高考数学江苏版二轮习题：冲刺提分第13讲 函数的图象与性质

函数的图象与性质试题课程名称高考数学二轮复习模拟考试教研室___________________ 高三数学组_________________复习时间年月日时分至适用专业班级成绩开卷A卷闭卷_±B卷班级_______________________ 姓名______________________ 学号___________________ 考生注童：舞弊万莫償，那祥要退学，自爱当守诺，最怕錯上第，若真不及格，努力下次过。

答案耳在答题娥上，耳在试题妖上无效。

一、选择题一、选择题1. （2017-高考山东卷）设函数y=\/4二x2的定义域为A,函数y=\n（\~x）的定义域为b则AHB=（）A・(1, 2) B. (1, 2C・(一2, 1) D. -2, 1)[log4 工.工＞0 •2・（2017-沈阳模拟）已知函数f（x）= \则师4））的值为（）A. —£B. —99D.3. （2017-湖南东部六校联考）函数y=\M（）A・是偶函数，在区间0）上单调递增B.是偶函数，在区间（一8, 0）上单调递减C.是奇函数，在区间(0, +8)上单调递增 D ・是奇函数，在区间(0, +8)上单调递减5. (2017-西安模拟)对于函数y=f(x),部分x 与y 的对应关系如下表:上，则 Xl+X2~\ ----- X2 017 = ( ) A. 7 554B. 7 540C. 7 561D. 7 5646. 已知/(x)是定义在R 上的奇函数，且在[0, +8)上单调递增，若/(lgx)<0, 则x 的取值范围是() A. (0, 1) B ・(1, 10) C. (1, +8)D. (10, +8)7. (2016-福州质检)已知偶函数/⑴满足：当xi, x 2e(0, +8)时,(x!-x2)[/(xi) -Ax2)]>0 恒成立.设 “=/(一4), b=/(l), c=/(3),则 d, h, c 的大小关系为( ) A. a<b<c B ・ h<a<c C. b<c<aD. c<b<a8. 函数/W 的定义域为R.若/(x+2)为偶函数，且血)=1,则/⑻+/(9)=( )A. —2B. —1C. 0试 题 共页 第页.V1 2 3 4 5 6 7 8 9 y375961824D. 1数列｛忌｝满足：xi = 1,且对于任B 点3,亦1)都在函数y=f(x)的图象9. （2017-高考山东卷）设/⑴=心,0<x<l, 1 U H）,Q.若何％+】）'©=（）A. 2 C. 6B. 4 D. 810. （2017•山西四校联考）已知函数/W满足：①定义域为R；®VxeR,都有/U+2）=/U）；③当A-G［-1, 1］时，/W=—Lrl+1.则方程/W=*log2lxl在区间［一3, 5］内解的个数是（）A. 5 C. 7B. 6 D. 811.（2017.天津模拟）已知函数爪）的图象如图所示，则/⑴的解析式可能是（）A. x2cos xC. xsin x12・已知定义在R上的奇函数几兀）满足/（A—4）=-/«,且在区间［0, 2］上是增函数，贝|J（）A.X-25)<All)</(80)B./(80)</(ll)</(-25)C.几11)勺(80)勺(一25)D・人一25)彳80)今(11)二、填空题13. (2017-高考全国卷II)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当兀丘(一8, 0)时,X A)=2A3+A2,则f(2)= _____________ ・试题共页第页14.若函数f(x) = 2x+a^x为奇函数，则实数4= ____________ ・215・已知函数几丫)=苑丁+sin卅则人一2 017)+几一2 016)+用))土A2 016)+/(2 017)= ________ .16.已知定义在R上的函数/U)满足：①函数y=f(x-V)的图象关于点(1, 0)对称；②VxeR,石一"=石+寸：③当炸(一扌，一弓时，_/W = log2( — 3卄1).则/(2 017)= _______ ・（-log., T>0,且何一厶则曲「） = （）B.-扌5C・-42.（2017-高考北京卷）已知函数妙=3'—（分，则金）（）A. 是奇函数, 且在R上是增函数B. 是偶函数, 且在R上是增函数C.D.3.4.A.C.是奇函数,是偶函数,且在R上是减函数且在R上是减函数函数劝2站的图象大致是（函数y=kl（l—x）在区间4上是增函数，那么区间4是（）B •卜 I](―°°,0)[0, +oo) D.伶 +8)A. — log377D・_4函数/(x)的上确界.则函数用・)=是奇函数，则实数。

江苏省苏州市2024高三冲刺（高考数学）部编版能力评测(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题知函数（，），如图：，，是曲线与坐标轴的三个交点，直线交曲线于点，若直线，的斜率分别为，3，则（）A．B ．C．D．第(2)题已知集合，，则（ ）A ．或B．C ．或D．第(3)题设函数为定义域为R的奇函数，且，当 时，，则函数在区间上的所有零点的和为A ．6B ．7C ．13D ．14第(4)题已知函数，，当时，，的值分别为（ ）A ．1，0B ．0，0C ．1，1D ．0，1第(5)题若数列的前项和为，且，则（ ）A ．684B ．682C ．342D ．341第(6)题已知，，则（ ）A．B．C．D．第(7)题过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．第(8)题若函数满足对都有，且为上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知连续函数f (x )对任意实数x 恒有f （x ＋y ）＝f (x )＋f （y ），当x ＞0时，f (x )＜0，f （1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ）A．f（0）＝0B．f(x)是R上的奇函数C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6D．不等式的解集为第(2)题已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则（）A．B．C．椭圆的离心率为D．直线的斜率的绝对值为第(3)题已知，函数的定义域为，且满足当时，，当时，，则下列说法正确的是（）A．若存在极值点，则B．若，，则C．若方程在区间上恰好有三个解，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________．第(2)题已知双曲线：的左右焦点分别为，，为右支上一动点，的内切圆的圆心为，半径，则的取值范围为______．第(3)题若函数的图象与直线y＝a有交点，则实数a的取值范围是 _______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题一个盒子里装有大小均匀的个小球，其中有红色球个，编号分别为；白色球个, 编号分别为, 从盒子中任取个小球（假设取到任何—个小球的可能性相同）．（1）求取出的个小球中，含有编号为的小球的概率；（2）在取出的个小球中, 小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列．第(2)题已知椭圆的左右顶点分别为A、B，点C在E上，点分别为直线上的点.(1)求的值；(2)设直线与椭圆E的另一个交点为D，求证：直线经过定点.第(3)题已知各项为正数的数列满足，对任意的正整数，，都有成立.（1）求数列的前项和；（2）设，求数列的前项和.第(4)题南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站.