2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级(上)开学数学试卷 ( 解析版)

2020-2021学年湖南省长沙市八年级上期中数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（4，﹣3）到x轴的距离（）A．4B．3C．5D．﹣3
2．（3分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．下列调查中，最适宜采用普查方式的是（）
A．对全国初中学生视力状况的调査
B．对“十一国庆”期间全国居民旅游出行方式的调查
C．旅客上飞机前的安全检查
D．了解某种品牌手机电池的使用寿命
4．（3分）下列各式计算正确的是（）
A．（x+y）2＝x2+y2B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣3
C．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2
5．（3分）将点P（﹣2，﹣3）向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是（）
A．（1，﹣3）B．（﹣2，1）C．（﹣5，﹣1）D．（﹣5，5）6．（3分）下列运算正确的是（）
A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷（﹣m）2＝m
C．m•（m2）3＝m6D．（m+n）（n﹣m）＝m2﹣n2
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为（）
A．20°B．25°C．30°D．40°
8．（3分）古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．222石B．224石C．230石D．232石
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湖南省长沙市雅实、西雅、雅洋2020-2021学年八年级上学期数学第一次月考试卷一、单选题1.若的相反数是，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. -32.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A. B. C. D.3.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.截止到2020年9月21日5时38分，全球新冠肺炎累计确诊病例突破3118万例.把3118万例用科学记数法表示为（）例.A. 31.18×106B. 0.3118×108C. 3.118×108D. 3.118×1074.下列计算不正确的是（）A. B. C. D.5.如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )A. 9B. 7C. 12D. 9或126.下列判断错误的是（）A. 等腰三角形是轴对称图形B. 有两条边相等的三角形是等腰三角形C. 等腰三角形的两个底角相等D. 等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合7.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°8.如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm9.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为10，DE=2，AB=6，则AC的长是（）A. 4B. 3C. 6D. 510.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角为（）A. B. C. 或 D. 或11.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°12.如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，且点E在△ABC内部，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE，②CE⊥DE，③BD=AF，④ ，其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13.多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形是________边形.14.规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”，记作k，若，则该等腰三角形的顶角为 .15.已知点A（-4，5）与点B（a，b）关于y轴对称，则a-b的值为________.16.如图，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形.若OA1=1，则△A2015B2015A2016的边长为________.三、解答题17.计算：.18.解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．19.按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹.）（1）已知：线段求作：线段的垂直平分线.（2）已知：求作：的角平分线.20.如图，三个顶点的坐标分别为，，.（1）①请画出向左平移5个单位长度后得到的；②请画出关于x轴对称的；（2）请求出的面积.（3）请在y轴上找一点P，使得PA+PC最小.21. 2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”，为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图表：（1）这次调查活动共抽取________人；（2）m=________，n= ________.（3）请将条形图补充完整（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数. 22.我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍. （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个.该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？23.如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，.（1）求证：是等腰三角形；（2）求证：；（3）当时，求的度数.24.对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k之雅礼点”.例如：P（1，4）的“2之雅礼点”为，即（3，6）.（1）①点P（-1，-3）的“3之雅礼点” 的坐标为________；②若点P的“k之雅礼点” 的坐标为（2，2），请写出一个符合条件的点P的坐标________；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k之雅礼点”为点，且为等腰直角三角形，则k的值为________；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求的值.25.如图1，为等腰三角形，，点在线段上（不与重合），以为腰长作等腰直角，于.（1）求证：；（2）连接交于，若，求的值.（3）如图2，过作于的延长线于点，过点作交于，连接，当点在线段上运动时（不与重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由..答案解析部分一、单选题1.【答案】 C【解析】【解答】∵的相反数是- ，∴- =-3，∴=3，故答案为：C.【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可求解.2.【答案】D【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】 D【解析】【解答】解：3118万=31180000=3.118×107故答案为：D.【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.4.【答案】 C【解析】【解答】解：A. ，故本选项正确；B. ，故本选项正确；C. ，故本选项不正确；D. ，故本选项正确.故答案为：C.【分析】根据合并同类项法则"合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变"计算可得原式=x.5.【答案】C【解析】【分析】所给出的边2、5均可以作腰，也可以作底，分两种情况讨论，注意使用三角形三边的关系进行判断．【解答】①若2为腰，则2+2＜5，不能构成三角形，此种情况舍去；②若2为底，则5+2＞5，能构成三角形，故周长是2+5+5=12．故选C．6.【答案】D【解析】【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不符合题意；B、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，不符合题意；C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，不符合题意；D、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项符合题意；故答案为：D．【分析】根据轴对称的定义以及等腰三角形的性质判断即可.7.【答案】A【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，故答案为：A．【分析】根据已知证明AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论。

2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）2．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则AC的长是（）A．1B．2C．3D．43．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）4＝a7C．（﹣3a）2＝﹣9a2D．a4÷a＝a34．（3分）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（）A．25°B．30°C．50°D．130°5．（3分）下列添括号运算错误的是（）A．a+b﹣c＝a+（b﹣c）B．a﹣b+c＝a﹣（b+c）C．a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）D．a+b+c＝a+（b+c）6．（3分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则第三边长是（）A．3B．6C．3，6D．97．（3分）下列因式分解错误的是（）A．3ab﹣6ac＝3a（b﹣2c）B．m（x2+y2）﹣n（x2+y2）＝（m﹣n）（x2+y2）C．9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y）D．a2﹣4a+4＝（a+2）（a﹣2）8．（3分）长方形的长为3x2y，宽为2xy3，则它的面积为（）A．5x3y4B．6x2y3C．6x3y4D．9．（3分）若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，则m等于（）A．﹣2B．2C．﹣1D．110．（3分）不等式x（x+2）﹣4＞x2的解集为（）A．x＞4B．x＞﹣2C．x＞2D．x＜211．（3分）若x2+nx+25是完全平方式，则常数n的值为（）A．10B．﹣10C．±5D．±1012．（3分）如图，在△ABC中，AC＝5，线段AB的垂直平分线交AC于点D，△BCD的周长是9，则BC的长为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（共4小题）13．（3分）因式分解：a2﹣4＝．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝．15．（3分）如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为．16．（3分）已知k a＝4，k b＝6，k c＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝．三、解答题（本题共9小题，满分72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中，b＝﹣1．19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法：请你根据提供的材料完成下列问题．（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．20．（8分）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．21．（8分）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．（1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？22．（9分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO．（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）求证：△DOE≌△FOC；（3）若AC＝7，FC＝3，求OC．23．（9分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE．∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），∴∠C＞∠B．（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A 是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”A关于B的“雅常值”为9．