23 第23讲 构造论证一

图8-6中的左图为21枚硬币组成的三角形，如果仅移动7枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．图8-6小明买来一个1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7块，使得无论是3个人还是5个人平分，都不必再分割蛋糕．这7块蛋糕的重量分别是多少？300克500克300、300、200、200、300、100、100有4颗外形完全相同的珍珠，其中3颗是真的，另1颗是假的，已知假珍珠比真的要轻．请问：用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是9颗珍珠里有1颗假的呢？请设计出方案．两两分组三三分组较轻的组较轻的组两次两次图8-7中，左边是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线．用它可以一次量出从1至6厘米中任意整数厘米的长度．右图为一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？3厘米1厘米2厘米图8-71，2，3，31，1，3，4请将8个1，8个0填入图8-8的16个空格中，使得每行、每列的4个数之和都是奇数．图8-8 8-23+3+1+1=81 1 11 1 111有一列自然数，其中任意3个相连的数之和都不小于6，而任意4个相连的数之和都小于8．这个数列最多能有几项？最多，数字越小越好全是1，和小于62 2 2 24个数之和不小于81 2 3 2 1 4个数之和不小于81 1 4 1 1 最多有5个用7个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出1000，例如 ．试用8个相同的数字（并且适当使用加号、减号）来计算1000．11111111000-=AAAA+AA+ ……A=1000=5×5×5×8A=5或者8 1000÷5=2001000÷8=125 111+11+1+1+1=1251的个数不够 888+88+8+8+8=1000有12根小木棍，长度分别为1，2，3，4，……，12厘米．（1）能否用这12根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲；（2）能否用这12根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲．【例8】高思学校竞赛数学导引第23讲（1）1+2+……+12=78长+宽=39=13×3长=26:1+12+2+113+10+4+9宽=13:5+86+7 （2）1+2+……+12=7878÷4=19.5 不可能【例9】高思学校竞赛数学导引第23讲（1）请在1，2，3，……，19，20的相邻两个数之间填入“+”或者“-”（不能改变数的顺序），使得结果是0．（2）能否在1，2，3，……，20，21的相邻两个数之间填入“+”或者“-”（不能改变数的顺序），使得结果是0？（1）1+2+……+20=2101+20+2+19+3+18+4+17+5+16-6-15-7-14-8-13-9-12-10-11=0 210÷2=105（2）1+2+……+20+21=231加减的和不可能相等有四个算式： ， ， ，．如果每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最少有多少个偶数？最多有多少个偶数？+=□□□-=□□□⨯=□□□÷=□□□+=□□□-=□□□⨯=□□□÷=□□□至少1奇1偶无限制最多无限制最少奇+偶=奇 奇+奇=偶 奇-偶=奇 奇-奇=偶 奇×偶=偶偶÷奇=偶 偶÷偶=奇共6个偶数偶+偶=偶 奇+偶=奇 奇+奇=偶 偶-偶=偶 奇-偶=奇 奇-奇=偶 偶×偶=偶 奇×奇=奇 偶÷偶=偶奇÷奇=奇最多共12个偶数最少共2个偶数有5个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制．每次操作可以拉动其中的2个开关以改变相应灯泡的亮暗状态．能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗？5个亮加减偶数个奇+偶=奇奇-偶=奇得不到0 不可能都变暗桌上放有5张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上1，2，3，4，5，然后冬冬在背面也分别写上1，2，3，4，5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘．问：冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？不可能o(╯□╰)o正面数字+背面数字=（1+2+3+4+5）×2=30奇+奇+奇+奇+偶=偶五个和中，至少有一个偶数，所以最后乘积一定是偶数有14个孩子，依次给他们编号为1，2，3，，14．能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和．=偶数五组和为偶数1+2+3+……+14=105不可能o(╯□╰)o将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数．请问：这个新的三位数和原来的三位数之和能不能等于999？如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由．A B C + C B A --------------- 9 9 9 没有进位，数字和不变9+9+9=27 奇数奇+奇=偶偶+偶=偶不可能o(╯□╰)o下节课见！。

