中雅培粹学校2019-2020学年度九年级第一学期入学考试数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数中，是正比例函数的是( )D. y=−6xA. y=4x−1B. y=5x2C. y=20x2.抛物线y=−(x+4)2−3的对称轴是( )A. 直线x=−4B. 直线x=4C. 直线x=3D. 直线x=−33.一次函数y=kx+b如图，则下列结论正确的是( )A. k>0，b>0B. k>0，b<0C. k<0，b>0D. k<0，b<04.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是( )A. AC⊥BDB. AC=BDC. OB=ODD. ∠ABC=∠BAC5.从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是90分，方差分别是S2甲=3，S2乙=2.6，S2丙=2，S2丁=3.6，派谁去参赛更合适( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.关于x的方程2x2−mx−1=0的根的情况是( )A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等实数根C. 无实数根D. 由于不知道m的值，无法确定7.用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是( )A. (x+4)4=23B. (x+4)2=9C. (x+8)2=71D. (x+8)2=578.受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是( )A. 100(1+2x)=144B. 100(1+x)2=144C. 100(1+x2)=144D. 100(1+2x)2=1449.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB=6cm，BC=8cm.则EF的长是( )A. 2.2cmB. 2.3cmC. 2.4cmD. 2.5cm10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(−4,0)两点，下列说法正确的是( )A. c<0B. 抛物线的对称轴是直线x=−2C. 当x>−1时，y的值随x值的增大而减小D. 4a−2b+c<0二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

湘郡培粹学校2019-2020学年度第一学期入学考试初三数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1.已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是（）A.AC ⊥BDB.∠ABD=∠ADBC.AB=CDD.AB=BC 2.如果函数y kx b =+（k ，b 是常数）的图象不经过第二象限，那么k ，b 应满足的条件是（）A.0b 0k ≥≤且B.0b 0k >≤且C.0b 0k ≥<且D.00k b ><且3.“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水最变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度。

人们根据壶中水面的位置让算时间，用t 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y 与x 的对应关系的是（）4.若一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图象经过点A （0，1-），B （1，1），则不等式1kx b +>的解为（）A.x<0B.x>0C.1x <D.x>15.已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（）A.平均数是8B.众数是8C.中位数是8D.方差是86.某公司全体职工的月工资如下：月工资（元）18000120008000600040002500200015001200人数1（总经理）2（副总经理）34102022126该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（）A.中位数和众数B.平均数和众数C.平均数和中位数D.平均数和极差7.若1x ，2x 是一元二次方程2450x x --=的两个根，则12x x 的值为（）A.5- B.5C.4-D.48.将抛物线()213y x =-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是（）A.()21y x =- B.()226 y x =-+ C.2y x = D.26y x =+9.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A.()11362x x -=B.()11362x x +=C.()136x x -=D.()136x x +=10.若1x ，2x 是关于x 的方程()()2221590x k x k k -++++=的两个实数根，且221239x x +=，则k 的值为（）A.7B.4-C.7或4-D.7-或411.如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的重宜平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ；若BE=3，AF=5，则AC 的长为（）A.45B.43C.10D.812.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①0ac >；②24b ac >；③420a b c ++>；④30a c +>，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13.函数21x y x +=-中自变量x 的取值范围是.14.a 是方程224x x =+的一个根，则代数式242a a -的值是.15.如图所示，往Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC的中点，若EF=1，则AB=.第11题图第12题图第15题图16.从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是2=2.83S 甲，2=1.71S 乙，2=3.52S 丙，你认为适合参加决赛的选手是.17.一次函数()10y kx k =-≠的图像与两坐标轴围成的图形面积是4，则k 的值为.18.己知二次函数()2y x h =--（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的y 的最大值为1-.则h=.三、解答题（本大题共8个小题，共66分）19.解下列方程：(每小题4分，共8分）(1)22x x -=；(2)()()222110x x --+=.20.（6分）为了更好地开展体育运动，增强学生体质，学校准备购买一批运动鞋，供学生借用，为配合学校工作，学校体育部从全校各个年级随机抽查了若干名学生的鞋号，用表格整理数据（如下)：鞋号34353637383940合计频数48131521百分比8％26％30％14％4％2％100％请根据相关信息，解答下列问题：（1)将表格补充完整；（2）在所抽查的鞋号组成的数据中，众数是，中位数是.（3）若该校计划购买300双运动鞋，根据样本数据，鞋号37的运动鞋应购买多少双？21、(6分）二次函数22y ax bx =++与x 轴交于点(1-，0)、(3，0).（1）求二次函数解析式；（2）求二次函数的对称轴与顶点坐标.22.(8分)如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处.（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）当∠BAE 为多少度时，四边形AECF 是菱形？请说明理由。