（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”；（3）若多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，（b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数），是否存在常数k，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出一个满足条件的k值以及对应的多项式P．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选：A．2．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则AC的长是（）A．1B．2C．3D．4解：∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∵AB＝4，∴AC＝2，故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）4＝a7C．（﹣3a）2＝﹣9a2D．a4÷a＝a3解：a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意；（a3）4＝a12，因此选项B不符合题意；（﹣3a）2＝9a2，因此选项C不符合题意；a4÷a＝a4﹣1＝a3，因此选项D符合题意；故选：D．4．（3分）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（）A．25°B．30°C．50°D．130°解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，∴∠EHD＝∠EGB＝50°，∴∠CHF＝∠EHD＝50°．故选：C．5．（3分）下列添括号运算错误的是（）A．a+b﹣c＝a+（b﹣c）B．a﹣b+c＝a﹣（b+c）C．a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）D．a+b+c＝a+（b+c）解：A、a+b﹣c＝a+（b﹣c），正确，不合题意；B、a﹣b+c＝a﹣（b﹣c），原式错误，符合题意；C、a﹣b﹣c＝a﹣（b+c），正确，不合题意；D、a+b+c＝a+（b+c），正确，不合题意；故选：B．6．（3分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则第三边长是（）A．3B．6C．3，6D．9解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，故第三边长是6，故选：B．7．（3分）下列因式分解错误的是（）A．3ab﹣6ac＝3a（b﹣2c）B．m（x2+y2）﹣n（x2+y2）＝（m﹣n）（x2+y2）C．9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y）D．a2﹣4a+4＝（a+2）（a﹣2）解：A、原式＝3a（b﹣2c），不符合题意；B、原式＝（m﹣n）（x2+y2），不符合题意；C、原式＝（3x+2y）（3x﹣2y），不符合题意；D、原式＝（a﹣2）2，符合题意．故选：D．8．（3分）长方形的长为3x2y，宽为2xy3，则它的面积为（）A．5x3y4B．6x2y3C．6x3y4D．解：3x2y•2xy3＝6x3y4，故选：C．9．（3分）若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，则m等于（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1解：∵（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，又∵（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，∴x2﹣x﹣6＝x2+mx﹣6．∴m＝﹣1．故选：C．10．（3分）不等式x（x+2）﹣4＞x2的解集为（）A．x＞4B．x＞﹣2C．x＞2D．x＜2解：x（x+2）﹣4＞x2，x2+2x﹣4＞x2，x2+2x﹣x2＞4，2x＞4，x＞2，故选：C．11．（3分）若x2+nx+25是完全平方式，则常数n的值为（）A．10B．﹣10C．±5D．±10解：∵x2+nx+25是完全平方式，∴n＝±2×1×5＝±10．故选：D．12．（3分）如图，在△ABC中，AC＝5，线段AB的垂直平分线交AC于点D，△BCD的周长是9，则BC的长为（）A．3B．4C．5D．6解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∵AC＝5，∴BD+CD＝5．∵△BCD的周长为9，∴BC＝4．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）因式分解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．故答案为：（a+2）（a﹣2）．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝6．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是底边BC上的中线，∴BC＝2BD，∵BD＝3，∴BC＝2×3＝6．故答案为：6．15．（3分）如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为8．解：过P作PE⊥OD于E，∵OP平分∠DOC，∠C＝90°，PC＝2，∴PE＝PC＝2，∵OD＝8，∴△OPD的面积是＝＝8，故答案为：8．16．（3分）已知k a＝4，k b＝6，k c＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝9．解：9a÷27b＝（32）a÷（33）b＝（3）2a﹣3b，∵k a＝4，k b＝6，k c＝9，∴k a•k c＝k b•k b，∴k a+c＝k2b，∴a+c＝2b①；∵2b+c•3b+c＝6a﹣2，∴（2×3）b+c＝6a﹣2，∴b+c＝a﹣2②；联立①②得：，∴，∴2b﹣a＝a﹣2﹣b，∴2a﹣3b＝2，∴9a÷27b＝（3）2a﹣3b＝32＝9．故答案为：9．三、解答题（本题共9小题，满分72分）17．（6分）计算：．解：原式＝4﹣1﹣3+3﹣＝3﹣．18．（6分）先化简，再求值：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中，b＝﹣1．解：原式＝（4a2﹣4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b＝（2b2﹣4ab）÷2b＝b﹣2a，当a＝，b＝﹣1时，原式＝﹣1﹣2×＝﹣1﹣1＝﹣2．19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法：请你根据提供的材料完成下列问题．（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．解：（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS；故选D．（2）证明：根据作图过程可知：OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，在△ODC和△O′D′C′中，，∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），∴∠DOC＝∠D′O′C′，∴∠A'O'B'＝∠AOB．20．（8分）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝12①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝8②，∴由①﹣②得：4xy＝4，∴xy＝1；（2）由①+②得：2x2+2y2＝2（x2+y2）＝20，∴x2+y2＝10，∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝1×10＝10．21．（8分）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．（1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，依题意得：，解得：．答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．（2）设购进甲种工具m件，则购进乙种工具（100﹣m）件，依题意得：16m+4（100﹣m）≤1100，解得：m≤58，又∵m为非负整数，∴m的最大值为58．答：最多可以购买甲种工具58件．22．（9分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO．（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）求证：△DOE≌△FOC；（3）若AC＝7，FC＝3，求OC．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB，∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∠ACB＝∠DEB，∴∠B＝∠BDE＝∠DEB，∴△BDE是等边三角形；（2）∵DE∥AC，∴∠EDO＝∠CFO，在△DOE和△FOC中，，∴△DOE≌△FOC（ASA）；（3）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AC＝7，由（1）（2）得：BE＝DE＝CF＝3，EO＝CO，∴EC＝BC﹣BE＝4，∴OC＝EC＝2．23．（9分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE．∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），∴∠C＞∠B．（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B+∠BED，∴∠ADE＞∠B；（2）证明：由折叠知，BF＝CF，在△ACF中，AF+FC＞AC，∴AF+BF＞AC，∴AB＞AC；（3）由折叠知，∠MAE＝∠EAC，∠ADE＝∠C，∵∠C＝2∠B，∴∠ADE＝2∠B，∵∠ADE＝∠B+∠BED，∴∠B＝∠BED，∵ME∥AC，∴∠MEA＝∠EAC，∵∠MAE＝∠EAC，∴∠MAE＝∠MEA，∵∠BEA＝110°，∴∠B+∠BAE＝180°﹣∠BEA＝180°﹣110°＝70°，∴∠BED+∠MEA＝∠B+∠BAM＝70°，∴∠DEM＝∠BEA﹣（∠BED+∠MEA）＝110°﹣70°＝40°．24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A 是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”A关于B的“雅常值”为9．（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”；（3）若多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，（b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数），是否存在常数k，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出一个满足条件的k值以及对应的多项式P．解：（1）∵C﹣D＝（x2+x﹣1）﹣（x+2）（x﹣1）＝（x2+x﹣1）﹣（x2+x﹣2）＝1，∴C是否为D的“雅常式”，“雅常值”为1；（2）∵M是N的“雅常式”，∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣2x+b）＝（x2﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b）＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，∴﹣2a+2＝0，∴a＝1．∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）2﹣1+b，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，∴﹣1+b＝﹣2，∴b＝﹣1，∴M﹣N＝a2﹣b＝1﹣（﹣1）＝2；（3）∵多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，∴b1＝b2．∵b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数，∴进行因式分解时（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）的部分可以两两组合，分三种情况：①[（x+1）（x+2）][（x+5）（x+k）]，则1+2＝5+k，解得k＝﹣2，此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4＝（x2+3x）2﹣8（x2+3x）﹣24，不合题意舍去；②[（x+1）（x+5）][（x+2）（x+k）]，则1+5＝2+k，解得k＝4，此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4＝[（x+1）（x+5）][（x+2）（x+4）]﹣4＝（x2+6x+5）（x2+6x+8）﹣4＝（x2+6x）2+13（x2+6x）+36＝（x2+6x+4）（x2+6x+9），符合题意，∵P﹣Q＞0，∴P＝x2+6x+9；③[（x+1）（x+k）][（x+5）（x+2）]，则1+k＝5+2，解得k＝6，此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4＝（x2+7x）2+16（x2+7x）+56，不合题意舍去；综上，存在常数k＝4，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，此时对应的多项式P＝x2+6x+9．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△PAQ是等腰直角三角形，∠PAQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【解答】（1）证明：∵∠BOA＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，∴∠ABO＝∠CAM；（2）解：∵CM⊥y轴，∴∠AMC＝∠BOA＝90°，∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM，∴△AMC≌△BOA（AAS），∴CM＝AO，AM＝BO，∵BD＝BE，BD⊥BE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝∠BED＝45°，∠EBO＝∠DBE＝45°，∴∠EBO＝∠BEO，∴BO＝EO＝AM，∴EO﹣OM＝AM﹣OM，∴EM＝AO＝CM，∴△CME是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°；（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵△PAQ是等腰直角三角形，∴PA＝QA，∠PAQ＝∠CAB＝90°，∴∠PAQ+∠QAC＝∠CAB+∠QAC，即∠PAC＝∠QAB，∵AC＝AB，∴△PAC≌△QAB（SAS），∴∠APC＝∠AQB，∵∠AKP＝∠QKN，∴∠QNK＝∠PAK＝90°，∵CM⊥y轴，∴CM∥NO，∴∠NCM＝∠KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：∵CN＝CM，∠CNI＝∠CMH＝90°，∴△CNI≌△CMH（SAS），∴∠NCI＝∠MCH，CI＝CH，∴∠NCG+∠NCI＝∠NCG+∠MCH＝∠NCM﹣∠GCH＝90°﹣45°＝45°＝∠GCH＝∠GCI，∴△GCI≌△GCH（SAS），∴GI＝GH，∵GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，∴GH＝5．。

湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校2020-2021学年八年级上学期数学第三次月考试卷一、单选题（共12题；共24分）1.下列实数中，为无理数的是（）A. B. C. D.2.式子在实数范围有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.5.若分式的值为0，则x的值为（）A. 0B. 1C. ﹣1D. ±16.下列分式中，最简分式是（）A. B. C. D.7.下列命题是真命题的是（）A. 与是同类项B. 两点之间，直线最短C. 六边形外角和是度D. 点与点关于轴对称8.下列计算正确的是（）A. B. C. D.9.如图，等边中，，与相交于点，则的度数是（）A. B. C. D.10.如图，屋架设计图中，点是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，则和的长分别等于（）A. ，B. ，C. ，D. ，11.中国古代数学著作《算法统宗》中这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。

”其大意是，有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A. 里 B. 里 C. 里 D. 里12.已知，当时，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共4分）13.分解因式：________；14.把进行化简，得到的最简结果是________；（结果保留根号）．15.已知某种感冒病毒的直径是米，这个数可用科学记数法表示为________米．16.已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为________．三、解答题（共9题；共106分）17.计算：．18.先化简，再求值：，其中．19.已知多项式与另一个多项式的乘积为多项式．（1）若为关于的一次多项式，为关于的二次二项式，求的值；（2）若为，求的值．20.为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水碧·地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成下面两个统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）这次参与调查的居民人数为________；（2）请将条形统计图补充完整；（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；（4）该街道辖区内现有居民万人，请你估计这万人中最喜欢玉兰树的有多少人？21.人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为，如图，在中，，，．（1）求的面积；（2）设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．22.如图，在中，点在的垂直平分线上．（1）若，，求和的度数；（2）若，，求的度数；（3）若，的周长为，求的周长．23.某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多元．（1）求一件、型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A、B型商品共160件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，且不小于件，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方案？（3）在第（2）问的条件下，哪种方案利润最大并求出最大利润．24.我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为．（1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”；（2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式” 的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和；（3）已知分式，，（、、为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值．25.人教版初中数学教科书八年级上册第83页第12题告诉我们，两个共顶点的不重合等边三角形，分别连接对侧顶点构成的两个三角形会全等．（1）如图1所示，、都是等边三角形，请证明；（2）如图2，在第（1）问的条件下，设、交于，连接，求的值；（3）将共顶点的等边三角形改为共直角顶点的等腰直角三角形后，如图3，等腰直角三角形与等腰直角三角形共直角顶点，连接、，，为上一点，，连接，为上一点，，连接，过作于，若，，，求的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】B11.【答案】C12.【答案】B二、填空题13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】m＞2且m≠3三、解答题17.【答案】解：== ．18.【答案】解：== ，∵=1+2=3，∴原式= = ．19.【答案】（1）解：根据题意可知：B=（x+3）（x+a）=x2+（a+3）x+3a，∵为关于的一次多项式，∴a≠0，∴3a≠0，又B为关于x的二次二项式，∴B中x的一次项系数为0，∴a+3=0，解得a=-3（2）解：设A为x2+tx+2，则（x+3）（x2+tx+2）=x3+（t+3）x2+（2+3t）x+6=x3+px2+qx+6，∴，∴3p-q=3（t+3）-（3t+2）=7；20.【答案】（1）1000人（2）解：选择“樟树”的有1000－250－375－125－100＝150（人），补全条形图如图：（3）解：最喜欢“枫树”的人数所占百分比：∴360°×10％=36°，答：扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为36°（4）解：（人）答：估计这2万人中最喜欢玉兰树的约有15000人21.【答案】（1）解：，，在中，，，，代入可得，（2）解：设边上的高为，边上的高为，边上的高为，则= ，可得到，，，．22.【答案】（1）解：∵点D在AC的垂直平分线上，∴AD=DC，在三角形ABD中，AB=AD，在三角形ADC中，AD=DC，（2）解：设∵CA=CB，∵AB=AD=DC，在△ABC中，解得：故∠C的度数是36°（3）解：∵点D在AC的垂直平分线上，∴DA=DC，∵△ABD的周长为15cm∴AB+BD+AD=15（cm），即AB+BD+DC=AB+BC=15（cm），∵，∴AB+BC+AC=15+8=23（cm），∴△ABC的周长为23cm．23.【答案】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，依题意得：，解得：x=150，经检验，x=150是原方程的解且符合题意，x+10=160．答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元（2）解：设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，依题意得：，解得：78≤m≤80，又∵m为整数，∴m可以为78，79，80，∴共有3种进货方案，方案1：购进A型商品78件，B型商品82件；方案2：购进A型商品79件，B型商品81件；方案3：购进A型商品80件，B型商品80件（3）解：方案1获得的利润为（240-160）×78+（220-150）×82=11980（元）；方案2获得的利润为（240-160）×79+（220-150）×81=11990（元）；方案3获得的利润为（240-160）×80+（220-150）×80=12000（元）．∵11980＜11990＜12000，∴方案3购进A型商品80件，B型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元．24.【答案】（1）解：不是的“雅中式”．（2）解：关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式” 的值也为整数，是的因数，可能是：的值为：的值为：（3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，整理得：由上式恒成立：消去可得：、、为整数为整数，当时，此时：当时，此时：当时，此时：当时，此时：综上：的值为：或或或25.【答案】（1）证明：、都是等边三角形，（2）解：在上截取连接在与中，为等边三角形，,在与中，（3）解：为等边三角形，过作于在上取点，使为等边三角形，过作于，过作于，。

湖南长沙湘郡培粹实验中学度八年级数学第一次月考试题（Word 版，无答案）第一次月考数学问卷时间：120 分钟 总分值：120分一、选择题〔共 10 小题，总分值 30 分〕1．以下图形中，不是轴对称图形的是〔 〕 ．A ． B. C. D.2．以下运算正确的选项是〔〕．A ． a 2 + a 3 = a 5B ． a 2 a 3 = a 5C ． (a 2 )3 = a 5D ． a 10 ÷ a 2 = a 53．以下各式由左边到左边的变形中，是分解因式的是〔 〕．A ． a ( x + y ) = ax + ayB ． x 2 - 4x + 4 = x ( x - 4) + 4C ．10x 2 - 5x = 5x (2x - 1)D ． 2x 3 - 4x 2 + 2x = 2x ( x 2 - 2x + 1)4． x m = 6, x n = 3 ，那么 x 2 m - n 的值为〔〕．A ． 9.B ．34C ． 12D ．435．如 ( x + m ) 与 ( x + 3) 的乘积中不含x 的一次项，那么 m 的值为〔 〕． A ． -3 B ． 3 C ． 0 D ．1 6．假定分式242x x --的值为 0，那么 x 的值是〔 〕．A ． -2B ． 2C ． ±2D ．不能确定7.如下图，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形〔 a > b 〕,将余下局部拼成 一个梯形，依据两个图形阴影局部面积的关系，失掉一个关于 a ， b 的恒等式为〔 〕．A ． (a - b )2 = a 2 - 2ab + b 2B ． (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2C ． a 2 - b 2 = (a + b )(a - b )D ． a 2 + ab = a (a + b )8．如图，在 ABC ， AC = 4cm ，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 N ， BCN 的周长为 7cm ， 那么 BC 的长为〔〕.A ． 1cmB ． 2cmC ． 3cmD ．4cm 第 8 题 第 9 题 第 12 题9．如图，D 为 AB 上的一点，E 为 BC 上的一点，且AC = CD = BD = BE ， A = 50︒ , 那么 ∠CDE 的度数为〔〕． A ． 50︒B ． 51︒C ． 51.5︒D ． 52.5︒ 10．假设分式2()xy x y +中的 x 和 y 都扩展 2 倍，那么分式的值是〔 〕． A ．扩展 4 倍 B ．扩展 2 倍 C ．不变D ．增加 2 倍 11．假设12x x +=，那么221=x x+ A ． 4 B ． 2 C ． 0 D ．612．如图， A ， C ， B 三点在同一条直线上， DAC 和 EBC 都是等边三角形， AE ， BD 分 别与 CD ， CE 交于点 M ， N ，有如下结论：① ACE ≌ DCB ；② CM = CN ；③ AC = CN 其中正确结论的个数是〔 〕A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个二、填空题〔共 6 小题，每题 3 分，共 18 分〕13．一个等腰三角形的两边长区分是 2cm 、 5cm ，那么它的周长为 cm ．14．如图， Rt ABC 中， ACB = 90︒ ， A = 50︒ ，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A 2 处，折痕 为 CD ，那么 A 2DB 为 ．15．假定 a - b = 1 ，那么代数式 a 2 - b 2 - 2b 的值为 ．16．计算2018201952()(2)125⋅=17．在实数范围内因式分解： 2x 2 - 4 = ．18．假定 x 2 + 2 ( m - 3) x + 16 是关于 x 的完全平方式，那么 m = ．