么点C 的坐标为＿_＿_＿_。

绝密★启用前北京市普通高中学业水平考试数学试卷评卷人得分一、单选题1．已知集合，1，，那么等于A．B．C．D．1，【答案】B【解析】【分析】利用交集定义直接求解．【详解】集合，1，，．故选：B．【点睛】本题考查交集的概念与运算，属于基础题.2．平面向量，满足，如果，那么等于A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用数乘向量运算法则直接求解．【详解】平面向量，满足，，．故选：D．【点睛】本题考查向量的求法，考查数乘向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．如果直线与直线平行，那么实数k的值为A．B．C．D．3【答案】D【解析】【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【详解】直线与直线平行，，经过验证满足两条直线平行．故选：D．【点睛】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图，给出了奇函数的局部图象，那么等于A．B．C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）的值，结合函数的奇偶性可得f（1）的值，即可得答案．【详解】根据题意，由函数的图象可得，又由函数为奇函数，则，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数奇偶性的性质，属于基础题．5．如果函数，且的图象经过点，那么实数a等于A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】由题意代入点的坐标，即可求出a的值．【详解】指数函数的图象经过点，，解得，故选：B．【点睛】本题考查了指数函数的定义，考查计算能力，属于基础题．6．某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为A．60 B．90 C．100 D．110【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的定义和题意知，抽样比例是，根据样本的人数求出应抽取的人数【详解】根据分层抽样的定义和题意，则高中学生中抽取的人数人．故选：A．【点睛】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在所求的层中抽取的个体数目．7．已知直线l经过点，且与直线垂直，那么直线l的方程是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．【详解】直线l与直线垂直，直线l的斜率为，则，即故选：C．【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．8．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【详解】在矩形ABCD中，E为CD中点，所以：，则：．故选：A．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．实数的值等于A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】直接利用有理指数幂及对数的运算性质求解即可．【详解】．故选：B．【点睛】本题考查了有理指数幂及对数的运算性质，是基础题．10．函数，，，中，在区间上为减函数的是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析四个函数在区间（0，+∞）的单调性，即可得答案．【详解】根据题意，函数，为二次函数，在区间为增函数；，为幂函数，在区间为增函数；，为指数函数，在区间上为减函数；中，在区间为增函数；故选：C．本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．11．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项已知中一等奖的概率为，中二等奖的概率为，那么本次活动中，中奖的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件概率加法公式即可得到其发生的概率的大小．【详解】由于中一等奖，中二等奖，为互斥事件，故中奖的概率为，故选：B．【点睛】本题考查概率加法公式及互斥事件，是一道基础题．12．如果正的边长为1，那么等于A．B．C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算性质计算即可．【详解】正的边长为1，，故选：B．【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，是一道基础题．13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么b等于A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理直接代入求值即可．【详解】由正弦定理，得，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查解三角形问题，是一道基础题．14．已知圆C：x2+y2–2x=0，则圆心C到坐标原点O的距离是A．B．C．1 D．【答案】C【解析】【分析】通过配方把一般式化为标准式即可得出圆心和半径，根据两点间距离公式即可得解.【详解】根据题意，圆C：x2+y2–2x=0，其圆心C为（1，0），则圆心C到坐标原点O的距离d==1．故选C．【点睛】本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径，记住两点间的距离公式是关键.15．如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，那么该四棱柱的体积为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】【分析】该四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1，由此能求出结果．【详解】在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，该四棱柱的体积为．故选：B．【点睛】题考查该四棱柱的体积的求法，考查四棱柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．函数的零点所在的区间是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求得 f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．【详解】由函数可得，，故有，根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在区间为，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．17．在，，，四个数中，与相等的是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简可得答案．【详解】由．与相等的是故选：A．【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18．把函数的图象向右平移个单位得到的图象，再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，所得到图象的解析式为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】把函数的图象向右平移个单位得到的图象，再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，所得到图象的解析式为，故选：A．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．19．函数的最小值是A．B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】分别讨论两段函数的单调性和最值，即可得到所求最小值．【详解】当时，的最小值为；当时，递减，可得，综上可得函数的最小值为0．故选：B．【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意分析各段的单调性和最值，考查运算能力，属于基础题．20．在空间中，给出下列四个命题：平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；平行于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确命题的序号是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由线面平行的性质可判断①；由线面垂直的性质定理可判断②；由两个平面的位置关系可判断③；由面面平行的判定定理可判断④．【详解】对于，平行于同一个平面的两条直线互相平行或相交或异面，故错误；对于，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确；对于，平行于同一条直线的两个平面互相平行或相交，故错误；对于，垂直于同一个平面的两个平面互相平行或相交，故错误．故选：B．【点睛】本题考查空间线线和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质定理的运用，属于基础题．21．北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况年1月份各区域的浓度情况如表：各区域1月份浓度单位：微克立方米表区域浓度区域浓度区域浓度怀柔27海淀34平谷40密云31延庆35丰台42门头沟32西城35大兴46顺义32东城36开发区46昌平32石景山37房山47朝阳34通州39从上述表格随机选择一个区域，其2018年1月份的浓度小于36微克立方米的概率是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由表可知从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的地区有9个，根据概率公式计算即可．【详解】从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份的浓度小于36微克立方米的地区有9个，则2018年1月份的浓度小于36微克立方米的概率是，故选：D．【点睛】本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等22．已知，那么A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果．【详解】知，那么，则：，故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，那么的最大内角的余弦值为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先判断△ABC的最大内角为A，再利用余弦定理计算cosA的值．【详解】中，，，的最大内角为A，且．故选：A．【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．24．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图根据图中信息，下列结论中正确的是A．