复变函数第一章1.1

第一章 复数与复变函数 §1.1复数的定义及其运算域 称非空集合F 是域,如果F 有加法和乘法运算,使得(ⅰ) F 对加法而言构成交换群； (ⅱ) \{0}F对乘法而言也构成交换群；(ⅲ) F 对加法和乘法而言成立分配律,即(),,,a b c ab ac a b c F +=+∀∈.例如,有理数的全体和实数的全体 都是域.复数 在2{(,):,}a b a b =∈ 中规定加法和乘法运算如下：(,)(,)(,)a b c d a c b d +=++；(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc =-+,则易验证它是域.将规定了上述加法和乘法运算后的2用 表示,称为复数域.容易看出{(,0):}a a ∈ 构成 的一个子域,并且与实数域 同构,故通常将(1,0)简记为1,它就是 的单位元素；将(0,1)简记为i ,因为它满足21i =-，故称为虚数单位.的元素(,)a b 可简记为a ib +,称为复数.于是, 的四则运算能明确地写出来()()()()a ib c id a c i b d +++=+++； ()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+-； ()()()()a ib c id ac bd i ad bc ++=-++；2222c id ac bd ad bci a ib a b a b ++-=++++.复数定义中关于乘法的规定,本质上是“想象出”一个数i ,满足21i =-,然后按分配律展开,再按交换律合并同类项所得到的,即()()()()a ib c id ac aid ibc ibid ac bd i ad bc ++=+++==-++.复数的定义人为痕迹很浓,不易为初学者所接受.复数乘法定义的合理解释 ,{:,},a ba b b a ⎫⎛∈⎪-⎝⎭ 在矩阵加法,,,,,(),a b c d a c b d b a d c b d a c ++⎫⎫⎫⎛⎛⎛+=⎪⎪⎪ ---++⎝⎝⎝⎭⎭⎭和乘法,,,,,(),a b c d ac bd ad bc b a d c ad bc ac bd-+⎫⎫⎫⎛⎛⎛=⎪⎪⎪ ---+-⎝⎝⎝⎭⎭⎭下构成一个域,它显然与复数域 同构.这说明复数的乘法本质上是矩阵的乘法.因为矩阵的乘法定义是由线性变换的复合诱导的,非常自然,从而解释了复数乘法定义的合理性.特别的,i 本质上就是2222cos sin 0,11,0sin ,cos ,ππππ⎫⎛⎫⎛=⎪ ⎪ --⎝⎭⎝⎭.作为线性变换,它将2维行向量逆时针旋转2π,其平方1,00,1-⎫⎛⎪-⎝⎭就是将2维行向量逆时针旋转π.这说明21i =-有明确的几何意义,并非是想象出来“虚数”.复数的四则运算跟有理数或实数完全一样,但有一个重要的差别,就是复数不能比较大小.为了说明这个问题,需要有序域的概念.定义1.1.1 称域F 是有序域,如果F 存在非空子集合F +满足(ⅰ) ,,F F αβαβ+++∈∀∈； (ⅱ) ,,F F αβαβ++∈∀∈； (ⅲ) F 是F +,{0}和()F +-的无交并. 此时,若F βα+-∈,则称αβ<.定理1.1.2 有理数域和实数域都是有序域；复数域不是有序域.证: (反证法)假定存在非空子集合+满足定义1.1.1中的(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ).根据(ⅲ),i +∈ 和i +-∈ 二者必居其一.若i +∈ ,根据(ⅱ),有21i +-=∈ ,从而(1)i i +-=-∈ ；若i +-∈ ,根据(ⅱ),也有21()i +-=-∈ ,从而(1)()i i +=--∈ .总之, i +±∈ ,于是根据(ⅰ),0()i i +=+-∈ ,这与(ⅲ)相矛盾.#注记 由实数域,利用矩阵的加法和乘法,得到了复数域,{:,},a ba b b a⎫⎛∈⎪-⎝⎭ ,使得是真子域.现在要问,由复数域,能不能利用矩阵的加法和乘法,使得,{:,},z wz w w z ⎫⎛∈⎪-⎝⎭ 也是一个域,并且是它的真子域?答案是否定的,因为当,z w ∈ 时,,,z w w z ⎫⎛⎪-⎝⎭未必有逆.复数的常见符号及性质对于,,z x iy x y =+∈,称z x iy=-为z的共轭,2Re z z z x +==为z的实部,2Im z z iz y -==为z 的虚部,z ==为z 的绝对值.显然成立(ⅰ) z w z w ±=±,,()zw z w z w z w ==； (ⅱ)0,,z z ww z z zw z w ==≥=；(ⅲ) 2222Re z w z zw w±=±+；(ⅳ),z w z w z w z w+≤+-≥-.§1.2 复数的几何表示复数的几何表示将复数(,)z x iy x y =+∈与平面2 上的点(,)x y ，起于(0,0)终于(,)x y 的向量，甚至起于(,)a b 终于(,)a x b y ++的向量视为相同,如图所示.复数加法和减法的几何意义(如图所示)复数的三角记法和指数记法对于平面上异于原点、极坐标为(,)r θ的复数z ,可记为 (cos sin )zr i θθ=+ (三角式)或 i zre θ= (指数式),称θ为复数z 的幅角.如下图所示.复数乘法的几何意义对于非零复数11111(cos sin )i z re r i θθθ==+和 22222(cos sin )i w r e r i θθθ==+,其乘积本质上就是由2阶方阵11111cos ,sin sin ,cos z r θθθθ⎫⎛⎪ -⎝⎭ 和 22222cos ,sin sin ,cos w r θθθθ⎫⎛⎪ -⎝⎭ 所确定的线性变换的复合,故12()12121212(cos()sin())i zw r r e r r i θθθθθθ+==+++；12()12121122(cos()sin())i r r r r e i z w θθθθθθ-==-+-.非零复数i z z e θ=的幅角的全体用{2:}Argz k k θπ=+∈ 表示,但只有唯一的一个幅角0(,]θππ∈-,称为z 的幅角的主值,记为0argz θ=.关于复数z 的幅角,有如下一些等式(理解为集合的相等) ArgzArgz =-；()Arg zw Argz Argw =+；()Arg Argz Argw z w =-.注意 关于z 的幅角的主值,可能会有argz argz ≠-；(例如1z =-)()arg zw argz argw ≠+；(例如1,z w i =-=) ()z w arg argz argw ≠-.(例如1,1z w ==-)两个复数(平面向量)的平行与正交 向量z 与w 平行⇔Im 0zw =；向量z 与w 正交⇔Re 0zw =.证：设,z x iy w u iv =+=+,则向量z 与w 平行⇔xv yu =⇔Im zw0=；向量z 与w 正交⇔0xu yv +=⇔Re 0zw =.#例1.2.1'(4P ,第4题) 若12,0z z λλ=>.证明：21212z z z z λλ-=-.证： 2222241211222Re z z z z z z λλλ-=-+2222221212Re z z z z λλλ=-+2221122(2Re )z z z z λ=-+2212z z λ=-.#例1.2.2'(13P,第15题) 设12,01z z λ≠<≠.证明:{:z ∈ 12}z z z z λ--=是圆周(Apollonius 圆周),并求出其圆心a 和半径R .