三、解答题〔共 8 小题〕19．计算：⑴ ( 2a )3 · b 4 ÷12a 3b 2 ⑵ (-3x + 3 y + 2) (3x + 3 y - 2)20．因式分解：⑴ 4mx 3 - 24mx 2 + 36mx ⑵ 25 + 10 ( m + n ) + ( m + n )221．计算：22． △ABC 在平面直角坐标系中的位置如下图．⑴在图画中画出 △ABC 与关于 y 轴对称的图形△A 1 B 1C 1 ，并求出 △ABC 的面积； ⑵假定将线段 A 1C 1 平移后失掉线段 A 2C 2 ，且 A 2(a ,2) ， C 2(-2, b ) ，求 a , b 的值．23． x 2 + 2x - 5 = 0 ，求代数式 ( x - 3)2 - ( 2x + y ) ( 2x - y ) - y 2 的值．24．如图，△ABC 为等边三角形， D 为 BC 延伸线上的一点，CE 平分 ACD ，CE = BD ， 求证：△ADE 为等边三角形．25．如图，在△ABC 中，ABC = 45︒，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点E，与CD 相交于点F ，H 是边BC 的中点，衔接DH 与BE 相交于点G ．⑴求证：BF =AC ；⑵假定CE = 3 ，求GE 的长．26．等边△ABC⑴如图①，假定点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，AN ，CM 交于点P ，且AM =BN ，那么∠CPN 的度数是．⑵如图②，点M 在AB 的延伸线上，点N 在BC 的延伸线上，且AM =BN ，直线CM 交直线AN于点P ．①求CPN 的度数；② 作MG ⊥BC 于点G ，假定GNnBG=，求点M 在运动进程中，使△CPN 为等腰三角形时n 的值．27 ．在平面直角坐标系中，A点的坐标为(a,0)，B点的坐标为(0, b)，且a,b满足a2 - 2ab + 2b2 - 24b +144 = 0 ，将△OAB 沿直线AB 翻折失掉△ABM ．⑴求证：∠OAB =∠OBA ；⑵如图①，将OA 绕点A 旋转到AF 处，衔接OF ，过点B 作BC ⊥OF 于点C ，过点A 作AD ⊥OF 于点D ．① 求证：△BOC≌△OAD ；② 作AN 平分∠MAF 交OF 于点N ，衔接BN ，求∠ANB 的度数；⑶如图②，假定D (0, 4)，E 为BM 上一点，且满足EAD = 45︒，试求线段EB 的长度．。

2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷一、选择题：（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）在实数，﹣，0.，，，3.1415926中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（）A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣1，﹣2）3．（3分）下列调查方式中，你认为最合适的是（）A．了解某校七年级一班学生的身高，采用全面调查方式B．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，釆用全面调查方式C．了解乌市居民日平均用水量，采用全面调查方式D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式4．（3分）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC5．（3分）若一个五边形的四个内角都是100°，那么第五个内角的度数为（）A．120°B．100°C．140°D．150°6．（3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为（）A．14B．10C．9D．87．（3分）下列不等式变形正确的是（）A．若a+c＜b+c，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，c＜0则ac＜bc D．若＞，则a＞b8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°9．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定10．（3分）若不等式组的解为x＜8，则m的取值范围是（）A．m≥8B．m≤8C．m＜8D．m＞811．（3分）2020年2月某敬老院为了更好的保护好老人，预防老人们感染新冠病毒，用4800元购进A，B口罩共160件，其中A型口罩每件24元，B型口罩每件36元．设购买A 型口罩x件，B型口罩y件，依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD ＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）代数式+2的最小值是．14．（3分）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝cm．15．（3分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是整点．若整点P（m+2，2m﹣1）在第四象限，则m的值为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是．三、解答题（本大题共9个小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．（6分）﹣12020+++|﹣2|．18．（6分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出它的整数解．19．（6分）如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．（1）求∠C的度数；（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数为．20．（8分）垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变，是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法．为了增强同学们垃圾分类的意识，某校举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试（满分100分，得分均为整数），学校从全校2800名学生中随机抽取部分学生的成绩，绘制成如图不完整的统计图表．抽职的部分学生测试成绩的频数分布表成绩a（分）频数（人）百分比50≤a＜601010%60≤a＜7015n70≤a＜80m20%80≤a＜904040%90≤a≤1001515%由图表中给出的信息回答下列问题：（1）频数分布表中，m＝，n＝．本次抽样调查的样本容量是．（2）补全频数分布直方图．（3）如果成绩在80分以上（包括80分）为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．21．（8分）已知关于x、y的方程组的解是非负数．（1）求方程组的解（用含k的代数式表示）（2）求k的取值范围；（3）化简：|2k+3|﹣|k﹣2|．22．（9分）如图，CD∥AB，△ABC的中线AE的延长线与CD交于点D．（1）若AE＝3，求DE的长度；（2）∠DAC的平分线与DC交于点F，连接EF，若AF＝DF，AC＝DE，求证：AB＝AF+EF．23．（9分）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|；（1）已知点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为．（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点，①若点A与B的“近似距离为3”，写出满足条件的B点的坐标．②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值．（3）已知C点坐标为C（2m+2，m），D（1，0），写出点C与D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标．25．（10分）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN ⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM＝PE；（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的关系．2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）在实数，﹣，0.，，，3.1415926中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：是分数，属于有理数；是循环小数，属于有理数；，是整数，属于有理数；3.1415926是有限小数，属于有理数．无理数有：，共2个．故选：B．2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（）A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣1，﹣2）【分析】根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．【解答】解：A．（1，2）在第一象限，故本选项不合题意；B．（﹣2，1）在第二象限，故本选项不合题意；C．（2，﹣1）在第四象限，故本选项不合题意；D．（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项符合题意．故选：D．3．（3分）下列调查方式中，你认为最合适的是（）A．了解某校七年级一班学生的身高，采用全面调查方式B．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，釆用全面调查方式C．了解乌市居民日平均用水量，采用全面调查方式D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A．了解某校七年级一班学生的身高，采用全面调查方式，符合题意；B．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，适合釆用抽样调查方式，不符合题意；C．了解乌市居民日平均用水量，采用抽样调查方式，不符合题意；D．旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，不符合题意；故选：A．4．（3分）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．【解答】解：A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．故选：B．5．（3分）若一个五边形的四个内角都是100°，那么第五个内角的度数为（）A．120°B．100°C．140°D．150°【分析】利用多边形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：因为五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，4个内角都是100°，所以第5个内角的度数是540°﹣100°×4＝140°．故选：C．6．（3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为（）A．14B．10C．9D．8【分析】把代入方程组，求出a、b的值，再求出a+b即可．【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，∴代入得：，解得：a＝12，b＝2，∴a+b＝12+2＝14，故选：A．7．（3分）下列不等式变形正确的是（）A．若a+c＜b+c，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，c＜0则ac＜bc D．若＞，则a＞b【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A、∵a+c＜b+c，∴两边减去c得：a＜b，故本选项不符合题意；B、∵a＞b，∴ac2≥bc2（当c＝0时，ac2＝bc2），故本选项不符合题意；C、∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故本选项符合题意；D、＞，当c＞0时，a＞b；当c＜0时，a＜b；故本选项不符合题意；故选：C．8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：如图所示，∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故选：B．9．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定【分析】根据数轴上点的位置，结合相反数，绝对值的性质判断即可．【解答】解：根据数轴上点的位置及a，c互为相反数，得c＜a＜b，且|c|＝|a|＜|b|，则绝对值最大的是b，故选：B．10．（3分）若不等式组的解为x＜8，则m的取值范围是（）A．m≥8B．m≤8C．m＜8D．m＞8【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据同小取小并结合不等式组的解集可得m的范围．【解答】解：解不等式x+2＞2x﹣6，得：x＜8，∵不等式组的解集为x＜8，∴m≥8，故选：A．11．（3分）2020年2月某敬老院为了更好的保护好老人，预防老人们感染新冠病毒，用4800元购进A，B口罩共160件，其中A型口罩每件24元，B型口罩每件36元．设购买A型口罩x件，B型口罩y件，依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用用4800元购进A，B口罩共160件，分别得出等式组成方程组即可．【解答】解：设购买A型口罩x件，B型口罩y件，依题意列方程组得：．故选：B．12．（3分）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD ＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①在AE取点F，使EF＝BE．