2013年以来，每年参观总人次逐年递增B．2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C．2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D．2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万【答案】C【解析】【分析】由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．【详解】由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．25．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是如图，在三棱锥中，平面平面ABC，求证：证明：因为平面平面ABC平面平面，平面ABC所以______．因为平面PAC．所以如图，在三棱锥中，平面平面ABC，求证：证明：因为平面平面ABC平面平面，平面ABC所以______．因为平面PAC．所以A．底面PAC B．底面PBC C．底面PAC D．底面PBC 【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理判断即可．【详解】根据面面垂直的性质定理判定得：BC⊥底面PAC，故选：C．【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、解答题26．已知函数Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅱ函数的最小正周期______将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅲ求函数的最小值及相应的x的值．【答案】（1）2（2）（3）-2，，【解析】【分析】（Ⅰ）由f（0）=1求得A的值；（Ⅱ）由正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期；（Ⅲ）由正弦函数的图象与性质求得f（x）的最小值以及对应x的值．【详解】Ⅰ函数由，解得；Ⅱ函数，的最小正周期为；Ⅲ令，；，；此时函数取得最小值为．【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.27．如图，在三棱锥中，底面ABC，，D，E，分别为PB，PC的中点．Ⅰ求证：平面ADE；Ⅱ求证：平面PAB．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由D、E分别为PB、PC的中点，得DE∥BC，由此能证明BC∥平面ADE；（Ⅱ）推导出PA⊥BC，AB⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAB．【详解】证明：Ⅰ在中，、E分别为PB、PC的中点，，平面ADE，平面ADE，平面ADE．Ⅱ平面ABC，平面ABC，，，，平面PAB．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．28．已知圆O：经过点，与x轴正半轴交于点B．Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅱ圆O上是否存在点P，使得的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）5（2）存在点或满足题意．【解析】【分析】（Ⅰ）直接由已知条件可得r；（Ⅱ）存在．由（Ⅰ）可得圆O的方程为：x2+y2=25，依题意，A（0，5），B（5，0），求出|AB|=，直线AB的方程为x+y﹣5=0，又由△PAB的面积，可得点P到直线AB的距离为，设点P（x0，y0），解得x0+y0=﹣1或x0+y0=11（显然此时点P不在圆上，故舍去），联立方程组，求解即可得答案．【详解】Ⅰ；Ⅱ存在．，圆O的方程为：．依题意，，，，直线AB的方程为，又的面积为15，点P到直线AB的距离为，设点，，解得或显然此时点P不在圆上，故舍去，联立方程组，解得或．存在点或满足题意．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是中档题．29．种植于道路两侧、为车辆和行人遮阴并构成街景的乔木称为行道树为确保行人、车辆和临近道路附属设施安全，树木与原有电力线之间的距离不能超出安全距离按照北京市行道树修剪规范要求，当树木与原有电力线发生矛盾时，应及时修剪树枝行道树修剪规范中规定，树木与原有电力线的安全距离如表所示：树木与电力线的安全距离表安全距离单位：电力线水平距离垂直距离330KV500KV现有某棵行道树已经自然生长2年，高度为据研究，这种行道树自然生长的时间年与它的高度满足关系式Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅱ如果这棵行道树的正上方有35kV的电力线，该电力线距地面那么这棵行道树自然生长多少年必须修剪？Ⅲ假如这棵行道树的正上方有500kV的电力线，这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全，那么该电力线距离地面至少多少m？【答案】（1）（2）这棵行道树自然生长10年必须修剪；（3）该电力线距离地面至少37米，这这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全．【解析】【分析】（Ⅰ）将x=2，y=2代入计算即可，（Ⅱ）函数解析式为y=，令y=20﹣4=16，解得x=10，问题得以解决，（Ⅲ）根据指数函数的性质可得y=＜30，问题得以解决【详解】Ⅰ，故答案为：Ⅱ根据题意，该树木的高度为16米时需要及时修剪这颗行道数，函数解析式为，令，解得，故这棵行道树自然生长10年必须修剪；Ⅲ因为，所以，所以，所以该电力线距离地面至少37米，这这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全．【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．。

北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．33．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C． D．lgx＞04．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．65．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）8．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S49．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．610．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．3212．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄12﹣20岁20﹣30岁30﹣40岁40岁及以上比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．9114．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）15．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．318．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）A． B．C． D．20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．300022．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．924．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．二、解答题（共5小题，满分25分）26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=；（2）数列{b n}满足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．2018年北京市春季普通高中会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．3【解答】解：直线l的斜率k==，故选：C．3．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C． D．lgx＞0【解答】解：A．x2≥0，因此不正确；B.≥0，因此不正确；C．∵＞0，∴+1＞1＞0，恒成立，正确；D.0＜x≤1时，lgx≤0，因此不正确．故选：C．4．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：向量，，且，则6x﹣3×4=0，解得x=2．故选：A．5．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①满足f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；②y=|x|满足f（﹣x）=f （x），为偶函数；③y=lgx为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数．故选A．6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可得到函数的图象，故选：B．7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A．3 B．6 C．10 D．15【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0满足条件i＜4，执行循环体，S=1，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=3，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为6．故选：B．8．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解：{a n}的前n项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），则数列{a n}为首项为1，公比为﹣2的等比数列，则S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则其中最小值为S4．故选：D．9．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．6【解答】解：原式===2．故选：B．10．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵α为锐角，，∴cosα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故选：A．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：a＞0，b＞0，且a+2b=8，则ab=a•2b≤（）2=×16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号．则ab的最大值为8．故选：B．12．