中雅培粹学校2020年九年级上学期入学考试卷数 学时量：120分 总分：120分一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分)1.2-的相反数是( )A.2-B.12-C.2D.122.据国家旅游局统计，2020年寒假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为( )A.60.82610⨯B.78.2610⨯C.682.610⨯D.88.2610⨯3.下列各式中，计算正确的是( )A.835a b ab -=B.()325a a =C.842a a a ÷=D.23a a a ⋅=4.对于任意的矩形，下列说法一定正确的是( )A.对角线垂直且相等B.四边都互相垂直C.四个角都相等D.是轴对称图形，但不是中心对称图形5.如图，已知BE 平分ABC ∠，且//BE DC ，若50ABC ∠=o ，则C ∠的度数是( )A.20oB.25oC.30oD.50o6.下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是( )A. B. C. D.7.如图，边长为23的等边ABC ∆的内切圆的半径为( )A.1B.3C.2D.238.下列说法正确的是( )A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D.“a 是实数，0a ≥”是不可能事件9.如图，在ABCD □中，3AB =，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ，则四边形ABEF 的周长为( ) A.12 B.14 C.16D.18 10.如图，一架无人机航拍过程中在C 处测得地面上A ，B 两个目标点的俯角分别为30o 和60o .若A ，B 两个目标点之间的距离是120米，则此时无人机与目标点A 之间的距离(即AC 的长)为( )A.120米B.米C.60米D.第9题图 第10题图 第12题图11.某出租车起步价所包含的路程为02km ～，超过2km 的部分按每千米另收费.津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元.设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是( )A.7161328x y x y +=⎧⎨+=⎩B.()72161328x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩C.()71613228x y x y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ D.()()721613228x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 12.如图，P 为反比例函数()0k y k x=>在第一象限内图象上的一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线交一次函数4y x =--的图象于点A 、B .若135AOB ∠=o ，则k 的值是( )A.2B.4C.6D.8二、填空题(每小题3分，共6小题，共18分)13.已知函数关系式：1y x =+，则自变量x 的取值范围是_________. 14.因式分解：228a -=_________.15.方程22044x x x--=--的解为_________. 16.在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球.每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是_________.17.如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得2AB =米，18BC =米，则旗杆CD 的高度是_________米.18.如图，正方形ABCD 的边长为8，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG ∆，连接CG ，则CG 的最小值为_________.三、计算解答题(共8小题，共66分)19.(本小题6分)计算：()0312cos 603π+----o .20.(本小题6分)先化简，再求值：22111121x x x x x ⎛⎫+÷⎪+-++⎝⎭，其中2x =.21.(本小题8分)“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至４月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息，解答下列问题：(1)统计图共统计了________天的空气质量情况；(2)请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数；(3)从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22.(本小题8分)如图，ABC ∆中，以AB 为直径的O e 交AC 于点D ，DBC BAC ∠=∠.(1)求证：BC 是O e 的切线；(2)若O e 的半径为2，30BAC ∠=o ，求图中阴影部分的面积.23.(本小题9分)某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售.经调查发现，该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w (元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，求出每天的销售量至少应为多少件？24.(本小题9分)已知二次函数2432y x x a =-++(a 为实数)，(1)若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，①已知()1,0A -，求B 的坐标； ②若2AB =，求a 的值；(2)若二次函数的图象在5x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围.25.(本小题10分)在ABC ∆中，90ABC ∠=o ，AB n BC =，M 是BC 上一点，连接AM . (1)如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =.(2)过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q .①如图2，若1n =，求证：CP BM PQ BQ=. ②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值.(用含n 的式子表示)26.(本小题10分)如图，已知二次函数2()40y ax bx a =+->的图象与x 轴交于A 、B 两点，(A 在B 左侧，且OA OB <)，与y 轴交于点C .(1)求C 点坐标，并判断b 的正负性；(2)设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC 相交于点D ，已知:1:2DC CA =，直线BD 与y 轴交于点E ，连接BC .①若BCE ∆的面积为8，求二次函数的解析式；②若BCD ∆为锐角三角形，求出OA 的取值范围.。

中雅培粹学校2020届初三中考第二次全真模拟考试数学试卷总分：120分 时量：120分钟一、选择题(本大题共12小题，共36分)1.下列实数中，为无理数的是( )A.227 C.3.142.下列运算正确的是( )5= B.()2239t t -=-C.()222424ab a b -=D.22x x x ⋅= 3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4.已知函数y =x 的取值范围是( ) A.2x <B.2x <且0x ≠C.2x ≤D.2x ≤且0x ≠ 5.在ABC ∆中，不能判断ABC ∆是直角三角形的是( )A.222b a c =-B.::3:4:5A B C ∠∠∠=C.C A B ∠=∠-∠D.::a b c =6.下列事件中，是必然事件的是( )A.射击运动员射击一次，命中靶心B.一个游戏的中奖概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖 C.雨后见彩虹 D.任意画一个三角形，其外角和是3607.空心六棱柱螺母按如图所示位置摆放，则它的左视图正确的图形是( )A. B. C. D.8.如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，32C ∠=，则BED ∠的度数是( )A.32B.16C.49D.649.如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，若6AC =，8BD =，则OE 长为( )A.2.5B.3C.4D.5第8题图 第9题图 第11题图10.能说明命题“若a b ≥，则0a >”是假命题的反例是( )A.2a =-，3b =-B.2a =-，1b =C.2a =-，1c =-D.2a =，1b =11.如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度1200m AC =，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角30α=，则飞机A 与指挥台B 的距离为( )A.1200mB. C. D.2400m12.如图，在ABC ∆中，P 为边上一点.若M 为CP 的中点，PBM ACP ∠=∠，3AB =，2AC =，则BP 的长为( ) A.3 B.94 C.5 D.103二、填空题(每小题3分，共18分)13.若分式21x x x -+的值为零，则x 的值是____________.14.不等式组391102x x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩的解集是____________. 15.边长为6的正六边形的边心距是____________.16.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，相似比为3:1，将ABC∆放大为DEF ∆，已知()1,2C ，则点F 的坐标为____________.17.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个球.不放回.再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是____________.18.如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数24y x=的图象交于()1,A m ，()4,B n 两点.