构造与论证.
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以“追问法”构造论证层次
以“追问法”构造论证层次在撰写论述性文章的过程中，如何让文章结构更为精简、明晰，让文章的逻辑思维更为有序，是极其重要的。
而“追问法”则是一种非常实用的方法，它能够帮助我们创造出一种逻辑严密的论证层次。
因此，本文将介绍什么是追问法及如何构造论证层次。
追问法基础知识追问法是一种通过质疑来发现问题和解决问题的方法。
在使用追问法时，我们可以提出一系列问题，从而不断深挖问题的本质，最终找到答案或解决方案。
具体来说，追问法分为以下几个步骤：1.提出问题：根据研究对象、需求以及想要探讨的问题组织提问。
2.追问问题：根据问题的不同层次，逐一追问问题，直到找到问题的本质。
3.总结结论：通过对问题的追问，获取信息，形成结论，得出问题的答案或者解决方案。
简而言之，“追问法”可以帮助我们从表层到深层地理解问题。
使用“追问法” 来构造论证层次，以更加有说服力地论证自己的观点。
如何使用“追问法”构造论证层次使用“追问法”来构造论证层次时，我们需要将观点进行逐层分解，将一个大观点分解成小的观点，为之后更好的论证做好铺垫。
下面我们以以下观点为例：女性应该独立自主。
第一层：女性在社会中的地位女性的地位一直是社会中的问题。
我们需要追问，女性是否和男性一样享有同等的社会地位。
如果回答是肯定的，那我们还需要回答更深层次的问题：怎样才能够保证女性与男性在社会地位上的平等？第二层：自主与依赖在回答了女性的社会地位问题后，我们可以开始讨论女性的自主问题。
追问这个问题，我们需要去了解女性的自主究竟包括什么方面。
例如，女性是否需要有独立的财产来源或是可以自主安排自己的时间。
这些方面的自主可以给女性带来何种好处，以及这些好处是什么。
而对于女性依赖问题，我们可以回答：女性为什么需要自主？如果女性想要制定自己的生活计划而不是依赖他人，她们是不是需要独立思考和做出决策。
同时，还可以证实，女性的自主比依赖更有价值，因为独立自主能够带来更多的自由，让女性感受到真正的自由。
第 7 讲 构造与论证(补充练习)汇总
第 7 讲构造与论证（补充练习）（一）第一组补充练习【练习I】今有长度是l，2，3，……，199的金属杆各1根，能否用上所有的金属杆，不弯曲任何一根，把它们焊接成(1一个正方体框架；(2一个长方体框架。
分析：(1 不可能焊接成正方体框架。
因为正方体的12条棱长度相同，所以199根金属杆的长度和应该是12的倍数。
但是实际上l＋2＋3＋……＋199＝（1＋199）×199÷2＝19900。
19900不是12的倍数。
⑵ 可以焊接成长方体框架。
因为长方体有4个长、4个宽、4个高，所有棱长的和可以表示为（长＋宽＋高）×4，199根金属杆的长度和是4的倍数即可。
19900显然是4的倍数。
具体构造如下：第一步，先把他们焊接成长为199的金属杆100根。
199＝1＋198＝2＋197＝3＋196＝……＝99＋100第二步，焊接的长方体框架，长是4根199×12的金属杆，宽是4根199×12金属杆，高是4根199的金属杆。
【练习2】用15个如图所示的由4个小方格组成的“L”形板与一个田字形板能覆盖一个8×8的棋盘吗?分析：(1 如图，把8×8的棋盘进行隔行染色，图中共有32个黑格。
每张“L”形板无论怎样放置，要么盖住1个黑格，要么盖住3个黑格，总之是奇数个黑格，15张“L”形板盖住的黑格数是奇数。
而田字形板无论怎样放置都恰好盖住2个黑格，田字形板盖住的黑格数是偶数。
奇数＋偶数＝奇数，也就是说，15张“L”形板和1张田字形板盖住的黑格数是奇数，而图中有32个黑格（偶数），奇数不等于偶数，所以不能按要求进行覆盖。
【练习3】能否在8行8列的方格表的每个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任何一个，使得每行、每列及两条对角线各个数字之和都互不相同？并对你的结论加以证明。
分析：(1 不可能。
⑵ 若某行（某列、某条对角线）上8个方格里都填“1”，数字和是8；若某行（某列、某条对角线）上8个方格里都填“3”，数字和是24；由8到24共有17个不同的整数值，把这17个不同的整数值当作抽屉。
第10讲 构造与论证
1989 989 89 3067 ，3067 不是 3 的倍数，所以无法全部取走。
例题4
从图中的A格出发，每次只能走到相邻的小格子（不能走斜线）， 最后能否走到B格，并且每个格子都刚好经过一次？ 【答案】：不能。
【解析】：
将 25 个小格染成黑白相间的颜色，从 A 格出发，第一步一定会走到白格，接着第二
例题6
证明：在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×1×4的小长方体，每个 小长方体的面都要与盒子的侧面平行。
【答案】：见解析。 【解析】：
6×6×6 的正方体可分成 216 个小正方体，这 216 个小正方体可以组成 27 个 2×2×2 的正方体。 我们将这 27 个棱长为 2 的正方体按黑白间隔染色，如上图所示。 其中有 14 个黑色的，13 个白色的，也就是有 14×8＝112 个小黑块和 13×8＝104 个小白块，而每一个 1×1×4 的小长方 体，都会占用 2 个小黑块和 2 个小白块，所以最多可以放入 104÷2＝52 个 1×1×4 的小长方体。
练习3
有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的 小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的 一堆。开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有 89块石子。问能否做到：
（1）某2堆石子全部取光？ （2）3堆中的所有石子都被取走？
练习3
【答案】：能；不能。 【解析】： （1）先都取走 89 块，剩余 1900，900，0。再从第二堆取出一半到第三堆，得 1900， 450，450，再都取走 450 块即可。 （2）石子内部转移不影响总数，而每次从三堆中取走相同数目，一定会是 3 的倍数，
【答案】：不能。 【解析】：
例题4
从图中的A格出发，每次只能走到相邻的小格子（不能走斜线）， 最后能否走到B格，并且每个格子都刚好经过一次？ 【答案】：不能。
【解析】：
将 25 个小格染成黑白相间的颜色，从 A 格出发，第一步一定会走到白格，接着第二
例题6
证明：在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×1×4的小长方体，每个 小长方体的面都要与盒子的侧面平行。
【答案】：见解析。 【解析】：
6×6×6 的正方体可分成 216 个小正方体，这 216 个小正方体可以组成 27 个 2×2×2 的正方体。 我们将这 27 个棱长为 2 的正方体按黑白间隔染色，如上图所示。 其中有 14 个黑色的，13 个白色的，也就是有 14×8＝112 个小黑块和 13×8＝104 个小白块，而每一个 1×1×4 的小长方 体，都会占用 2 个小黑块和 2 个小白块，所以最多可以放入 104÷2＝52 个 1×1×4 的小长方体。
练习3
有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的 小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的 一堆。开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有 89块石子。问能否做到：