人教版九年级数学上册 第23章 构造旋转讲义（带解析）1 / 14中考内容中考要求ABC旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题满分晋级阶梯中考内容与要求知识互联网5构造旋转图形变换6级构造旋转图形变换5级 图形的旋转 图形变换4级特殊图形旋转的计算与证明根据已知条件中的直角三角形等，构造共顶角顶点等腰三角形，从而利用下面模型.【例1】 如图， 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，ADE△是等边三角形，连接BE ．求证：DE BE =．EDCBA图121FAB CDE【解析】 取AB 的中点F ，连结EF ，CF ．∵90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴160∠=︒，12CF AF AB ==．典题精练思路导航题型一：构造——共顶角顶点等腰三角形B'A'BO人教版九年级数学上册 第23章 构造旋转讲义（带解析）3 / 14∴△ACF 是等边三角形．∴AC AF =． ① ∵△ADE 是等边三角形， ∴260∠=︒，AD AE =． ② ∴12∠=∠． ∴12BAD BAD ∠+∠=∠+∠． 即CAD FAE ∠=∠．③由①②③得 △ACD ≌△AFE （SAS ）． ∴90ACD AFE ∠=∠=︒． ∵F 是AB 的中点，∴EF 是AB 的垂直平分线． ∴BE=AE .∵△ADE 是等边三角形， ∴DE=AE .∴BE DE =．【例2】 如图，AB AC =，点D 为线段BC 中点，点E 在线段AC 的延长线上，DE DF =，BAC EDF ∠=∠，点G 为线段AB 的中点，连接FG 交AC 于H ，求证：2AC GH =.【解析】 取线段AC 的中点K ，连接DK 、DG 、GK .∵AB AC =，BAC EDF ∠=∠由中位线可得DG DK =，KDG EDF ∠=∠ ∴EDK FDG ∠=∠ 又∵ED FD =∴EDK FDG △≌△ ∴DGH DKH ∠=∠ ∵DG AC ∥∴GDK DKH ∠=∠，∴DK GH DG == ∵2DG AC =，∴2GH AC =【例3】 如图，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积．GH FEDC BAK GH FE D C BA1CE D23H l 1l 2l 3【解析】 如图；733.主要考查两种类型：利用旋转把图1转化成图2图1图2③②①转化①①②③ 转化图2图1③②①②③③②①【例4】 阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，P A =5，PB =2，PC =1，求∠BPC 的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP ′A （如图2），然后连结PP ′． 请你参考小明同学的思路，解决下列问题： ⑴图2中∠BPC 的度数为 ；⑵如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．图3图2图1PFEDCBAP'PDCBAPDCBA【解析】 ⑴135°；⑵120°；27 ．【例5】 ⑴如图1：在ABC △中，AB AC =，当60ABD ACD ∠=∠=︒时，猜想AB 与BD CD +数量关系，请直接写出结果 ；思路导航典题精练题型二：构造旋转——转移边和角人教版九年级数学上册 第23章 构造旋转讲义（带解析）5 / 14⑵如图2：在ABC △中，AB AC =，当45ABD ACD ∠=∠=︒时，猜想AB 与BD CD +数量关系并证明你的结论；⑶如图3：在ABC △中，AB AC =，当ABD ACD β∠=∠=（2070β°≤≤°）时，直接写出AB 与BD CD +数量关系(用含β的式子表示).图3图2图1DC BADCBADC BA【解析】 ⑴AB=BD+CD⑵猜想：2AB BD CD =+证明：如图，过A 点作AE ⊥AC 交CD 延长线于E 点，作AF ⊥AB 交BD 延长线于F 点，连接EF . 容易证出：ABC AEF △≌△∴∠ABC =∠AEF ，BC =EF容易证出：DBC DEF △≌△∴CD =DF在等腰Rt ABF △中，结论可以得出.(3)cos 2BD CDAB β+⋅=【例6】 在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB =∠EAB ，连接AG .⑴ 如图1，当EF 与AB 相交时，若∠EAB =60°，求证：EG =AG +BG ； ⑵ 如图2，当EF 与AB 相交时，若∠EAB = α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系（用含α的式子表示）；⑶ 如图3，当EF 与CD 相交时，且∠EAB =90°，请你写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系，并证明你的结论.【解析】 证明：如图，作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H .∴∠GAB =∠HAE .F ED B A 图3 D C G图2 DA C G F 图1 D C G F∵∠EAB =∠EGB ，∠APE =∠BPG ， ∴∠ABG =∠AEH . ∵又AB =AE ，∴△ABG ≌△AEH . ∴BG =EH ，AG =AH . ∵∠GAH =∠EAB =60°， ∴△AGH 是等边三角形. ∴AG =HG .∴EG =AG +BG .(2) 2sin.2EG AG BG α=+（3）2.EG AG BG =-如图，作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H .∴∠GAB =∠HAE . ∵∠EGB =∠EAB =90°，∴∠ABG +∠AEG =∠AEG +∠AEH =180°.∴∠ABG =∠AEH .∵又AB =AE ，∴△ABG ≌△AEH . ∴BG =EH ，AG =AH . ∵∠GAH =∠EAB =90°，∴△AGH 是等腰直角三角形.∴2AG =HG .∴2.EG AG BG =-【例7】 ⑴ 如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，︒=∠60ABC ，︒=∠120ADC ，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；⑵ 如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且︒=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．图1DCBA图2PDC BA【解析】 ⑴ 如图１，延长CD 至E ，使DE DA =．可证明EAD △是等边三角形．PHCG FHE DCG人教版九年级数学上册 第23章 构造旋转讲义（带解析） 7 / 14连接AC ，可证明BAD △≌CAE △． 故AD CD DE CD CE BD +=+==．图1E DCBA图2B'PDCBA⑵ 如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形D B A '， 可证明AB C '△≌ADB △，得DB C B ='． ∵四边形DP B A '符合（1）中条件， ∴PD AP P B +='． 连结C B '，ⅰ）若满足题中条件的点P 在C B '上， 则PC B P C B +'='．∴PC PD AP C B ++='． ∴PC PD PA BD ++= ．ⅱ）若满足题中条件的点P 不在C B '上， ∵PC B P C B +'<'，∴PC PD AP C B ++<'． ∴PC PD PA BD ++<． 综上，BD PA PD PC ++≤．PBP 'ACDP 'ABCDP训练1. 已知：24PA PB ==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P D 、两点落在直线AB 的两侧．⑴ 如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；⑵ 当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小．（西城一模）PDCBA图2图1CBDAPP'EABCDP【解析】 ⑴ 如图1，过点A 作AE PB ⊥于点E ．∵45APB =︒∠，∴APE △是等腰直角三角形．∵2PA =，4PB = ∴1AE PE ==，3BE = ∴2210AB AE BE =+=如图2，APP '△是等腰直角三角形． ∵2PA =，∴2PP '=∵45APB =︒∠，∴90BPP '=︒∠ ∴BPP '△是直角三角形∴22222425BP PP BP ''=+=+=显然，APD AP B '△≌△，∴25PD BP '==．