则不等式40kx b x+-≥的解集为____________. 三、解答题(共8个小题，共66分)19.(6分)计算：()10120204cos302273π-⎛⎫++---- ⎪⎝⎭.20.(6分)先化简，再求值：()()()2222x y x y x y y y ⎡⎤÷⎣--+⎦--，其1x =-中，2y =-.21.(8分)某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛，赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计，制作如下频数分布表和频数分布直方图.请根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)请求出该校随机抽取了_________名学生成绩进行统计；(2)表中a =_________，b =_________，并补全频数分布直方图；(3)若用扇形图统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段6070x ≤<对应扇形圆心角度数是_______；(4)若该校学生共有8000人，请估计该校分数在80100x ≤<的学生有多少人？22.(8分)如图，在四边形ABCD 中，5OD OB ==，//AB CD . 成绩/x 分 频数 频率 5060x ≤< 4 0.1 6070x ≤< 8 b 7080x ≤< a 0.3 8090x ≤< 10 0.25 90100x ≤< 60.15(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)若12AD =，26AC =，求四边形ABCD 的面积.23.(9分)学校为了让师生更好的养成垃圾分类的习惯，决定在校园内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍.(1)求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，问有多少种购买方案.24.(9分)如图，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线和ABC ∆的外接圆相交于点D ，交BC 于F .(1)若40ABC ∠=，80C ∠=，求CBD ∠的度数；(2)求证：DB DE =；(3)若6AB =，4AC =，5BC =，求DE 的长.25.(10分)定义：若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-满足a b b c -=-，则称2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“等差”函数.(1)判断y x b =+和3y x=-是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； (2)若5y x b =+和c y x =-存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与c y x=-的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；(3)若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-(其中a 、b 、c 为常数，且0a >，0c >，32a b =)存在“等差”函数，且y ax b =+与“等差”函数有两个交点()11,A x y 、()22,B x y ，试判断“等差”函数图象上是否存在一点(),P x y (其中12x x x <<)，使得ABP ∆的面积最大？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.26.(10分)如图1，二次函数23y ax ax b =-+(a 、b 为参数，其中0a <)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)若10b a =-，求tan CBA ∠的值(结果用含a 的式子表示)；(2)若ABC ∆是等腰三角形，直线AD 与y 轴交于点P ，且:2:3AP DP =.求抛物线的解析式；(3)如图2，已知4b a =-，E 、F 分别是CA 和CB 上的动点，且35EF AB =，若以EF 为直径的圆经过点C ，并交x 轴于M 、N 两点，求MN 的最大值.。

湖南省长沙市中学雅培粹中学2025届九上数学开学综合测试模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 为AD 的中点，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为F .连接CF ，则CF 的长为（）A ．B ．5C ．2D ．52、（4分）下列计算结果正确的是()A +=B ．2=C =D ．=3、（4分）如图，点A ，B 在反比例函数1(0)y x x =>的图象上，点C ，D 在反比例函数(0)k y k x =>的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．324、（4分）下列计算过程中，结果是2的是()A ．1(2)--B ．0(2)-C ．()2--D ．2--5、（4分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．6，8，11D ．7，24，256、（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，∠BAC 的角平分线AF 与AB 的垂直平分线DF 交于点F ，连接CF ，BF ，则∠BCF 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．45°7、（4分）如图,正方形ABCD 的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为()cm 2A ．4B ．16C ．12D ．88、（4分）下列函数中，y 随x 的增大而减小的有（）①y ＝﹣2x+1；②y ＝6﹣x ；③y ＝-13x +；④y ＝（1）x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在△ABC 中，∠B ＝32°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，若DE 垂直平分AB ，则∠C 的度数为_____．10、（4分）将直线y=2x ﹣2向右平移1个单位长度后所得直线的解析式为y=_____．11、（4分）一组数据5,8，x ,10,4的平均数是2x ，则这组数据的中位数是___________.12、（4分）如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且∠AED ＝∠ABC ，若DE ＝3，BC ＝6，AB ＝8，则AE 的长为____．13、（4分）在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．请你添加一个条件，使得四边形ABCD 成为菱形，这个条件可以是_____．（写出一种情况即可）三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝60︒．（1）求证：AB ⊥AC ；（2）若DC ＝2，求梯形ABCD 的面积．15、（8分）学期末，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、学习委员和团支部书记的得分情况：假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3∶3∶4，通过计算说明谁应当选为优秀学生干部。

第1页共6页中雅培粹学校2019-2020学年度第一学期入学考试初三数学试卷答案解析一．选择题（共12小题）1．A ．2．A ．3．B ．4．B ．5．D ．6．D ．7．A ．8．C ．9．D ．10．D ．11．A ．12．D ．【解答】解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a ≠0）和直线y ＝﹣x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a ≠0）∴抛物线的对称轴为直线x ＝m +1，∴＝m +1，∴x 2+x 3＝2m +2，∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣上，∴m ＝﹣x 1，∴x 1＝﹣2m ，∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m +2m +2＝2，故选：D．二．填空题（共6小题）13．y ＝180﹣2x （0＜x ＜90）．14．84．15．40cm ．16．﹣5≤y ≤13．17．a ＞且a ≠0．18．