（1）某2堆石子全部取光？ （2）3堆中的所有石子都被取走？
练习3
【答案】：能；不能。 【解析】： （1）先都取走 89 块，剩余 1900，900，0。再从第二堆取出一半到第三堆，得 1900， 450，450，再都取走 450 块即可。 （2）石子内部转移不影响总数，而每次从三堆中取走相同数目，一定会是 3 的倍数，
【答案】：不能。 【解析】：
人教版四年级下册数学17、构造与论证之奇偶分析(课件)
每张纸上的两个页码之和是奇数+偶数 则20个奇数的和是偶数，即20张纸的所有页码之和偶数 而1999是一个奇数，任何一个奇数不等于偶数，所以这 20张纸上的所有页码之和不可能是1999。
知识链接
忽略的常识——奇数≠偶数
例题六（★★★★）
有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这 些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号 码的和？并说明理由。
知识链接
奇偶分析，应用规律， 避免计算。
例题三（★★★）
任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是 偶数？
设第一个数为n，则它们的和是 n+(n+1)+(n+2)+…+(n+1233)
=（2n+1233）×1234÷2 =（2n+1233）×617 则总和是个奇数
例题三（★★★）
在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、…、2009，现在将卡片的顺序打乱， 让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、…、2009.然后将每一 张卡片反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇 数还是偶数？
（2）张三说共有45人是奇数，这说明张三是骗子， 而李四说了假话，所以李四也是骗子。
知识链接
藏的偶数——相等
例题二（★★★）
在a，b，c三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。 问(a－1)(b－2)(c－3)是奇数还是偶数？
a，b,c三个数中有两个奇数和一个偶数， 则a-1和c-3中必有一组为奇数——奇数， 其结果是偶数 所以（a-1）（b-2）（c-3）是偶数
1到2009中有1005个奇数，而只有2009张卡片 则必正反两面共有2010个奇数，而只有2009卡片 则必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字 的和是偶数，所以所有2009个和的乘积也是偶数
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忽略的常识——奇数≠偶数
例题六（★★★★）
有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这 些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号 码的和？并说明理由。
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奇偶分析，应用规律， 避免计算。
例题三（★★★）
任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是 偶数？
设第一个数为n，则它们的和是 n+(n+1)+(n+2)+…+(n+1233)
=（2n+1233）×1234÷2 =（2n+1233）×617 则总和是个奇数
例题三（★★★）
在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、…、2009，现在将卡片的顺序打乱， 让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、…、2009.然后将每一 张卡片反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇 数还是偶数？
（2）张三说共有45人是奇数，这说明张三是骗子， 而李四说了假话，所以李四也是骗子。
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藏的偶数——相等
例题二（★★★）
在a，b，c三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。 问(a－1)(b－2)(c－3)是奇数还是偶数？
a，b,c三个数中有两个奇数和一个偶数， 则a-1和c-3中必有一组为奇数——奇数， 其结果是偶数 所以（a-1）（b-2）（c-3）是偶数
1到2009中有1005个奇数，而只有2009张卡片 则必正反两面共有2010个奇数，而只有2009卡片 则必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字 的和是偶数，所以所有2009个和的乘积也是偶数
四年级奥数-构造论证之奇偶分析(一)
【例7】(★★★) 在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好。主 人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手 的人必定有偶数个。”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理 由呢？
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ห้องสมุดไป่ตู้
【例5】(★★★) 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能 否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排 中其余孩子号码数的和？并说明理由。
【例6】(★★★) 用代表整数的字母a，b，c，d写成等式组： abcd－a＝1991 abcd－b＝1993 abcd b d－c＝1995 abcd－d＝1997 试说明：符合条件的整数a，b，c，d是否存在。
知识点加油站构造与论证之奇偶分析一加减法奇数奇数奇数奇数偶数偶数偶数偶数偶数偶数奇数偶数奇数偶数奇数偶数奇数个奇数相加得重要结论两个数的和与差同奇偶推广
【知识点加油站】 1. 加减法 奇数＋奇数＝ 奇 奇数－奇数＝ 奇 偶数＋偶数＝ 偶数 偶数＝ 偶数－偶数＝ 奇数＋偶数＝ 奇数 偶数 奇数－偶数＝ 奇数个奇数相加得（ 偶数个奇数相加得（ 任意个偶数相加得（
【例2】(★★) 任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
【例3】(★★) 有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有页码之和 能否是1999？
1