⑵ 如图3所示，将PAD △绕点A 顺时针旋转90︒得到P AB '△′， 图3则PD 的最大值即为P B ′的最大值．∵P PB '△′中，P B PP PB <+′′，22PP PA ==′，4PB =， 且P D 、两点落在直线AB 的两侧，∴当P P B 、、′三点共线时，P B ′取得最大值．如图4 此时6P B PP PB =+=′′，即P B ′的最大值为6， 此时180135APB APP ∠=︒-∠=︒′图4训练2. 小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA 剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中ACB α∠=，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，EFD △纸片的直角顶点D 思维拓展训练(选讲)人教版九年级数学上册 第23章 构造旋转讲义（带解析）9 / 14落在ACB △纸片的斜边AC 上，直角边DF 落在AC 所在的直线上．⑴ 若ED 与BC 相交于点G ，取AG 的中点M ，连接MB 、MD ，当EFD △纸片沿CA 方向平移时（如图3），请你观察、测量MB 、MD 的长度，猜想并写出MB 与MD 的数量关系，然后证明你的猜想； ⑵ 在⑴的条件下，求出BM D ∠的大小（用含α的式子表示），并说明当45α=︒时， BMD △是什么三角形？⑶ 在图3的基础上，将EFD △纸片绕点C 逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90︒），此时CGD △变成CHD △，同样取AH 的中点M ，连接MB 、MD （如图4），请继续探究MB 与MD 的数量关系，并证明你的结论．（门头沟二模）图2图1DFECBADC BAHABM DEFC图4图3M FE GDCBA【解析】 ⑴ MB =MD .证明：∵AG 的中点为M∴在Rt ABG △中， AG MB 21= 在Rt ADG △中，AG MD 21=，∴MB =MD ⑵ ∵BAM ABM BAM BMG ∠=∠+∠=∠2同理DAM ADM DAM DMG ∠=∠+∠=∠2 ∴BMD ∠=DAM BAM ∠+∠22=BAC ∠2 而90BAC α∠=︒- ∴1802BMD α∠=︒-∴当45α=︒时，90BMD ∠=︒，此时BMD △为等腰直角三角形． ⑶ 当CGD △绕点C 逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB =MD ．作Rt CHD △关于CD 对称得到Rt CH D '△，作Rt ABC △关于BC 对称得到Rt A BC '△（如图5） 易证AA C '△、HCH '△是等腰三角形， 且ACA HCH ''∠=∠ ∴ACH A CH ''∠=∠，又∵AC A C '=，CH CH '=A'H'图5CFEDM BAH∴ACH A CH ''△≌△，∴AH A H ''=， 又∵AM HM =，DH DH '=，AB A B '= 由中位线得BM DM =．训练3. 已知ABC △，以AC 为边在ABC △外作等腰ACD △，其中AC AD =.⑴如图1，若2DAC ABC ∠=∠，AC BC =，四边形ABCD 是平行四边形，则ABC ∠= °； ⑵如图2，若30ABC ∠=︒，ACD △是等边三角形，3AB =，4BC =. 求BD 的长； ⑶如图3，若ABC ∠为锐角，作AH BC ⊥于H ，当2224BD AH BC =+时，2DAC ABC ∠=∠是否成立？若不成立，说明你的理由，若成立，并证明你的结论.【解析】 ⑴ 45；⑵ 如图2，以A 为顶点AB 为边在ABC △外作BAE ∠=60°， 并在AE 上取AE AB =，连结BE 和CE . ∵ACD △是等边三角形, ∴AD =AC ，DAC ∠=60°. ∵BAE ∠=60°,∴DAC ∠+BAC ∠=BAE ∠+BAC ∠. 即EAC ∠=BAD ∠.∴EAC △≌BAD △.∴EC =BD.∵BAE ∠=60°，AE =AB=3, ∴AEB △是等边三角形， ∴EBA ∠=60°, EB = 3， ∵30ABC ∠=︒, ∴90EBC ∠=︒.∵90EBC ∠=︒，EB =3，BC =4, ∴EC =5.∴BD =5. ⑶ DAC ∠=2ABC ∠成立.以下证明：如图３，过点B 作BE AH ∥，并在BE 上取2BE AH =，连结EA ，EC . 并取BE 的中点K ，连结AK . ∵AH BC ⊥于H ，∴90AHC ∠=︒.∵BE ∥AH , ∴90EBC ∠=︒. ∵90EBC ∠=︒，BE =2AH ,∴222224EC EB BC AH BC =+=+.A BC D1图ABC D2图AB CD3图AE BC D 2图3图A B CD E K人教版九年级数学上册 第23章 构造旋转讲义（带解析）11 / 14∵2224BD AH BC =+, ∴EC =BD.∵K 为BE 的中点，BE =2AH , ∴BK =AH. ∵BK ∥AH ，∴四边形AKBH 为平行四边形. 又∵90EBC ∠=︒,∴四边形AKBH 为矩形. ∴90AKB ∠=︒.∴AK 是BE 的垂直平分线. ∴AB =AE.∵AB =AE ，EC =BD ，AC =AD,∴EAC △≌BAD △. ∴EAC BAD ∠=∠.∴EAC EAD BAD EAD ∠-∠=∠-∠. 即DAC EAB ∠=∠.∵90EBC ∠=︒，ABC ∠为锐角, ∴90ABC EBA ∠=︒-∠. ∵AB =AE,∴EBA BEA ∠=∠.∴1802EAB EBA ∠=︒-∠.∴EAB ∠=2ABC ∠.∴DAC ∠=2ABC ∠.图3MPCB A【练习1】 阅读下列材料：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且::1:2:3PA PB PC =，求APB ∠的度数． 小娜同学的想法是：不妨设1,2,3PA PB PC ===，设法把PA PB PC 、、相对集中，于是他将BCP △绕点B 顺时针旋转90°得到BAE △（如图2），然后连结PE ，问题得以解决．请你回答：图2中APB ∠的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．⑴在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； ⑵求出以PA PB PC 、、的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ． （顺义二模）EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3【解析】 图2中∠APB 的度数为 135°．⑴如图3，以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的 一个三角形是APM △．（含画图）⑵以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数 分别等于60°、65°、55°．复习巩固人教版九年级数学上册 第23章 构造旋转讲义（带解析）13 / 14【练习2】 ⑴已知：如图1，ABC △是O ⊙的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+⑵如图2，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证：2PA PC PB =+⑶如图3，六边形ABCDEF 是O ⊙的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请你写出PA ，PB ，PC 三者之间的数量关系表达式．（不需要证明） 图3图2图1P F EDCB APDC BAOOOP CBA（通州二模）【解析】 ⑴在AP 上截取PM=BP ，连结BM∵ABC △是⊙O 的内接正三角形， ∴︒=∠=∠60ACB ABC ，AB=BC ∴︒=∠=∠60ACB APB ∵PM=BP ，∴BPM △是正三角形 ∴︒=∠60MBP∵CBP ABM ∠=∠ ABM △≌CBP △ ∴AM=PC∴AP = PB+PC⑵∵过点B 做BM PB ⊥，交P A 于点M ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，∴AB=BC ，︒=∠=∠90BCD ABC ，︒=∠90AOB ∴︒=∠45APB ，PB=BM 根据勾股定理得：2PM PB ∵90ABC MBP ∠=∠=︒ ∴ABM CBP ∠=∠ ∴ABM △≌CBP △ ∴AM PC = ∴2PA PC PB =+ ⑶结论：PC PB PA +=3M BCPOM OPMOAC DFP第十七种品格：成就贝多芬的成就贝多芬的心中充满了自由、平等、博爱的理想，他是1789年法国资产阶级革命的热烈拥护者。