①③④【解答】解：①∵ABCD 为菱形，∴AB＝AD，∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A＝∠BDF＝60°，又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB（SAS），故本选项正确；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，故本选项错误；③过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴CN＝CM，∵CG＝CG，∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），∴∠DGC＝∠BGC，∴CG平分∠BGD；故本选项正确；④过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，即BG＝6GF，故本选项正确；⑤∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，1∴点B 、C 、D 、G 四点共圆，∴∠BGC ＝∠BDC ＝60°，∠DGC ＝∠DBC ＝60°，∴∠BGC ＝∠DGC ＝60°，过点C 作CM ⊥GB 于M ，CN ⊥GD 于N （如图1），则△CBM ≌△CDN （AAS ），∴S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN ＝2S △CMG ，∵∠CGM ＝60°，∴GM ＝CG ，CM ＝CG ，∴S 四边形CMGN ＝2S △CMG ＝2××CG ×CG ＝CG 2，故本选项错误；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故答案为①③④．三．解答题（共7小题）x 119.【解答】=1,x 2=220.【解答】解：（1）直线l 2的解析式为：y ＝﹣x +2，（2）kx ＞mx +n 的解集为x ＞1．21.【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40，m %＝＝25%，故答案为：40，25；（Ⅱ）800×＝720（人），答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有720人．22．【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，∴OA＝OB∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．23．【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，则有，解得故该店平均每天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒．（2）设A种湘莲礼盒降价m元/盒，利润为W元，依题意总利润W＝（120﹣m﹣72）（10+）+800化简得W＝m2+6m+1280＝﹣（m﹣9）2+1307∵a＝＜0∴当m＝9时，取得最大值为1307，故当A种湘莲礼盒降价9元/盒时，平均每天的总利润最大，最大是1307元．62+42222(x-2)+(x-3)=524.【解答】解：（1）SAS证明略222（2）设AB=x，则DE=x-2，CF=5-2=3，DF=x-3，由DE+DF=EF得，解得x=6，故AB=6（3）将军饮马：(PG+PC)min=EC==225．【解答】解：（1）由题意得：∠A+2∠B＝90°，∠A＝50°，则：∠B＝20°，（2）①是．②CD=1.5（3）D的横坐标为，而点B横坐标为，即D是线段BC的中点，则：S△BOC＝2S△OCD＝c2×2＝＝BO•CO＝•BO•c，则：BO＝c，而OC＝c，tan ∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，若∠CBO＝30°＝α，由2α+β＝90°得：β＝30°，即：∠CAB＝30°，若∠CAB＝30°＝α，由2α+β＝90°得：β＝30°，即：∠CBO＝30°，即∠CAB＝∠CBA＝30°，则：OA＝OB＝2，OC＝2，即：点A 、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0）、（0，-2），设：抛物线的解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），把点A、B坐标代入上式得：y ＝a（x +2）（x﹣2），把点C坐标代入上式，解得：a ＝，则抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣2）＝x2-2．26．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝2x ﹣1；（2）存在，理由：13二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），∵S△DAC＝2S△DCM，则S△DAC＝DH（x C﹣x A）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，解得：x＝﹣1或5（舍去5），故点D（﹣1，5）；（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，①当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝6或﹣4，故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；②当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，解得：s＝1，故点P（1，2）或（1﹣，2）；综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1，2）或（1﹣，2）．。

2019-2020学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校九年级（下）第一次段考数学试卷一．选择题（共12小题）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．2D．﹣22．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣54．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．3﹣＝25．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°6．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 7．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．棱柱8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．49．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（）A．B．C．D．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD ＝6，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．311．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（）A．B．C．D．12．在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A．a＝b B．a＝b﹣1C．a＝b或a＝b+1D．a＝b或a＝b﹣1二．填空题（共6小题）13．已知二次根式有意义，则满足条件的x的最大值是．14．分解因式：m2﹣4m+4＝．15．不等式组的解集是．16．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于．17．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD 的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为cm2．18．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为．三．解答题（共8小题）19．计算：20．化简求值：，其中x＝．21．某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为人，a＝，b＝．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点．（2）求过点B′的反比例函数解析式．（3）判断A′B′的中点P是否在（2）的函数图象上．23．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？24．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是BC边上的点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F．（1）求证：△ABE≌△DF A；（2）连接CF，求sin∠DCF的值；（3）连接AC交DF于点G，求的值．25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．26．如图，二次函数y＝2mx2+5mx﹣12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0）．（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．