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=cos（12°+18°）=cos30°=，故选：D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄12﹣20岁20﹣30岁30﹣40岁40岁及以上比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20﹣30岁的人数为200×45.5%=91人，故选：D14．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．2π+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，∴这个几何体的表面积：S=2×πr2+2πr×2=2π+4π=6π．故选：C．15．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：根据题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则cosθ==，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；故选：B．16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p=．故选：D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据题意，对于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令t=，有t≥0，则有t2﹣t﹣2=0，解可得t=2或t=﹣1（舍），若t==2，则x=4，即方程x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有1个零点；故选：B．18．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：圆M：x2+y2=2的圆心为M（0，0），半径为r1=；圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3的圆心为N（1，2），半径为r2=；|MN|==，且﹣＜＜+，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）A． B．C． D．【解答】解：经过（2，0），（0，2）点的直线方程为+=1，即x+y﹣2=0，经过（2，0），（0，﹣2）点的直线方程为﹣=1，即x﹣y﹣2=0，经过（﹣1，0），（0，2）点的直线方程为﹣x+=1，即2x﹣y+2=0，则阴影部分在x+y﹣2=0的下方，即对应不等式为x+y﹣2≤0阴影部分在2x﹣y+2=0，的下方，即对应不等式为2x﹣y+2≥0阴影部分在x﹣y﹣2=0的上方，即对应不等式为x﹣y﹣2≤0，即对应不等式组为，故选：A20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，，则：，解得：．故选：B．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．3000【解答】解：∵长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，∴前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：S4=（4×193+）+[4×]=1235．故选：A．22．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，在①中，A1C1与AD1成60°角，故①错误；在②中，∵A1C1∥AC，AC⊥BD，∴A1C1⊥BD，故②正确；在③中，∵A1C1∥AC，AD1∥BC1，A1C1∩BC1=C1，AC∩AD1=A，A1C1、BC1⊂平面A1C1B，AC、AD1⊂平面ACD1，∴平面A1C1B∥平面ACD1，故③正确；在④中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D，故④正确．故选：C．23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．9【解答】解：∵=﹣，∠BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴•=•（+）=•（+）=•（+﹣）=•（+）=2+•=×9+0=6，故选：C24．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高【解答】解：由折线图知：在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确．故选：C．25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．【解答】解：f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=|（x﹣1）2﹣1﹣a|，∵x∈[﹣1，3]，∴x2﹣2x∈[﹣1，3]，当a＞3时，x2﹣2x﹣a＜0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1﹣2a，当x=1时，取的最大值，即1﹣2a=3，解得a=﹣1，与题意不符；当a≤﹣1时，x2﹣2x﹣a≥0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x=﹣1或3时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣1]故选：B．二、解答题（共5小题，满分25分）26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣4；（2）数列{b n}满足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．【解答】解：（1）数列{a n}是等比数列，且，公比q=2，可得a n=•2n﹣1=2n﹣4；故答案为：2n﹣4；（2）b n=log2a n=log22n﹣4=n﹣4，S n=n（﹣3+n﹣4）=（n2﹣7n）=[（n﹣）2﹣]，可得n=3或4时，S n取得最小值，且为﹣6．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为（，0）；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．【解答】解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=1；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x+be﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即e﹣x+be x=e x+be﹣x，则b=1．（2）当a=1时，b=﹣1时，f（x）=e x﹣e﹣x，为增函数．（3）当ab≤0时，f（x）为单调函数，此时函数没有最小值，若f（x）有最小值为2，则必有a＞0，b＞0，此时f（x）=ae x+be﹣x≥2=2=2，即=1，即ab=1，则a+b≥2=2，即a+b的最小值为2．故答案为：1。

北京市2017年春季普通高中会考数学试卷（解析版)一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合Ａ＝｛﹣１，1},B={1，﹣1，３},那么A∩B=等于（）A．｛﹣1}Ｂ．{1}C．{﹣1,1}D．{1,﹣1，3}2.已知向量，那么等于(）Ａ． B.ﻩC. D.3．已知向量，，且,那么x的值是（)A．﹣3ﻩB．3ﻩＣ.ﻩD.４．某小学共有学生２０00人,其中一至六年级的学生人数分别为400，４00,４00，30０,300,200．为做好小学放学后“快乐30分”活动,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为20０的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为（）Ａ.1２0ﻩＢ．40 C.３0ﻩD.205．已知点Ａ(２,m），B(3,３)，直线ＡB的斜率为１,那么m的值为（)A．1ﻩＢ.２ﻩＣ．3ﻩD.46.直线ｘ+２ｙ﹣4=０与直线2x﹣y+２＝0的交点坐标是( )Ａ.（２，0)ﻩB．(2,1） C.(０,2） D.（1,２)7.已知向量满足,，且与夹角为30°,那么等于（）Ａ．１ﻩB.ﻩC.3 Ｄ．8．在△ABC中，ａ=2，c=1，∠B=6０°，那么b等于(）Ａ.Ｂ. C.1 Ｄ．9．如果直线l1：2x﹣ｙ﹣1＝0与直线l2:2x+(ａ+1)y＋2=0平行，那么ａ等于（)A.﹣2ﻩB.﹣１ﻩC．１ﻩD．210.当x∈[0,2π]时，函数y=sｉnx的图象与直线的公共点的个数为()Ａ.0 Ｂ．1 Ｃ.２ﻩD．311．已知f(x）=ｌｏｇ3x，ｆ（ａ）＞f(2），那么ａ的取值范围是（)Ａ．{a｜ａ>2｝ﻩB．{a|1＜a<2｝ﻩC．ﻩD．12．不等式组，表示的平面区域是( ）A．ﻩＢ．Ｃ．ﻩＤ．13.等于()Ａ．ﻩB.ﻩC.ﻩD.1４.给出下面四个命题:①三个不同的点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是(）A．①ﻩＢ．②Ｃ.③D．④15.在“二十四节气入选非遗”宣传活动中,从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为() A．1 B．ﻩＣ.D．16.如果ａ+b＝1,那么ab的最大值是()Ａ．Ｂ．ﻩＣ.ﻩD．117.等于（)A.ﻩＢ.ﻩC．Ｄ．18．已知函数．关于ｆ（x）的性质,给出下面四个判断：①f（x)的定义域是R；②ｆ（x)的值域是R;③ｆ（x)是减函数；④f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的判断是( ）A．①Ｂ.②C．③ﻩD.④（x﹣ａ）2+(y﹣3)2=5的一条切线的方程为y＝2ｘ,那么a的值为(）１9．如果圆Ｃ：A.4或1 B．﹣1或４ﻩC．１或﹣4ﻩＤ．﹣1或﹣4２0.中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为,到二○二○年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到二○二○年国内生产总值和城乡居民人均收入比二０一0年翻一番,产业迈向中高端水平,消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从二０一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长ｐ%．下面给出了依据“到二０二0年城乡居民人均收入比二０一0年翻一番”列出的关于p的四个关系式：①（1+p%)×10＝２；②(1+p%)１0=２；③ｌg(１+p%)=2;④1+10×p％=2.其中正确的是(）A．①B．②ﻩC．③D．④21.甲乙两名篮球运动员在4场比赛中的得分情况如图所示.v1，v2分别表示甲、乙二人的平均得分,ｓ1，ｓ2分别表示甲、乙二人得分的方差,那么v1和ｖ2，s１和s２的大小关系是(）A．v1>ｖ2，s１＞s2ﻩB.ｖ1＜v2，s1>s２ﻩC．v1＞v2，s1＜ｓ２ﻩD.v1<v2，s1<ｓ222．已知直线m,n，ｌ,平面α，β．给出下面四个命题：( ）①;②;③;④.其中正确是（)A.①Ｂ．②C.③D．④2３．如果关于x的不等式x２<ax+ｂ的解集是｛x|１＜ｘ<3}，那么ｂa等于( ）Ａ．