第三章 全等三角形3．4 全等三角形的判定第五课时 边边边定理一．预习题纲（1）学习目标展示1．探索三角形全等的判定定理——“边边边”定理2．会用“边边边”定理进行推理论证3．了解三角形的稳定性（2）预习思考二．经典例题例1．如图，在四边形ABCDD 中，已知AB=CD ，AD=CB ，求证：∠A=∠C【分析】要证明∠A=∠C ，需连接BD 构造两个三角形，再证明△BAD 和△DCB 全等【证明】连接BD ，在△BAD 和△DCB 中，∵AB=CD ，AD=CB ，BD=BD ，∴△BAD ≌△DCB ，∴∠A=∠C 【规律总结】利用“全等三角形的对应角相等”是证明角相等的重要方法，当两个角不在两个三角形中，可适当作辅助线构造两个三角形，再证明它们全等三．易错例题【错解】AO ⊥BC.理由如下:延长AO 交BC 于点D.∵OB=OC,∴OD 平分∠BOC ，∴OD ⊥BC,即AO ⊥BC.【错解分析】本题的结论是对的，但理由错误，错在把非特殊线段看成特殊线段.喜欢把没有题设条件说明它是正确的结论,想象为正确的结论.也就是常常把“准”结论直接当结论使用。

象本题中的OD【正解】AO ⊥BC ，理由如下：延长AO 交BC 于点D ，在△ABO 和△ACO 中，AB=AC ，OB=OC ，AO=AO ，∴△ABO ≌△ACO ，∠BAD=∠CAD ，∴AO ⊥BC （等腰三角形三线合一）一．课前预习1． 有三边对应相等的两个三角形 ，简写成“边边边”或2． 只要三角形的三边长度固定，这个三角形的形状和大小就固定了，三角形的这个性质叫做三角形的二．当堂训练知识点一：边边边定理1．△ABC 和△DEF 中，AB=3，BC=4，AC=6，DE=3，EF=4，要使△ABC 与△DEF 全等，则DF=（ ）A ．3B ．4C ．6D ．132．如图，已知AB=CD ，还需要条件 ，根据“SSS ”可判定△ABC ≌△CDAA B CD3．如图4，已知AB=AD ，BC=BD ，∠B=20°，则∠D=4．（2009云南省)如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB求证：△ABC ≌△DCB ；知识点二： 边边边定理的应用5．如图6，AB=DE ，AC=EF ，CD=BF试说明：（1）．△ABC ≌△EDF ；（2）．AB ∥DE 的理由知识点三：三角形的稳定性 7．下列生产和生活现象中：①用人字架来建筑房屋顶；②用窗钩来固定窗帘；③在栅栏门上斜着钉根木条；④推拉式活动防盗门，用于三角形稳定性的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8．观察如图所示的图形，然后回答下列问题：⑵ 对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性。

構造與論證教學目標1.掌握最佳安排和選擇方案的組合問題.2.利用基本染色去解決相關圖論問題．知識點撥知識點說明各種探討給定要求能否實現，在論證中，有時需進行分類討論，有時則要著眼於極端情形，或從整體把握．設計最佳安排和選擇方案的組合問題，這裏的最佳通常指某個量達到最大或最小．解題時，既要構造出取得最值的具體實例，又要對此方案的最優性進行論證．論證中的常用手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計．組合證明題，在論證中，有時需進行分類討論，有時則需要著眼於極端情況，或從整體把握。