证：由例1.2.1',该平面集合中的点z 满足21212()()z z z z z z λλ---=-,221212(1)()z z z z z λλλ---=-,即212122211z z z z z λλλλ---=--.这恰好是以a2122=1z z λλ--为圆心,以R 1221z z λλ-=-为半径的圆周的方程.#例1.2.3(11P,第8题) 如图所示,两个正方形共用一个顶点,证明：A ,垂足H ,中点M 共线.证：因为1()2a b M +=,故只需证明a b +与ib ia +正交即可,此显然.#例1.2.4 证明: 三角形123z z z 三边的中点,三顶点在对边的垂足,三顶点与垂心的中点,这九个点共圆(九点圆),并且该三角形的外心,重心,九点圆心,垂心在同一条直线上.具体地说,如果选取外心作原点,则外心,重心,九点圆心,垂心便分别是1231231230,11(),(),()32z z z z z z z z z ++++++.证： 因为外心为原点,故1230z z z R ===>.(1) 重心为1231()3z z z ++.123123111()(2)33z z z z z z z ++-=+-,23123111()(2)22z z z z z z +-=+-,这说明1231()3z z z ++位于1z 对边的中线上. (2) 垂心为123()z z z ++.123123()()z z z z z z ++-=+,222323232233Re()()Re()z z z z z z z z z z +-=+--0=,这说明123()z z z ++位于1z 到对边的垂线上.(3) 1231()2z z z ++到六中点的距离为12R . 123231111()()222z z z z z z ++-+=,这说明1231()2z z z ++到1z 对边中点的距离为12R.12311231111()()222z z z z z z z z ++-+++=,这说明1231()2z z z ++到1z 与垂心中点的距离为12R .(4) 1z 在对边的垂足位于六点圆上.只需证明1z 的对边上有一点,1z 到对边的垂线上有一点,这两点是六点圆的直径对点.事实上,1z 与垂心的中点11231()2z z z z +++,1z 对边的中点231()2z z +,这两点的中点恰为六点圆心1231()2z z z ++.#§1.3 扩充复平面和复数的球面表示将 添上一个想象的点∞,使其成为“加一点的紧致化”.称∞为 的无穷远点,∞= {}∞ 为复扩充平面.规定,z zz +∞=∞+=∞∀∈ ；,0z z z ⋅∞=∞⋅=∞∀≠∈ ；0,z z =∀∈∞ ； ,0z z ∞=∞∀≠∈ ； ∞⋅∞=∞等等.如图所示,单位球面上异于北极(0,0,1)的点123(,,)x x x 与复平面上的点z 一一对应,北极(0,0,1)与∞对应.注意到123311(,,0)(0,0,1)x x x x ---与123(,,)(0,0,1)x x x -方向相同,便知1231x x x i z -=+.由2221231x x x ++=,便知333322212212(111111)x x x x x x z +---+=+=+=+.于是1322(1)1z z z z x x z ++=-=+； 2322(1)(1)z z iz z x x i z --=-=+；222321111z z z x -++=-=；称单位球面与复扩充平面的这样的对应为复扩充平面的球面表示；该单位球面便称为Riemann 球面.§1.4 复数列的极限设,0a r ∈> ,称(,){:}B a r z z a r =∈-<为以a 为中心、以r 为半径的圆盘.特别地,称(0,1)B 为单位圆盘.也称(,)B a r 为a 点的r 邻域,称(,){:}B r z z r ∞=∈> 为∞点的r 邻域.于是,关于复数列收敛的各种概念和结论都能建立.§1.5 开集、闭集和紧集开集、闭集、紧集；点集E 的孤立点、极限点、导集E '、闭包E 、内点、内部0E 、外点、外部0()c E 、边界点、边界E ∂；曲线、简单曲线(Jordan 曲线)、简单闭曲线(Jordan 闭曲线)、可求长曲线；连通集、(区)域、单连通(区)域、多连通(区)域.§1.6 曲线和(区)域复平面上最常用到的点集拓扑概念 复平面上最常用到的点集拓扑定理Cantor 闭集套定理、Heine-Borel 有限覆盖定理、Bolzano-Weierstrass 列紧性定理、Jordan 平面划分定理. 定理1.5.6 设E 是紧集,F 是闭集,并且E F =∅ ,则00,z E w F ∃∈∈使得(,)inf{:,}d E F z wz E w F =-∈∈=000z w ->.证：取{},{}n n z E w F ⊂⊂使得(,)d E F =lim n nn z w →∞-.因为E 是紧集,故存在{}n z 的子列{}k n z 收敛于0z E ∈.因为相应的{}k n w 是有界复数列, F 是闭集,故又存在其子列{}k n w '收敛于0w F ∈.于是,注意到00z w ≠,便得到(,)d E F =00lim 0k k n n n z w z w ''→∞-=->.#§1.7 复变函数的极限和连续性复变函数 设E ⊂是非空点集.称映射:f E →为复变函数,也可用()w f z =表示.若记z x i y =+,w u iv =+,则()(,)w f z f x y ==()()(,)(,)u z iv z u x y iv x y =+=+.于是,复变函数()w f z =的极限、连续、一致连续等概念就是映射2(,):u v E → 的相应概念.有关映射的各种性质也对复变函数成立.重要注记 由于2z z x +=,2z z iy -=,故一般将()w f z =理解为以,z z为自变量的函数,即(,)(,)(,)w f z z u z z iv z z ==+.以后将看到,这样做会带来很多方便,并且具有“复风格”.第二章 解析函数 §2.1复变函数的导数定义2.1.1 设D⊂是域,f是D 上的函数,0z D ∈.如果存在有限极限00()()limz z f z f z z z →--,则称f在0z 处可导,称该有限极限为f在0z 处的导数(或微商),记作0()f z '.如果f在D 中的每一点处都可导,则称f是D 上的全纯函数(或解析函数).如果f在0z 的某个邻域上可导,则称f在0z 处全纯.显然,f在0z 处可导等价于f 在0z 处可微(严格地,应该称为复可微),即000()()()()f z z f z f z z o z '+∆-=∆+∆ (0)z ∆→.命题 2.1.2 若f在0z 处可导,则f在0z 处连续.例 2.1.3 函数()f z z =在 上处处可导；()g z z =在 上处处不可导；()arg h z z =在\{0} 上处处不可导. 证： (ⅰ)()1f z '=.(ⅱ)000()()limlimz z z z g z g z z z z z z z →→----=显然不存在,这是因为0zx iy =+时,0000000()()()()lim1x x x iy x iy x iy x iy →---+-+=；0z x iy =+时,0000000()()()()1limy y x iy x iy xiy x iy →---+-+=-.