﹣81 Ｂ.8１ﻩC.﹣６4ﻩD．6424．一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体是()Ａ.三棱锥ﻩB．四棱锥ﻩC.三棱柱D．四棱柱25．“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几碗灯?”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，通过计算得到的答案是( ）A.2 Ｂ.3ﻩＣ.４ﻩD．5二、解答题（共５小题，满分25分)２6.(５分）如图,在三棱柱ＡBC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥ＣB，点M和Ｎ分别是B1C1和BC的中点．(１)求证：ＭＢ∥平面AC1N;(2)求证:AC⊥MB．27．（5分）已知函数，其中ω＞0，x∈Ｒ．(1）f（0)＝；(2）如果函数ｆ（ｘ）的最小正周期为π，当时，求f(x）的最大值．28．（５分）已知数列{ａn},．(１)判断数列{aｎ}是否为等差数列;(2）求数列｛ａｎ}的前ｎ项和Sｎ.29．（５分)已知点P（﹣2，2)在圆O：x2+y2=r2（r＞０)上，直线l与圆O交于A，Ｂ两点.（1）r=;（２)如果△ＰAＢ为等腰三角形，底边,求直线l的方程.30．（5分)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的实验:将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据，其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为３.5克.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数S=ａe﹣kt(ａ,ｋ是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S（单位:克)代表ｔ分钟末未溶解糖块的质量．（1)a=；（2）求ｋ的值;(3）设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随ｔ变化的函数关系的草图,并简要描述实验中糖块的溶解过程.ﻬ20１7年北京市春季普通高中会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={﹣1，１}，B={1,﹣1,3｝,那么Ａ∩B=等于（)A．{﹣1}B．{1}Ｃ．{﹣１,１} D.{1,﹣1，3}【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出Ａ∩B即可.【解答】解：集合A＝｛﹣1,1},Ｂ=｛1,﹣１，3}，那么A∩B={﹣1，1｝．故选:C.【点评】本题考查了交集的定义与应用问题,是基础题目．2.已知向量，那么等于（)A.ﻩB．C．D．【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义.【分析】利用向量运算法则求解．【解答】解：=＝．故选:C．【点评】本题考查向量的运算,是基础题，解题时要认真审题,注意向量运算法则的合理运用．3.已知向量，,且，那么x的值是（)A．﹣３ B.3 C．ﻩD．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解:∵向量，,且,∴=３﹣x=0，解得x=３．故选：B.【点评】本题考查实数值的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用.4.某小学共有学生2０00人，其中一至六年级的学生人数分别为400，40０，４0０,300,300,200.为做好小学放学后“快乐3０分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取一年级学生的人数为( ）A．120ﻩＢ．40ﻩC.３0 D．2０【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解:∵一年级学生４00人，∴抽取一个容量为20０的样本，用分层抽样法抽取的一年级学生人数为，解得ｎ=40,即一年级学生人数应为4０人，故选：Ｂ．【点评】本题主要考查分层抽样的应用,比较基础.5.已知点Ａ（２，ｍ),B(3,3），直线AB的斜率为1,那么m的值为（）A.１ﻩB．2 C.3ﻩD．４【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的斜率公式可得=1,解方程求得m 的值.【解答】解:由于A(２，m)，B(3,3),直线AB的斜率为１，∴=1，∴m=2,故选:B．【点评】本题考查直线的斜率公式的应用,是一道基础题．6.直线x+2y﹣4=0与直线２x﹣y＋２=0的交点坐标是（)A．(2,0）B．(2,1）ﻩC.(０，2）ﻩD.(１,２)【考点】两条直线的交点坐标．【分析】将二直线的方程联立解出即可.【解答】解:联立,解得x=0，y=２，直∴线ｘ+２ｙ﹣4=0与直线2x﹣y+2=0的交点坐标是（0，２).故选：Ｃ．【点评】正确理解方程组的解与直线的交点的坐标之间的关系是解题的关键．7.已知向量满足，,且与夹角为3０°，那么等于（)A.１ﻩB.Ｃ．3ﻩD.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用已知条件,通过向量的数量积公式求解即可．【解答】解:向量满足,,且与夹角为30°，那么=｜|｜|cｏs＝2＝3.故选：C.【点评】本题考查平面向量的数量积的应用,考查计算能力．8．在△ABC中，a=2，c＝1，∠Ｂ＝60°，那么b等于( ）A.ﻩＢ.ﻩC.１Ｄ.【考点】余弦定理．【分析】由题意和余弦定理列出式子求出b的值.【解答】解:因为在△ABC中,a=２,c=1，∠Ｂ=60°，所以由余弦定理得，b2=ａ２＋c2﹣2ａccoｓB＝４+1﹣=3，解得b=,故选Ｂ.【点评】本题考查了余弦定理的简单应用,属于基础题.9.如果直线l１:２ｘ﹣y﹣１=0与直线ｌ２：2x＋（a+1)ｙ+2＝0平行,那么a等于（)A.﹣２Ｂ.﹣1 C．1 Ｄ．２【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直接由两直线平行的条件列式求解a的值．【解答】解：∵直线l1:2x﹣y﹣１=０与直线l2:２x+（a+1）y+2=0平行，∴a+1＝﹣１，解得a=﹣2.故选:A.【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是熟记由直线的一般式方程得到直线平行的条件，是基础题．10.当x∈[0，2π]时,函数y=ｓinx的图象与直线的公共点的个数为( )A.0B.1 C．2 Ｄ.3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据曲线与方程之间的关系,直接作图即可得到结论．【解答】解:由y＝sinx与y=,如图:两条曲线的图象的交点个数为２个．方程有２个解.故选：Ｃ.【点评】本题主要考查函数交点个数的判断,利用函数和方程之间的关系,直接进行求解即可,比较基础.11.已知f（ｘ）=ｌog3x，f（a)＞ｆ(2），那么a的取值范围是（) A．｛a｜a>2}ﻩB.{a|1＜a＜2} C.D．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】由题意,f（x)=lｏg3x,函数单调递增，即可得出结论.【解答】解:由题意,ｆ(x）=ｌoｇ3x,函数单调递增，∵ｆ(ａ）>ｆ（2），∴a＞2,故选A．【点评】本题考查对数函数的单调性,考查学生的计算能力,比较基础.12.不等式组，表示的平面区域是(）A.ﻩB．ﻩＣ.ﻩD．【考点】简单线性规划;二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】利用直线确定边界,特殊点判断区域，求解即可．【解答】解:在判吗直角坐标系中，画出直线x=1，x+y﹣３=0，x﹣y﹣3＝0，判断(2,0）满足不等式组,所以不等式组不是的可行域为：故选:D．【点评】本题主要考查了二元一次不等式表示平面区域的确定,一般是找特殊点代入进行检验，属于基础试题.13．等于（）Ａ．ﻩＢ.ﻩＣ．D．【考点】二倍角的正弦.【分析】利用二倍角的正弦函数公式,特殊角的三角函数值即可计算得解.【解答】解：=sin＝＝．故选:B．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想,属于基础题.14．给出下面四个命题:①三个不同的点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④两条平行直线确定一个平面.其中正确的命题是（)A．①ﻩB．② C.③ﻩＤ．④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①,三个不共线的点确定一个平面，故错；②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错;③,空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点,确定一个平面,故错；④,两条平行直线确定一个平面,正确.【解答】解：对于①,三个不共线的点确定一个平面,故错；对于②,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故错;对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点,确定一个平面,故错;对于④，两条平行直线确定一个平面,正确．【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．1５.在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为( ）A.1ﻩB．Ｃ.ﻩＤ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==3,再求出甲同学被选中包含听基本事件个数m=＝２,由此能求出甲同学被选中的概率．【解答】解：在“二十四节气入选非遗”宣传活动中,从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律,基本事件总数ｎ==3，甲同学被选中包含听基本事件个数m==2，∴甲同学被选中的概率p=＝.故选:D.【点评】本题考查概率的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.1６.如果a+ｂ=1,那么ａb的最大值是(）A．Ｂ.ﻩC.D．1【考点】基本不等式．【分析】由于求aｂ的最大值，只考虑ａ，b＞0时即可.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由于求ab的最大值,只考虑a,b＞0时即可．∵a+b=１,∴,解得aｂ≤,当且仅当ａ=b＝时取等号.那么ab的最大值是.【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．等于( )A. B.ﻩＣ.ﻩD．【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】直接利用诱导公式化简求值即可.【解答】解:由coｓ=cｏs(672π＋）=cos=.故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，考查计算能力,属于基础题.1８.已知函数．关于ｆ(x)的性质，给出下面四个判断:①f（x)的定义域是R;②f(x)的值域是Ｒ；③f（x）是减函数;④f（ｘ）的图象是中心对称图形．其中正确的判断是（）A.①ﻩB．②Ｃ.③ﻩD．