隐马尔可夫模型三个基本问题以及相应的算法一、隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model, HMM)隐马尔可夫模型是一种统计模型，它描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成的不可观测的状态序列，再由各个状态生成一个观测而产生观测序列的过程。
HMM广泛应用于语音识别、自然语言处理、生物信息学等领域。
二、三个基本问题1. 概率计算问题（Forward-Backward算法）给定模型λ=(A,B,π)和观察序列O=(o1,o2,…,oT)，计算在模型λ下观察序列O出现的概率P(O|λ)。
解法：前向-后向算法(Forward-Backward algorithm)。
前向算法计算从t=1到t=T时，状态为i且观察值为o1,o2,…,ot的概率；后向算法计算从t=T到t=1时，状态为i且观察值为ot+1,ot+2,…,oT的概率。
最终将两者相乘得到P(O|λ)。
2. 学习问题（Baum-Welch算法）给定观察序列O=(o1,o2,…,oT)，估计模型参数λ=(A,B,π)。
解法：Baum-Welch算法(EM算法的一种特例)。
该算法分为两步：E 步计算在当前模型下，每个时刻处于每个状态的概率；M步根据E步计算出的概率，重新估计模型参数。
重复以上两步直至收敛。
3. 预测问题（Viterbi算法）给定模型λ=(A,B,π)和观察序列O=(o1,o2,…,oT)，找到最可能的状态序列Q=(q1,q2,…,qT)，使得P(Q|O,λ)最大。
解法：Viterbi算法。
该算法利用动态规划的思想，在t=1时初始化，逐步向后递推，找到在t=T时概率最大的状态序列Q。
具体实现中，使用一个矩阵delta记录当前时刻各个状态的最大概率值，以及一个矩阵psi记录当前时刻各个状态取得最大概率值时对应的前一时刻状态。
最终通过回溯找到最可能的状态序列Q。
三、相应的算法1. Forward-Backward算法输入：HMM模型λ=(A,B,π)和观察序列O=(o1,o2,…,oT)输出：观察序列O在模型λ下出现的概率P(O|λ)过程：1. 初始化：$$\alpha_1(i)=\pi_ib_i(o_1),i=1,2,…,N$$2. 递推：$$\alpha_t(i)=\left[\sum_{j=1}^N\alpha_{t-1}(j)a_{ji}\right]b_i(o_t),i=1,2,…,N,t=2,3,…,T$$3. 终止：$$P(O|λ)=\sum_{i=1}^N\alpha_T(i)$$4. 后向算法同理，只是从后往前递推。