(ⅲ)()()arg arg limlimz z z z h z h z z zz z z z →→----=显然不存在,这是因为0()z rz r =∈ 时,00001arg arg 0limr rz z rz z →--=；i z e z θ=时,000000arg arg 10(1)limlimi i i e z z e z z e ziz θθθθθθ→-→--=≠--=.#命题 2.1.4 复变函数求导的四则运算、复合函数求导的链式法则和反函数的求导公式,与实变函数一样,仍然成立.于是,全纯函数的和、差、积、商、复合、反函数都是全纯函数.§2.2 Cauchy-Riemann 方程定义 2.2.1 设D ⊂是域,f u iv =+是D 上的函数,000z x iy D =+∈.如果二元实函数,u v 在00(,)x y 处可微,即0000()()()()()f f f z z f z x y xyz z o z ∂∂+∆-=∆+∆∂∂+∆ (0)z ∆→,则称f在0z 处实可微.称000()()()yffdx dyxdf z z z ∂∂∂+∂=为f在0z 处的微分.命题2.2.2 记1()2i zx y ∂∂∂=-∂∂∂,1()2i z x y ∂∂∂=+∂∂∂,z x i y ∆=∆+∆,z x i y ∆=∆-∆,则f 在0z 处实可微等价于0000()()()()()f f f z z f z z z z z z zo z ∂∂+∆-=∆+∆∂∂+∆(0)z ∆→.此时,000)()()(f f z z dz z zzdf dz∂∂=+∂∂就是f在0z 处的微分.这说明,如果将复变函数f视为,z z 的函数,则其微分的形状与实变函数一样.证：0000()()()()()f f f z z f z z x z y o z xy∂∂+∆-=∆+∆+∆∂∂00()()()22f z z f z z z z o z xyi ∂∆+∆∂∆-∆=++∆∂∂00001111(()())(()())()2222f f f f z z z z z z o z xi yxi y∂∂∂∂=+∆+-∆+∆∂∂∂∂00()()()f f z z z z o z zz∂∂=∆+∆+∆∂∂ (0)z ∆→.#定理2.2.3和定理2.2.4 设D ⊂是域,f u iv =+是D 上的函数,0z D ∈.那么,f在0z 处可导的充要条件是 (ⅰ)f在0z 处实可微；(ⅱ) f 在0z 处满足齐次Cauchy-Riemann 方程0()0fzz ∂∂=.此外,f满足齐次Cauchy-Riemann 方程0fz∂∂=还可改写成ux∂∂v y ∂=∂, v u xy ∂∂=-∂∂；当f在0z 处可导时,000()()()f f f z z z zx∂∂'==∂∂0()f z i y∂=∂.这说明,()(,)f z f z z =是全纯函数,在直观上可理解为“(,)f z z 与z 无关”.证：“充分性”.若f 在0z 处实可微,并且0()0fzz ∂∂=,则000()()()()f z zf z z f z z o z ∂∂+∆-=∆+∆ (0)z ∆→,这就是f在0z 处可导的等价条件.“必要性”.若f在0z 处可导,则存在有限极限0000()()()lim()x x xf z f z f x z f z ∆→∆∆-∂∂+'==,0000()()()lim()y y yi f z i f z f yz i if z ∆→∆∆-∂∂+'==.故 0000200()11(()())(()22())()ff f z zxyz iz f z i f z f z ∂∂∂∂∂∂'-=''=-=,000200()1(()())21(()())02f f f z zx y z i z f z i f z ∂∂∂∂∂∂=+''=+=.再由000()()()()f zf z z f z z z o z ∂∂+∆-=∆+∆(0)z ∆→,便知f 在0z 处实可微.最后,由2()()()()f u v u v u v v uii ii zxxyyxyxy ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=-++∂∂∂∂∂∂∂∂∂,便知0fz∂=∂等价于,uv v u x y x y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂.#重要的数学符号 设D ⊂是域.用()H D 表示D 上全纯函数的全体, ()C D 表示D 上连续函数的全体,*()()k C D k ∈ 表示D 上一切k 阶偏导函数都连续的函数的全体,()C D ∞表示D 上任意阶偏导函数都连续的函数的全体,则有如下包含关系(以后再证()()H D C D ∞⊂)11()()()()()()k k H D C D C D C D C D C D ∞+⊂⊂⊂⊂⊂.例 2.2.5()()n f z z n =∈ 是上的全纯函数. 证：因为1(),z n f z nz -'=∀∈.#例 2.2.62()zf z e-=仅在0z=处可导.证：因为2()zf z e-=实可微,且2()()zz zf e z zez z --∂∂==-∂∂之故.#定义2.2.7和命题2.2.8 设D ⊂ 是域,u2()C D ∈是实值函数.如果z D ∀∈,总成立22222()()()4()0u u uu z z z z x y z z ∂∂∂∆=+==∂∂∂∂,则称u 是D 上的调和函数.称222224xyz z ∂∂∂+=∂∂∂∂∆=为Laplace 算子.证： 24()()u u ui i z zx y x y ∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∂ 222222u u u ui i x x y y x y ∂∂∂∂=+-+∂∂∂∂∂∂ 2222u u x y ∂∂=+∂∂.#定理2.2.9和定义2.2.10 设D ⊂是域.若f u iv =+()H D ∈,则,u v 都是D 上的调和函数.通常称v是u 的共轭调和函数.证：240f u i v f z z ∂∆+∆=∆==∂∂,故0,0u v ∆=∆=.#定理2.2.11 设u 是单连通域D⊂ 上的调和函数,则必存在D 上的全纯函数f,使得Ref u =.证：因为2222()()0u u u u dx dy yx xyd dx dy ∂∂∂∂-++∂∂∂∂=∧=,即u u dx dyyx∂∂-+∂∂是单连通域D 上的1次d -闭微分形式,故它也是D上的1次恰当微分形式,从而存在D上的实值函数v,使得u u dv dx dyyx∂∂=-+∂∂,即,vu v uxy y x ∂∂∂∂-∂∂∂∂==,这说明f u iv =+()H D ∈.#§2.3 导数的几何意义复变函数导数的几何意义 设函数f在0z 处可导,并且0()0f z '≠.从000()()()()(0)f z w f z f z w o w w '+=++→可以看出,f将0z 的邻域“同向相似地”映到0()f z 的邻域,伸缩率为0()f z ',转动角为0arg ()f z '.这说明f在0z 处是“保角的”.例2.3.1(50P,第3题) 设函数f在(0,1){1}B 上全纯,并且(1)1f =,((0,1))(0,1)f B B ⊂.证明：(1)f '是实数,并且(1)0f '≥.证: 由所给条件,可得到()1(1)(1)(1)(1)f z f z o z z '=+-+-→.注意到当(0,1)z B ∈且位于1的充分小邻域内时,有()1f z ≤,故21(1)(1)(1)1f z o z '+-+-≤, 21(1)(1)(1)1f z o z '-+-+-≤,12Re (1)(1)(1)1f z o z '--+-≤,(1)1Re (1)011o z z f z z --'+≥--.