若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題。

若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題，這裏宜從特殊的點或線著手進行分析．各種以染色為內容，或通過染色求解的組合問題，基本的染色方式有相間染色與條形染色．知識點撥板塊一、最佳安排和選擇方案【例 1】5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號排列，今要將它們變為反序排列，即從第5卷到第1卷．如果每次只能調換相鄰的兩卷，那麼最少要調換多少次?【考點】構造與論證【難度】2星【題型】解答【解析】因為必須是調換相鄰的兩卷，將第5卷調至原來第1卷的位置最少需4次，得到的順序為51234；現在將第4卷調至此時第1卷的位置最少需3次，得到的順序為54123；現在將第3卷調至此時第1卷的位置最少需2次，得到的順序為54312；最後將第1卷和第2卷對調即可．所以，共需調換4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009張卡片上分別寫著數字1、2、3、4、……、2009，現在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，並在空白面上又分別寫上1、2、3、4、……、2009．然後將每一張卡片正反兩個面上的數字相加，再將這2009個和相乘，所得的積能否確定是奇數還是偶數？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】從整體進行考慮．所得的2009個和相加，便等於1～2009的所有數的總和的2倍，是個偶數．2009個數的和是偶數，說明這2009個數中必有偶數，那麼這2009個數的乘積是偶數．本題也可以考慮其中的奇數．由於1～2009中有1005個奇數，那麼正反兩面共有2010個奇數，而只有2009張卡片，根據抽屜原理，其中必有2個奇數在同一張卡片上，那麼這張卡片上的數字的和是偶數，從而所有2009個和的乘積也是偶數．【答案】偶數【例 3】一個盒子裏有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下麵我們對這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補1枚白色的棋子回去．這樣的操作，實際上就是每次都少了1枚棋子，那麼，經過399次操作後，最後剩下的棋子是顏色(填“黑”或者“白”)．【考點】構造與論證【難度】3星【題型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的兩枚棋子同色，則補黑子1枚，所以拿出的白子可能為0枚或2枚；若拿出的兩枚棋子異色，則補白子1枚，“兩枚棋子異色”說明其中一黑一白，那麼此時拿出的白子數為0枚．可見每次操作中拿出的白子都是偶數枚，而由於起初白子有200枚，是偶數枚，所以每次操作後剩下的白子都是偶數枚，因此最後1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上寫上1、2、3、4、……、2008，按下列規定進行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個數a和b，然後寫上它們的差(大數減小數)，直到黑板上剩下一個數為止．問黑板上剩下的數是奇數還是偶數？為什麼？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】根據等差數列求和公式，可知開始時黑板上所有數的和為++++=⨯是一個偶數，而每一次“操作”，將a、b兩個數123200820091004變成了()-，它們的和減少了2b，即減少了一個偶數．那麼從整體上看，a b總和減少了一個偶數，其奇偶性不變，還是一個偶數．所以每次操作後黑板上剩下的數的和都是偶數，那麼最後黑板上剩下一個數時，這個數是個偶數．【答案】偶數【例 5】在1997×1997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個按鈕．按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態，即由亮變為不亮，或由不亮變為亮．如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】最少要1997次，將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改變一次狀態，由不亮變成亮．而第一列每格的燈都改變1997次狀態，由不亮變亮．如果少於1997次，則至少有一列和至少有一行沒有被按過，位於這一列和這一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數目的小石子，或是將其中的某一石子數是偶數的堆中的一半石子移入另外的一堆．開始時，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子．問能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因為操作就兩種，每堆取走同樣數目的小石子，將有偶數堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子總數要麼減少3的倍數，要麼不變．現在共有1989+989+89=3067，不是3的倍數，所以不能將3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市舉行的一次乒乓球邀請賽上，有3名專業選手與3名業餘選手參加.比賽採用單迴圈方式進行，就是說每兩名選手都要比賽一場．為公平起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負者扣分，每勝專業選手一場加2分，每勝業餘選手一場加1分；專業選手每負一場扣2分，業餘選手每負一場扣1分．問：一位業餘選手最少要勝幾場，才能確保他的得分比某位專業選手高? 【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】當一位業餘選手勝2場時，如果只勝了另兩位業餘選手，那麼他得10+2-3=9(分)．此時，如果專業選手間的比賽均為一勝一負，而專業選手與業餘選手比賽全勝，那麼每位專業選手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位業餘選手勝2場，不能確保他的得分比某位專業選手高．當一位業餘選手勝3場時，得分最少時是勝兩位業餘選手，勝一位專業選手，得10+2+2-2=12(分)．此時，三位專業選手最多共得30+0+4=34(分)，其中專業選手之間的三場比賽共得0分，專業選手與業餘選手的比賽最多共得4分.由三個人得34分，34÷3=111，推知，3必有人得分不超過11分.也就是說，一位業餘選手勝3場，能確保他的得分比某位專業選高.【答案】勝3場【例 8】n支足球隊進行比賽，比賽採用單迴圈制，即每對均與其他各隊比賽一場.現規定勝一場得2分，平一場得1分，負一場得0分.如果每一隊至少勝一場，並且所有各隊的積分都不相同，問：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】（1）我們知道4個隊共進行了24C場比賽，而每場比賽有2分產生，所以4個隊的得分總和為2C×2=12.因為每一隊至少勝一場，所以得分最低的4隊至少得2分，又要求每個隊的得分都不相同，所以4個隊得分最少2+3+4+5=14＞12，不滿足.即n=4不可能。

学科培优数学“构造与论证”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．【授课批注】论证：天下乌鸦都是黑的。

学生一定会说因为我看到的乌鸦都是黑的，所以天下乌鸦都是黑的！这样说明问题是不可以的。

但是，如果我能看到一只白乌鸦，从而可以说明天下乌鸦不全是黑的。

这种方法叫做举反例法，是很有说服力的一种方法！知识梳理【重点难点解析】1.如何分类讨论及讨论结果的全面性。

2.与抽屉原理、数论、估算相结合的综合题。

3.如何设计最佳方案和选择最佳方案。

【竞赛考点挖掘】1.迎春杯、华杯中经常出现。

2.与其他知识点相结合的综合性题目。

【授课批注】小升初的考试中不会涉及到，但在杯赛中经常出现，尤其是迎春杯，华杯！所以，考杯赛的学生应着重学习。

例题精讲【试题来源】【题目】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【试题来源】【题目】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【试题来源】【题目】甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l，2，3，4，…依次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是24 ？【题目】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光?(2)3堆中的所有石子都被取走?【试题来源】【题目】4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．【试题来源】【题目】证明：在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×l×4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．【试题来源】【题目】如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.习题演练【题目】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【试题来源】【题目】某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书4、B、C，使得甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A?说明判断过程．【试题来源】【题目】 n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【试题来源】【题目】将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形．证明：无论怎样分法．分得的长方形中必有两个是完全相同的．【试题来源】【题目】将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．【试题来源】【题目】有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言.求证：在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈。

构造与论证之奇偶性分析练习题一．夯实基础：1.小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。

小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。

试问，小丽所加得的和数能否为2000？2.在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯．如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？3.桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的5只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？4.某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。

问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？二．拓展提高：5.有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成？6.育英小学三年级学生正在进行某种棋类比赛，规定：胜者得1分；败者扣1分；若为平局，则双方各得0分；每两个人之间都要赛一局。

其中，小明得了9分，小红得了10分。

小明对小红说：“这次比赛真巧，居然没有平局”；小红说：“你骗人！那么多场比赛，怎么可能没有平局呢？”同学们，请问你认为是否有平局呢？请通过分析进行说明。

7.在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。

已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量。

今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。

8.桌上放着5张卡片，小月在卡片的正面写上1、2、3、4、5，然后冬冬在背面分别写上1、2、3、4、5，写完后计算每张卡片上两书之和，再把5个和相乘，问：东东能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？9.有一本500页的书，从中任意撕下40张纸，这40张纸上的所有页码之和能否是1999？三. 超常挑战10.在8×8的棋盘的左下角放有9枚棋子，组成一个3×3的正方形（如左下图）。