④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】函数的图象可由函数y=向右平移一个单位得到，类比ｙ＝的性质可判定．【解答】解:函数的图象可由函数y=向右平移一个单位得到,所以值域为｛ｙ|y≠０};单调减区间为（﹣∞,０），(0，+∞）；对称中心为（1,０)故④正确,故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域、值域、对称性,属于基础题．1９.如果圆C:(x﹣a）2＋(ｙ﹣3)2=５的一条切线的方程为y=2x,那么a的值为(）A.4或１ﻩB.﹣1或4 C.1或﹣4 D.﹣1或﹣４【考点】圆的切线方程．【分析】由题意,圆心到直线的距离d＝=,即可求出a的值.【解答】解：由题意,圆心到直线的距离d==，∴a＝﹣1或４,故选Ｂ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式，属于中档题．2０．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到二○二○年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建成小康社会新的目标要求:经济保持中高速增长,在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上,到二○二○年国内生产总值和城乡居民人均收入比二0一０年翻一番,产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从二0一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p％.下面给出了依据“到二0二0年城乡居民人均收入比二0一0年翻一番”列出的关于p的四个关系式:①（１+p％)×10＝2;②（１+p％）１0＝2；③lg(1+p%）＝2；④1+10×p%＝2.其中正确的是( ）A.①B.②C.③D.④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】设从二0一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长ｐ%.则由到二0二0年城乡居民人均收入比二0一0年翻一番，可得:(1+ｐ%）10=２;进而得到答案.【解答】解：设从二0一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长ｐ%．则由到二0二0年城乡居民人均收入比二０一0年翻一番,可得:(１＋p%）10=２;正确的关系式为②;故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数模型的选择与应用,难度基础２1.甲乙两名篮球运动员在４场比赛中的得分情况如图所示．v１,v2分别表示甲、乙二人的平均得分,ｓ1，s2分别表示甲、乙二人得分的方差,那么ｖ1和ｖ２，s1和s2的大小关系是( )A．v1>v2,ｓ1＞s2B.v１＜ｖ2,s1>s2ﻩC.ｖ１>v2，s1＜ｓ2D．v1＜ｖ2，s1<s2【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图先求出平均数,再计算方差．【解答】解：由茎叶图性质得:V１==14，V２＝=13，Ｓ1= [(9﹣14)2＋(13﹣14)2+（14﹣14）2＋(20﹣14）２］=,Ｓ2＝［(8﹣１３）2+（9﹣13)2＋(13﹣13）２+（２２﹣13）2]＝.＞V2，S1＜Ｓ2.∴V１故选：C．【点评】本题考查两组数据的平均数和方差的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．22.已知直线ｍ,n,ｌ，平面α,β.给出下面四个命题：(）①;②;③;④.其中正确是（）A．①B．②ﻩC．③ﻩD.④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在①中,m∥β或m⊂β;在②中,ｍ与n相交、平行或异面；在③中,由线面平行的判定定理知n∥β;在④中，n∥α或n⊂α.【解答】解:由直线m,ｎ，l，平面α，β,知:在①中，ｍ∥β或ｍ⊂β，故①错误;在②中,ｍ与ｎ相交、平行或异面,故②错误；在③中，，由线面平行的判定定理知n∥β,故③正确;在④中，n∥α或n⊂α,故④错误.故选：Ｃ．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题,解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．23.如果关于x的不等式x2<ax+ｂ的解集是｛x|1<x＜3｝，那么bａ等于( )A．﹣８1 B．８1 C.﹣64ﻩＤ.6４【考点】一元二次不等式的解法.【分析】根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系求出a、b的值，再计算ｂa的值.【解答】解：不等式ｘ2<ax+b可化为ｘ2﹣ax﹣b<０，其解集是{ｘ|１<ｘ＜3}，那么，由根与系数的关系得,解得a=４,b=﹣3;所以bａ＝（﹣3)４=81.故选：B.【点评】本题考查了一元二次不等式的解集以及指数的计算问题，是基础题目．24．一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体是（)A．三棱锥Ｂ．四棱锥Ｃ.三棱柱ﻩＤ.四棱柱【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图可得,直观图为正方体中的一个正四面体,即可得出结论．【解答】解:由三视图可得,直观图为正方体中,面上对角线构成的一个正四面体，故选A.【点评】本题考查三视图与直观图的转化,考查数形结合的数学思想，比较基础．25．“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几碗灯?”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，通过计算得到的答案是（)Ａ．2ﻩB.3ﻩC．4 D．５【考点】等比数列的前ｎ项和．【分析】设尖头ａ盏灯,根据题意由上往下数第n层有2ｎ﹣１a盏灯,由此利用等比数列性质能求出结果．【解答】解:由题意设尖头a盏灯,根据题意由上往下数第n层有2n﹣1a盏灯,所以一共有（1+2+4+8+1６+32+64)ａ＝381盏灯,解得a=3.故选:B.【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.二、解答题(共5小题，满分25分）26．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C１中,ＣＣ1⊥底面ABC，AC⊥CＢ，点Ｍ和N分别是B1C1和BC的中点.（１）求证:MＢ∥平面AＣ1N；（2）求证:AC⊥MＢ．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定.C1Ｎ∥MB,即可证明MB∥平面Ａ【分析】(１)证明MＣ１NＢ为平行四边形，所以C1N；（2）证明ＡC⊥平面BCC1Ｂ１,即可证明AC⊥MＢ．【解答】证明：(1)证明：在三棱柱AＢC﹣Ａ1Ｂ1C1中，因为点Ｍ，Ｎ分别是B1C1，ＢC的中点，所以C1Ｍ∥BN,Ｃ1M＝ＢN.ＮB为平行四边形．所以MC１所以C1N∥MB.因为C1N⊂平面AC1N，NB⊄平面ＡC1N，所以ＭB∥平面ＡＣ1Ｎ；（2)因为CC1⊥底面ABC，所以AＣ⊥CC1.因为ＡC⊥BＣ,ＢC∩CC1=Ｃ，所以ＡＣ⊥平面BCC1B１．因为ＭB⊂平面BCC1B1,所以AC⊥ＭB．【点评】本题考查线面平行的判定,考查线面垂直的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.２7.已知函数,其中ω＞0,ｘ∈R.（1)f（０)= ;(2)如果函数f(x)的最小正周期为π,当时,求f（x)的最大值.【考点】三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法.【分析】(1)直接计算可得结论;(２）求出函数的解析式,再利用三角函数的性质求ｆ(x)的最大值．【解答】解:（1)．…（2分）故答案为：．（2）因为f（x）的最小正周期为π,ω＞０,所以．解得ω=2.所以．因为，所以．可得．所以当时，f（x)的最大值是１．…(5分)【点评】本题考查特殊角三角函数值，考查三角函数的图象与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.2８.已知数列{aｎ},．(1）判断数列{a n｝是否为等差数列；（2)求数列{ａｎ｝的前n项和Sｎ.【考点】数列的求和.【分析】（１)利用等差数列的定义，反例判断即可．（2）通过数列的项数分别求解数列的和即可.【解答】解：(1）a2﹣a１=1,ａ8﹣ａ7=7﹣8＝﹣1,数列不是等差数列．…（1分）(2)解：①当n≤7时,=．②当n>7时，==．…(5分）【点评】本题考查数列求和,等差数列的判断,考查计算能力.29.已知点Ｐ(﹣２，2)在圆O：ｘ2+ｙ2=r2(r>0）上,直线l与圆O交于A，Ｂ两点．(1）r=2；（2)如果△PAＢ为等腰三角形,底边,求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)利用点P(﹣2,2）在圆O：ｘ２+y2=r2(r>０)上，即可求出ｒ;（2)利用弦长公式,即可求直线l的方程.【解答】解：（1）∵点P(﹣2，2）在圆Ｏ:x2+y２＝r2（ｒ＞0)上,∴r=2.…(1分）（2)因为△PAＢ为等腰三角形,且点P在圆O上,所以PＯ⊥ＡB．因为ＰO的斜率，所以可设直线l的方程为ｙ＝ｘ＋m．由得2x2+2mｘ+m2﹣８＝０．△=4m2﹣8×(ｍ２﹣8)=64﹣４ｍ2＞０，解得﹣4＜ｍ＜4．设A,B的坐标分别为(x1，ｙ１）,(x２,ｙ2)，可得．所以．解得m=±2.所以直线l的方程为x﹣y＋2=0,x﹣ｙ﹣2=０.…（5分)【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.30.在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为７克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.５克.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数Ｓ＝ae﹣kt(a,k是常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．(１）a=7 ;（2)求k的值;（3）设这个实验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程.【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（１）由题意，t＝0,S=a=7;(2）因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为３.5克，可求k的值；（3）根据函数解析式可得函数的图象，即可得出结论．【解答】解：(1)由题意,ｔ=0，S=ａ=7.…（7分)（2）因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克,所以3.5=7e﹣5ｋ.解得．…（2分）(3)Ｍ随t变化的函数关系的草图如图所示.溶解过程，随着时间的增加，逐渐溶解.…(5分)故答案为：7．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查指数型函数，属于中档题.。