第1站为双港站，第24站是瑶湖西站.如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车.假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也可以反向乘车.在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游.他们约定每天由一人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同.若某天是张爸爸管理手机，则下一天有的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机.(1)记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X，求X的分布列及期望．(2)在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系.张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点.大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方.只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找.大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为.求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率.第(5)题在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），点．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线l的极坐标方程为．(1)写出曲线的极坐标方程；(2)若l与，分别交于A，B（异于原点）两点，求△PAB的面积．。

2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是 ．π [T ＝2π2＝π.]3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间是 ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋kπ，7π8＋kπ(k ∈Z ) [由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z .] 4．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间上的值域是 ．考点1 三角函数的定义域和值域D [由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ， 即x ≠kπ2＋π6(k ∈Z )，故选D.] 2．(20xx·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为 ． －4 [f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令cos x ＝t ，则t ∈[－1,1]．f (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋342＋178， 易知当t ＝1时，f (t )min ＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f (x )的最小值为－4.] 3．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b (a ＜0)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，则a ＋b ＝ .－1 [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.因为a ＜0，所以f (x )∈[3a ＋b ，b ]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a ＋b ＝－5，b ＝1，所以a ＝－2，所以a ＋b ＝－1.]4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为 ．[设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sinx ·cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2. ∴y ＝－t22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－2.∴函数的值域为.]求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin 3x ＋b sin 2x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．考点2 三角函数的单调性(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )(2)(20xx·大连模拟)函数y ＝12sin x ＋32cos x 的单调递增区间是 ．(1)B (2) [(1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得kπ2－π12＜x ＜kπ2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫kπ2－π12，kπ2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为 (k∈Z)，又x∈，∴单调递增区间为.]本例(2) 在整体求得函数y＝1 2sin x＋32cos x的增区间后，采用对k赋值的方式求得x∈上的区间．根据函数的单调性求参数1.若函数f (x )＝sinωx (ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝ .32 [由已知得T 4＝π3，∴T ＝4π3，∴ω＝2πT ＝32.] 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x＋π3的单调减区间为 ．[由已知，得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为(k ∈Z )．]考点3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性。