利用已知条件AB＝AD+2BE，可得AD＝AF，进而证出2AE＝AB+AD；②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC＝∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB＝∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB＝180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD＝CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF＝CB，从而CD＝CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC错误．【解答】解：①在AE取点F，使EF＝BE，∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，∴AD＝AF，∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE，∴AE＝（AB+AD），故①正确；②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠F AC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC+∠CFB＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠DAB+∠DCB＝360﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，所以S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC，故④错误；即正确的有3个，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）代数式+2的最小值是2．【分析】根据算术平方根恒大于等于0，即可确定出最小值．【解答】解：∵≥0，∴+2≥2，即的最小值是2．故答案为：2．14．（3分）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝10cm．【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE 的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE＝BE，又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC﹣AB＝2cm，即AC﹣8＝2cm，∴AC＝10cm，故答案为：10；15．（3分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是整点．若整点P（m+2，2m﹣1）在第四象限，则m的值为﹣1或0．【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣1）在第四象限，∴解得：﹣2＜m＜，∵点的横、纵坐标均为整数，∴m是整数，∴m的值为﹣1或0．故答案为：﹣1或0．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是15．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，故答案为：15．三、解答题（本大题共9个小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．（6分）﹣12020+++|﹣2|．【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣12020+++|﹣2|＝﹣1+（﹣3）+2+2﹣＝﹣．18．（6分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出它的整数解．【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，在数轴上表示出来以后写出其整数解．【解答】解：，解①得x＞﹣1.5，解②得x≤4，故不等式组的解集是：﹣1.5＜x≤4．不等式组的解集在数轴上表示为：故该不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，3．19．（6分）如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．（1）求∠C的度数；（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数为50°或90°．【分析】（1）利用角平分线的性质可得∠DBC＝30°，由外角的性质可得结果；（2）利用分类讨论思想：如图1，则∠CDE＝90°；如图2，当∠CED＝90°时，则∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°．【解答】解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°∴∠DBC＝∠ABC＝30°，又∵∠ADB是△BDC的外角，∠ADB＝70°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠C＝∠ADB﹣∠DBC＝40°；（2）情况一，如图1，则∠CDE＝90°；情况二：如图2，当∠CED＝90°时，∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，综上所述，∠EDC的度数为90°或50°，故答案为：50°或90°．20．（8分）垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变，是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法．为了增强同学们垃圾分类的意识，某校举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试（满分100分，得分均为整数），学校从全校2800名学生中随机抽取部分学生的成绩，绘制成如图不完整的统计图表．抽职的部分学生测试成绩的频数分布表成绩a（分）频数（人）百分比50≤a＜601010%60≤a＜7015n70≤a＜80m20%80≤a＜904040%90≤a≤1001515%由图表中给出的信息回答下列问题：（1）频数分布表中，m＝20，n＝15%．本次抽样调查的样本容量是100．（2）补全频数分布直方图．（3）如果成绩在80分以上（包括80分）为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．【分析】（1）根据50≤a＜60这一组的频数和所占的百分比，可以求得本次抽取的人数，然后即可计算出m、n的值；（2）根据（1）中m的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据频数分布表中的数据，可以得到成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比．【解答】解：（1）随机抽取的学生总人数为：10÷10%＝100，m＝100×20%＝20，n＝15÷100×100%＝15%，故答案为：20，15%，100；（2）由（1）知，m＝20，补全的频数分布直方图如图所示；（3）40%+15%＝55%，2800×55%＝1540（人）．答：估计该校本次测试成绩优秀的学生人数为1540人．21．（8分）已知关于x、y的方程组的解是非负数．（1）求方程组的解（用含k的代数式表示）（2）求k的取值范围；（3）化简：|2k+3|﹣|k﹣2|．【分析】（1）用加减法先消去y，求得x，再把x的值代入任意一个方程求得y；（2）根据原方程组的解是非负数，列出k的不等式组进行解答；（3）结合k的取值范围，确定绝对值内的代数式的正负，根据绝对值的性质进行计算．【解答】解：（1），①+②得：4x＝8k﹣4，即x＝2k﹣1③，将③代入②得：y＝﹣4k+4，则原方程组的解为：；（2）∵原方程组的解均为非负数，∴，解得：；（3）|2k+3|﹣|k﹣2|＝2k+3﹣[﹣（k﹣2）]＝2k+3+k﹣2＝3k+1．22．（9分）如图，CD∥AB，△ABC的中线AE的延长线与CD交于点D．（1）若AE＝3，求DE的长度；（2）∠DAC的平分线与DC交于点F，连接EF，若AF＝DF，AC＝DE，求证：AB＝AF+EF．【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△DCE，可得AE＝DE＝3；（2）由“SAS”可证△CAF≌△EAF，可得CF＝EF，可得结论．【解答】解：（1）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCE，∵AE是中线，∴CE＝BE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（ASA），∴AE＝DE＝3，∴DE的长为3；（2）∵△ABE≌△DCE，∴AB＝CD，∵AF平分∠DAC，∴∠CAF＝∠DAF，∵AC＝DE，AE＝DE，∴AC＝AE，在△CAF和△EAF中，，∴△CAF≌△EAF（SAS），∴CF＝EF，∴AB＝CD＝CF+DF＝EF+AF．23．（9分）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；（3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的值，再根据a为整数，即可得出答案．【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，解得：a≤37．答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．（3）根据题意得：（200﹣160）a+（150﹣120）（50﹣a）＞1850，解得：a＞35，∵a≤37，且a应为整数，∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当a＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|；（1）已知点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为4．（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点，①若点A与B的“近似距离为3”，写出满足条件的B点的坐标（3，0）、（﹣3，0）．②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值2．（3）已知C点坐标为C（2m+2，m），D（1，0），写出点C与D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标．【分析】（1）根据题意即可得点P与点Q的“近似距离”；（2）①设点B的坐标为（x，0）．由|0﹣x|＝3，|﹣2﹣0|＝2，解得x＝3或x＝﹣3，即可得出答案；②设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），则|0﹣x|＝x，|﹣2﹣0|＝2，若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2，若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；即可得出结果；（3）求点C与点D的“近似距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则P1与P2的“近似距离”为|x1﹣x2|”，此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，即|2m+1|＝|m|，解方程得m的值即可．【解答】解：（1）∵点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为4．故答案为：4；（2）①∵B为x轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（x，0）．∵A、B两点的“近似距离为3”，A（0，﹣2），∵|0﹣x|＝3，|﹣2﹣0|＝2，解得x＝3或x＝﹣3，∴点B的坐标是（3，0）或（﹣3，0），故答案为：（3，0）或（﹣3，0）；②∵设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），∴|﹣2﹣0|＝2，|0﹣x|＝x，∴若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2，若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；∴A、B两点的“近似距离”的最小值为2，故答案为：2；（3）∵C（2m+2，m），D（1，0），∴|2m+2﹣1|＝|m﹣0|＝|2m+1|，当m＞0时，m＝2m+1，解得：m＝﹣1（舍去）；当﹣＜m＜0时，﹣m＝2m+1，解得：m＝﹣；∴点C与D的“近似距离”的最小值为|m|＝；相应的C点坐标为（﹣，）；答：点C与D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标为：，（﹣，）．25．（10分）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN ⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM＝PE；（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的关系．【分析】（1）根据平行线的性质证得∠MBP＝∠ECP再根据BP＝CP，∠BPM＝∠CPE 即可得到△BPM≌△CPE，得到PM＝PE，则PM＝ME，而在Rt△MNE中，PN＝ME，即可得到PM＝PN．（2）延长MP与NC的延长线相交于点E．证明△BPM≌△CPE（ASA），推出BM＝CE，求出△MNE的面积即可解决问题．（3）分两种情形：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，分别利用三角形中位线定理，梯形中位线定理解决问题即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC边中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE∴PM＝ME，在Rt△MNE中，∵∠MNE＝90°，PM＝PE，∴PN＝ME，∴PM＝PN．（2）解：延长MP与NC的延长线相交于点E．∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE＝1，S△PBM＝S△PCE，∴AE＝CN+CE＝4，∵S△BMP+S△CNP＝7，∴S△PNE＝7，∴S△MNE＝2S△PNE＝14，∴×MN×7＝14，∴MN＝4．（3）解：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵PM＝PE，∴MG＝GN，∴PG＝EN＝（CN﹣EC），∵EC＝BM，∴PG＝（CN﹣BM）．如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵PM＝PE，∴MG＝GN，∴PG═（CN+BM）．综上所述，PG＝（CN﹣BM）或PG＝（CN+BM）．。