令1z→,便得到22Re (1)0,[],i f e θππθ'≥∀∈-.分别令022,,ππθ=-,便得到 Im (1)0,f '≥Im (1)0,f '-≥Re (1)0f '≥.于是,(1)f '是实数,并且(1)0f '≥.#§2.4 初等全纯函数本节主要研究常见初等全纯函数的性质. 术语 2.4.1 设D ⊂是域.若:f D →既是全纯函数又是单射(单射意思是12,z z D ∀∈,总有12()()f z f z ≠),则称f在D 上双全纯,或称f在D 上单叶；称D 为f的单叶性区域.术语2.4.2 设D ⊂ 是域.若z D ∀∈,都对应着非空复数集()F z ⊂ ,则称F 是D 上的多值函数.例如,Argz 是\{0} 上的多值函数；2()1f z z =+的反函数1()f z -=上的多值函数.术语2.4.3 设F 是域Ω⊂ 上的多值函数,域D ⊂Ω.若存在D 上的 全纯(或连续)函数f满足()(),f z F z z D ∈∀∈,则称f 是F 在D 上的一个单值全纯(或连续)分支；称D 为F 的单值性区域.例如,arg z 是Argz 在\(,0]-∞ 上的一个单值连续分支.研究初等全纯函数的意义和用途（ⅰ）计算某些积分；（ⅱ）寻找双全纯映射；（ⅲ）表述自然规律.初等全纯函数的要素 定义域、单值性区域、单叶性区域、像域(实变量的情形为定义域、单调性区间、有界性、周期性、图像等等). 0、多项式函数和有理函数11011n n n n a z a z a z a --++++和 1101111011m m m mn n n n b z b z b z b c z c z c z c ----++++++++ 都是全纯函数,单值性区域就是其定义域.单叶性区域和像域很复杂. 1、指数函数e x p ()(c o s s i z x i yx w z e e e y i y +====+在上全纯,周期为2i π,满足121200,1,z z z z z e e ee e +≠==,()z ze e '=；其单值性区域就是定义域；单叶性区域之一为{:Im }(,,02)D z z αβαββαπ=∈<<∈<-≤ ；D 在映射z w e =下的像域是角状域{\{0}:}G z Argz αβ=∈<< .证:()1()()2zzze e e i zx y ∂∂∂=+∂∂∂⎫⎛ ⎪⎝⎭1(cos sin )(sin cos )02x xe y i y ie y i y ⎡⎤=++-+=⎣⎦.()()z z e e x∂'==∂(cos sin )xz e y i y e +=. 1212121212121212()()()z z x x i y y x x i y y x x iy iy z z e e e e e e e e e e ++++++====.指数函数zw e =将z 平面上的直线0{:Im }z z y ∈= (0y ∈是常数)一一地映成w 平面上从原点出发的射线0{\{0}:}z Argz y ∈= ；将z 平面上的开线段00(,2)z z i π+(0z ∈是常数)一一地映成w平面上以原点为中心的开圆周00(0,)\{}x z B e e ∂.1212,,z z D z z ∀∈≠,必有12x x ≠或12y y ≠.若12x x ≠,则12z z e e ≠；若12y y ≠,则1202y y βαπ<-<-≤,也有12z z ee ≠.故D 是z w e =的单叶性区域,其像域显然是角状域{\{0}:}z Argz αβ∈<< .#2、对数函数l o g w Lo g z z i A r g z ==+是\{0} 上的多值函数；其单值性区域之一为角状域{\{0}:}G z A r g z αβ=∈<< (,,02)αββαπ∈<-≤ ,每个G上的函数l o g 2(,)w z i A r g z i k k A rgzπαβ=++∈<< 都是指数函数zw e = (Im )z αβ<<的反函数,因而是G 上的全纯函数,log 2()1z iArgz i k z π++'=；其单叶性区域之一为角状域G ；G 在映射log ()w z iArgz Argz αβ=+<<下的像域为条形域{:Im }D z z αβ=∈<< .证: 因为(l o g 2)z i A r g z i k i A r g z ez e z π++==,故log 2w z iArgz i k π=++是zw e =的反函数,并且(l o g 2)1l o g 21()z iArgz i k z iArgz i k z eππ++++'==.#3、幂函数(0)i Argzw z z eμμμμ==>是\{0} 上的多值函数(*μ∈时是 上的全纯函数)；其单值性区域之一为角状域{0}:{\Gz =∈}Arg z αβ<<(,,αβ∈ 02)βαπ<-≤,()i ArgzArgz w z z e μμμαβ<<==是对数函数log w z iArgz =+()Argz αβ<<乘以μ后再与指数函数(Im )z z w e μαμβ<<=的复合,因而是G 上的全纯函数,()Zz z μμμ'=；其单叶性区域之一为角状域1{\{0}:G z =∈ 1111(,,}Argz αβαβ<<∈1120min{2,})πμβαπ<-≤；1G 在映射i Argz w z z e μμμ==下的像域为角状域 2{\{0}:G z =∈ 11}Argz μαμβ<<.证: 因为i Argzw z z e μμμ==就是复合函数(log ),z iArgz eμ+故(log )()()z iArgz ez μμ+''=(log )z iArgz e zzzμμμμ+==.由于对数函数log w z iArgz =+11()Argz αβ<<在1G 上单叶,指数函数11(Im )z z w e μαμβ<<=在条形域11{:Im }D z z μαμβ=∈<< ,故1G 是i Argzw z z e μμμ==的单叶性区域.#Rokovsky 函数11()2()z z f z +=是\{0} 上的全纯函数；(0,1)\{0}B 、(,1)B ∞、上半平面 上、下半平面 下都是11()2()z z f z +=的单叶性区域；它们在f 下的像域分别是(0,1)\{0}f B （）=\[-1,1]；((,1))\[1,1]f B ∞=- ；()\((,1][1,))f =-∞-+∞ 上；()\((,1][1,))f =-∞-+∞ 下.证: 如果1212,\{0},z z z z ∃∈≠ ,使得12()()f z f z =,则有121211()()z z z z +=+,22122211z z z z z z +=+,121212)(z z z z z z =--,121z z =.故当121212,\{0},,1z z z z z z ∀∈≠≠ 时,一定成立12()()f z f z ≠.对于上述四个区域中的任意两个复数12,z z ,总是成立121z z ≠,从而它们都是11()2()z z f z +=的单叶性区域.当z 从1到-1逆时针画出上半单位圆周时,()f z 从1到-1严格递减地画出线段[1,1]-；当z 从-1到1逆时针画出下半单位圆周时,()f z从-1到1严格递增地画出线段[1,1]-.