2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（答案在最后）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.24.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,25.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C .关于y 轴对称D.关于直线y x =对称8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.1610.已知函数(),01,0x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+ B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6C.3π4D.5π615.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.316.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.1618.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.219.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项① A.R B.()(),00,∞-+∞U ② A.()fx - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=-.故选：D.3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =，即函数()()21f x x x =+的零点为0，故选：B4.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,2【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴-=-.故选：C.5.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<-或1x >，所以原不等式的解集为{1x x <-或1}x >.故选：D6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =-互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称.故选：B.8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时，a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=.故选：A.10.已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x=>，故由()02f x =，得001122,x x =∴=，故选：A11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===，由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯,而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =-+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =-在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%【答案】B 【解析】【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，中位数为40.3%40.6%40.45%2+=.故选：B14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6 C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=- ,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4.故选：C.15.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x -≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .故选：D.18.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=，故选：C19.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,【答案】C 【解析】【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =-，所以10a -≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a -=--=-∈-.故选：C.20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷= ,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650--=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．【答案】2【解析】【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b -<-，所以23a b -+<-+，即23a b -<-.故答案为：<23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.【答案】①.()0,1（答案不唯一）②.()0,2（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=r r r r可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=r r r r即可，如()()0,1,0,2b c ==r r ，此时b c≠r r 故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k=与()()1y g x x x ==+的交点个数即可.【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确；对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确；对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=，作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增，故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】25.π26.最大值为2，最小值为-2【解析】【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由2π2ππ2T ω===，知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤，令2x θ=，则0πθ≤≤，函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1-＃，所以2()2f x -≤≤，即函数()f x 在π[0,2上的最大值为2，最小值为-2.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项①A.RB.()(),00,∞-+∞U ② A.()f x - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<【答案】ABABA 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22xxf x -=+的定义域为R ，故A 正确；②由于()2()2xx x x f f --=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x -<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴->，故A 正确.27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当1i =时，451,561,561,963-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当2i =时，341,853,451,891-=--=-=--=-，共三个1-，一个3；任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3，则13i i a a +-=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反；因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=-，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---，分三种情况：（i ）若11i i a a +-=-，且11i i b b +-=-，则10i i +∆∆=-；（ii ）若11i i a a +-=-，且13i i b b +=-，则14i i +∆-=-∆；（iii ）若13i i a a +-=，且11i i b b +-=-，则14i i +∆∆=-；均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”；类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”；所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c ->-=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c ->，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =--=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++-=-=-，则111,1k k k k a a b b ++-=--=-，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。

