2020年新课标高考数学三大层级(45+75+30)之45分基础送分专题4(层级一)

2020年新课标高考数学三大层级45分基础送分专题（层级一）层级一45分基础送分题（选填送分点）送分专题四空间几何体的三视图、表面积与体积【全国卷3年考情命题分析】1.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第6～7题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第9～11题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．考点1 空间几何体的三视图[题点·考法·全练]1．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于()A．1 B.2C．2D．22解析：选C依题意得，题中的长方体的正视图和侧视图的高都等于2，正视图的长是2，因此相应的正视图的面积等于2×2＝2.2.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()解析：选B由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②. 3．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．32B．23C．22D．2解析：选B在正方体中还原该四棱锥如图所示，从图中易得最长的棱为AC1＝AC2＋CC21＝22＋22＋22＝2 3.[准解·快解·悟通]快审题看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(注：三视图中的正视图也叫主视图，侧视图也叫左视图)准解题明确三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，看不到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.考点2 空间几何体的表面积与体积[题点·考法·全练]1.(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋232＝4，S表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C 依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是直角边长分别为1,2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为⎝⎛⎭⎫12×1×2×3＝3.3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析：选A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.4．若正三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥AC ，且BC ＝1，则三棱锥A ­BCD 的高为( ) A.66 B.33 C.22D.63解析：选A 设三棱锥A ­BCD 的高为h .依题意得AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝AD ＝22BC ＝22，△BCD 的面积为34×12＝34.由V A ­BCD ＝V B ­ACD 得13S △BCD ·h ＝13S △ACD ·AB ，即13×34×h ＝13×12×⎝⎛⎭⎫222×22，解得h ＝66，即三棱锥A ­BCD 的高h ＝66. 5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋65B ．60＋125C ．56＋125D ．30＋65解析：选D 如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，还原该三棱锥P ­BCD ，易得BD ＝PB ＝41，PD ＝25，∴S △PBD ＝12×25×412－⎝⎛⎭⎫2522＝65，又易得S △BCD ＝12×4×5＝10，S △BCP ＝12×BC ×PC ＝10，S △PCD ＝12×CD ×CC 1＝10，∴该三棱锥的表面积是30＋6 5.[准解·快解·悟通]考点3 多面体与球的切接问题[题点·考法·全练]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π4解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4. 2．三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O 、半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5＋3＝8.3．半径为2的球O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a 、高为h ，则有16＝2a 2＋h 2≥22ah ，即4ah ≤162，该正四棱柱的侧面积S ＝4ah ≤162，当且仅当h ＝2a ＝22时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－162＝16(π－2)．答案：16(π－2)[准解·快解·悟通]快审题看到多面体与球的切接问题，想到是内切还是外接，想到球心位置和半径的大小． 准 解 题掌握“切”“接”问题的处理方法(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角面来作截面．(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.专题过关检测四一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．92C.32D ．3解析：选D 由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为x ，故该几何体的体积V ＝13×12×(1＋2)×2×x ＝3，解得x ＝3.3．(2017·广州综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．选D.4．(2017·新疆第二次适应性检测)球的体积为43π，平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，则球心O 到平面α的距离为( )A ．1 B.2 C. 3D.6解析：选B 依题意，设该球的半径为R ，则有4π3R 3＝43π，由此解得R ＝3，因此球心O 到平面α的距离d ＝R 2－12＝ 2.5．(2018届高三·湖南十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为( )A ．45π＋96B ．(25＋6)π＋96C ．(45＋4)π＋64D ．(45＋4)π＋96解析：选D 几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，几何体的表面积为S ＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.6．(2018届高三·西安八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.12B.24C.22D.32解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫a 2a 2＝22. 7．在棱长为3的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝12，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ­PBC 的体积为( )A ．1B ．32C.92D ．与M 点的位置有关解析：选B ∵BP PD 1＝12，∴点P 到平面BC 1的距离是D 1到平面BC 1距离的13，即为D 1C 13＝1.M 为线段B 1C 1上的点，∴S △MBC ＝12×3×3＝92，∴V M ­PBC ＝V P ­MBC ＝13×92×1＝32.8．(2017·贵州适应性考试)如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P ­BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．2解析：选D 正视图，底面B ，C ，D 三点，其中D 与C 重合，随着点P 的变化，其正视图均是三角形且点P 在正视图中的位置在边B 1C 1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a ，则S 正视图＝12a 2；设A 1C 1的中点为O ，随着点P 的移动，在俯视图中，易知当点P 在OC 1上移动时，S 俯视图就是底面三角形BCD 的面积，当点P 在OA 1上移动时，点P 越靠近A 1，俯视图的面积越大，当到达A 1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S 俯视图＝a 2，所以S 俯视图S 正视图的最大值为a 212a 2＝2.9．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④解析：选D 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h2，则截面圆的面积为π⎝⎛⎭⎫R －h22；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.10．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B ­AD ­C ，则三棱锥B ­ACD 的外接球的表面积为( )A ．5πB ．203πC ．10πD ．34π解析：选D 依题意，在三棱锥B ­ACD 中，AD ，BD ，CD 两两垂直，且AD ＝4，BD ＝CD ＝3，因此可将三棱锥B ­ACD 补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R ＝32＋32＋42＝34，故三棱锥B ­ACD 的外接球的表面积为4πR 2＝34π.11．(2017·郑州第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3D.2π9解析：选B 如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，则V ′＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0，得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫233＝8π27.12．已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π解析：选C 取SC 的中点E ，连接AE ，BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S ­ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，故球O 的表面积为4π×OA 2＝16π.二、填空题13．(2016·四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由三视图可得三棱锥如图所示，则V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×23×1×1＝33. 答案：3314．(2017·山东高考)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π215．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接AO ，OB ，设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，∴V S ­ABC ＝V A ­SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝⎛⎭⎫12×SC ×OB ×AO ， 即9＝13×⎝⎛⎭⎫12×2R ×R ×R ，解得 R ＝3， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.答案：36π16．某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时，该几何体的体积是________．解析：由题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ­ABCD ，CD ＝y 2，AB ＝y ，AC ＝5，CP ＝7，BP ＝x ，∴BP 2＝BC 2＋CP 2，即x 2＝25－y 2＋7，x 2＋y 2＝32≥2xy ，则xy ≤16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V ＝13×2＋42×3×7＝37. 答案：37。