当z 从-∞到-1严格递增地画出区间(,1]-∞-时,()f z 从-∞到-1严格递增地画出区间(,1]-∞-；当z 从-1到0严格递增地画出区间[1,0)-时,()f z 从-1到-∞严格递减地画出区间(,1]-∞-；当z 从0到1严格递增地画出(0,1]时,()f z 从+∞到1严格递减地画出线段[1,)+∞；当z 从1到+∞严格递增地画出[1,)+∞时,()f z 从1到+∞严格递减地画出线段[1,)+∞.∀固定的\[1,1]w ∈- (或\((,1][1,))-∞-+∞ ),w 在f下的原像是1z w =+2z=w .由121z z =可知12,z z 分别在(0,1)\{0}B ,(,1)B ∞(或, 上下)中.这说明(0,1)\{0}f B （）=\[-1,1],((,1))\[1,1]f B ∞=- (或()\((,1][1,))f =-∞-+∞ 上,()f = 下\((,1][1,))-∞-+∞ ).#4、三角函数22cos sin ,iz iziz ize e e e iw z w z --+-====在 上全纯,cos z 是偶函数,sin z 是奇函数,周期都为2π,都满足所有的三角恒等式和三角函数求导公式；其单值性区域就是定义域；cos z 的单叶性区域之一为半带状域{:0Re 2,Im 0}D z z z π=∈<<> ,cos \[1,)D =-+∞ ；此外,还有cos cos sin z xchy i xshy =-,sin sin cos z xchy i xshy =+,因而cos z 和sin z 都在上无界,cos z 的零点集是2}{:k k ππ∈+ ,sin z 的零点集是{}:k k π∈ . 证: 与实变量三角函数类似的那些性质由定义得到.cos w z =()z D ∈是指数函数izw e =(0Im()2,Re()0)iz iz π<<<与Rokovsky 函数11()2z z w +=((0,1)\[0,1))z B ∈的复合,故D 是cos z 的单叶性区域,[1,cos \)D -=+∞ .由 22cos()sin(),yyy ye e e e iiy iy chy ishy--+-====便得到cos cos sin z xchy i xshy =-,sin sin cos z xchy i xshy =+,cos z 和sin z 都在上无界.再由不等式2222cos sin ,z z sh y sh y≥≥可以看出cos z 和sin z 的零点一定是实数.#初等全纯函数 由指数函数和常数函数经过有限次的四则运算、复合运算和求反函数运算所得到的全纯函数被称为初等全纯函数.例2.4.1 将如下图所示的域D 双全纯映射成上半平面上.解:11()z f z z a==-在D上双全纯；22211()z f z z ==在11()D f D =上双全纯；23322()z f z z h ==+在221()D f D =上双全纯；43()f z w =在332()D f D =上双全纯.故4321()()f z w f f f f z == 即为所求.#例2.4.2 将如下图所示的域D 双全纯映射成上半平面上.解:11()z f z zπ==在D上双全纯；1221()z z f z e ==在11()D f D =上双全纯；3322()z f z z e π-==+在221()D f D =上双全纯；43()f z w =在332()D f D =上双全纯.故4321()()f z w f f f f z == 即为所求.#例2.4.3多值函数w 2(1)Log z w -=都能在\((,1][1,))-∞-+∞上选出单值全纯分支；w =能在\[1,1]- 上选出单值全纯分支；2(1)Log z w -=不能在\[1,1]-上选出单值全纯分支.证: 记12\((,1][1,)),\[1,1]D D -∞-+∞-== .容易看出,若γ是1D (或2D )中的一条简单闭曲线,则当z 沿γ逆时针绕行一周时,21z-的幅角连续变化所产生的增量是0(或0和4π).于是,121222(1)1Arg z i z w e-=-和221(1)z Arg log z w i --=+都能在1D 上选出单值全纯分支；212122(1)1iArg z w z e-=-能在2D 上选出单值全纯分支；221(1)z Arg log z w i --=+不能在2D 上选出单值全纯分支.#§2.5 分式线性变换分式线性变换 称从∞到∞ 的一一映射()()az bw T z ad cd cz d +==≠+为分式线性变换或M obius 变换,分式线性变换的全体用()Aut ∞表示.如果用复合来定义()Aut ∞ 的乘法,则易知()Aut ∞是一个非交换群.分式线性变换与二阶方阵的关系 设1122121122(),()a z b a z b T z T z c z d c z d ++==++,()az bT z cz d +=+都是分式线性变换,记332211332211,,,,,,a b a b a b c d c d c d ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=⎪⎪⎪ ⎝⎝⎝⎭⎭⎭,,,αβγδ⎫⎛⎪ ⎝⎭ 1,,a b c d -⎫⎛=⎪ ⎝⎭,则332133()()a z b T T z c z d +=+ ,1()z T z z αβγδ-+=+.∞ 中的圆周 称普通圆周或直线为∞ 中的圆周.两点关于∞中圆周对称 当L 是直线时,称12,z z 关于L 对称,按习惯定义；当(,)L B a r =∂是普通圆周时,称12,z z 关于L 对称,如果1z a -与2z a -方向相同,并且212z a z a r --=；为方便起见,有时也称,a ∞关于(,)L B a r =∂对称.显然,a ∞只能关于以a 为圆心的圆周对称.∞ 中四点的交比 设1234,,,z z z z ∞∈ ,至少有三点彼此不同,则称132312341424(,,,)/z z z z z z z z z z z z --=--为这四点的交比. 预备命题 设L 是∞ 中的任意圆周,12,z z ∈关于L 对称,则0λ∃>使得L 能表示为Apollonius 圆周12z z z z λ--=；反过来,对于∞中的任意Apollonius 圆周12(0)z z z z λλ--=>,12,z z 一定关于该圆周对称.证: L 是直线时取1λ=.对于普通圆周(,)L B a r =∂,令12z az arrλ--==,则圆周12z z z z λ--=的圆心,半径分别为(例1.2.2')22212121122211()()111z az az a z az z z a z a a λλλλλλ---+---+-===---,22112222111r r z a z az z r λλλλλλ-----===---.这说明Apollonius 圆周12z z z z λ--=就是L .另一方面,212121z z z λλ--=-2221122122(1)()()11z z z z z λλλλλ----=--,22212212221222(1)()111z z z z z z z z λλλλλλ-------==--,2222121212122222111z z z z z z z z λλλλλλ-----=---,这说明12,z z 关于圆周12z z z z λ--=对称.#定理2.5.1和定理2.5.14 若L 是∞中的圆周,12,z z 关于L 对称,()az bw T z cz d +==+是分式线性变换,则()T L 也是∞ 中的圆周,并且12(),()T z T z 关于圆周()T L 对称.