高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.2 函数的单调性(解析版)
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洪创教育精品文档资料工作室 第二讲 函数的单调性
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值 【套路秘籍】---千里之行始于足下 洪创教育精品文档资料工作室
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考向一 单调区间求解
【例1】（1）下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A.y＝2－x B.y＝x C.y＝log2x D.y＝－1x
(2)函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
(3)求函数f(x)＝|x2－4x＋3|的单调区间 ．
(4)求函数f(x)＝x－ln x的单调区间 ．
(5)函数33yxx的单调增区间为__________．
【答案】见解析
【解析】（1）只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且y＝2－x是减函数，y＝x是增函数.选B
（2）由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.
（3）先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象．如图所示．由图可知f(x)在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f(x)的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．
（4）由题意，得x>0.y′＝1－1x＝x－1x.由y′＝0解得x＝1. 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 洪创教育精品文档资料工作室
洪创教育精品文档资料工作室 列表如下：
由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
（5）21119033yxx ，即单调增区间为11,33
【举一反三】
1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )
A． f(x)=lnx B． f(x)=(x−1)2 C． f(x)=2−x D． f(x)=x3
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f(x)=lnx为对数函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意． 【套路总结】
一．函数单调性的判断方法有
①定义法；
②图象法；
③利用已知函数的单调性；
④导数法.
二．复合函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 洪创教育精品文档资料工作室
洪创教育精品文档资料工作室 对于B，函数f(x)=(x−1)2为二次函数，在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，不符合题意．
对于C，函数f(x)=2−x=(12)x为指数函数，在(0,+∞)上单调递减，符合题意．
对于D，函数y=x3为幂函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．故选C．
2．函数𝑓(𝑥)=log2(4+3𝑥−𝑥2)的单调递减区间是（ ）
A． (−∞,32] B． [32,+∞) C． (−1,32] D． [32,4)
【答案】D
【解析】函数f（x）=log2（4+3x-x2），令t=4+3x-x2 ＞0，求得-1＜x＜4，
即函数的定义域为（-1，4），且f（x）=log2t，即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x2 在定义域内的减区间为[32,4).故选D．
3．函数| gxx的单调递增区间是 ( )
A． 0+， B． 0，C． 2， D． 2+，
【答案】A
【解析】任取120,xx 则120,xx 121212120,gxgxxxxxgxgx ，所以函数| gxx的单调递增区间是0+，，故选A.
考向二 单调性的运用一---比较大小
【例2】定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有fx1－fx2x1－x2<0.则下列结论正确的是( )
A．f(0.32)
C．f(log25)
【答案】A 洪创教育精品文档资料工作室
洪创教育精品文档资料工作室 【解析】 ∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x2<0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，
又∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∵0<0.32<20.3
【举一反三】1.已知f(x)＝2x－2－x，117459279,,log97abc
则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为( )
A.f(b)
C.f(c)
【答案】B
【解析】易知f(x)＝2x－2－x在(－∞，＋∞)上是增函数，又a＝79－14＝9714>9715＝b>0，c＝log279<0，∴f(a)>f(b)>f(c).
2.已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 【套路总结】
(1)比较大小：县判断出函数的单调性，再根据自变量的大小判断出函数值的大小关系。
(2)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； 洪创教育精品文档资料工作室
洪创教育精品文档资料工作室 【答案】 D
【解析】 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，所以a＝f－12＝f52，故b>a>c.故选D.
3．设𝑎=ln22，𝑏=ln33，𝑐=1𝑒，则( )
A． 𝑐<𝑎<𝑏 B． 𝑐<𝑏<𝑎 C． 𝑎<𝑏<𝑐 D． 𝑏<𝑎<𝑐
【答案】C
【解析】𝑎=ln22，𝑏=ln33，𝑐=1𝑒=ln𝑒𝑒，令𝑓(𝑥)=ln𝑥𝑥，得𝑓′(𝑥)=1−ln𝑥𝑥2，
∴当𝑥∈(0,𝑒)时，𝑓(𝑥)为增函数，当𝑥∈(𝑒,+∞)时，𝑓(𝑥)为减函数，
则𝑓(𝑒)最大，而𝑓(2)=ln22=ln√86，𝑓(3)=ln33=ln√96，∴𝑓(2)<𝑓(3)，∴𝑎<𝑏<𝑐．故选：C．
4．已知x=1.10.1，y=0.91.1，z=log2343，则x，y，z的大小关系是( )
A． x>y>z B． y>x>z C． y>z>x D． x>z>y
【答案】A
【解析】解：∵x=1.10.1>1.10=1，0y>z．故选：A．
考向三 单调性的运用二---解不等式
【例3】（1）f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8)
（2）已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( ) 洪创教育精品文档资料工作室
洪创教育精品文档资料工作室 A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]
【答案】（1）B （2）D
【解析】（1）2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有 x>0，x－8>0，xx－8≤9，解得8
（2）∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案 D
【举一反三】
1．若loga23<1(a>0且a≠1)，则实数𝑎的取值范围是( )
A． (0,23) B． (0,23)∪(1,+∞) C． (1,+∞) D． (0,1)
【答案】B
【解析】∵loga23＜1=logaa，
当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，
当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a＜23，
综上可知a的取值是（0，23）∪（1，+∞）.故答案为（0，23）∪（1，+∞）
2．设函数𝑓(𝑥)={2𝑥 ， 𝑥≥0𝑥 ， 𝑥<0 ，则满足𝑓(𝑥+1)<𝑓(2𝑥)的x的取值范围是（ ）
A． (−∞ ， −1] B． (1 ， +∞) C． (−1 ， 0) D． (−∞ ， 0)
【答案】B