（2）若m＝﹣，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．2D．﹣2【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|﹣|＝，故选：B．2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣5【分析】本题用科学记数法的知识即可解答．【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6．故选：C．4．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．3﹣＝2【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可；【解答】解：2a+3a＝5a，A错误；（﹣3a）2＝9a2，B错误；（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C错误；＝2，D正确；故选：D．5．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠1，∵∠1＝∠D+∠E，∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故选：B．6．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A．9.7m，9.9m B．9.7m，9.8m C．9.8m，9.7m D．9.8m，9.9m 【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，平均数为：（9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2）÷7＝9.8m，故选：B．7．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．棱柱【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选：C．8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选：B．9．为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得（）A．B．C．D．【分析】根据“购买2个排球和3个实心球共需95元，购买5个排球和7个实心球共需230元”可得．【解答】解：设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题意列二元一次方程组得：，故选：B．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若BD ＝6，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．3【分析】由作图过程可得DN是AB的垂直平分线，AD＝BD＝6，再根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半即可求解．【解答】解：由作图过程可知：DN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝6∵∠B＝30°∴∠DAB＝30°∴∠C＝90°，∴∠CAB＝60°∴∠CAD＝30°∴CD＝AD＝3．故选：D．11．如图，一艘快艇从O港出发，向东北方向行驶到A处，然后向西行驶到B处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O港，已知快艇的速度是60km/h，则A，B之间的距离是（）A．B．C．D．【分析】根据∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，AB∥x轴，△AOB为等腰直角三角形，OA ＝OB，利用三角函数解答即可．【解答】解：∵∠AOD＝45°，∠BOD＝45°，∴∠AOD＝90°，∵AB∥x轴，∴∠BAO＝∠AOC＝45°，∠ABO＝∠BOD＝45°，∴△AOB为等腰直角三角形，OA＝OB，∵OB+OA+AB＝60km，∵OB＝OA＝AB，∴AB＝，故选：B．12．在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A．a＝b B．a＝b﹣1C．a＝b或a＝b+1D．a＝b或a＝b﹣1【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得a、b的值，从而可以得到a和b的关系，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝x2+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，m≠n，∴（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，∴a＝2；∵函数y＝mnx2+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，m≠n，∴当mn＝0时，该函数为y＝（m+n）x+1与x轴有一个交点，∴b＝1；当mn≠0时，（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2＞0，∴b＝2；由上可得，a＝b+1或a＝b，故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知二次根式有意义，则满足条件的x的最大值是．【分析】二次根式有意义，则被开方数大于等于0，从而得关于x的不等式，解得x范围，则可得答案．【解答】解：∵二次根式有意义∴3﹣4x≥0∴x≤∴满足条件的x的最大值是．故答案为：．14．分解因式：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（m﹣2）2，故答案为：（m﹣2）215．不等式组的解集是x≤﹣2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，则不等式组的解集为x≤﹣2，故答案为：x≤﹣2．16．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于．【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在红色区域的概率．【解答】解：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向红色部分区域的有2种可能结果，所以指针落在红色区域的概率是＝；故答案为．17．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD 的长为9cm，则纸面部分BDEC的面积为πcm2．【分析】贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去扇形DAE的面积．【解答】解：S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝﹣＝π（cm2）．故答案是：π18．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为5﹣2．【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝＝5，∴OM＝＝5，∵OF+MF≥OM，∴OF≥5﹣2，∴线段OF长的最小值为5﹣2．故答案为：5﹣2．三．解答题（共8小题）19．计算：【分析】利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式＝﹣2+﹣2×﹣（2﹣）＝﹣2+2﹣﹣2+＝﹣2．20．化简求值：，其中x＝．【分析】根据分式的混合运算先将分式化简，再代入求值即可．【解答】解：原式＝•＝＝﹣x（x+1）＝﹣x2﹣x当x＝时，原式＝﹣2﹣．21．某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图：频数频率体育400.4科技25a艺术b0.15其它200.2请根据上图完成下面题目：（1）总人数为100人，a＝0.25，b＝15．（2）请你补全条形统计图．（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”求解可得；（2）根据频数分布表即可补全条形图；（3）用总人数乘以样本中“艺术”类频率即可得．【解答】解：（1）总人数为40÷0.4＝100人，a＝25÷100＝0.25、b＝100×0.15＝15，故答案为：100、0.25、15；（2）补全条形图如下：（3）估算全校喜欢艺术类学生的人数有600×0.15＝90人．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣4，1），B（﹣2，3），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点．（2）求过点B′的反比例函数解析式．（3）判断A′B′的中点P是否在（2）的函数图象上．【分析】（1）首先确定A、B、C点关于原点对称的点的位置，再连接即可；（2）设过点B′的反比例函数解析式为y＝，再代入B′点坐标即可得到k的值，进而可得函数解析式；（3）首先确定点P坐标，根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式可得答案．