第13讲 函数的图象与性质1.设集合A=[-1,0],B={y|y =(12)x 2-1,x ∈R},则A ∪B= .2.(2018盐城高三年级第三次模拟)函数f(x)=ln(1-√3-x )的定义域为 .3.(2018江苏姜堰中学、如东高级中学等五校高三上学期第一次学情监测)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=8x ,则f (-193)的值为 . 4.(2018南京师大附中高三年级模拟)“a=1”是“函数f(x)=x+1x +sin x-a 2为奇函数”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 5.(2018江苏扬州中学高三年级第四次模拟)若函数f(x)=xln(x+2为偶函数,则a= .6.(2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)={log 12(-x +1)-1,x ∈[-1,k],-2|x -1|,x ∈(k,a],若存在实数k 使得该函数的值域为[-2,0],则实数a 的取值范围是 .7.(2018江苏苏中地区四校高三联考)已知函数f(x)=x 2-2|x|+4的定义域为[a,b],其中a<b,值域为[3a,3b],则满足条件的数组(a,b)为 .8.(2017无锡高三调研)已知函数f(x)={x 2+2x -1x ,x ≤-12,log 121+x 2,x >-12,g(x)=-x 2-2x-2.若存在a ∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b 的取值范围是 .9.(2018江苏苏州中学高三检测)已知函数f(x)=a+14x +1的图象过点(1,-310). (1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若-16≤f(x)≤0,求实数x 的取值范围.10.(2018江苏如东高级中学高三上学期期中)已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.(1)求a,b的值;(2)若b<1,g(x)=f(x)-2m x在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.答案精解精析1.答案 [-1,2]解析 因为x 2-1≥-1,所以0<(12)x 2-1≤2,则B=(0,2],所以A ∪B=[-1,2].2.答案 (2,3]解析 要使函数f(x)=ln(1-√3-x )有意义,则{1-√3-x >0,3-x ≥0,解得2<x ≤3,故该函数的定义域是(2,3]. 3.答案 -2 解析 f (-193)=f (-193+6)=f (-13)=-f (13)=-2.4.答案 充分不必要解析 若f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1),即sin(-1)-a 2=-2-sin 1+a 2,a 2=1,a=±1,故“a=1”是“函数f(x)=x+1x+sin x-a 2为奇函数”的充分不必要条件.5.答案 1解析 由题意知f(x)=f(-x),即xln(x+√a +x 2)=-xln[(-x)+√a 2], 所以xln(x+√a +x 2)+xln(-x+√a +x 2)=0, 所以xln(x 2+a-x 2)=0,所以xln a=0,则a=1. 6.答案 (12,2]解析 作出函数f(x)的图象(图略),由图可得实数a 的取值范围是(12,2]. 7.答案 (1,4)解析 因为f(x)=(|x|-1)2+3≥3,所以3a ≥3,a ≥1,则函数f(x)=(x-1)2+3,x ∈[a,b]单调递增,所以f(a)=3a, f(b)=3b,则a,b 是方程f(x)=x 2-2x+4=x 的两根,且a<b,则a=1,b=4,故数组(a,b)为(1,4). 8.答案 (-2,0)解析 当x ≤-12时,令1x =t,t ∈[-2,0),则y=-t 2+2t+1∈[-7,1),当x>-12时,1+x 2>14,f(x)=log 121+x2<2,所以f(x)的值域是(-∞,2).存在a ∈R,使得f(a)+g(b)=0,则-g(b)=f(a)<2,即b 2+2b+2<2, 解得-2<b<0.9.解析 (1)f(x)是奇函数.理由:因为f(x)的图象过点(1,-310),所以a+15=-310,解得a=-12,所以f(x)=14x +1-12=1-4x2(4x +1), f(x)的定义域为R.因为f(-x)=14-x +1-12=4x4x +1-12=4x -12(4x +1)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)因为-16≤f(x)≤0,所以-16≤14+1-12≤0, 所以13≤14+1≤12,所以2≤4x +1≤3,所以1≤4x ≤2,解得0≤x ≤12. 10.解析 (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. ①当a>0时, f(x)在[2,3]上为增函数, 故{f(3)=5,f(2)=2,所以{9a -6a +2+b =5,4a -4a +2+b =2,解得{a =1,b =0.②当a<0时, f(x)在[2,3]上为减函数,故{f(3)=2,f(2)=5,所以{9a -6a +2+b =2,4a -4a +2+b =5,解得{a =-1,b =3.故{a =1,b =0或{a =-1,b =3. (2)因为b<1,所以a=1,b=0,即f(x)=x 2-2x+2, g(x)=x 2-2x+2-2m x=x 2-(2+2m )x+2. 若g(x)在[2,4]上单调,则2+2m 2≤2或2+2m 2≥4,所以2m ≤2或2m ≥6,即m ≤1或m ≥log 26. 故实数m 的取值范围是(-∞,1]∪[log 26,+∞).。

【真题感悟】1.已知函数，若，则实数的取值范围为__________．【答案】(-2，1)点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．2．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 【答案】1(0,)2a ∈【解析】作出函数21()22f x x x =-+,[)0,3x ∈的图象，可见1(0)2f =，10个零点，即函数()y f x =与直线y a =在[]3,4-上有10个公共点， 由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()22f x x x =-+, [)0,3x ∈的公共点数为4，则有1(0,)2a ∈．学*科网3．已知函数()22,0{313,0x x f x x x ≤=--+>，若存在唯一的整数x ，使得()0f x a x->成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]0,2 []3,8⋃点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.【考向分析】函数是高考数学的重点内容之一，基本初等函数的图象与性质是函数的基石，应用函数的三大特性(单调性、奇偶性、周期性)是高考命题的切入点．函数的图象及变换是高考热点，应用函数知识解决其他问题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力．数形结合、分类讨论等方法构成了函数应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性.【典例导引】（一）函数的奇偶性和单调性例 1.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈恒有()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f 的值为__________.【答案】43【解析】利用对数的性质可知： 23log 124<<， 则： ()()22223log 12log 12log 16log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，而： 231log 04-<<，故： ()24log 3222344log 12log log 2433f f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.