第23讲构造论证一内容概述各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律。

本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整除性的分析方法。

兴趣篇1．如图23-1，用1×2和1×3两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？1，答案：14块解析：用14块地板砖就可以铺满整个图形，如下图：如果只有13块砖，每块最多就能盖住3个单位小正方形，一共最多盖住13×3=39个小正方形．而图中共有5×8= 40个小正方形，因此用13块砖不能铺满地面。

所以要14块地板砖才能铺满整个图形．2．国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图23-2中一个皇后（图中五角星）就把整个3×3的棋盘控制了．为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？2，答案：2个解析：一个皇后能控制她所在的横线、竖线和斜线，在4×4的棋盘中，横线、竖线和斜线都只有4个方格，因此皇后在每条线上最多控制除自己以外的另外3个方格．皇后一共能控制4条线，所以一共最多能控制4×3+1= 13个方格．但是整个棋盘有16个方格，所以一个皇后不能控制整个棋盘．下图说明，两个皇后满足要求：因此答案是2个，3．图23-3中的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．答案：移动的方法如图所示（答案不唯一）解析：略．4．把100个橘子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6，应该如何装？3，答案：一个篮子里放60个，一个篮子里放16个，其他4个篮子里放6个解析：考察每个篮子里装的橘子数，一共有6个数，它们都含有数字6，即它们的十位和个位数字中，一定有一个是6．由于这6个数的和为100，所以其中不能有两个数大于50，那么最多只有1个数的十位是6．如果所有数的十位都不是6，那么它们的个位数字都是6，6个数的总和的个位数字也是6，从而总和不等于100，这不符合题目条件，因此必有一个数的十位是6.其他5个数的个位数字都是6．这5个数的总和的个位数字是O，而6个数的总和为100，因此十位为6的数的个位也是O，即它等于60.其它5个数的和为100 –60=40，且它们的末位数字都是6，只能是6，6，6，6，16.所以题目所求的装法为一个篮子里放60个橘子，一个篮予里放16个橘子，其它4个篮子里放6个橘子．5．如图23-4，把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的．请问：最少有多少条棱是白色的？4，答案：3条解析：如图，染1，2，3三条棱就可以满足题目要求．由于正方体一共有6个面，而每条棱只在两个面上，也就是说，每条棱最多能使两个面满足要求，医此要使6个面都满足要求，至少需要6÷2=3条棱染成白色．所以题目所求的答案是3．6．请在9，8，…，3，2，1的相邻两个数之间填入“+”或者“—”（不能改变数的顺序），使得结果是1．能否使得结果是0呢？9 8 7 6 5 4 3 2 l=19 8 7 6 5 4 3 2 1=07．如图23-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由。

在现实生活中，我们经常需要自己设计一些方案来解决问题，设计方案的过程就是构造．但仅仅构造出一种方案是不行的，我们还要对方案的可行性进行分析，严格的讨论方案的正确与否，有的时候还需考虑方案是否最优，这个过程就是论证．构造与论证经常是合在一起的，没有构造出方案，也就无从论证，但仅仅构造出方案也是不行的，我们还需要证明方案是正确的．很多时候，构造论证问题都和最值问题结合在一起，这时我们就需要找到最优解．分析 要破坏一个三角形，只需去掉三角形的一条边就可以了，但要求我们去掉的线段最少，那么我们就应该更多地去掉多个三角形的公共边，那么去掉多少个边才行呢？练习1. 如图33×的表格中，最少去掉多少条线段，才能使图中没有正方形？很多问题中，不仅需要构造出方案，还需要讨论方案是否正确，有的时候还需要论证方案是否存在．下面我们来看这样的一道问题．分析 （1）对于1~15的数来说，能凑成平方数的情况并不多．我们可以从这里入手分析．同学们尝试一下看能不能得到一种合适的方案．线段．请问：这5（2）注意到除了2以外，质数只能是奇数，那我们是不是能从奇偶性的分析入手呢？练习2.能否将1至12重新排列，使得任意相邻两数的和都是质数？如果能请写出一组，如果不能请说明理由．构造论证的问题中，经常会用到很多其他的知识，例如数论的分析、抽屉原理、奇偶性分析等．分析 我们从第一页开始考虑．如果第二篇故事是奇数页开头的，那么第一篇故事一定是偶数页的，如果第三篇故事是奇数页开头的，那么前两篇的和一定是偶数页的，而故事最多有几篇是奇数页开头的，就需要考虑前面几篇的和，最多有多少个是偶数．练习3. 一个数列有7项，每相邻两项作差，发现所得的6个差里面有3个是1，3个是2．问：这个数列中最多有几个奇数，最少有几个奇数？构造与论证中有一类操作问题，需要我们对已有的对象进行操作和变化，以期得到需要的结果，在解决这类问题的时候，一定要考虑问题是否可行，不要上来就开始操作．而在分析问题的可行性时，不变量经常是解决问题的关键．页各不相同．如果从书的第一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？分析 首先，同学们可以尝试着变化一下，看看能不能得到想要的结果，但在变化的过程中，能发现三个数有什么是没有变化的吗？怎么能说明是否能得到8、8、8呢？练习4. 黑板上写着9、18、27这三个数，老师现在请一些同学上黑板对这两个数进行操作，进行一次操作是指把两个数都进行如下变化：或者减2，或者加1．请问：能否经过若干次操作后得到11、12、13？能否经过若干次操作后得到8、8、8？下面我们来看一下构造与论证中常用的方法——染色法．我们举个例子来说明：在一个55×的方格表（图1）中放入25枚棋子，每格1枚；接着将所有棋子都移动到相邻方格中，且仍然每格1枚，能否办到？答案是不能．如果用一般的方法来说明将会变得非常复杂，但如果我们将方格阵按照如图2的方式染色，那么将所有棋子都放入到相邻的位置中，一定是黑格的棋子进白格，白格的棋子进黑格，但是共有13个黑格，只有12个白格，黑格的棋子不可能全部转移，所以我们的要求是达不到的．通过例子，同学们对于染色法有了初步的了解．但在实际的问题中，我们要根据题目的要求采用不同的染色方式，同学们一定要在做题的过程中积累不同的染色方法，这样才能做到有备无患．黑板对这三个数进行操作，进行一次操作是指把三个数都进行如下变化：者减若干次操作后得到 21分析 碰到这样的问题，我们首先要考虑的是能不能填出，而不是一上来就去试，这时就需要我们进行染色分析了．同学们可以先尝试一下黑白相间染色，论述一下是否成立？如果成立，那就需要找到一种合适的拼法．练习5. （1）能否用12个如图1所示的“T 型”拼成一个68×的长方形？（2）能否用12个如图2所示的“L 型”拼成一个68×的长方形？（3）能否用8个如图1所示的“T 型”和4个如图2所示的“L 型”拼成一个68×的长方形？棋盘？拼成一个图212本讲知识点汇总一、构造合理的方案．二、奇偶性的分析方法．三、操作中的不变性．四、经典的染色问题．作业1.如图，平面上有9个点，他们之间连着16条线段，从而围出了8个三角形．请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这9个点为顶点的三角形？2.能否将1~15排成一行，使得任意相邻两数之差都为质数？3.（1）能否将1 ~ 7这7个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不大于12？（2）能否将1 ~ 7这7个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不大于12？4.黑板上写着两个数9、99，现在老师请一些同学上黑板对这两个数进行操作是指把两个数都进行如下变化：或者减1，或者加3．请问：能否经过若干次操作后得到11、22？能否经过若干次操作后得到1、11？能否经过若干次操作后得到2、22？5.（1）能否用若干个图2的“L型”不重叠地拼出图1？（2）能否用若干个图3的“L型”不重叠地拼出图1？第1题1 2 3第5题。