【例4】(★★☆) 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片 的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、 4、……、2009。然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这 2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？ 个和相乘 所得的积能否确定是奇数还是偶数？
四年级奥数之构造与论证之奇偶分析(上)
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【今日讲题】 例1，例2，例4，例5 构造与论证之奇偶分析（上） 1. 基本的奇偶性质 加减法：奇奇为偶 偶偶为偶 奇偶为奇。 加减法：奇奇为偶，偶偶为偶，奇偶为奇。 乘 法 ：口诀：有偶为偶，无偶为奇。 连 加 ：奇数个奇数的和是奇数， 偶数个奇数的和是偶数。 2.论证问题 总数的两种不同的计算方式 总数的两种不同的计算方式。一般是由偶数≠奇数 般是由偶数 奇数 ，推出矛盾。由矛盾说明假设不成立。 【讲题心得】
【例1】 (★★★)
任意取出10个连续自然数，它们的总和是奇数还 意 出 连续自 数 奇数 是偶数？
【例2】 (★★★)
有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张 纸上的所有页码之和能否是1999？ 有 能
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【例3】 (★★★)
【例4】 (★★★★)
桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其 桌 有 杯 每 其 中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全 部杯子的开 全都向下？ 部杯子的开口全都向下？
【课前小练习】(★★)
判断奇偶性。(填入奇数、偶数) (1) 78＋52＝_____; (2) 63－23＝_____; 63 23 (3) 89＋56＝_____; (4) 1＋2＋3＋4＋5＝_____; 1＋2＋3＋4＋5 (5) 6×5×4×9×5＝_____; (6) 9×7×13×7×3＝____. 9×7×13×7×3＝
构造与论证之奇偶分析（上）
本讲主线 1．复习基本奇偶性质。 1 复习基本奇偶性质 奇 2. 和差奇偶性的应用。
奇偶数的运算规律： 1. 加减法 奇数＋奇数=____ 奇数＋奇数 奇数－奇数= 奇数 奇数 ____ 偶数＋偶数=____ 偶数－偶数=____ 奇数＋偶数=____ 奇数－偶数=____ 奇数个奇数相加得____ ,偶数个奇数相加得____ . 口诀：奇奇为偶，偶偶为偶，奇偶为奇。 2 乘法 2. 口诀：有偶为偶，无偶为奇。
陕西省延安市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
陕西省延安市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）请根据甲、乙、丙三人说的话判断他们年龄的大小，①甲：我比乙大3岁；②乙：我比丙小2岁；③丙：我比甲小1岁，判断________＞________＞________2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根，最下层有20根。
（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）在下面的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次，填出空格里缺少的数。
224314. （5分）三个孩子吃三个饼要用3分钟，九十个孩子九十个饼要用多少时间?5. （10分）甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴丙比大队长的成绩好．⑵甲和中队长的成绩不相同．⑶中队长比乙的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？6. （5分）某校六年级有367名学生，有没有两名学生的生日是同一天？为什么？7. （5分）振华小学组织了一次投篮比赛，规定投进一球得分，投不进倒扣分．小亮投了个球，投进了个．那么，他应该得多少分？8. （10分）四对夫妇坐在一起闲谈．四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是妻子的倍．四对夫妇共吃了个梨．问：丙的妻子是谁？9. （5分）宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？10. （2分）在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米．11. （5分）一斤白菜5角钱，一斤萝卜6角钱，那一斤排骨多少钱？12. （5分）东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问另一个人胜了几场？13. （5分）三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄．刘强说：“我12岁，比陈红小2岁，比李丽大1岁．”陈红说：“我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁．”李丽说：“我比刘强年岁小，刘强13岁，陈红比刘强大3岁．”这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的．请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁？14. （5分）一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“ ”．记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知、、、、、、七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分．并简单说明你的思路．15. （5分）浪费掉人的一生的三分之一时间的会是什么东西？16. （5分）四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场．规定如下：胜者得分，负者不得分，平局得分．比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列第三名．已知比赛中有平局，那么第一名同学得多少分？17. （5分），，，分别是中国、日本、美国和法国人.已知：⑴ 和中国人是医生；⑵ 和法国人是教师；⑶ 和日本人职业不同；⑷ 不会看病.问：，，，各是哪国人，18. （5分）先填一填，再说说我的新发现．观察表，我发现了：________19. （5分）在下面的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。
云南省文山壮族苗族自治州数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