【解答】解：（1）如图：（2）设过点B′的反比例函数解析式为y＝，∵B′（2，﹣3），∴﹣3＝，∴k＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；（3）∵A′（4，﹣1），B′（2，﹣3）∴A′B′的中点P坐标为（3，﹣2），∵3×（﹣2）＝﹣6，∴点P在（2）的函数图象上．23．东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？【分析】（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入﹣成本＝利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据题意得：＝1.5×，解得：x＝25，经检验，x＝25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的进价是25元．（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据题意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，解得：y≥35．答：每套悠悠球的售价至少是35元．24．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是BC边上的点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F．（1）求证：△ABE≌△DF A；（2）连接CF，求sin∠DCF的值；（3）连接AC交DF于点G，求的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AE，矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；（2）连接DE交CF于点H，根据全等三角形的性质得到DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，证明∠DCH＝∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，根据平行线分线段成比例定理得到＝，根据余弦的概念求出EK，计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴＝5，∠AEB＝∠DAF，在△ABE和△AFD中，，∴△ABE≌△AFD；（2）连接DE交CF于点H．∵△ABE≌△DF A，∴DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，∴EF＝CE＝2．∴DE⊥CF．∴∠DCH+∠HDC＝∠DEC+∠HDC＝90°．∴∠DCH＝∠DEC．在Rt△DCE中，CD＝4，CE＝2，∴DE＝2，∴sin∠DCF＝sin∠DEC＝＝．（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K．∴＝．在Rt△CEK中，EK＝CE•cos∠CEK＝CE•cos∠AEB＝2×＝．∴FK＝FE+EK＝．∴＝＝．25．若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．（1）判断抛物线C1：y＝x2﹣2x是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C2：y＝ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C3：y＝x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y＝x图象的下方，求m的最大值．【分析】（1）根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C1：y＝x2﹣2x是“等边抛物线”；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标；（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），知AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||，结合顶点坐标（﹣，）知＝，据此求解可得；（3）由（2）中b2﹣4ac＝12知c＝，结合等边抛物线过（1，1）求得b＝﹣6或b＝2，依据对称轴位置得b＝﹣6，联立，求得x＝1或x＝6，从而得出答案．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）．理由如下：由y＝x2﹣2x＝x•（x﹣2）知，该抛物线与x轴的交点是（0，0），（4，0）．又因为y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，所以其顶点坐标是（2，﹣2）．∴抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4，∴抛物线y＝x2﹣2x是“等边抛物线”．对称轴x＝2，顶点坐标为（2，﹣2）；（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），令y＝ax2+bx+c＝0，∴x＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝|﹣|＝||＝||＝||．又∵抛物线的顶点坐标为（﹣，），∴＝．∵4﹣4ac≠0，∴||＝，∴ac＝﹣2；（3）由（2）得b2﹣4ac＝12，∴c＝，∴C3：y＝x2+bx+，∵1＜x＜m时，总存在实数b，使二次函数C3的图象在一次函数y＝x图象的下方，即抛物线与直线有一个交点为（1，1），∴该等边抛物线过（1，1），∴1+b+＝1，解得b＝﹣6或b＝2，又对称轴x＝﹣＝﹣＞1，∴b＜﹣2，∴b＝﹣6，∴y＝x2﹣6x+6，联立，解得x＝1或x＝6，∴m的最大值为6．26．如图，二次函数y＝2mx2+5mx﹣12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0）．（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．（2）若m＝﹣，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．【分析】（1）由抛物线的解析式求出C点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式；（2）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'．证明AB'＝CB'便可得结论；（3）过M点ME∥y轴，交AC于点E，设M点的横坐标为m，用m表示MD，再根据二次函数的性质求得MD的最大值，最后根据圆的面积公式便可求得结果．【解答】解：（1）令x＝0，得y＝2mx2+5mx﹣12m＝﹣12m，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AC的解析式为：y＝﹣3mx﹣12m；（2）∠CBA＝2∠CAB．理由如下：如图1，作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'．∴CB＝CB'，∴∠CBA＝∠CB'O，∵m＝﹣时，抛物线的解析式为：，∴C（0，2），∴OC＝2，当y＝0，得＝0，解得x＝﹣4或，∴A（﹣4，0），B（，0），∴B'（﹣（，0），∴AB'＝，CB'＝∴AB'＝CB'，∴∠CAB＝∠ACB'，∵∠CB'O＝∠CAB+∠ACB'＝2∠CAB，∴∠CBA＝2∠CAB；（3）如图2，以MD为半径做圆，过M点ME∥y轴，交AC于点E，则∠MEC＝∠ACO，∵A（﹣4，0），以（0，2）∴直线AC的解析式为y＝，设M（m，）（﹣4＜m＜0），则E（m，），∴，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝4，由勾股定理可得AC＝2，∴sin∠MED＝，∴，由二次函数的性质知，当m＝﹣2时，DE有最大值为：，∴，∴∴⊙M面积的最大值为：π×（）2＝，∴⊙M面积的取值范围为：0＜S⊙M≤，。

中雅培粹学校九年级数学入学考试答案及评分标准一.选择题（每题3分，共36分）1-6CBDCBB 7-12ACABDD二．填空题（每题3分，共18分）13.1->x 14.)a )(a (222+-15.无解16.1017.1818.5三．计算解答题19.（6分）原式=2132132--+……4′=0.5……2′20.（6分）11-+=x x 原式，……4′代入得原式=223+……2′21.（8分=2′+4′+2′）解：（1）70÷70%＝100（天），故答案是：100；……2′（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%＝72°……2′；如图所示：……2′（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．……2′22．（8分=4′+5′）如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠DBC ＝∠BAC ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC ＝30°，求图中阴影部分的面积．证明题按得分点给分，过程中没有相应的得分点，则扣除相应的分数。

