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(完整)高中数学讲义微专题16含参数函数的单调区间.doc

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微专题 16含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。

本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。

一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。

即确定定义域→求出导函数→令 f ' x0 解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定（ 1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：x a0 ，其解集为a,，中间并没有进行分类讨论。

思考：为什么？因为无论参数 a 为何值，均是将 a 移到不等号右侧出结果。

所以不需要分类讨论，再例如解不等式x2 a 0 ，第一步移项得： x2 a （同样无论 a 为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现 a 的不同取值会导致不同结果，显然 a 是负数时，不等式恒成立，而 a 是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。

体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。

所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。

（ 2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。

要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。

例如上面的不等式x2 a ， a 所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按 a 的符号进行分类讨论。

（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解（4）当参数a扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。

例如：解不等式： ax 1 x 1 0 ，可得： x1 1 a 0 , x2 1 此时a扮演两个角a色，一个是 x 的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定x1的大小，进而要和x2来角逐大小根。

那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以x 系数的正负，进行分类。

①当 a 0 时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于 a 0 ，以此为前提x1 0 1 x2，故小大根不存在问题，解集为1 ,1 a②当 a 0 时，不等式变为x 1 0 x ,1③当 a 0 时，不等式解集为小大根之外，而x1 10, x2 1，x1, x2的大小由a的取值决a定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。

（重视①③的对比）x1 x2 0 a 1时，不等式解集为,1 U 1 ,ax1 x2 a 1时，不等式化为x20 x 1 1x1 x2 a 1 时，不等式解集为, 1U 1,a希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而是有线索可循了。

二、典型例题：例 1：已知函数 f1 xx 的单调区间x ln x ，求 fax解：定义域 x 0,f x 1 1 1 ln x f ' x 1 1 ax 1a x ax 2 xax2令 f ' x 0 ，所解不等式为ax 1 0a1当 a 0 时，即解不等式 ax 1 0 xaf x 的单调区间为：x0,1 ,aaf ' x+f x] Z当 a0 时， ax 1 0, af ' x 0 恒成立f x 为增函数 :例 2：已知函数 fxax33x213a（ 1）若 fx 的图像在 x1 处的切线与直线 y1x 1垂直，求实数 a 的值3（ 2）求函数f x 的单调区间解：（ 1）由切线与 y1 x 1垂直可得： f ' 1 33f ' x 3ax 26xf '1 3a 6 3 a 1（ 2）思路：导函数f ' x 3ax 2 6x ，令 f ' x0 解单调增区间，得到含参不等式。

分类讨论时注意 a 扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根解： f ' x 3ax 2 6x 令 f ' x 0 即 3ax 2 6x 03x ax2① a 0x 12 x 2 x 1 （将 a 的范围分类后， 要善于把每一类的范围作为已知条使用0, x 2a件，在本题中使用a 0的条件使得x 1 , x 2 大小能够确定下来，避免了进一步的分类）f x 的单调区间为：x,00,22 ,aaf ' x +f xZ]Z② a 0x 2 x 1f x 的单调区间为：x , 2 ,0 0,a af ' x +f x Z ] Z 例 3：已知函数f x 2ln x ax2 ，求 f x 的单调区间解：定义域： x 0,f ' x 2 2ax 2 2ax 2 ，令 f ' x 0 ，可得： 2 2ax2 0x x即 ax2 1当 a 0 时，x21x 0,a a af x 的单调区间为：x 0,a aa ,af ' xf x Z ]当 a 0 时， f x 2ln x 为增函数当 a 0 时， f ' x 2 2ax 2 2ax2 0 恒成立 f x 为增函数x x例 4：讨论函数f x a 1 ln x ax2 1 的单调区间解： f ' x a 1 2ax 2ax 2 a 1 令 f ' x 0x x即 2ax2 a 1 0 2ax2 a 1 （注意定义域为0,+ ，所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式）① a 0 时x2 a 1 （求解 x 需要除以2a后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从2a 的2a符号入手）Q a 0 a 1 0 f ' x 0 恒成立， f x 在 0, 单调递增2a② a 0 函数 f x ln x 1 为增函数③ a 0 时 x2 a 1 （下一步为开方出解集，按 a 1 的符号进行再分类）a 1 2a 2a当0 即 a 1 时， f ' x 0 恒成立， f x 在 0, 单调递减2a当a 10 即 1 a 0 时，解得：0 xa 12a 2af x 的单调区间为：x 0, a 1 a 1,2a 2af ' x +f x Z ]小炼有话说：本题定义域为0,，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一边解不等式。