中雅培粹学校八年级下学期入学考试数学卷满分120分 时间120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1.在四个实数2-，0，5中，最小的实数是（ ）A .2-B .0C .D .5 2.若点(3,2)A m n -+关于原点的对称点B 的坐标是(3,2)-，则,m n 的值为（ ） A .6,4m n =-=- B .6,4m n ==- C .6,4m n == D . 0,4m n ==-3.已知,a b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩，则a b +的值为（ ）A .4-B .4C .2-D .24.不等式组35215x x +≥⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示为（ ）A .B .C .D .5.下列事件中最适合用普查的是（ ）A .了解某种节能灯的使用寿命B .旅客上飞机前的安检C .了解重庆市中学生课外使用手机的情况D .了解某种炮弹的杀伤半径 6.正多边形一个外角等于它的相邻的内角的14，则这个多边形是（ ） A .正十二边形 B .正六边形C .正八边形D .正十边形 7.如图，将一块含有30︒角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果280∠=︒，那么1∠的度数为（ ）1234012340123401234543216A .60︒B .50︒C .40︒D .30︒8.如图，点B E 、在线段CD 上,若C D ∠=∠,则添加下列条件，不一定能使ABC EFD ∆∆≌的是（ ）A .BC FD AC ED ==，B .A DEF AC ED ∠=∠=，C .AC ED AB EF ==， D .ABC EFD BC FD ∠=∠=， 9.已知不等式组1x ax >⎧⎨≥⎩的解集是1x ≥，则a 的取值范围是（ ） A .1a < B .1a ≤C .1a ≥D .1a >10.若一个正数的平方根分别是22m -与4m -，则m 为（ ） A .2- B .1 C .2 D .2-或211.如图3,用8块相同的小长方形拼成一个大长方形，则大长方形的长为（ ） A .10cm B .60cmC .40cmD .30cm12.若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222456456a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为（ ）A .34x y =⎧⎨=⎩B .3445x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C . 1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩D .92245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩二、填空题（每小题3分，共18分） 13.在下列各数中无理数有 个.3216,π-2203382590,0.575775777577775L L 14.方程34x y -=中，有一组解x 与y 互为相反数，则3x y + ． 15.如图，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= .图416.已知关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨-≥⎩的整数解共有5个，则a 的取值范围 .17.若ABC DEF ∆∆≌，3AB =，7AC =，且DEF ∆的周长为奇数，则EF 的值为 . 18. 如图5，在平面直角坐标系中，第一次将112B A B ∆变换成123B A B ∆，第二次将123B A B ∆变换成134B A B ∆，第三次将134B A B ∆变换成145B A B ∆，按这个变换，6B 的坐标是 ,(2)n B n ≥的坐标是 .图图5三、解答题（共8个题，共66分） 19.（6分）计算：（1）()22311232264⎛⎫-+-+--- ⎪⎝⎭（2）4143414312x y x y +=⎧⎪--⎨-=⎪⎩20.（6分）解不等式组：()3242113x x x x -≥-⎧⎪⎨+>-⎪⎩在数轴上表述出解集，并写出它的所有的整数解.21.（8分）如图，ABC ∆中，40A ∠=︒，76B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB ⊥于点D ，DF CE ⊥于点F ，求CDF ∠的度数.22.（8分）如图，某校九年级（1）班所有学生参加2017年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A 、B 、C 、D 四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题： （1）九年级（1）班参加体育测试的学生有 人； （2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，等级B 部分所占的百分比是 ,等级C 对应的圆心角的度数为 ； （4）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A 级和B 级的学生共有多少人？F CAB23.（9分）如图8，在ABC ∆中，=AB AC ，E 是AB 中点，延长AB 到D ，使=BD BA ，延长CE 至F ，使得EF CE =.求证：2CD CE =24.（9分）为建设京西绿色走廊，改善永定河水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备. 现有A 、B 两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表：经调查：购买一台A 型设备比购买一台B 型设备多2万元，购买2台A 型设备比购买3台B 型设备少6万元. （1）求x y 、的值；（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案；（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案.D25.（10分）在平面直角坐标系xoy 中，点(,)P x y 经过τ变换得到点'(',')P x y ，该变换记为(,)(',')x y x y τ=，其中''x ax byy ax by=+⎧⎨=-⎩（,a b 为常数）.例如，当1a =，且1b =时，(2,3)(1(2)131(2)13)(1,5).τ-=⨯-+⨯⨯--⨯=-， （1）当1a =，且2b =-时，(0,1)τ= ；（2）若(1,2)(0,2)τ=-，则a = ，b = ；（3）设点(,)P x y 满足等量关系2y x =，点P 经过τ变换得到点'(',')P x y .若点P 与点'P 关于原点对称，求a 和b 的值.26.（10分）数学课上林老师出示了问题：如图，AD BC∠=︒，AD AB BC DC===，AEF∥，90∠=︒，点E是边BC的中点，且EF交DCG∠的平分线CF于点F，求证：AE=EF.B90同学们做了一步又一步的研究：（1）经过思考，小明展示了一种解题思路：如图1，取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF≌，所以AE=EF，小明的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不∆∆正确，请说明理由；（2）小颖提出一个新的想法：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 上（除B,C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（3）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立. 小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.。

2020年下学期初二第一次教学质量检测联考卷数学科目考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 如图是四个汽车标志的图案，其中不是轴对称图形的是（ ）ABCD2. 在下列各数：π3，38，2010.0 ，722， 111155151151115.0（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），7，414.1中，无理数有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 若c b c a +<+，则b a >B. 若b a >，则22bc ac >C. 若b a >，0<c ，则bc ac <D. 若cbc a >，则b a > 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. 422a a a =+B. 235a a a =-C. 2222a a a =⋅D. ()632a a =5. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 13B. 17C. 13或17D. 13或106. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点坐标为（ ） A. ()3,2-B. ()2,3-C. ()3,2-D. ()2,3-7. 已知方程组⎩⎨⎧=-=+5232y x y x ，则y x 93+的值为（ ）A. 2-B. 2C. 6-D. 68. 下列说法中正确的是（ ） A. 若OB OA =，则O 是AB 中点 B. 连接两点间的线段，叫做这两点的距离C. 汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面，这个可以说线动成面D. 从初一1200名学生中，抽取200名进行视力测试，样本容量是200名 9. 已知632=-y x ，则y x 967+-的值为（ ） A. 25B. 25-C. 11D. 11-10. 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+<+mx xx 31321无解，则m 的取值范围为（ ）A. 3≤mB. 3<mC. 1≥mD. 1>m11. 如图，BD 是ABC ∆的角平分线，BD AE ⊥，垂足为F ，交边BC 于点E ，连接DE . 若︒=∠40ABC ，︒=∠50C ，则CDE ∠的度数为（ ） A. ︒35B. ︒40C. ︒45D. ︒50第11题图第12题图12. 如图，在等边ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，延长BC 到E ，使BC CE 21=，F 是AC 的中点，连接EF 并延长EF 交AB 于G ，BG 的垂直平分线分别交BG 、AD 于点M 、点N ，连接GN 、CN ，下列结论：①AB EG ⊥；②EF GF 21=；③︒=∠120GNC ；④GF GN =. 其中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个ECBAEB二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点()2,1-M 关于x 轴对称点的坐标为 ；14. 如图，在ABC ∆中MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC ，若BC 的长度为9，则APO ∆的周长是 ；ABC15. 如图，ABC ∆的三个顶点分别位于x 轴、y 轴上，且()0,3-A 、()0,3B ，过点A 作BC AD ⊥于D ，若︒=∠42ACB ，则DAB ∠的度数为 ；第15题图第16题图16. 如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，6=AB ，BD 是ABC ∆的角平分线，点P 、点N 分别是BD 、AC 边上的动点，点M 在BC 上，且1=BM ，则PN PM +的最小值为 .三、解答题（本大题共9个小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17. （1）计算：()()312122020-+-+--； （2）解不等式组：()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>+312231345x x x xCB N18. 有理数x 、y 满足条件()02212=-+-y x ，求()()()()32223282y x x y x -⋅-⋅+-的值.19. 如图，在平面直角坐标系中，()0,1A 、()3,3B 、()1,5C .（1）画出ABC ∆关于x 轴的对称图形111C B A ∆； （2）ABC ∆的面积为 ；（3）在x 轴上求一点P ，使得APB ∆的面积等于ABC ∆的面积.20. 某学校在暑假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中帮助父母干家务，开学以后，校学生会随机抽取了部分学生，就暑假“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：根据上述信息，回答下列问题：（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是 人；x平均每天帮助父母干家务所用时长学生人数统计图平均每天帮助父母干家务 所用时长分布统计图40~50分钟（2）=m ，=n ； （3）补全频数分布直方图；（4）如果该校共有学生1000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？