2023北京高中合格考数学（第二次）第一部分（选择题 共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}1,2A =，{}0,1B =，则A B ⋃=（ ） A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,2D. {}1,22. 函数2log y x =的图象经过点（ ） A. ()1,0B. ()1,1C. ()1,1−D. ()2,23. 要得到函数πcos 6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象，只要将函数cos y x =的图象（ ） A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度 4. 已知向量()2,1a =，()1,b x =−，a b ⊥，则x 的值为（ ） A. 12−B. 1−C. 2D. 2−5. 已知平面内的两个非零向量a ，b 满足3a b =−，则a 与b （ ） A. 相等B. 方向相同C. 垂直D. 方向相反6. 031log 93⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ） A.5−B. 1−C. 0D. 17. 在复平面内，复数2i z =−+对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12AD AA ==，AB =，则1B D =（ ）A.3B. 4C. 5D. 69. 函数()22xf x =−的零点个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410. 不等式()()310x x +−<的解集是（ ） A. {}31x x −<< B. {}13x x −<< C. {|3x x <−或}1x > D. {|1x x <−或}3x >11. 复数()22i +=（ ） A. 43i −B. 34i −C. 43i +D. 34i +12. 已知0x >，则4x x+的最小值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 413. 甲、乙两人在罚球线进行投篮比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．甲、乙两人各投篮1次，那么“甲、乙两人都命中”的概率为（ ） A. 0.08B. 0.14C. 0.24D. 0.5614. 如图，四边形ABCD 是菱形，下列结论正确的是（ ）A. AB AD =B. AC BD =C. AB BC AC +=D. AB AD BD += 15. 已知直线l ，m 和平面α，满足//l m ，m α⊥，则下列结论正确的是（ ） A. //l α B. l ⊂α C. l α⊥D. l 是平面α的斜线16. 已知3sin 5α=，则()sin α−=（ ） A. 45−B.35C.35D.4517. 在核酸检测中，“10合1”混采检测是指将10个人的样本混合在一个采集管中进行检测．采集时，将采集管发放给10人中的第一个人．某同学参加“10合1”混采，他拿到采集管的概率为（ ） A.910B. 12C.19D.11018. “0a b >>”是“22a b >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 已知集合{}2,4,6,8P =，定义函数()1,,1,.x P f x x P ∈⎧=⎨−∉⎩则()()23f f +=（ ） A. 2−B. 0C. 1D. 220. 某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为6.5kW h ⋅，收费标准如下表所示：看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（ ） A. 31.5元B. 37.5元C. 45.3元D. 51.1元第二部分（非选择题 共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21. 函数()11f x x =+的定义域是______． 22. 已知向量()1,2a =，()3,1b =−，则2a b +=______． 23. 计算ππ2sincos 88=______． 24. ．根据图中信息，给出下列三个结论：①该公司去年12月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额；②该公司去年甲产品的月投资额的平均数大于乙产品的月投资额的平均数； ③该公司去年甲产品的月投资额的方差小于乙产品的月投资额的方差． 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．25. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形．AB平面PCD；（1）求证：//（2）求证：AB⊥平面PAD．26. 阅读下面题目及其解答过程．个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．27. 已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间 ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应x 的值．28. 已知数集A 含有n （*n ∈N ）个元素，定义集合{}*,A x y x y A =+∈．（1）若{}1,2,3A =，写出*A ； （2）写出一个集合A ，使得*A A =；（3）当4n =时，是否存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =？若存在，写出一个符合条件的集合A ；若不存在，说明理由．参考答案第一部分（选择题 共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】B【分析】由并集定义可求.【详解】由题意，{}1,2A =，{}0,1B =， 所以A B ⋃={}0,1,2. 故选：B 2. 【答案】A【分析】根据对数的运算求解即可.【详解】根据对数的运算可知，2log 10=，2log 11≠，2log (1)−无意义，2log 21=， 所以函数2log y x =的图象经过点(1,0). 故选：A 3. 【答案】D【分析】根据三角函数图象的相位变换可得.【详解】由三角函数图象的相位变换可知，将函数cos y x =的图象向右平移π6个单位长度所得图象的解析式为πcos 6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭. 故选：D 4. 【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数x 的值.【详解】因为向量()2,1a =，()1,b x =−，a b ⊥，则20a b x ⋅=−+=，解得2x =. 故选：C. 5. 【答案】D【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可. 【详解】因为两个非零向量a ，b 满足3a b =−， 所以,a b 为共线反向向量，且模不相等， 所以ABC 错误，D 正确. 故选：D 6. 【答案】B【分析】根据指数幂的性质及对数的运算求解.【详解】02331log 91log 31213⎛⎫−=−=−=− ⎪⎝⎭. 故选：B 7. 【答案】B【分析】由复数的几何意义得出答案.【详解】复数2i z =−+对应的点坐标为()2,1−，位于第二象限 故选：B 8. 【答案】B【分析】根据长方体的性质求解.【详解】在长方体中，14B D ====，故选：B 9. 【答案】A【分析】由函数的单调性结合()10f =即可判断零点个数.【详解】函数()22xf x =−是R 上的单调递增函数，且()122=0f =−，所以函数()22xf x =−只有一个零点，故选：A. 10. 【答案】A【分析】先解相应方程，然后根据二次函数开口方向判断解集即可. 【详解】解方程()()310x x +−=得3x =−或1x =， 因为函数()()()31f x x x =+−开口向上，所以不等式()()310x x +−<的解集为{}31x x −<<. 故选：A 11. 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算可得答案. 【详解】()2244134i i i +=+−=+. 故选：D. 12. 【答案】D【分析】直接由基本不等式运算即可.【详解】因为0x >，所以44x x +≥=，即4x x +的最小值为4，当且仅当20x =>时，等号成立. 故选：D. 13. 【答案】D【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式求解. 【详解】根据独立事件同时发生的概率公式可知， “甲、乙两人都命中”的概率为0.70.80.56P =⨯=， 故选：D 14. 【答案】C【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可. 【详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以根据向量加法的平行四边形法则知，AB BC AC +=，AB AD AC BD +=≠，故C 对D 错；因为向量方向不同，所以AB AD ≠，AC BD ≠，故AB 错误. 故选：C 15. 【答案】C【分析】根据线面垂直的性质得解. 【详解】因为//l m ，m α⊥， 所以l α⊥， 故选：C 16. 【答案】B【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为3sin 5α=，所以()3sin sin 5αα−=−=−， 故选：B 17. 【答案】D【分析】根据古典概型求解.【详解】因为某同学参加“10合1”混采，他在10人组中的位置是等可能的， 有10个位置可排，成为第一个人的可能性为110， 所以他拿到采集管的概率为110. 故选：D 18. 【答案】A【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】当0a b >>时，22a b >；当22a b >时，a b >，不一定0a b >>，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件. 故选：A. 19.【答案】B【分析】由23P P ∈∉，，结合分段函数的解析式可得答案. 【详解】由题意可知23P P ∈∉，， 所以(2)(3)1(1)0f f +=+−=， 故选：B. 20. 【答案】B【分析】根据题意算出各时间段的充电费用即可判断选项.【详解】由题知，小王在15：00—18：00时段充电0.5小时，费用为6.50.5 1.4 4.55⨯⨯=元； 在18：00—21：00时段充电3小时，费用为6.53 1.631.2⨯⨯=元； 记在21：00—23：00时段充电时间为x 小时，费用为6.5 1.49.1x x ⨯=元. 综上，小王应缴纳的充电费 4.5531.29.19.135.75y x x =++=+， 因为00.5x <≤，所以35.7540.3y <≤. 故选：B第二部分（非选择题 共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21. 【答案】{|1}x x ≠−【分析】根据函数解析式有意义求解即可. 【详解】由10x +≠可得1x ≠−， 所以函数()11f x x =+的定义域是{|1}x x ≠−， 故答案为：{|1}x x ≠− 22. 【答案】(5,4)−【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】因为()1,2a =，()3,1b =−， 所以2(1,2)(6,2)(5,4)a b +=+−=−， 故答案为：(5,4)−23. 【答案】2【分析】由二倍角的正弦公式求解.【详解】πππ2sincos sin 8842==.故答案为：224. 【答案】①②③【分析】根据雷达图，明显可得出甲、乙每月投资额的大小及波动幅度，即可得出结论. 【详解】由雷达图可知，12月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额，故①正确；由雷达图可知，该公司去年甲产品的月投资额的平均数在25万元附近，比较稳定，变化幅度小，乙产品的月投资额的平均数明显小于25万元较多，并且不稳定，变化幅度大，故②③正确. 