云南省文山壮族苗族自治州数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）找规律，填一填．（1） 6________－________6＝9（2） 8________－________8＝63（3） 7________－________7＝272. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根，最下层有20根。
（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场．规定如下：胜者得分，负者不得分，平局得分．比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列第三名．已知比赛中有平局，那么第一名同学得多少分？4. （5分）买一双高级女皮鞋要214元5角6分钱，请问买一只要多少钱？5. （10分）四对夫妇坐在一起闲谈．四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是妻子的倍．四对夫妇共吃了个梨．问：丙的妻子是谁？6. （5分） 8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字．7. （5分）四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？8. （10分）猴子每分钟能掰一个玉米，在果园里，一只猴子5分钟能掰几个玉米?9. （5分）传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话．有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女．男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假话的日子”．这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？10. （2分） 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。
小学四年级奥数 第29讲：构造与论证之奇偶分析(二)
2
3
1
【例5】 (★★★★) 如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在每 一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
【例6】 (★★★★) 在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操作”：每 次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到 黑板上剩下一个数为止。问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
【例3】 (★★★★) 设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一 个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A 开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关。他一共拉 了999下开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？
【例4】 (★★★★★) 桌上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992其中的一枚。 能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一 面都朝上？
【例7】 (★★★★★) 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚。下面我们对 这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色 棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去。这样的操作，实际 上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子 是___颜色(填“黑”或者“白”)。
构造与论证之奇偶分析(二)
二、奇偶构造 【例1】 (★★★) 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否 经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？
【例2】 (★★★) 桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问 能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？
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【例5】 (★★★★) 如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在每 一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
【例6】 (★★★★) 在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操作”：每 次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到 黑板上剩下一个数为止。问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
【例3】 (★★★★) 设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一 个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A 开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关。他一共拉 了999下开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？
【例4】 (★★★★★) 桌上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992其中的一枚。 能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一 面都朝上？
【例7】 (★★★★★) 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚。下面我们对 这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色 棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去。这样的操作，实际 上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子 是___颜色(填“黑”或者“白”)。
构造与论证之奇偶分析(二)