（下同）【解答】（1）证明：法一∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，……1′∴∠BAC+∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC+∠ABD＝90°，∴AB⊥BC，……2′∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；……1′法二：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，……1′∵∠DBC=∠BAC，∠C=∠C∴△BCD∽△ACB∴∠ABC=∠ADB=90°即AB⊥BC，……2′∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；……1′（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，∵∠BAC＝30°，∴∠BOD＝2∠A＝60°，……1′∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴OB＝BD＝OD＝2，∴BM＝DM＝1，由勾股定理得：OM＝，﹣S△DOB＝﹣×2×＝π﹣．……3′∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB23.（9分=3′+3′+3′）解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；……3′（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）=-2x2+220x-4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，……1′∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，……1′故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；……1′（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＞800，解得：40＜x＜70，……1′∵30≤x≤50解得：40＜x≤50，……1′在y＝﹣2x+160中，∵-2<0∴y随x的增大而减小当x＝50时，y＝﹣2×50+160＝60∴每天的销售量最少应为60件．……1′24.（9分=3′+3′+3′）解：（1）法一：由题得，对称轴为x＝2．……1′∴B（5,0）……2′法二：A （-1,0）带入解析式求得1′∴y=x 2-4x-5∴B （5,0）……2′（2）设A 、B 的横坐标分别是x 1、x 2由韦达定理得x 1+x 2=4,x 1·x 2=3a+2……1′∴()()212212214x x x x x x -+=-……2′此时△>0,符合题意。

中雅培粹学校2020届初三中考第二次全真模拟考试数学试卷总分：120分 时量：120分钟一、选择题(本大题共12小题，共36分)1.下列实数中，为无理数的是()A.227 C.3.14 2.下列运算正确的是( )5÷= B.()2239t t -=-C.()222424ab a b -=D.22x x x ⋅= 3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4.已知函数y =x 的取值范围是( ) A.2x <B.2x <且0x ≠C.2x ≤D.2x ≤且0x ≠ 5.在ABC ∆中，不能判断ABC ∆是直角三角形的是( )A.222b a c =-B.::3:4:5A B C ∠∠∠=C.C A B ∠=∠-∠D.::a b c =6.下列事件中，是必然事件的是( )A.射击运动员射击一次，命中靶心B.一个游戏的中奖概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖 C.雨后见彩虹D.任意画一个三角形，其外角和是3607.空心六棱柱螺母按如图所示位置摆放，则它的左视图正确的图形是( )A. B. C. D.8.如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，32C ∠=，则BED ∠的度数是( )A.32B.16C.49D.649.如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，若6AC =，8BD =，则OE 长为( )A.2.5B.3C.4D.5第8题图 第9题图 第11题图10.能说明命题“若a b ≥，则0a >”是假命题的反例是( )A.2a =-，3b =-B.2a =-，1b =C.2a =-，1c =-D.2a =，1b =11.如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度1200m AC =，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角30α=，则飞机A 与指挥台B 的距离为( )A.1200mB.12002mC.12003mD.2400m12.如图，在ABC ∆中，P 为边上一点.若M 为CP 的中点，PBM ACP ∠=∠，3AB =，2AC =，则BP 的长为( )A.3B.94C.5D.103二、填空题(每小题3分，共18分)13.若分式21x x x -+的值为零，则x 的值是____________.14.不等式组391102x x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩的解集是____________. 15.边长为6的正六边形的边心距是____________.16.如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，相似比为3:1，将ABC∆放大为DEF ∆，已知()1,2C ，则点F 的坐标为____________.17.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余都相同.从中任意摸出1个球.不放回.再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是____________.18.如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数24y x=的图象交于()1,A m ，()4,B n 两点.则不等式40kx b x+-≥的解集为____________. 三、解答题(共8个小题，共66分)19.(6分)计算：()10120204cos302273π-⎛⎫++---- ⎪⎝⎭.20.(6分)先化简，再求值：()()()2222x y x y x y y y ⎡⎤÷⎣--+⎦--，其1x =-中，2y =-.21.(8分)某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛，赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计，制作如下频数分布表和频数分布直方图.请根据图表中提供的信息，解答下列问题：(1)请求出该校随机抽取了_________名学生成绩进行统计；(2)表中a =_________，b =_________，并补全频数分布直方图；(3)若用扇形图统计图描述此成绩统计分布情况，则分数段6070x ≤<对应扇形圆心角度数是_______；(4)若该校学生共有8000人，请估计该校分数在80100x ≤<的学生有多少人？成绩/x 分 频数 频率 5060x ≤< 4 0.1 6070x ≤< 8 b 7080x ≤< a 0.3 8090x ≤< 10 0.25 90100x ≤< 60.1522.(8分)如图，在四边形ABCD 中，5OD OB ==，//AB CD .(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)若12AD =，26AC =，求四边形ABCD 的面积.23.(9分)学校为了让师生更好的养成垃圾分类的习惯，决定在校园内安装垃圾分类的提示牌和垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是提示牌单价的3倍.(1)求提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，问有多少种购买方案.24.(9分)如图，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线和ABC ∆的外接圆相交于点D ，交BC 于F .(1)若40ABC ∠=，80C ∠=，求CBD ∠的度数；(2)求证：DB DE =；(3)若6AB =，4AC =，5BC =，求DE 的长.25.(10分)定义：若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-满足a b b c -=-，则称2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“等差”函数.(1)判断y x b =+和3y x=-是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数； (2)若5y x b =+和c y x =-存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与c y x=-的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；(3)若一次函数y ax b =+和反比例函数c y x =-(其中a 、b 、c 为常数，且0a >，0c >，32a b =)存在“等差”函数，且y ax b =+与“等差”函数有两个交点()11,A x y 、()22,B x y ，试判断“等差”函数图象上是否存在一点(),P x y (其中12x x x <<)，使得ABP ∆的面积最大？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.26.(10分)如图1，二次函数23y ax ax b =-+(a 、b 为参数，其中0a <)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)若10b a =-，求tan CBA ∠的值(结果用含a 的式子表示)；(2)若ABC ∆是等腰三角形，直线AD 与y 轴交于点P ，且:2:3AP DP =.求抛物线的解析式；(3)如图2，已知4b a =-，E 、F 分别是CA 和CB 上的动点，且35EF AB =，若以EF 为直径的圆经过点C ，并交x 轴于M 、N 两点，求MN 的最大值.。