21. 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 是AD 上一点，AB EB ⊥，且EC EA =. （1）若︒=∠50BAC ，求AEC ∠的度数； （2）求证：AB AC 2=.22. 如图，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AB CD ⊥，垂足为D ，AC BE ⊥，垂足为E ，CD 与BE 交于点F .（1）求证：AB AC =；（2）猜想CF 与DF 的数量关系，并证明.CACDAB23. 国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，计划购买A 型和B 型两种环保型公交车10辆，其中每台的价格、年载客量如表：若购买A 型环保公交车1辆，B 型环保公交车2辆，共需400万元，若购买A 型环保公交车2辆，B 型环保公交车1辆，共需350万元. （1）求x 、y 的值；（2）如果该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1200万元，且确保10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？24. 对正整数x 、y ，我们定义了一种新运算：()yx b a y x T yx +=,（其中a 、b 为非零常数），例如：()535,353+=b a T ，已知()32,1=T ，()232,4=T .（1）求a 、b 的值；（2）若()99,=-m m T ，求出m 的值；（3）若()8132,21≤+-≤n n T ，求符合条件的n 的值.25. 已知ABC ∆为等边三角形，取ABC ∆的边AB 、BC 中点D 、E ，连接DE ，如图1，易证DBE ∆为等边三角形，将DBE ∆绕点B 顺时针旋转，设旋转的角度α=∠ABD ，其中︒<<︒1800α.（1）如图2，当︒=30α时，连接AD 、CE ，求证：CE AD =；（2）在DBE ∆旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD 、CE 会交于一点，记交点为点F ，AD 交BC 于点P ，CE 交BD 于点Q ，连接BF ，请问BF 是否会平分CBD ∠如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF 、BF 和CF 之间的数量关系，并说明理由.图3图2图1EDCA B AA。

2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则AC的长是（）A．1B．2C．3D．43．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）4＝a7C．（﹣3a）2＝﹣9a2D．a4÷a＝a34．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（）A．25°B．30°C．50°D．130°5．下列添括号运算错误的是（）A．a+b﹣c＝a+（b﹣c）B．a﹣b+c＝a﹣（b+c）C．a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）D．a+b+c＝a+（b+c）6．等腰三角形的两边长分别为3和6，则第三边长是（）A．3B．6C．3，6D．97．下列因式分解错误的是（）A．3ab﹣6ac＝3a（b﹣2c）B．m（x2+y2）﹣n（x2+y2）＝（m﹣n）（x2+y2）C．9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y）D．a2﹣4a+4＝（a+2）（a﹣2）8．长方形的长为3x2y，宽为2xy3，则它的面积为（）A．5x3y4B．6x2y3C．6x3y4D．9．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，则m等于（）A．﹣2B．2C．﹣1D．110．不等式x（x+2）﹣4＞x2的解集为（）A．x＞4B．x＞﹣2C．x＞2D．x＜211．若x2+nx+25是完全平方式，则常数n的值为（）A．10B．﹣10C．±5D．±1012．如图，在△ABC中，AC＝5，线段AB的垂直平分线交AC于点D，△BCD的周长是9，则BC的长为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．因式分解：a2﹣4＝．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝．15．如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为．16．已知k a＝4，k b＝6，k c＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝．三、解答题（本题共9小题，满分72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中，b＝﹣1．19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法：请你根据提供的材料完成下列问题．（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．20．（8分）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．21．（8分）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．（1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？22．（9分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO．（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）求证：△DOE≌△FOC；（3）若AC＝7，FC＝3，求OC．23．（9分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE．∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），∴∠C＞∠B．（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A 是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”A关于B的“雅常值”为9．（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”；（3）若多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，（b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数），是否存在常数k，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出一个满足条件的k值以及对应的多项式P．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选：A．2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则AC的长是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出AC＝AB，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∵AB＝4，∴AC＝2，故选：B．3．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）4＝a7C．（﹣3a）2＝﹣9a2D．a4÷a＝a3【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方分别计算即可．【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意；（a3）4＝a12，因此选项B不符合题意；（﹣3a）2＝9a2，因此选项C不符合题意；a4÷a＝a4﹣1＝a3，因此选项D符合题意；故选：D．4．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（）A．25°B．30°C．50°D．130°【分析】根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用对顶角的性质可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，∴∠EHD＝∠EGB＝50°，∴∠CHF＝∠EHD＝50°．故选：C．5．下列添括号运算错误的是（）A．a+b﹣c＝a+（b﹣c）B．a﹣b+c＝a﹣（b+c）C．a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）D．a+b+c＝a+（b+c）【分析】直接利用添括号法则分别判断得出答案．【解答】解：A、a+b﹣c＝a+（b﹣c），正确，不合题意；B、a﹣b+c＝a﹣（b﹣c），原式错误，符合题意；C、a﹣b﹣c＝a﹣（b+c），正确，不合题意；D、a+b+c＝a+（b+c），正确，不合题意；故选：B．6．等腰三角形的两边长分别为3和6，则第三边长是（）A．3B．6C．3，6D．9【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，故第三边长是6，故选：B．7．下列因式分解错误的是（）A．3ab﹣6ac＝3a（b﹣2c）B．m（x2+y2）﹣n（x2+y2）＝（m﹣n）（x2+y2）C．9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y）D．a2﹣4a+4＝（a+2）（a﹣2）【分析】各式分解因式得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝3a（b﹣2c），不符合题意；B、原式＝（m﹣n）（x2+y2），不符合题意；C、原式＝（3x+2y）（3x﹣2y），不符合题意；D、原式＝（a﹣2）2，符合题意．故选：D．8．长方形的长为3x2y，宽为2xy3，则它的面积为（）A．5x3y4B．6x2y3C．6x3y4D．【分析】由长方形的面积计算公式，根据单项式乘单项式的计算方法进行计算即可．【解答】解：3x2y•2xy3＝6x3y4，故选：C．9．若（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，则m等于（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【分析】先利用多项式乘多项式法则求出（x+2）（x﹣3），再根据（x+2）（x﹣3）＝x2+mx ﹣6求出m．【解答】解：∵（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，又∵（x+2）（x﹣3）＝x2+mx﹣6，∴x2﹣x﹣6＝x2+mx﹣6．∴m＝﹣1．故选：C．10．不等式x（x+2）﹣4＞x2的解集为（）A．x＞4B．x＞﹣2C．x＞2D．x＜2【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：x（x+2）﹣4＞x2，x2+2x﹣4＞x2，x2+2x﹣x2＞4，2x＞4，x＞2，故选：C．11．若x2+nx+25是完全平方式，则常数n的值为（）A．10B．﹣10C．±5D．±10【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出n的值．【解答】解：∵x2+nx+25是完全平方式，∴n＝±2×1×5＝±10．故选：D．12．如图，在△ABC中，AC＝5，线段AB的垂直平分线交AC于点D，△BCD的周长是9，则BC的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由线段垂直平分线的性质可求得BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC，再结合△BCD的周长，可求得BC的长．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∵AC＝5，∴BD+CD＝5．∵△BCD的周长为9，∴BC＝4．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．因式分解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．故答案为：（a+2）（a﹣2）．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝3，则BC＝6．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，点D是BC的中点，再根据线段中点的定义求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是底边BC上的中线，∴BC＝2BD，∵BD＝3，∴BC＝2×3＝6．故答案为：6．15．如图，在Rt△OCD中，∠C＝90°，OP平分∠DOC交DC于点P，若PC＝2，OD＝8，则△OPD的面积为8．【分析】根据角平分线的性质得出PE＝PC＝2，再根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：过P作PE⊥OD于E，∵OP平分∠DOC，∠C＝90°，PC＝2，∴PE＝PC＝2，∵OD＝8，∴△OPD的面积是＝＝8，故答案为：8．16．已知k a＝4，k b＝6，k c＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝9．【分析】先将9a÷27b变形，再由k a＝4，k b＝6，k c＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2分别得出a，b，c的关系式，然后联立得方程组，整体求得（2a﹣3b）的值，最后代入将9a÷27b变形所得的式子即可得出答案．