制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在 1 a0 时，表格中自变量的区间是从x0 处开始分析的例 5：已知函数解：定义域为f x x2f x 的单调性a 2 ln x ，讨论x0,f ' x 1 2 a x 2 ax 2 令 f ' x 0 即x2 ax 2 0x2 x x2考虑a2 8 （左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与x 轴有交点）①0 2 2 a 2 2 时 x2 ax 2 0 恒成立，故f x 在 0, 单调递增② a 2 2 时 x2 ax 2 0 的解 x1 a a2 8, x2 a a2 8 x1, x2 02 2x 2ax 2 0 的解集为 0,aa 28 U aa 2 8 ,22f x 的单调区间为：x0,aa 2 8 aa 2 8 , aa 2 8aa 2 8 ,2222f ' x+f xZ]Z③ a2 2 时 x 1 , x 2 0x0,f ' xf x 在 0,单调递增小炼有话说：本题亮点在于②③的讨论，判断极值点是否在定义域中。

进而确定单调性。

除了解出根来判断符号之外，本题还可以利用韦达定理进行判断。

x 1 x 2 2 ，说明两根同号，而 x 1 x 2a ，说明 a 的符号决定 x 1, x 2 的正负，从而在 0 的情况下进行再次分类讨论例 6：已知函数 f xe axa a1 ，其中 a1 .x（ 1）当 a1 时，求曲线 y f x在点1, f1 处的切线方程；（ 2 ） 求 f x 的 单 调 区 间 ．解：（ 1） f xe x12f ' xe x 121xx x 2f 13e, f ' 1 2e切线方程为：y 3e 2e x 1 ，即 y2ex e（ 2） f ' xae ax x 1 a21 x 1, x 0 ，x令 f ' x0 ，即解不等式： a x 1 a 1 x 1 0① 当 a1时，解得： x1 ，故 f x 的单调区间为：x, 11,00, f ' x+f x ] Z Z1 a 0 时x1 10 ，所以解得： 11② 当1, x2 xa 1 a 1故 f x 的单调区间为：x , 1 1,0 0, 1 1 ,a 1 a 1f ' x +f x ] Z Z ]③ a 0 ，则 f x 1 ，常值函数不具备单调性④ a 0 时，解得： x 1 或 x1 故 f x 的单调区间为：a 1x , 1 1,0 0, 1 1 ,a 1 a 1f ' x +f x Z ] ] Z例 7：已知函数f x 1 x2 ax a ln x 1 a R . 求函数f x 的单调区间 .2解： f ' x x aa x2 a 1 x x x a 1x 1 x 1 x 1令 f ' x 0 ，即 x x a 1 0 ，x1 0, x2 a 1 （参数 a 角色：①x1 , x2的大小，②x2是否在定义域内，以①为目标分类）① x2 x1 a 1 0 即 a 1 （此时 a 1 一定在定义域中，故不再分类）不等式的解集为 1 x 0或 x a 1 f x 的单调区间为：x 1,0 0, a 1 a 1 ,f ' xf x ↗↘↗②x2 x1 a 1 f ' x x2 0f x 在1, 单调递增③x2 x1 0 a 1，要根据 x2是否在1,0 进行进一步分类当 1 a 0 时， x2 0,1 不等式的解集为x 0 或 1 xa 1f x 的单调区间为：x 1, a 1 a 1 ,0 0,f ' xf x ↗↘↗当 a 0 时，则 x a 1 0 ，不等式的解集为 x 0 ， f x 的单调区间为：x 1,0 0,+f ' xf x ↘↗小炼有话说：（ 1）在求单调区间时面临一个 f ' x0 的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。