二、奇偶构造 【例1】 (★★★) 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否 经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？
【例2】 (★★★) 桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问 能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？
构造与论证之奇偶分析(上)
构造与论证之奇偶分析(上)一、奇偶应用(★★★)一个俱乐部里的成员惟独两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。
某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。
外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。
”另一个成员李四说：“张三是老实人。
”请判断李四是老实人还是骗子？(★★★)在a，b，c三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。
问(a－1)(b －2)(c－3)是奇数还是偶数？第 1 页/共 5 页(★★★)随意取出1234个延续天然数，它们的总和是奇数还是偶数？(★★★)在2009张卡片上分离写着数字1、2、3、4、…、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分离写上1、2、3、4、…、2009。
然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否决定是奇数还是偶数？(★★★★)有一本500页的书，从中随意撕下20张纸，这20张纸上的所有页码之和能否是1999？(★★★★)有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。
试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
(★★★★)用代表整数的字母a，b，c，d写成等式组：abcd－a＝1991，abcd－b＝1993abcd－c＝1995，abcd－d＝1997试说明：符合条件的整数a，b，c，d是否存在。
(★★★★★)在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好。
主人很欢喜，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必然有偶数个。
”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？第 3 页/共 5 页在线测试题温馨提醒：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！【例1】39这七个数，两两相乘后所得的乘积的和，是奇数还是偶数？为什么？~A．奇数B．偶数C．不决定【例2】已知a b、、c中有一个是5，一个是6，一个是7。
第十一讲 构造与论证之奇偶分析1
第十一讲 构造与论证之奇偶分析
【知识点】
一、 加减法 1. 两个数： 1) 同性得偶，异性得奇 2) 加偶不变性，加奇要变性 2. 多个数 1) 任意个偶数相加为偶 2) 奇数个奇数相加为奇；偶数个奇数相加为偶 二、 乘法
遇偶得偶，全奇为奇
【周周测】
练习 1 1)1+2+3…+1993 的和是奇数还是偶数？
2
练习 6 有 106 个孩子，每人胸前有一个号码，号码从 1 到 106 各不相同。试 问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其 余孩子号码数的和？并说明理由 练习 7 学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发 放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除了我的号码，把今天发 的其他号码加起来，再减去我的号码，恰好是 100。”请问：今天发放的运动员 号码加起来，到底是奇数还是偶数？
练习 4 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号， 不能请说明理由
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27
练习 5 如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：有无可能使得在每一 条直线上的红圈数都是奇数？如果能，请写出一种涂法；如果不能，请说明理由．
2) 1+2+3+…+100+…3+2+1 的和是奇数还是偶数？为什么？
练习 2 一个自然数数分别与另外两个练习 3 有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中 取出 3 个球，如果发现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口 袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋中放一个黄球，已知原来有红球 42 个、黄球 23 个、蓝球 43 个，那么取到不能再取的时候，口袋里还有蓝球，那 么蓝球有多少个？
【知识点】
一、 加减法 1. 两个数： 1) 同性得偶，异性得奇 2) 加偶不变性，加奇要变性 2. 多个数 1) 任意个偶数相加为偶 2) 奇数个奇数相加为奇；偶数个奇数相加为偶 二、 乘法
遇偶得偶，全奇为奇
【周周测】
练习 1 1)1+2+3…+1993 的和是奇数还是偶数？
2
练习 6 有 106 个孩子，每人胸前有一个号码，号码从 1 到 106 各不相同。试 问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其 余孩子号码数的和？并说明理由 练习 7 学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发 放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除了我的号码，把今天发 的其他号码加起来，再减去我的号码，恰好是 100。”请问：今天发放的运动员 号码加起来，到底是奇数还是偶数？
练习 4 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号， 不能请说明理由
1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27
练习 5 如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：有无可能使得在每一 条直线上的红圈数都是奇数？如果能，请写出一种涂法；如果不能，请说明理由．
2) 1+2+3+…+100+…3+2+1 的和是奇数还是偶数？为什么？
练习 2 一个自然数数分别与另外两个练习 3 有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中 取出 3 个球，如果发现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口 袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋中放一个黄球，已知原来有红球 42 个、黄球 23 个、蓝球 43 个，那么取到不能再取的时候，口袋里还有蓝球，那 么蓝球有多少个？