2025届湖南省长沙市中学雅培粹学校数学九上开学学业水平测试模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）将方程x 2+4x +1＝0配方后，原方程变形为（）A ．（x +2）2＝3B ．（x +4）2＝3C ．（x +2）2＝﹣3D ．（x +2）2＝﹣52、（4分）在一幅长200cm ，宽160cm 的硅藻泥风景画的四周，增添一宽度相同的装饰纹边，制成一幅客厅装饰画，使得硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的78%，设装饰纹边的宽度为xcm ，则可列方程为（）A ．()()20016078%200160x x ++⨯=⨯B ．(2002)(1602)78%200160x x ++⨯=⨯C ．(2002)(160)78%200160x x ++⨯=⨯D ．(200)(1602)78%200160x x ++⨯=⨯3、（4分）道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为()A ．B ．C ．D ．4、（4分）菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，若6AC =，菱形的周长为20，则对角线BD 的长为（）A ．4B ．C ．8D ．5、（4分）如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ,B 两点,P 是线段AB 上任意一点(不包括端点),过点P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为10,则该直线的函数表达式是()A ．y=x+5B ．y=x+10C ．y=-x+5D ．y=-x+106、（4分）到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的（）．A ．三条中线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点7、（4分）张浩调查统计了他们家5月份每次打电话的通话时长，并将统计结果进行分组（每组含量最小值，不含最大值），将分组后的结果绘制成如图所示的频数分布直方图，则下列说法中不正确的是（）A ．张浩家5月份打电话的总频数为80次B ．张浩家5月份每次打电话的通话时长在5﹣10分钟的频数为15次C ．张浩家5月份每次打电话的通话时长在10﹣15分钟的频数最多D ．张浩家5月份每次打电话的通话时长在20﹣25分钟的频率为6%8、（4分）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，点P 从点B 出发，沿B C D →→向终点D 匀速运动，设点P 走过的路程为x ，ABP ∆的面积为S ，能正确反映S 与x 之间函数关系的图象是()A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）八年级（4）班有男生24人，女生16人，从中任选1人恰是男生的事件是_______事件（填“必然”或“不可能”或“随机”）.10、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，AD 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作AP 射线，交边CD 于点Q ，若DQ ＝2QC ，BC ＝3，则平行四边形ABCD 周长为_____．11、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，若AD=5，AP=8，则△APB 的周长是．12、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣4x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，点D 在双曲线y ＝上；将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移a 个单位长度后，点C 恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a 的值是_____．13、（4分）一个小区大门的栏杆如图所示，BA 垂直地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，那么ABC BCD ∠+∠=_________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且∠EAC =90°，AE 2=EB •EC ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长DB 、AE 交于点F ，若AF =AC ，求证：AE =BF ．15、（8分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 边上的点，且∠1=∠1．求证：四边形AECF 是平行四边形．16、（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长1都是，图中标有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 共7个格点(每个小格的顶点叫做格点)(1)从7个格点中选4个点为顶点，在所给网格图中各画出-一个平行四边形：(2)在(1)所画的平行四边形中任选-一个，求出其面积.17、（10分）某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按5:4:1配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元／kg、20元／kg、27元／kg．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．18、（10分）已知△ABC的三条边长分别为2，5，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分成两个三角形，使其中一个三角形为等腰三角形.（1）这样的直线最多可以画条；（2）请在三个备用图中分别画出符合条件的一条直线，要求每个图中得到的等腰三角形腰长不同，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）直线y＝3x﹣1向上平移4个单位得到的直线的解析式为：_____．20、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.21、（4分）如图，将三个边长都为a 的正方形一个顶点重合放置，则∠1＋∠2＋∠3＝_______．22、（4分）如图，E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，以AE 为折痕翻折，使得点B 的对应点落在矩形内部点B '处，连接B D '，若5AB =，8BC =，当AB D '∆是以AD 为底的等腰三角形时， BE =___________．23、（4分）如图.△ABC 中,AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D ．F,BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E,已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是_____二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F.若AE 4,AF 6==，平行四边形ABCD 周长为40，求平行四边形ABCD 的面积.25、（10分）已知,90ABC A ∆∠<（如图），点D E F 、、分别在边AB BC AC 、、上，且四边形ADEF 是菱形（1）请使用直尺与圆规，分别确定点D E F 、、的具体位置（不写作法，保留画图痕迹）；（2）如果=604A AD ∠=，，点M 在边AB 上，且满足EM ED =，求四边形AFEM 的面积；（3）当=AB AC 时，求DE AC 的值。