故答案为：①②③三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．25. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解【分析】（1）因为//AB CD ，由线面平行判定定理得证；（2）由题意得AB AD ⊥，AB PD ⊥，根据线面垂直的判定定理得证. 【小问1详解】由题意，底面ABCD 是矩形，即//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ；【小问2详解】由题意，PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB PD ⊥，又底面ABCD 是矩形，即AB AD ⊥，,AD PD D AD ⋂=⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ． 26. 【答案】①B ②A ③A ④A ⑤B【分析】①由具体函数的定义域求解；②由()()1111f x x x x x f x −=−−+−+=++−=求解；③由()()()11112f x x x x x =−++=−−++=求解；④()11112f x x x x x x =−++=−++=求解；⑤由一次函数的单调性判断.【详解】解：①因为()11f x x x =−++，所以()f x 的定义域为R ；故答案为：B. ②因为()()1111f x x x x x f x −=−−+−+=++−=，故答案为：A. ③因为()()()11112f x x x x x =−++=−−++=，故答案为：A. ④因为()11112f x x x x x x =−++=−++=，故答案为：A ；⑤因为当1x ≥时，()2f x x =，所以函数是[)1,+∞上的增函数，故答案为：B. 27. 【答案】（1）π（2）2，π6x = 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式得解；（2）根据自变量的取值范围求出π26x +的范围，再由正弦函数求解即可. 【小问1详解】因为函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以周期2ππ2T ==， 即函数最小正周期为π.【小问2详解】 因为ππ,36x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以πππ2262x −≤+≤， 所以π1sin 216x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭，π2()2sin 226f x x ⎛⎫−≤=+≤ ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间 ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值为2， 此时ππ262x +=，即π6x =. 28. 【答案】（1）{}2,3,4,5,6（2）{}0（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据集合的新定义，写出A *中元素即可得解； （2）根据条件分析集合中元素即可得解；（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.【小问1详解】因为{}1,2,3A =，{}*,A x y x y A =+∈， 所以112,123,134,224,235,336+=+=+=+=+=+=为A *中元素， 故{}{}*,2,3,4,5,6A x y x y A =+∈=. 【小问2详解】取{}0A =，此时{}{}*,0A x y x y A =+∈=， 满足*A A =.【小问3详解】当4n =时，不存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =. （反证法）假设4n =时，存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =， 不妨设{,,,}A a b c d =，且a b c d <<<，则22a a b a c b c b d c d d <+<+<+<+<+<，所以2,,,,,,2a a b a c b c b d c d d +++++为*A 中7个不同的元素， 所以22,3,4,6,7,8,210a a b a c b c b d c d d =+=+=+=+=+==， 由22,3,4a a b a c =+=+=解得1,2,3a b c ===.此时，5b c A *+=∈与5A *∉矛盾，所以假设不成立，故不存在这样的集合A .。

2025届北京市春季普通高中会考高考临考冲刺数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ） A ．5B ．5C ．13D ．132．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．153．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．164814．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C ．1623D ．1635．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数7．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114C ．1054D ．11748．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤9．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 10．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，则该双曲线的标准方程可能为（ ）A ．2212x y -=B ．2213x y -=C ．2214x y -=D ．22132x y -=12．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确D ．①②都错误二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 若复数满足，则复数的共轭复数不可能为（ ）A．B．C．D．2. 从2019年末开始，新型冠状病毒在全球肆虐.为了研制新型冠状病毒疫苗，某大型药企需要从150名志愿者中抽取15名志愿者进行临床试验，现采用分层抽样的方法进行抽取，若这150名志愿者中老年人的人数为50人，则老年人中被抽到进行临床试验的人数是（ ）A ．15B ．10C ．5D ．13. 已知数列的各项均为实数，为其前n 项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）A．为等差数列，为等比数列B ．为等比数列，为等差数列C．为等差数列，为等比数列D．为等比数列，为等差数列4. 已知，向量，，则“”是“”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线与y 轴交于点M ，且，则点P 到直线l 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66. 已知是复数z 的共轭复数，若在复平面上的对应点位于第一象限，则z 的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 四面体中，，且与所成角为，则该四面体的外接球表面积为（ ）A．B．C．D．8.已知向量，若，则（ ）A．B．C ．6D．9. 《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（ ）A．B ．数列是等比数列C．D．10. 为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg ）互不相等，且从小到大分别为，则下列说法正确的有（ ）A ．的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度B ．的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度C．可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度D ．的中位数为11.在正方体中，下述正确的是（ ）A．平面B ．平面北京市第一次普通高中2023-2024学年高二上学期学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题C．D ．平面平面12.已知椭圆的左右两焦点为，为椭圆的内接三角形，已知，且满足，则直线的方程为__________．13. 在平行四边形ABCD 中，点G 在AC 上，且满足，若，则______.14. 已知函数，则在点处的切线方程为______．15.已知函数其中．那么 的零点是_____；若的值域是 ，则c 的取值范围是_____．16. 阅读下面题目及其解答过程．．）求证：函数是偶函数；）求函数的定义域是，都有又因为② ．所以函数是偶函数．时，，在区间上单调递减．时，时，在区间 的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①（A ）（B ）②（A ）（B ）③（A ）2（B ）④（A ）（B ）⑤（A ）（B ）17. 已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．18. 已知函数.(1)求f （x ）的最小正周期和在的单调递增区间；七、解答题八、解答题九、解答题十、解答题(2)已知，先化简后计算求值：19. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果，从A 、B 两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图.考核成绩考核等级合格优秀（1）计算A 、B 两所大学学生的考核成绩的平均值；（2）由茎叶图判断A 、B 两所大学学生考核成绩的稳定性；（不用计算）（3）将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示.现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率.20.已知数列的前项和为，且.(1)证明数列为等差数列，并求出的通项公式；(2)设数列，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所以满足要求的的值；若不存在，请说明理由.21. 在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局．(1)求甲在第3局中获胜的概率；(2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金．22.在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表中的同一列，设数列的前项和为．第一列第二列第三列第一行116第二行7第三行5128(1)求数列的通项公式；(2)证明：数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．。