第23讲 构造论证一—完整版
第23讲构造论证一内容概述各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律。
本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整除性的分析方法。
兴趣篇1．如图23-1，用1×2和1×3两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？1，答案：14块解析：用14块地板砖就可以铺满整个图形，如下图：如果只有13块砖，每块最多就能盖住3个单位小正方形，一共最多盖住13×3=39个小正方形．而图中共有5×8= 40个小正方形，因此用13块砖不能铺满地面。
所以要14块地板砖才能铺满整个图形．2．国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图23-2中一个皇后（图中五角星）就把整个3×3的棋盘控制了．为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？2，答案：2个解析：一个皇后能控制她所在的横线、竖线和斜线，在4×4的棋盘中，横线、竖线和斜线都只有4个方格，因此皇后在每条线上最多控制除自己以外的另外3个方格．皇后一共能控制4条线，所以一共最多能控制4×3+1= 13个方格．但是整个棋盘有16个方格，所以一个皇后不能控制整个棋盘．下图说明，两个皇后满足要求：因此答案是2个，3．图23-3中的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．答案：移动的方法如图所示（答案不唯一）解析：略．4．把100个橘子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6，应该如何装？3，答案：一个篮子里放60个，一个篮子里放16个，其他4个篮子里放6个解析：考察每个篮子里装的橘子数，一共有6个数，它们都含有数字6，即它们的十位和个位数字中，一定有一个是6．由于这6个数的和为100，所以其中不能有两个数大于50，那么最多只有1个数的十位是6．如果所有数的十位都不是6，那么它们的个位数字都是6，6个数的总和的个位数字也是6，从而总和不等于100，这不符合题目条件，因此必有一个数的十位是6.其他5个数的个位数字都是6．这5个数的总和的个位数字是O，而6个数的总和为100，因此十位为6的数的个位也是O，即它等于60.其它5个数的和为100 –60=40，且它们的末位数字都是6，只能是6，6，6，6，16.所以题目所求的装法为一个篮子里放60个橘子，一个篮予里放16个橘子，其它4个篮子里放6个橘子．5．如图23-4，把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的．请问：最少有多少条棱是白色的？4，答案：3条解析：如图，染1，2，3三条棱就可以满足题目要求．由于正方体一共有6个面，而每条棱只在两个面上，也就是说，每条棱最多能使两个面满足要求，医此要使6个面都满足要求，至少需要6÷2=3条棱染成白色．所以题目所求的答案是3．6．请在9，8，…，3，2，1的相邻两个数之间填入“+”或者“—”（不能改变数的顺序），使得结果是1．能否使得结果是0呢？9 8 7 6 5 4 3 2 l=19 8 7 6 5 4 3 2 1=07．如图23-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由。
构造与论证之奇偶分析
构造与论证之奇偶分析(二)
二、奇偶构造 二 奇偶构造 【例1】 (★★★) 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否 经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全有 有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的 向 的杯 在允许每 时 动其中的4个，问 能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？
【例3】 (★★★★) 设标有 有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一 盏灯 排成 每盏灯安装 个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A 开始顺次拉动开关 即从A到G，再从 开始顺次拉动开关，即从 再从A开始顺次拉动开关。他一共拉 开始顺次拉动开关 他一共拉 了999下开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？
【例7】 (★★★★★) 一个盒子里有 盒 有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 棋 其中 色 色的棋 各200枚。下面我们对 我 对 这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色 棋子回去；如果颜色不同 就补1枚白色的棋子回去。这样的操作，实际 棋子回去；如果颜色不同，就补 枚白色的棋子回去 这样的操作 实际 上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子 是___颜色(填 填“黑”或者“白” 黑 或者 白 )。
2
3
1
【例5】 (★★★★) 如 如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在每 把 中的 意涂上红色或蓝色 有 能使 在每 一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
【例6】 (★★★★) 在 板 在黑板上写上 1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操作”：每 列 进 “操作” 每 次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到 黑板上剩下一个数为止 问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？ 黑板上剩下一个数为止。问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
二、奇偶构造 二 奇偶构造 【例1】 (★★★) 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否 经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全有 有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的 向 的杯 在允许每 时 动其中的4个，问 能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？
