高考数学一轮复习 题组层级快练40(含解析)

题组层级快练(四十)

1．(2014·天津文)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )

A．2 B．－2

C.12 D．－12

答案 D

解析 S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1－6.

∵S22＝S1S4，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)．

∴4a21－4a1＋1＝4a21－6a1⇒a1＝－12.

2．在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值为( )

A．2 B．4

C．8 D．16

答案 D

解析 ∵{an}为等差数列，∴a7＝a3＋a112＝4＝b7.

又{bn}为等比数列，b6·b8＝b27＝16，故选D.

3．已知等比数列{an}中的各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8等于( )

A．1＋2 B．1－2

C．3＋22 D．3－22

答案 C

解析 记等比数列{an}的公比为q，其中q>0，

则有a3＝a1＋2a2，

即a1q2＝a1＋2a1q，q2－2q－1＝0，q＝1±2.

又q>0，因此q＝1＋2.

所以a9＋a10a7＋a8＝a7q2＋a8q2a7＋a8＝q2＝(1＋2)2＝3＋22.

选C.

4．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a2＝8，a6＝16，b2＝4，b6＝a6，则由{an}，{bn}的公共项组成的新数列{cn}的通项公式cn＝( )

A．3n＋4 B．6n＋2

C．6n＋4 D．2n＋2

答案 C

解析 设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2， 则d1＝a6－a26－2＝84＝2，d2＝b6－b26－2＝124＝3.

∴an＝a2＋(n－2)×2＝2n＋4，

bn＝b2＋(n－2)×3＝3n－2.

∴数列{an}为6,8,10,12,14,16,18,20,22，…，数列{bn}为1,4,7,10,13,16,19,22，….

∴{cn}是以10为首项，以6为公差的等差数列．

∴cn＝10＋(n－1)×6＝6n＋4.

5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )

A．24 B．32

C．48 D．64

答案 D

解析 依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1.

两式相除，得an＋2an＝2.

所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列．

而a1＝1，a2＝2，

所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.

又因为an＋an＋1＝bn，

所以b10＝a10＋a11＝64.

6．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )

1 2

12 1

a

b

c

A.1 B．2

C．3 D．4

答案 A

解析 由题意知，a＝12，b＝516，c＝316.故a＋b＋c＝1，故选A.

7．数列{an}是等差数列，若a1，a3，a4是等比数列{bn}中的连续三项，则数列{bn}的公比为________．

答案 12或1

解析 设数列{an}的公差为d，由题可知，a23＝a1·a4，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理得(a1＋4d)d＝0，解得d＝0或a1＝－4d.当d＝0时，等比数列{bn}的公比为1；当a1＝－4d时，a1，a3，a4分别为－4d，－2d，－d，所以等比数列{bn}的公比为12.

8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．

答案 13

解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0.∴q＝13.

9．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x＋3.设第n次生成的数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________；若x＝1，前n次生成的所有数．．．中不同的数的个数为Tn，则T4＝________.

答案 2n－1,10

解析 由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故Sn＝1－2n1－2＝2n－1.

当x＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1,4，第3次生成的数为1,2；－4,7，第4次生成的数为－1,4；－2，5；4，－1；－7,10.故T4＝10.

10．(2015·吉林实验中学一模)在直角坐标平面内，已知点P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，…，Pn(n,2n)，….若n为正整数，则向量P1P2→＋P3P4→＋P5P6→＋…＋P2n－1P2n的纵坐标为________．

答案 23(4n－1)

解析 PkPk＋1＝(k＋1－k,2k＋1－2k)＝(1,2k)，于是P1P2→＋P3P4→＋P5P6→＋…＋P2n－1P2n的纵坐标为2＋23＋25＋…＋22n－1＝21－4n1－4＝23(4n－1)．

11．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8.{an}的前10项和S10＝55.

(1)求an和bn；

(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．

答案 (1)an＝n，bn＝2n－1 (2)29

解析 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得

S10＝10＋10×92d＝55，b4＝q3＝8，

解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.

(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．

故所求的概率P＝29. 12．(2014·湖北)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

答案 (1)an＝2或an＝4n－2 (2)当an＝2时，不存在，当an＝4n－2时，存在，n最小值为41

解析 (1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)．

化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.

当d＝0时，an＝2；

当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.

从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.

(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n<60n＋800，

此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．

当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋4n－2]2＝2n2.

令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，

解得n>40或n<－10(舍去)．

此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.

综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；

当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.

13．某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩．

(1)求该林场第6年植树的面积；

(2)设前n(1≤n≤10且n∈N)年林场植树的总面积为Sn亩，求Sn的表达式．

答案 (1)该林场第6年植树的面积为80a亩

(2)Sn＝ 32a[32n－1]，1≤n≤5，n∈N，211a＋166a－nan－52，6≤n≤10，n∈N

解析 (1)该林场前5年的植树面积分别为16a,24a,36a,54a,81a.

∴该林场第6年植树的面积为80a亩．

(2)设第n年该林场植树的面积为an亩，

则an＝ 32n－1×16a，1≤n≤5，n∈N，86－na，6≤n≤10，n∈N.

∴当1≤n≤5时，Sn＝16a＋24a＋…＋(32)n－1×16a ＝16a[1－32n]1－32＝32a[(32)n－1](亩)．

当6≤n≤10时，Sn＝16a＋24a＋36a＋54a＋81a＋80a＋…＋(86－n)a

＝211a＋80a＋…＋(86－n)a

＝211a＋[80a＋86－na]n－52

＝211a＋166a－nan－52(亩)．

∴所求Sn的表达式为

Sn＝ 32a[32n－1]，1≤n≤5，n∈N，211a＋166a－nan－52，6≤n≤10，n∈N.

14．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{bn}是等比数列；

(3)若cn＝an·bn，求证：cn＋1

答案 (1)an＝n＋1 (2)略 (3)略

解析 (1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1.

∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列．

∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.

(2)∵点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，

∴Tn＝－12bn＋1.①

∴Tn－1＝－12bn－1＋1(n≥2)．②

①②两式相减，得bn＝－12bn＋12bn－1(n≥2)．

∴32bn＝12bn－1，∴bn＝13bn－1.

由①，令n＝1，得b1＝－12b1＋1，∴b1＝23.

∴{bn}是以23为首项，以13为公比的等比数列．