【解答】解：9a÷27b＝（32）a÷（33）b＝（3）2a﹣3b，∵k a＝4，k b＝6，k c＝9，∴k a•k c＝k b•k b，∴k a+c＝k2b，∴a+c＝2b①；∵2b+c•3b+c＝6a﹣2，∴（2×3）b+c＝6a﹣2，∴b+c＝a﹣2②；联立①②得：，∴，∴2b﹣a＝a﹣2﹣b，∴2a﹣3b＝2，∴9a÷27b＝（3）2a﹣3b＝32＝9．故答案为：9．三、解答题（本题共9小题，满分72分）17．（6分）计算：．【分析】直接利用算术平方根的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4﹣1﹣3+3﹣＝3﹣．18．（6分）先化简，再求值：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中，b＝﹣1．【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算中括号里面的式子，再合并同类项，最后计算除法，化简后，再代入a、b的值即可．【解答】解：原式＝（4a2﹣4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b＝（2b2﹣4ab）÷2b＝b﹣2a，当a＝，b＝﹣1时，原式＝﹣1﹣2×＝﹣1﹣1＝﹣2．19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第36页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法：请你根据提供的材料完成下列问题．（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．【分析】（1）根据作一个角等于已知角的过程即可进行判断；（2）根据作图过程可得△ODC≌△O′D′C′，进而可得∠A'O'B'＝∠AOB．【解答】解：（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS；故选D．（2）证明：根据作图过程可知：OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，在△ODC和△O′D′C′中，，∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），∴∠DOC＝∠D′O′C′，∴∠A'O'B'＝∠AOB．20．（8分）已知（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8，求下列各式的值：（1）xy；（2）x3y+xy3．【分析】（1）已知两等式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出xy的值；（2）由（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝8可得x2+y2的值，再把所求式子因式分解后代入计算即可．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝12①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝8②，∴由①﹣②得：4xy＝4，∴xy＝1；（2）由①+②得：2x2+2y2＝2（x2+y2）＝20，∴x2+y2＝10，∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝1×10＝10．21．（8分）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．（1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？【分析】（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，根据“如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种工具m件，则购进乙种工具（100﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总价不超过1100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种工具每件x元，乙种工具每件y元，依题意得：，解得：．答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．（2）设购进甲种工具m件，则购进乙种工具（100﹣m）件，依题意得：16m+4（100﹣m）≤1100，解得：m≤58，又∵m为非负整数，∴m的最大值为58．答：最多可以购买甲种工具58件．22．（9分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO．（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）求证：△DOE≌△FOC；（3）若AC＝7，FC＝3，求OC．【分析】（1）根据等边三角形的性质和判定解答即可；（2）根据ASA证明△DOE≌△FOC即可；（3）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB，∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∠ACB＝∠DEB，∴∠B＝∠BDE＝∠DEB，∴△BDE是等边三角形；（2）∵DE∥AC，∴∠EDO＝∠CFO，在△DOE和△FOC中，，∴△DOE≌△FOC（ASA）；（3）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AC＝7，由（1）（2）得：BE＝DE＝CF＝3，EO＝CO，∴EC＝BC﹣BE＝4，∴OC＝EC＝2．23．（9分）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE．∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），∴∠C＞∠B．（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．【分析】（1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；（2）先由折叠得出BF＝CF，再利用三角形外角的性质，即可得出结论；（3）先判断出∠B＝∠BED，再判断出∠MAE＝∠MEA，进而求出∠B+∠BAE＝70°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B+∠BED，∴∠ADE＞∠B；（2）证明：由折叠知，BF＝CF，在△ACF中，AF+FC＞AC，∴AF+BF＞AC，∴AB＞AC；（3）由折叠知，∠MAE＝∠EAC，∠ADE＝∠C，∵∠C＝2∠B，∴∠ADE＝2∠B，∵∠ADE＝∠B+∠BED，∴∠B＝∠BED，∵ME∥AC，∴∠MEA＝∠EAC，∵∠MAE＝∠EAC，∴∠MAE＝∠MEA，∵∠BEA＝110°，∴∠B+∠BAE＝180°﹣∠BEA＝180°﹣110°＝70°，∴∠BED+∠MEA＝∠B+∠BAM＝70°，∴∠DEM＝∠BEA﹣（∠BED+∠MEA）＝110°﹣70°＝40°．24．（10分）我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A 是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A＝x2+2x+1，B＝（x+4）（x﹣2），A﹣B＝（x2+2x+1）﹣（x+4）（x﹣2）＝（x2+2x+1）﹣（x2+2x﹣8）＝9，则A是B的“雅常式”A关于B的“雅常值”为9．（1）已知多项式C＝x2+x﹣1，D＝（x+2）（x﹣1），判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；（2）已知多项式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，求M关于N的“雅常值”；（3）若多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，（b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数），是否存在常数k，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，若不存在，请说明理由，若存在，请找出一个满足条件的k值以及对应的多项式P．【分析】（1）先计算C﹣D＝1，再根据“雅常式”的定义即可判断C是D的“雅常式”，并求出C关于D的“雅常值”；（2）先求出M﹣N＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，由M是N的“雅常式”得出﹣2a+2＝0，得出a＝1．由x为实数时，N的最小值为﹣2，得出﹣1+b＝﹣2，求出b＝﹣1，进而求出M﹣N＝2；（3）由多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，得出b1＝b2．根据b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数，得出进行因式分解时（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）的部分可以两两组合，然后分三种情况进行讨论：①[（x+1）（x+2）][（x+5）（x+k）]；②[（x+1）（x+5）][（x+2）（x+k）]；③[（x+1）（x+k）][（x+5）（x+2）]．【解答】解：（1）∵C﹣D＝（x2+x﹣1）﹣（x+2）（x﹣1）＝（x2+x﹣1）﹣（x2+x﹣2）＝1，∴C是否为D的“雅常式”，“雅常值”为1；（2）∵M是N的“雅常式”，∴M﹣N＝（x﹣a）2﹣（x2﹣2x+b）＝（x2﹣2ax+a2）﹣（x2﹣2x+b）＝（﹣2a+2）x+a2﹣b，∴﹣2a+2＝0，∴a＝1．∵N＝x2﹣2x+b＝（x﹣1）2﹣1+b，且当x为实数时，N的最小值为﹣2，∴﹣1+b＝﹣2，∴b＝﹣1，∴M﹣N＝a2﹣b＝1﹣（﹣1）＝2；（3）∵多项式P＝x2+b1x+c1是Q＝x2+b2x+c2的“雅常式”，∴b1＝b2．∵b1，c1，b2，c2为常数，且都为整数，∴进行因式分解时（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）的部分可以两两组合，分三种情况：①[（x+1）（x+2）][（x+5）（x+k）]，则1+2＝5+k，解得k＝﹣2，此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4＝（x2+3x）2﹣8（x2+3x）﹣24，不合题意舍去；②[（x+1）（x+5）][（x+2）（x+k）]，则1+5＝2+k，解得k＝4，此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4＝[（x+1）（x+5）][（x+2）（x+4）]﹣4＝（x2+6x+5）（x2+6x+8）﹣4＝（x2+6x）2+13（x2+6x）+36＝（x2+6x+4）（x2+6x+9），符合题意，∵P﹣Q＞0，∴P＝x2+6x+9；③[（x+1）（x+k）][（x+5）（x+2）]，则1+k＝5+2，解得k＝6，此时P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4＝（x2+7x）2+16（x2+7x）+56，不合题意舍去；综上，存在常数k＝4，使得P•Q＝（x+1）（x+2）（x+5）（x+k）﹣4，此时对应的多项式P＝x2+6x+9．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【分析】（1）先由直角三角形的性质得∠BAO+∠ABO＝90°，再由∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，即可得出∠ABO＝∠CAM；（2）先证△AMC≌△BOA（AAS），得CM＝AO，AM＝BO，再由等腰直角三角形的性质得∠BDE＝∠BED＝45°，∠EBO＝∠DBE＝45°，然后证△CME是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）先证△P AC≌△QAB（SAS），得∠APC＝∠AQB，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，再证△CNI≌△CMH（SAS），得∠NCI＝∠MCH，CI＝CH，然后证△GCI≌△GCH（SAS），得GI＝GH，进而得出答案．【解答】（1）证明：∵∠BOA＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，∴∠ABO＝∠CAM；（2）解：∵CM⊥y轴，∴∠AMC＝∠BOA＝90°，∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM，∴△AMC≌△BOA（AAS），∴CM＝AO，AM＝BO，∵BD＝BE，BD⊥BE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝∠BED＝45°，∠EBO＝∠DBE＝45°，∴∠EBO＝∠BEO，∴BO＝EO＝AM，∴EO﹣OM＝AM﹣OM，∴EM＝AO＝CM，∴△CME是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°；（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵△P AQ是等腰直角三角形，∴P A＝QA，∠P AQ＝∠CAB＝90°，∴∠P AQ+∠QAC＝∠CAB+∠QAC，即∠P AC＝∠QAB，∵AC＝AB，∴△P AC≌△QAB（SAS），∴∠APC＝∠AQB，∵∠AKP＝∠QKN，∴∠QNK＝∠P AK＝90°，∵CM⊥y轴，∴CM∥NO，∴∠NCM＝∠KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：∵CN＝CM，∠CNI＝∠CMH＝90°，∴△CNI≌△CMH（SAS），∴∠NCI＝∠MCH，CI＝CH，∴∠NCG+∠NCI＝∠NCG+∠MCH＝∠NCM﹣∠GCH＝90°﹣45°＝45°＝∠GCH＝∠GCI，∴△GCI≌△GCH（SAS），∴GI＝GH，∵GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，∴GH＝5．。