证: 不妨设12z z ≠，L 由12(0)z z z z λλ--=>表示.因为1()d w b z T w cw a--==-+,故T 将圆周L 映成12dw bcw adw bcw a z z λ--+--+-=-,即2211(((())))w w c a c a d b d b z z z z λ--=++++.整理后便得到1221))((w T z w T z cz cz d d λ--+=+.当10z c d +=或20z c d +=时结论也成立.#定理2.5.5和定理2.5.6 交比是4∞ 上的()Aut ∞ 不变函数,即123412341234(,,,)((),(),(),()),,,,,()z z z z T z T z T z T z z z z z T Aut ∞∞=∀∈∈ ；反之,若f是4∞ 上的()Aut ∞ 不变函数,即123412341234()(,,,)((),(),(),()),,,,,Aut f z z z z f T z T z T z T z z z z z T ∞∞=∀∈∈ ,则f是单变量函数与交比的复合.证: 设()az bT z cz d +=+, 则 ()()()()()()az b aw b ad bc z w T z T w cz d cw d cz d cw d ++---=-=++++,故12341234((),(),(),())(,,,)T z T z T z T z z z z z =.令()(,1,0,)g w f w =∞,取234()(,,,)T z z z z z =,则2()1T z =,3()0T z =,4()T z =∞,故123412341(,,,)((),(),(),())((),1,0,)f z z z z f T z T z T z T z f T z ==∞=1234[(,,,)]g z z z z .#定理2.5.4和定理2,5,10 设123,,z z z 和123,,w w w 分别是∞ 中圆周1L 和2L 上三个彼此不同的点,其顺序用来确定1L 和2L 的方向.那么,存在唯一的分式线性变换()w T z =将123,,z z z 分别映成123,,w w w ,将1L 所围成的区域映成2L 所围成的区域,并且这个分式线性变换()w T z =可利用等式123123((),,,)(,,,)T z w w w z z z z =求出.证: 存在性.如果记11232123()(,,,),()(,,,)T z z z z z T w w w w w ==,则12,T T()Aut ∞∈ .等式1231((),,,)(,,,)T zw w w z z z z =即21(())()T T z T z =,故121T T T -= ()Aut ∞∈ .不妨设123,,z z z 和123,,w w w 都是普通复数.由等式212212313313()()//T z w w w z z z z T z w w w z z z z ----=----容易看出112233(),(),()T z w T z w T z w ===.再由分式线性变换的保角 性质,便知()w T z =将1L 所围成的区域映成2L 所围成的区域.唯一性.若1111()a z b T z c z d +=+和2222()a z b z c z d ϕ+=+都将123,,z z z分别映成123,,w w w ,则方程11222211()()()()a z b c z d a z b c z d ++=++有三个彼此不同的根12,,z z3z ,这只有在T ϕ=的情况下才有可能.#命题2.5.7 ∞中彼此不同的四点1234,,,z z z z 共圆当且仅当1234Im(,,,)0z z z z =.证: 取分式线性变换()w T z =将123,,z z z 分别映成1,2,3,则1234,,,z z z z 共圆441234()(1,2,3())(,,,),T z T z z z z z ∈∈∈⇔⇔⇔.#命题2.5.13 设L 是∞中由彼此不同的三点123,,z z z 所确定的圆周.那么,12,w w 关于L 对称当且仅当21231123(,,,)(,,,)w z z z w z z z =.证: 取分式线性变换()w T z =将123,,z z z 分别映成1,2,3,则12,w w 关于L 对称21()()T w T w =⇔21((),1,2,3)((),1,2,3)T w T w =⇔⇔2((),1,2,3)T w 1((),1,2,3)T w =,即21231123(,,,)(,,,)w z z z w z z z =.#例 2.5.11 将由圆周(0,1)B ∂和(1,2)B ∂所围成的月牙形域D双全纯映成条形域{:0R e 1G z z =∈<< . 解: 选取分式线性变换将1-映成∞,1映成0,实轴映成实轴,则它将(0,1)B ∂映成y 轴,(1,2)B ∂映成与y 轴平行的直线.只要再乘以一个适当的常数来调节这两条平行线的距离,就能将月牙形域D 双全纯映成条形域G .例如112z z w -+=就满足这些要求.#例2.5.15 将上半平面上双全纯映成单位圆盘(0,1)B ,并且将给定的一点a ∈ 上映到原点.解: 分式线性变换()i z aw e z a θθ-=∈- 即为所求.#例2.5.16 将单位圆盘(0,1)B 双全纯映成单位圆盘(0,1)B ,并且将给定的一点(0,1)a B ∈映到原点.解: 分式线性变换能将单位圆盘双全纯映成单位圆盘.因为1,a a 关于单位圆周(0,1)B ∂对称,0,∞只能关于以为圆心的圆周对称,故分式线性变换1a z aw z -=-将(0,1)B 映成以0为圆心的圆盘.只要再乘以一个适当的常数来调节像圆盘的半径即可.例如,1i a zaz w e θ--=()θ∈ 即为所求.#例2.5.17 将偏心圆环(,)\(,)()B A R B a r a A r R -+<双全纯映成同心圆环.解: 在通过,a A 的直线上找到12,z z ,使其关于圆周(,),(,)B A R B a r ∂∂都对称,则分式线性变换12()z z z z w T z --==便满足要求.#例2.5.17' Apollonius 圆周12z z z z λ--=与通过12,z z 的任意圆周正交.证: 首先,12()z z z z w T z --==将圆周12z z z z λ--=映成圆周,12,z z 的像0,∞关于像圆周对称,故像圆周的圆心就是原点.其次,12()z z z z w T z --==将通过12,z z 的任意圆周映成通过原点的直线,它显然与像圆周正交,故圆周12z z z z λ--=与通过12,z z 的任意圆周正交.#第三章 复变函数的积分本章要求1．正确理解复积分的概念，掌握复积分的性质及一般计算法。