【例3】 (★★★★) 设标有 有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一 盏灯 排成 每盏灯安装 个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A 开始顺次拉动开关 即从A到G，再从 开始顺次拉动开关，即从 再从A开始顺次拉动开关。他一共拉 开始顺次拉动开关 他一共拉 了999下开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？
【例7】 (★★★★★) 一个盒子里有 盒 有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 棋 其中 色 色的棋 各200枚。下面我们对 我 对 这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色 棋子回去；如果颜色不同 就补1枚白色的棋子回去。这样的操作，实际 棋子回去；如果颜色不同，就补 枚白色的棋子回去 这样的操作 实际 上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子 是___颜色(填 填“黑”或者“白” 黑 或者 白 )。
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【例5】 (★★★★) 如 如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在每 把 中的 意涂上红色或蓝色 有 能使 在每 一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
【例6】 (★★★★) 在 板 在黑板上写上 1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操作”：每 列 进 “操作” 每 次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到 黑板上剩下一个数为止 问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？ 黑板上剩下一个数为止。问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
陕西省铜川市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
陕西省铜川市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分） (2019二下·云南期末) 小敏、小冬和小华三人分别在一，二，三班。
小敏是二班的，下课后小冬去一班找小华玩。
小敏、小冬和小华各是几班的？________班________班________班2. （5分）三个连续自然数的和是72，这三个自然数分别是多少？如果是三个连续偶数，这三个数又分别是多少？3. （5分）一个正方体（如下图），每个面上分别写着1，2，3，4，5，6。
你能根据这个正方体不同的摆法，判断出对应的数字各是什么吗？4. （5分）小明、小勇、小军三个小朋友，小明比小勇轻，小军是最轻的。
请写出他们的名字。
5. （10分）将100颗绿豆和100颗黄豆混在一起又一分为二，需要几次才能使A堆中黄豆和B堆中的绿豆相等呢？6. （5分）平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。
7. （5分）有一个骗子和一个老实人，骗子永远讲假话，老实人永远讲真话，你能提出一个尽量简单的问题，使两个人的回答相同吗？这个问题可以是8. （10分）孙小空和猪坚强一道坐火车从北京去天津玩，玩了两天后，他们又结伴回北京。
非常巧的是，他们往返所坐的火车都是中午十二点整发车的，而途中所用的时间也都是半个小时。
坐在火车上，两个人看着窗外的风景，突然，猪坚强说：“小空，我们在来回的路上，一定在同一个时间看到了相同地方的景色。
”小空摇了摇头：“哪会这么巧？你又在骗我吧？”猪坚强向小空解释了理由，小空一听，原来真是这样。
那么同学们，你们能想明白，为什么这个看起来很不可思议的结论能成立么？9. （5分）光明幼儿园有三个班。
《构造与论证(二)》配套练习题
《构造与论证（二）》配套练习题一、解答题1、如图，在3×3的方格表中已经填入了9个整数．如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作．问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？2、某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书A、B、C，使得甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A？3、平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选取红线或蓝线连接．小红说：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形．她说的对吗？4、4个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．小明说：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．他说的对吗？5、在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子？6、有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言．小刚说：在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈．他说的对吗？7、有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光？(2)3堆中的所有石子都被取走？8、若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克．那么最少需要多少辆载重量为1.5吨的汽车，才能保证把这些箱货物一次全部运走？答案部分10304525一、解答题1、【正确答案】不能【答案解析】2与其他数的奇偶性不同加上同一个数，得到的数的奇偶性也不同，所以不可能变成相同的数。
【答疑编号10304525】103045262、【正确答案】可以【答案解析】首先从读书数最多的学生中找一人甲．由题设，甲至少有一本书未读过，记为C．设B是甲读过的书中一本，由题意知，可找到学生乙，乙读过B、C．。
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模块一最佳安排和选择方案
例题1构造与论证
一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚.下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如
果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去•这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是____________ 颜色(填“黑”
或者“白”).