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函数的单调性和最值PPT精品课件

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函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
求函数单调区间的方法及几个常用结论

求函数单调区间的方法及几个常用结论

求函数单调区间的方法及几个常用结论要确定一个函数的单调区间，可以通过以下几种方法：1.分析函数的导数：如果一个函数在一些区间上的导数恒为正（负），则这个函数在该区间上是严格递增（递减）的。

通过求解函数的导数，可以确定函数的单调性。

对于可导函数，我们可以通过求导数的零点来确定函数的单调区间。

导数为正的区间是函数递增的区间，导数为负的区间是函数递减的区间。

2.分析函数的二阶导数：二阶导数表示函数的导数的导数。

如果一个函数在一些区间上的二阶导数恒为正（负），则该函数在这个区间上是凹的（凸的）。

通过求解函数的二阶导数，可以确定函数的拐点。

拐点可以将函数的区间分为凹和凸的两个部分，函数在凹部分是严格递增的，在凸部分是严格递减的。

3.利用函数的性质或图像：对于一些特定形式的函数，可以直接利用函数的性质或图像来判断函数的单调区间。

例如，对于多项式函数而言，函数的次数决定了函数的单调性。

如果一个多项式函数的次数为奇数，则函数是整个实数轴上的单调函数；如果一个多项式函数的次数为偶数，则函数是在一些区间上单调递增或单调递减。

4. 利用数学不等式：当函数定义域为实数时，我们可以通过利用一些数学不等式来判断函数的单调性。

例如，对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果$a > 0$，则函数是开口向上的，函数的单调区间为$(-\infty,+\infty)$；如果$a < 0$，则函数是开口向下的，函数的单调区间为$(+\infty,-\infty)$。

在实际应用中，经常会用到以下几个常用结论：1.定义：如果函数$f$在开区间$(a,b)$上单调递增，且在$x=a$和$x=b$处的极限分别存在，则$f$在闭区间$[a,b]$上连续。

2.定理1：如果函数$f$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且在开区间$(a,b)$上导数恒为零，则$f$在闭区间$[a,b]$上的函数值都相等。

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。

例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。

参数函数的单调区间

参数函数的单调区间

参数函数的单调区间参数函数是指函数中含有一个参数，这个参数可以取多个不同的值，从而函数的值也会发生相应的变化。

而函数的单调性是指在定义域上，函数值随着自变量变化的趋势。

对于参数函数的单调性，我们可以分为三种情况来讨论：第一种情况是参数函数的单调递增。

当参数函数的自变量增大时，函数值也随之增大。

例如，考虑函数$f(x) = ax$，其中$a$为常数。

当$a>0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而增大；当$a<0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而减小。

所以函数$f(x) = ax$的单调递增区间为$x>0$；第二种情况是参数函数的单调递减。

当参数函数的自变量增大时，函数值会随之减小。

例如，考虑函数$f(x) = -\frac{1}{x}$，其中$x$为正数。

当$x$增大时，函数$f(x)$会变得更小。

所以函数$f(x) = -\frac{1}{x}$的单调递减区间为$x>0$；第三种情况是参数函数的单调性与参数相关。

在这种情况下，函数的单调性会随着参数的取值不同而变化。

例如，考虑函数$f(x) = bx^2$，其中$b$为常数。

当$b>0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而增大；当$b<0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而减小。

所以函数$f(x) = bx^2$的单调性依赖于参数$b$的取值。

综上所述，参数函数的单调性可以分为三种情况：单调递增、单调递减和与参数相关。

其中单调递增的区间为自变量取值大于一些特定值的范围，单调递减的区间为自变量取值小于一些特定值的范围，与参数相关的单调性则是根据参数的取值范围来确定。