第一章 复数与复变函数1.1计算下列各式:(1) (1)(32);i i +--解: (1)(32)(1)322 3.i i i i i +--=+-+=-+(2) ;(1)(2)i i i -- 解:2(13)3.(1)(2)2213101010i i i i i i i i i i i i +-====+----+- (3) 1(1);1z z x iy z -=+≠-+ 解: 2222222211(1)(1)12.11(1)(1)(1)z x iy x iy x iy x y y i z x iy x y x y x y-+--++-+-===++++++++++ 1.2 将直线方程220(0)ax by c a b ++=+≠写成复数形式.[提示: 记.x iy z +=] 解: 由,22z z z z x y i+-== 代入直线方程,得 ()()0,22()20,()()20,0,,2.a b z z z z c iaz az bi z z c a bi z a bi z c Az Az B A a ib B c ++-+=+--+=-+++=++==+=故其中1.3 将圆周方程22()0(0)a x y bx cy d a ++++=≠写成复数形式(即可z 与z 表示,其中z x iy =+).解: 把22,,22z z z z x y x y z z i+-==+=⋅代入圆周方程得: ()()0,222()()20,0.b c az z z z z z d iaz z b ic z b ic z d Az z Bz Bz C ⋅+++-+=⋅+-+++=⋅+++=故其中2,,2.A a B b ic C d ==+=1.4 求下列复数的模与辐角主值.(1) 2;i -解: 2i -== 11arg(2)arctan arctan .22i --==- (2) 13;i -+解: 13i -+== 3arg(13)arctanarctan 3.1i ππ-+=+=-- 1.5 将下列各复数写成三角形式.(1) sin cos ;i αα+解: sin cos 1,i αα+=故sin cos cos()sin().22i i ππαααα+=-+- (2) sin cos .66i ππ-- 解: 2arg(sincos )arctan(cot ),666263i ππππππππ--=-=--=- sin cos 66i ππ--=2222cos()sin()cos()sin .3333i i ππππ-+-=- 1.6 利用复数的三角表示计算下列各式:(1) 31();2解: 由乘幂公式知3cos3()sin 3() 1.33i ππ⎡⎤=⋅-+-=-⎢⎥⎣⎦(2)解: 因32222),4i i π-+=-+=所以由开方公式知3838sin ),0,1,2,3.1616k k i k ππ++=+= 1.7 指出满足下列各式的点z 的轨迹是什么曲线? (1) 1;z i +=解: 以(0,1)-为圆心,1为半径的圆周. (2) 0,zz az az b +++=其中a 为复数,为b 实常数;解: 由题设可知 2()()||0,z a z a b a +++-=即22||||,z a a b +=-若2||,a b =则z 的轨迹为一点;a -若2||,a b >则z 的轨迹为圆,圆心在a -,若2||,a b <无意义.1.8 用参数方程表示下列各曲线.(1) 连接1i +与14i --的直线段;解: 法一：由直线段的复参数方程直接得 211()()[14(1)](1)1(25),01z t z z t z i i t i i i t t =-+=---+++=++--≤≤法二：由直线段的实参数方程间接得平面上连接点(1,1)与(1,4)--的直线段,其参数方程可写为: 1(11),011(41),x t t y t =+--⎧≤≤⎨=+--⎩故其复数形式的参数方程为: 12(15)1(25),01z t i t i i t t =-+-=++--≤≤ (2) 试证0Re limz z z →不存在. 证: 000Re limlim ,z x y z x z x iy →→→=+令,y kx =则上述极限为1,1ki +随k 变化而变化,因而极限不存在.全国2009年4月高等教育自学考试英语语法试题课程代码：00831一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）Choose the best answer from the choices given and put the letters A, B, C or D in the brackets.1.——Did you hear what she said? （ ）——Well, I heard her say something, but I ______．So I don ’t know exactly what she said.A ．would not listenB ．were not listeningC ．had not listenedD ．shouldn ’t listen2．When I got to the top of the mountain, the sun ______．（）A．shoneB．shinesC．has shoneD．was shining3．The building suddenly collapsed while it ______ down．（）A．pulledB．had been pulledC．was being pulledD．was pulled4．Most of my saving ______ in stocks．（）A．has been investedB．is being investedC．have investedD．have been invested5．The manager insisted that the chief engineer ______ testing the new model immediately．（）A．startB．startsC．startedD．will start6．Great as Newton was, many of his principles ______ and modified by contemporary scientists。

第一章、复数与复变函数1.1知识提要1.复数的概念形如iy x z +=的数称为复数，其中y x ,为任意实数，)1(2-=i i 称为虚单位，y x ,又称为z 的实部与虚部，记为).Im(),Re(z y z x ==iy x z +=与直角坐标系平面上的点),(y x 成一一对应，平面称复平面.22y x z +=表示复数z 的向量的长度，称复数的模.)/tan(x y Arc Argz ==θ称为z 的辐角，表示z 的向量与x 轴正向间的交角的弧度数.其中满足πθπ≤<-的0θ称为辐角z 的主值，记作.0a rcz =θ2.复数的各种表示法（1）复数iy x z +=可用复平面上点),(y x 表示。

（2）复数iy x z +=可用从原点指向点),(y x 的平面向量表示.（3）复数的三角表达式为)sin (cos θθi r z +=，其中θ,z r =为0≠z 时任一辐角值.（4）复数的指数表达式为θi re z =。

（5）复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面，原点称球面的南极，过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极，连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点，又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应，构成扩充复平面与球面点的一一对应，即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面.3.复数的代数运算（21,z z 不为零）（1）21z z =当且仅当两复数实部与虚部分别相等。