例题25卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列, 即从第5卷到第1卷•如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次
例题3例题4有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时，第一堆
有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子.问能否做到：、
(1)某2堆石子全部取光？ (2)3 堆中的所有石子都被取走？
n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：
(1)n=4是否可能？
(2)n=5是否可能？
例题5如图35-1，将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10这10个数分别填入图中的10 个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M•求M的最小值并完成你的填图•
例题6
(2009年清华附中入学测试题)如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数•并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立.
11 121
10 2
9 3
在下图中有16个黑点，它们排成了一个 4X 4的方阵.用线段连接其中 4点，就 可以画出各种不同的正方形•现在要去掉某些点，使得其中任意 4点都不能连成
正方形，那么最少要去掉多少个点 ？ 例题 一组互不相同的自然数，其中最小的数是 I ，最大的数是25,除1之外，这组数 中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2倍，或者等于这组数中某两个数之 和•问：这组数之和的最小值是多少 ？当取到最小值时，这组数是怎样构成的 ？ 例题 2004枚棋子，每次可以取 1、3、4、7枚，最后取的获胜。
甲、乙轮流取，如果 甲先取，如何才能保证赢？ 例题 在10 X 19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和. 问 最多能得到多少个不同的和数 ？ 例题 10
在8X 8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子， 使得棋盘上每行、每列及每条
斜线上都有偶数枚棋子 ？ 例题 11
例题 12 三个边长为1的正方形并排放在一起，成为1 X 3的长方形.求证：
1 2 3 = 90〔
模块二 染色与赋值问题
例题 13 某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任
何两本书都至少被一个同学都读过. 问：能否找到两个学生甲、 乙和三本书4、B 、
C,使得甲读过 A 、B,没读过C ,乙读过 B C ,没读过A?说明判断过程.
例题 4个人聚会，每人各带 2件礼品，分赠给其余 3个人中的2人.试证明：至少有 2 “ 对
人，每对人是互赠过礼品的.
14
甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛•各班同学都按I ,2, 3, 4，…依次编号•当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒•在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒•试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24 •并指出
将5X 9的长方形分成10个边长为整数的长方形•证明：无论怎样分法.分得的长方形中必有两个是完全相同的.
在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上.如果在这7个点之字连结18条线段，那么这些线段最多能构成多少个三角形？
在9X 9棋盘的每格中都有一只甲虫，根据信号它们同时沿着对角线各自爬到与原来所在格恰有一个公共顶点的邻格中，这样某些格中有若干只甲虫，而另一些格则空着•问空格数最少是多少？
若干台计算机联网，要求：
①任意两台之间最多用一条电缆连接；
②任意三台之间最多用两条电缆连接；
③两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有
电缆•若按此要求最少要用79条电缆.
问：(1)这些计算机的数量是多少台？
(2)这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆？
在一个6X6的方格棋盘中，将若干个1X 1的小方格染成红色.如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的.那么最少要涂多少个方格？
如图，把正方体的6个表面剖分成9个相等的正方形•现用红、黄、蓝3种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形所染的颜色不同.那么染成红色的正方形的个数最多是多少个？
证明：在6X 6 X 6的正方体盒子中最多可放入52个1 X I X 4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行.
用若干个I X 6和1 X 7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11 X 12的大长方形，最少要用小长方形多少个？
在1997 X 1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮. 按钮每按一次, 与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮.如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯
全部变亮？
（2008年台湾小学数学竞赛选拔赛）将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，然
后把圆周上连续三
个数之和写下来，则可以得到六个数a1、a2、a3、a4、、a6，将这六个数中
最大的记为A .请问在所有填写方式中，A的最小值是什么？
有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆•开始时，第一堆
有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子.问，能否做到：⑴ 某2堆石子全部取光？⑵3堆中的所有石子都被取走？
在1000 X 1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格它们的中心构成一个直角三角形的顶点.求n的最小值.
在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛
采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场. 为公平起见，用以下方
法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，
每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分.问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高？
有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言求证：在这些数学家中至人能用同一种语言交谈。
少有3
1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数•现在要从中选出若干名运动员
参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积•那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人？
在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止•问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
【备选2】桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1〜3根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜•如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
将15X 15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色.证明：至少可以找到
两行，这两行中某一种颜色的格数相同.
在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打
乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009 •然后将
每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确
定是奇数还是偶数？。