变式1 已知偶函数 f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则使得 f (x )＞f (2x －1)成立的 x 的取值范围是________．【答案】13＜x ＜1.【解析】由f (x )为偶函数，f (x )＞f (2x －1)可化为f (|x |)＞f (|2x －1|)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以|x |＞|2x －1|.解得13＜x ＜1.变式2 已知函数f (x )为定义在[2－a,3]上的偶函数，在[0,3]上单调递减，并且f ⎝⎛⎭⎫－m 2－a5＞f (－m 2＋2m －2)，则实数m 的取值范围是________． 【答案】1122m -<≤（二）分段函数【答案】1,82156⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】根据题意，得到()f x 的图象如下：又()y f x m x =-恰有10个不同零点，即()y f x =与y m x =的图象有10个交点，根据偶函数的特点，则在0x >的图象中，有5个交点，如图中红色直线和蓝色直线就是两种极限情况。

回扣1 函数的图象与性质(1)求函数定义域的类型和相应方法①假设函数的解析式，那么函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②假设f (x )的定义域为[a ，b ]，那么f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，那么f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域.(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝kx(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}. 2.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，那么f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，那么f (x )为偶函数). (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，假设f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，那么f (x )是周期函数，T 是它的一个周期. 3.关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①假设函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，那么f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期； ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，那么f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期；③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，那么f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期. (2)函数图象的对称性①假设函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )，那么f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②假设函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，那么f (x )的图象关于点(a,0)对称；③假设函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 那么函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称.函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质. ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]， 那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数.②假设函数f (x )和g (x )都是减函数，那么在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；假设函数f (x )和g (x )都是增函数，那么在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性.(1)平移变换y ＝f (x )――――→h ＞0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――――→k ＞0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换y ＝f (x )――――→0<ω<1，伸ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――――→0<A <1，缩A ＞1，伸y ＝Af (x ). (3)对称变换y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x ).(1)定点：y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)恒过(1,0)点.(2)单调性：当a ＞1时，y ＝a x在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减.(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点. (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f (x )＝0；②零点定理法：根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点； ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.1.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原那么.2.解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.3.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪〞和“或〞连接，可用“及〞连接或用“，〞隔开.单调区间必须是“区间〞，而不能用集合或不等式代替.4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的单调性容易无视字母a 的取值讨论，无视a x ＞0；对数函数y ＝log a x (a＞0，且a ≠1)容易无视真数与底数的限制条件.x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进展准确互化.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，那么f (f (1))＝________.