（2）,0=z 当且仅当z 的实部与虚部同时为0.（3）,111iy x z +=,222iy x z +=则).()(212121y y i x x z z ±+±=± （4）).()(2112212121y x y x i y y x x z z ++-=即,2121z z z z ⋅=2121Arcz Arcz z z Arg +=（5）)./()()/()(/222221122222212121y x y x y x i y x y y x x z z +-+++= 即,//2121z z z z =.)/(2121Arcz Arcz z z Arg -=（6）).sin (cos θθn i n r z n n +=（7）[].1,,1,0,/)2sin(/)2cos(/1-=+++=n k n k i n k r z n n πθπθ在几何上，n z 的n 个值恰为以原点为中心，n r/1为半径的圆内接正n 边形的n 个顶点. 4.曲线与区域（1）设),()()(t iy t x t z +=，其中)(t x ，))((b t a t y ≤≤为实变量t 的单值连续函数，则)(t z z =)(b t a ≤≤表示复平面上的一条连续曲线.一条没有重点的连续曲线称简单曲线或约当曲线.如果简单曲线的起点与终点重合，称简单闭曲线.如果在b t a ≤≤上，)(t x ')(t y '连续，且对每一t 值，有[][],0)()(22≠'+'t y t x 称曲线)(t z 是光滑的.任意一条简单闭曲线分复平面为三个部分.曲线C 为边界，有界区域为C 的内部，无界区域为C 的外部.（2）复平面上的非空连通开集称为区域.区域连同其边界称闭区域.若在复平面上区域D 内任作一条简单闭曲线，其内部总属于D ，称D 为单连通域.若D 不是单连通域，则D 为多连通域.5.复变函数设G 为一个复数集，若有一个确定法则存在，使对于任一G z ∈，有一个或几个复数iv u +=ϖ与之对应，则称复变数ω是复变数z 的函数，记作).(z f =ϖ复变函数在几何上表示z 平面上一个点集G （定义集合）到ω平面上一个集合*G （函数值集合）的映射（或变换）.ω称为z 的像（映像），z 称为ω的原像. 6.复变函数的极限 设)(z f =ϖ在点0z 的某去心邻域ρ<-<00z z 内有定义，A 为一确定常数.若对任给的,0>ε存在相应0>δ，使对满足δ<-<00z z 的z ，恒有ε<-A z f )(，则称A 为)(z f 当z 趋向0z 时的极限，记作.)(lim 0A z f z z =→ 由于0z z →的方式的任意性更强，因此复变函数的极限定义比一元实函数极限定义要求苛刻得多.复变函数极限的运算法则与实函数极限运算法则相同.7.复变函数的连续性如果)()(lim 00z f z f z z =→，称)(z f 在0z 连续.若)(z f 在区域D 内每一点都连续，称)(z f 在D 内连续.iv u z f +=)(在点000iy x z +=连续的充要条件为u 和v 在点),(00y x 连续.复变函数连续性的运算法则与实函数连续性运算法则相同.学习与考试要求（1） 熟练掌握复数的各种表求方法以及四则、乘幂和共轭运算.（2） 了解区域的概念.单连域、多连域的区分.（3） 了解曲线、光滑曲线、简单闭曲线的定义，能用复数的方程或不等式表示一些常见的区域和曲线.（4） 掌握复变函数的概念，理解映射的意义，理解复变函数与两个实二元函数之间的关系.（5） 了解复变函数的极限与连续性概念，知道它们与实一元函数极限与连续性的异同. 重点与难点重点是复数表示法之间的转换、区域的确定、复变函数的概念.难点是复球面概念，复变函数理解为复平面上两个集合间的映射，以及复变函数的极限与连续性。

《复变函数》教案第一章：复变函数概述1.1 复数的概念1. 实数与虚数2. 复数的表示方法3. 复数的运算规则1.2 复变函数的定义1. 函数的概念2. 复变函数的表示方法3. 复变函数的运算规则1.3 复变函数的性质1. 解析函数的概念2. 奇函数与偶函数3. 周期函数第二章：复变函数的积分2.1 复变函数的积分概念1. 积分的基本概念2. 复变函数的积分表示3. 积分的性质2.2 复变函数的积分计算1. 柯西积分定理2. 柯西积分公式3. 复变函数的积分计算方法2.3 复变函数的积分应用1. 解析函数的奇偶性2. 解析函数的周期性3. 复变函数的图像与性质第三章：复变函数的级数3.1 复变函数的级数概念1. 级数的基本概念2. 收敛级数与发散级数3. 复变函数的级数表示3.2 复变函数的级数计算1. 泰勒级数展开2. 洛朗级数展开3. 复变函数的级数计算方法3.3 复变函数的级数应用1. 解析函数的逼近2. 解析函数的计算3. 复变函数的图像与性质第四章：复变函数的微分4.1 复变函数的微分概念1. 微分的定义2. 微分的表示方法3. 微分的性质4.2 复变函数的微分计算1. 复变函数的求导法则2. 复变函数的高阶微分3. 复变函数的微分计算方法4.3 复变函数的微分应用1. 解析函数的单调性2. 解析函数的极值3. 复变函数的图像与性质第五章：复变函数的积分变换5.1 复变函数的积分变换概念1. 积分变换的定义2. 积分变换的表示方法3. 积分变换的性质5.2 复变函数的积分变换计算1. 傅里叶积分变换2. 拉普拉斯积分变换3. 复变函数的积分变换计算方法5.3 复变函数的积分变换应用1. 解析函数的变换2. 解析函数的计算3. 复变函数的应用领域第六章：复变函数的方程6.1 复变函数方程的概念1. 方程的定义2. 复变函数方程的表示方法3. 复变函数方程的性质6.2 复变函数方程的求解方法1. 解析函数的方程求解2. 非解析函数的方程求解3. 复变函数方程的求解技巧6.3 复变函数方程的应用1. 复变函数方程在数学分析中的应用2. 复变函数方程在物理学中的应用3. 复变函数方程在其他领域的应用第七章：复变函数的极限7.1 复变函数极限的概念1. 极限的定义2. 复变函数极限的表示方法3. 复变函数极限的性质7.2 复变函数极限的计算方法1. 复变函数的无穷小与无穷大2. 复变函数的极限计算法则3. 复变函数极限的计算技巧7.3 复变函数极限的应用1. 解析函数的连续性2. 解析函数的导数3. 复变函数极限在其他领域的应用第八章：复变函数的泰勒级数8.1 泰勒级数的概念1. 泰勒级数的定义2. 泰勒级数的表示方法3. 泰勒级数的性质8.2 泰勒级数的计算方法1. 泰勒公式的推导2. 泰勒级数的展开与收敛性3. 泰勒级数的计算技巧8.3 泰勒级数在复变函数中的应用1. 解析函数的逼近与计算2. 解析函数的图像与性质分析3. 泰勒级数在其他领域的应用第九章：复变函数的洛朗级数9.1 洛朗级数的概念1. 洛朗级数的定义2. 洛朗级数的表示方法3. 洛朗级数的性质9.2 洛朗级数的计算方法1. 洛朗公式的推导2. 洛朗级数的展开与收敛性3. 洛朗级数的计算技巧9.3 洛朗级数在复变函数中的应用1. 解析函数的逼近与计算2. 解析函数的图像与性质分析3. 洛朗级数在其他领域的应用第十章：复变函数的选讲10.1 复变函数的解析延拓1. 解析延拓的概念2. 解析延拓的方法3. 解析延拓的应用10.2 复变函数的解析函数族1. 函数族的概念2. 解析函数族的性质3. 解析函数族的应用10.3 复变函数的积分变换及其他1. 其他积分变换的介绍2. 积分变换的应用3. 复变函数在其他领域的应用重点和难点解析重点环节一：复数的概念和运算规则重点：理解实数与虚数的概念，掌握复数的表示方法，熟悉复数的四则运算规则。