论证的结构及其作用逻辑学是研究推理和论证的科学。

那什么是论证？论证：指用某些理由去支持或反驳某个观点的过程或语言形式。

从结构上看，一个论证包含下列要素：1，论题：即论辩双方共同谈论的某个话题，双方在这个话题上可能具有完全相反的观点。

例如，“是否应该用法律的形式禁止婚外恋？”就是一个论题，围绕这个论题至少可以形成相互抵触的两种不同的观点。

但有些时候，论题本身可能就是论点，例如“论和为贵”。

论点：即论证者在一个论证中所要证明的观点；它既是论证的起点，也是论证的终点。

2，论据：相当于推理的前提，指论证者用来论证其论点的理由、根据。

即“摆事实，讲道理”。

当论证以追求真理为目标，要求论据必须真实；当论证以说服为主要目标，要求论据真实、至少是论证双方共同接受。

3，论证方式：即论据对于论点的支持方式，表现为某种推理形式或某些推理形式的复合。

论证方式可以是演绎的、归纳的或谬误的。

4，隐含的前提或假设。

论证常常隐含地利用了一些前提或假设，相应也隐含地使用了一些推理形式，而没有把它们明明白白说出来或写出来。

当我们要对一个论证的可靠性作出评估时，需要把它们考虑进来。

我们可以图解论证结构：厘清主要论点、主要理由及其逻辑关系。

一个较为复杂的论证的各个论据（前提）与论点（结论）构成的整体支持关系，构成一个论证链条或网状结构，叫做主论证。

这个论证链条或论证网络中的任何一个单个的支持关系，都是这个复杂论证中的步骤，叫做子论证。

相应地，结论也有主结论与子结论之分。

有的时候我们说要把厚书读薄，就可以用图解论证结构的方法把论点和论据的逻辑关系结构表示出来。

论证和推理的区别：推理并不要求前提真，假命题之间完全可以进行合乎逻辑的推理。

论证的目的在于说服对方（或自己）接受或者拒绝某个主张，因此所使用的论据必须真实，或者至少为论辩双方所共同接受，以假命题作论据不能证明任何东西。

论证与推理的相同点：论证要使用推理，一个简单的论证就是一个推理：它的论据相当于推理的前提；论点相当于推理的结论；从论据导出论点的过程（即论证方式）相当于推理形式。

第四章论证的结构从回应者的视角来看，评价一个论证首先要对其结构进行解析。

论证结构有不同程度的复杂性。

也许它仅涉及一个语言段落，一篇文章，也许它是一本书，甚至是多卷本著作。

分析论证结构就是理解一整套论证系统，即理解论证者的主张及其支持理据。

第一节论证的辨识论证的辨识，即从话语中分离或抽象出论证，是整个论证逻辑和其理论应用的基本出发点。

论证的分析和评估以论证的辨识为前提。

如果不能很好地解决辨识论证的问题，再好的分析和评估工具也可能被用错地方。

当然，人们普遍知道，表达论证的话语仅是人们所用话语的一种形式。

一、语言的多种功用语言有不同的功用，论证只是其多种功能之一。

洞察一个语段被用于何种目的，是从话语中辨识论证的基础。

卡尔·比勒把语言的主要功能——交流分析为三种功能：1.表达功能，即用于表达说话者情感或思想的交流；2.刺激或信号的功能，即用于激发或消释听者某种反应（例如语言反应）的功能；3.描述功能，即描述某种事态的交流。

前两种功能也适用于动物“语言”，而第三种是人类特有的。

波普尔认为，还必须再加上第四种功能，而且是特别重要的一种——论证或解释的功能，即表述和比较与某些确定的疑问或问题相联系的论证或解释。

这四种功能构成一个等级体系：每个较高级的功能离不开所有较低级的功能而存在，而较低级的却可以离开较高级的而存在。

某个语段可能具有前三种功能而不具有第四种功能。

例如，一张地图是一个描述功能的例子，但它不发挥论证的功能。

而一个论证具有所有四种功能。

例如，一个论证首先是某个有机体的某种内在状态（肉体的或心理的）的一个外在表征，它起着一种表达的作用；它同时也是个信号，可以激起一种回应（反对或赞成）；它是关于某种情景或事态的一种观点，因而也是描述的；最后，论证当然有论证的功能，它为坚持某个主张给出理由。