答案 －2解析 f (f (1))＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间(－∞，1]上单调递减，那么a 的取值范围是________.答案 [1，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax ＋2＝x 2－2ax ＋a 2－a 2＋2＝(x －a )2－a 2＋2，∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，且在区间(－∞，1]上单调递减， ∴a 的取值范围是[1，＋∞).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x ＜0(a ，b ∈R )为奇函数，那么f (a ＋b )的值为________.答案 －1解析 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a (－1)(－1＋2)＝－1(1－b )，－2a (－2＋2)＝－2(2－b )，解得a ＝－1，ba ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，那么实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意得a ＞2x －2x2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.f (x )＝||x ＋2||x ，且满足f (a －1)＜f (2)，那么实数a 的取值范围是________.答案 (－1,3)解析 因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋2x是单调增函数，故由偶函数的性质及f (a －1)＜f (2)可得|a －1|＜2，即－2＜a －1＜2， 即－1＜a ＜3.R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－3)＝2，那么f (2021)＝________. 答案 －2解析 由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以4为周期的周期函数，所以f (2021)＝f (3)＝－f (－3)＝－2.f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，假设f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))成立，那么实数m 的取值范围是________________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2 解析 因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增. 故由f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4(m ＋2)≤2，log 2m ＜log 4(m ＋2)，m ＞0，m ＋2＞0，故有⎩⎪⎨⎪⎧14≤m ≤4，116≤m ＋2≤16，m 2<m ＋2，m >0，m ＋2>0，解得14≤m <2.综上可知，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2.R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，那么f (log 220)＝__________. 答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)， 因为4＜log 220＜5，所以0＜log 220－4＜1， －1＜4－log 220＜0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－1.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7(a >0，且a ≠1)单调递增，那么实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7(a >0，且a ≠1)单调递增，所以1<a <3.又由题意得7(3－a )－3<a ，解得a >94，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，那么函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为__________. 答案 2解析 当x ＞2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数，当x ＞2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去).所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x ＜0，假设互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，那么x 1＋x 2＋x 3的取值范围是____________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6 解析 由题意可得函数f (x )的图象如下图，假设存在互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝k ，那么k ∈(－3,4)，不妨令x 1＜x 2＜x 3，那么x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，x 2＋x 3＝6，故x 1＋x 2＋x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6.R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )－2，当x ∈(0，2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ∈(0，1)，1x，x ∈[1，2]，假设当x ∈(0,4]时，t 2－7t2≤f (x )≤3－t 恒成立，那么实数t 的取值范围是______________.答案 [1,2]解析 当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2－x ，函数值满足－14≤f (x )<0，当x ∈[1,2]时，f (x )＝1x ，函数值满足12≤f (xx ∈(2,3)时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x 2－10x ＋10，函数值满足－52≤f (x )＜－2；当x ∈[3,4]时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x －2－2，函数值满足－1≤f (x )≤0. 综上，当x ∈(0,4]时，函数f (x )的最小值为－52，最大值为1.由t 2－7t 2≤f (x )≤3－t 恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2－7t 2≤－52，3－t ≥1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤t ≤52，t ≤2，∴1≤t ≤2.。