微专题09 函数的单调性问题(原卷版)

微专题09函数的单调性问题

【方法技巧与总结】

一．证明函数单调性的步骤

（1）取值．设

12xx，是()fx定义域内一个区间上的任意两个量，且

12xx；

（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；

（4）得出结论．

二．函数单调性的判断方法

（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进

行判断．

（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．

（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直

接写出它们的单调区间．

（4）记住几条常用的结论

①若()fx是增函数，则()fx为减函数；若()fx是减函数，则()fx为增函数；

②若()fx和()gx均为增（或减）函数，则在()fx和()gx的公共定义域上()()fxgx为

增（或减）函数；

③若()0fx且()fx为增函数，则函数()fx为增函数，1

()fx为减函数；若()0fx

且()fx为减函数，则函数()fx为减函数，1

()fx为增函数．

三．单调性定义的等价形式

（1）函数fx在区间

,ab上是增函数：

任取

12,,xxab，且

12xx，

120fxfx；

任取

12,,xxab，且

12xx，

12

120fxfx

xx



；

任取

12,,xxab，且

12xx，

12120xxfxfx

；

任取

12,,xxab，且

12xx，

12

120xx

fxfx



．

（2）函数fx在区间

,ab上是减函数：

任取

12,,xxab，且

12xx，

120fxfx；

任取

12,,xxab，且

12xx，

12

120fxfx

xx



；任取

12,,xxab，且

12xx，

12120xxfxfx

；

任取

12,,xxab，且

12xx，

12

120xx

fxfx



．

四．复合函数单调性的判断

讨论复合函数

()yfgx的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数

的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，

然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：

（1）若(),()ugxyfu在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则

()yfgx为

增函数；

（2）若(),()ugxyfu在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则



()yfgx为减函数．

列表如下：()ugx()yfu

()yfgx

增增增

增减减

减增减

减减增

复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．

因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：

（1）将复合函数分解成基本初等函数：()yfu，()ugx；

（2）分别确定各个函数的定义域；

（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．

若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则

()yfgx为增函数；

若为一增一减或一减一增，则

()yfgx为减函数．

【题型归纳目录】

题型一：直接判断函数单调性

题型二：定义法证明单调性

题型三：证明抽象函数的单调性

题型四：求单调区间

题型五：根据单调性求参数

题型六：根据图像判断单调性

题型七：复合函数的单调性

题型八：比较函数值的大小关系【典型例题】

题型一：直接判断函数单调性

例1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在R上单调递增的函数是（）

A．(2)yxxB．3yxC．yxD．||yx

例2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，在0,上为减函数的是（）

A．

3fxxB．22fxxx

C．1

1fx

x

D．

fxx

例3．（2022·江苏·高一）设函数fx的定义域为R．则“fx在R上严格递增”是

“

gxfxx在R上严格递增”的（）条件

A．充分不必要B．必要不充分

C．充分必要D．既不充分也不必要

题型二：定义法证明单调性

例4．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数11

()(0,0)fxax

ax．

(1)求证：()fx在(0,)

上是增函数；

(2)当2

5a时，求不等式1

()2

2fx的解集．

例5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数

21

8x

fx

x



，判断并证明fx在区间

22,上

的单调性．

例6．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数4

fxx

x.

(1)用单调性定义证明函数

fx在

0,2上为减函数；

(2)求函数

fx

在

2,1上的最大值.例7．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数fx满足1fxxa，且

11f.

(1)求a

和函数fx的解析式；

(2)用定义法证明

fx

在其定义域的单调性.

题型三：证明抽象函数的单调性

例8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx的定义域为0,，且对一切0m，0n，都有2m

ffmfn

n





，当1x时，总有2fx.

(1)求

1f的值；

(2)证明：

fx是定义域上的减函数；

(3)若

41f

，解不等式2821fxfx.

例9．（2022·河北沧州·高一开学考试）设yfx是定义在R上的函数，并且满足下面三

个条件：①对任意正数xy､

都有fxyfxfy；②当1x时，0fx；③31f.

(1)求1

1

9ff



,的值；

(2)判断函数

yfx

的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

(3)如果存在正数k，使不等式

22fkxfx

有解，求正数k的取值范围.

例10．（2022·辽宁·育明高中高一期末）已知函数()fx对任意,Rxy

，都有

()()()1fxyfxfy

，且当0x时，()1fx．

(1)求证：()fx在R上是增函数；

(2)若关于a的方程2(75)2faa的一个实根是1，求(6)f的值；

(3)在（2）的条件下，已知Rm，解关于x的不等式()(2)3fmxfx

．例11．（2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）已知定义在R上的函数fx满足：

①当0x时，1fx，②对任意,Rxy都有

fxyfxfy

，③12f

(1)求

2f的值.

(2)求证：对任意

,0xfx

(3)证明：

fx

在R上是増函数.

例12．（2022·全国·高一专题练习）定义在0，上的函数fx满足下面三个条件：

①对任意正数ab，，都有fafbfab；②当1x时，0fx；③21f

(1)求

1f和1

4f



的值；

(2)试用单调性定义证明：函数

fx在

0，上是减函数；

(3)求满足32412218fxxfx

的x

的取值集合．

例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx的定义域为0,，对任意正实数a

、b

都有1fabfafb，且当1x时，1fx．求证：函数fx是0,上的增函

数．

题型四：求单调区间

例14．（2022·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：

(1)1

2fx

x

；

(2)

3fxxx．例15．（2022·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数fx的解析式35,0

5,01

28,1xx

fxxx

xx









.

(1)求1

2ff



；

(2)若

2fa，求a

的值；

(3)画出

fx的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.

例16．（2022·全国·高一专题练习）已知函数2fxxxx的单调增区间为_______．

例17．（2022·全国·高一专题练习）函数

1x

fx

x

的单调增区间是（）

A．

(,1)B．

 ,11,

C．

 ,11,D．

11,（，）（）

题型五：根据单调性求参数

例18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2212fxaxax.若

fx

的减区间为

(,4)，则实数a的值为___________；若

fx

在区间(,4)上是减函数，则实数a的取

值范围为___________.

例19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数3fxxa的增区间是2,，则实数a

的值为___________.

例20．（2022·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知函数2()2(1)2fxxax，若对于区间

[1,2]

上任意两个不相等的实数

1x，

2x，都有

1fx

2fx，则实数a的取值范围为

___________．

例21．（2022·全国·高一课时练习）已知函数

2022

1ax

fx

a



在

0,1上单调递减，则实数

a的取值范围是（）

A．

(,01,2022)B．

(,00,2022)

C．(,0)(1,)D．

(),00,1