语言的意义与功能密切相关。

可以说，不同的意义就是不同的功能。

语言研究史上出现过众多的语言意义理论。

如，观念论、指谓论、行为论、真值论和用法论。

一、引 言当我们作出一个模态断言，即某个命题p 可能为真时，我们在认知上的根据是什么？我们是因为什么而持有这个模态信念，或者因为什么而具有这个模态知识呢？这是当代模态认识论亟待解决的问题。

为了回答这个问题，很多哲学家将目光投向了可设想性，认为可设想性就是通达可能性的认知来源。

他们之中，一派的立场较弱，认为可设想性论证为可能性提供证据（即证据描述）；另一派立场较强，支持可设想性蕴含可能性（即蕴含描述）。

后者往往希望通过构造一个可设想性论证，从“命题p 是可设想的”直接得到“命题p 是可能为真的”。

这类论证，比如查莫斯（D . Chalmers ）的僵尸论证（zombie argument ）（[1], pp .247-272），是二元论者在当代心灵哲学关于现象意识的讨论中攻击物理主义的核心利器。

二元论者往往从一个可设想的情形出发，根据可设想性蕴含可能性这条原则，得到反物理主义的结论。

因此，可设想性论证的成功与否是衡量物理主义与二元论之争成败的关键。

但是，对坚持可设想性论证策略的二元论者来说，模态错误（modal error ）的出现一直是他们难以克服的困难。

如果他们不能排除模态错误的干扰，他们对物理主义攻击的力度就会大大降低。

而我将论证，模态错误的出现是难以避免的，这是因为哲学家们在构造可设想性论证时忽略了某个必要条件。

在这种情况下建立的可设想性论证，收稿日期：2013年12月8日作者简介：冯书怡（1984-）女，湖北武汉人，武汉大学哲学学院外国哲学专业博士生，研究方向为形而上学。

Email : shuyi.f@徐华明（1989-）男，云南德宏人，武汉大学哲学学院科学哲学专业硕士生，研究方向为形而上学。

Email : xhmwhu@·科学技术哲学·构造可设想性论证的一个必要条件A Necessary Condition for Conceivability Arguments冯书怡/FENG Shuyi 徐华明/XU Huaming（武汉大学哲学学院，湖北武汉，430072）(School of Philosophy, Wuhan University, Wuhan, Hubei, 430072)摘　要：对于支持可设想性论证的哲学家而言，他们希望以“命题p 是可设想的”为前提得到p 是可能的。

构造论证（一）主讲：五豆
方案设计奇偶分析
方案设计
方案设计
【例题】有4颗外形完全相同的珍珠，其中3颗是真的，另1颗是假的。

已知假珍珠比真的要轻，请问：用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是9颗珍珠里，有1颗假的呢？请找出称量次数最少的方案。

方案设计
【例题】下图是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线。

用它可以一次量出从1至6厘米中任意整数厘米的长度。

现有一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度。

1厘米3厘米2厘米
【例题】有12根小木棍，长度分别为1、2、3、4、⋯、12厘米。

方案设计
（1）能否用这12根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都用上且不能折断和弯曲；2根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都用上且不能折断和弯曲。

奇偶分析
奇偶分析
【例题】能否在1，2，3，⋯，19，20的相邻两个数之间填上“+”或“−”（不能改变数的顺序），使得结果是0。

奇偶分析
【例题】能否在1，2，3，⋯，20，21的相邻两个数之间填上“+”或“−”（不能改变数的顺序），使得结果是0。

奇偶分析
【例题】桌上放有7张卡片，小高先在卡片的正面分别写上1、2、3、4、5、6、7，然后小娅在背面也分别写上1、2、3、4、5、6、7 。

写完后计算每张卡片上两数之和，再把7个和相乘。

问：小娅能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？
中小学数学精品视频课程。

议论文的根本构造方式议论文的根本构造方式写作议论文，要注意议论文的三要素：论点、论据和论证。

当论点提出，论据材料确定后，写作时就要运用恰当的论证方法，组织严密的论证过程，从而使文章具有较强的说服力。

学生要特别注意论证构造的安排。

论证构造一般有四种：总分式、并列式、比照式、层进式。

一、总分式论证构造所谓总分式就是在论证的段落、层次构造中引入总说和分说关系的一种论证构造。

总分式一般有“总—分—总”“总—分”“分—总”三种形式。

无论何种形式，学生应首先在“总”字上下工夫，用准确精练的语言，将分述内容的主旨概括出来，使之成为能“张目”的总纲。

其次，分说的内容必须与总说的内容保持一致，从不同角度、不同侧面来论证中心论点，互相之间不重复。

当然在实际写作时，根据立论的需要，这三种方式常常综合运用。

如鲁迅的《拿来》一文，运用的就是“分—总”的论证构造。

作者先着重分写“闭关”和“送去”，为下文阐述“拿来”作铺垫，又写“送来”是带强迫性和侮辱性的，不允许你不承受，也不允许你选择，这是帝国对殖民地进展掠夺的一种方式。

作者旗帜鲜明地批判“闭关”“送去”，进而批判“送来”，再树立“拿来”，最后“总之，我们要拿来”“没有拿来的，人不能自成为新人；没有拿来的，文艺不能自成为新文艺”。

这样就引出了作者的总论点“拿来”。

论证的纲目清楚，确立的观点一目了然。

总分式论证构造具有内容纲目清楚、层次井然、构造严谨的好处。

二、并列式论证构造所谓并列式论证构造就是文章的各层次之间是平行的，没有主次之分，层次顺序安排较为灵敏的一种论证构造。

段落之间假如互相调换位置，不会违犯论证的逻辑构造。

如2023年高考语文湖南的一学生作文《踮起脚尖》，作者把文章内容分为四层：第一层，踮起脚尖，感受大自然的美丽；第二层，踮起脚尖，谱写人间的真爱；第三层，踮起脚尖，成就完美的人生；第四层，踮起脚尖，就更靠近阳光。

四层内容互不雷同，第一层举出的是自然中的平常事例；第二层举出的是来自生活中的平常事例；第三层举出的是来自书籍中的典型事例；第四层联络自身实际。