工业机器人在特殊位形下的瞬时运动α王 晶 黄 真(燕山大学机器人研究室 秦皇岛 066004)(中国科学院机器人学开放研究实验室 沈阳 110015)摘 要 本文具体分析了工业机器人在特殊位形下的瞬时运动,以STAN FORD 机器人为例,分析其在特殊位形下约束运动的性质及允许移动的方向和转动时轴线存在的子空间.得出反螺旋的螺距为零时,处于特殊位形下的6种组合形式,并给出了每种特殊位形在参考坐标系中的反螺旋及存在的运动螺旋的一般表达式和相应的运动图谱.关键词 工业机器人,反螺旋,特殊位形1 引言自从60年代机器人问世以来,工业机器人广泛采用串联式6自由度的机构.这个机器人手部末端在正常位形下可以独立地沿X ,Y ,Z 3轴方向转动和移动.但当雅可比矩阵的秩减少,机器人处于特殊位形时,它的自由度相应减少.传统观念认为:约束一个运动,自由度减少一个,剩下的即为独立的自由度数.然而我们发现约束了一个运动时,剩下的自由度也受到了一定的影响.特别是当移动运动受到约束时,转动的轴线不能任意迭择.这种情况我们称之为“不完全的自由度”.目前,用螺旋理论分析机构的运动特性已发表了多篇文章.文献[1,2]讨论了反螺旋和机构运动之间的关系,提出了一种简单方法来确定3自由度并联平台受到约束时的可能运动,并分析了几种3DO F 并联平台的运动特性.Sugi m o to [3]等人指出了串联机械手不能有沿着反螺旋方向的运动.文献[4]则分析了PUM A 机器人处于特殊位形时存在的运动.本文进一步用反螺旋理论具体分析带有一个移动副6自由度的STAN FO RD 串联式工业机器人在特殊位形下的瞬时运动.这不仅是个基础理论问题,而且为编程人员在机械手操作空间的轨迹规划方面提供了新的设计途径.工业机器人多采用串联式机构,它们之间的不同在于各关节轴线间相互平行或垂直关系的变化.因此,本文的研究方法对研究其他工业机器人具有普遍意义.2 反螺旋及其约束运动按性质分反螺旋有3种[5],即力,力偶和力螺旋.当螺旋节距h 为零时,力螺旋退化为力,当h 为无穷大时为力偶,力和力偶都是力螺旋的特殊情况.从对偶矢量的表达形式看螺旋又分下列5种.1)反螺旋＄r 为(0;s γ)时,这是个约束力偶.受约束的运动为转动(s γ;r λ×sγ).2)反螺旋＄r 为(sγ;0)时,这是个过原点的约束力.受约束的运动是移动(0;s γ),或任何转动(s γ′;r λ′×s γ′),但需满足r λ′×s γ′sγ′≠0.对应能分解出上述两种运动之一的螺旋运动,也被约束.3)反螺旋＄r 为(s γ′;r λ′×s γ′)时,这是不过原点的约束力.受约束的运动是移动(0;s γ),或任1997年7月机器人 ROBO T Ju ly,1997α0国家自然科学基金资助项目.1996-12-16收稿何转动(s γ′;r λ′×s γ′),但需满足(r λ′-r λ)×s γ′sγ≠0.4)反螺旋＄r 为(sγ;hs γ),这是个过原点节距为h 的力螺旋.受约束的运动为同轴的螺旋运动(s γ;H s γ),H ≠-h ;或与＄r 轴线相错的螺旋运动(s γ′;r λ′×s γ′+hs γ′),s γ(r λ′×s γ′+hs γ)+s γhs γ≠0;或与＄r 轴线相错的转动运动(s γ′;r λ′×s γ′),r λ′×s γ′s γ+s γ′hsγ≠0.图1 STAN FORD 机器人连杆坐标系5)反螺旋＄r 为(s γ;r λ×sγ+hs γ)时,这是个不过原点节距为h 的力螺旋.受约束的运动为同轴的螺旋运动(s γ;r λ×sγ+H s γ),H ≠-h ;或与＄r 轴线相错的螺旋运动(s γ′;r λ′×s γ′+H s γ′),s γ(r λ′×s γ′+H s γ′)+s γ′(r λ×sγ+hs γ)≠0,或与＄r 轴线相错的转动运动(s γ′;r λ′×s γ′),s γ(r λ′×s γ′)+s γ′(rλ×sγ+hs γ)≠0.由此可知,当反螺旋为力偶时,仅约束掉对应的转动;而当反螺旋是力,不仅完全约束了对应的移动,同时保留的转动运动也给了一定的约束;当反螺旋是力螺旋时,不仅限制了同轴的螺旋运动,对空间任意方向相错的转动及螺旋运动,都有一定程度的约束.3 STANFORD 机器人特殊位形下的瞬时运动当雅可比矩阵的秩r <6时,该机器人手部末端就会失去一些运动,此时必然存在至少一个与所有运动螺旋相逆的反螺旋＄r ,即＄r ＄i =0 i ∈n(1)式中符号“.”表示两旋量作互易积,而线性无关的反螺旋的数目为6-r .STAN FO RD 机器人是带有一个移动副6自由度的RR PRRR 型机器人.参考坐标系选在连杆坐标系B 4上是较为方便的[6].根据D 2H 规则,建立各连杆坐标系,如图1所示.由文献[6]可得参考坐标系B 4下的雅可比矩阵[J ]4^=[＄1＄2＄3＄4＄5＄6],化简式为[J ]4^=-s 2000-s 4c 4s 5100c 4s 4s 5c 20010c 5-d 2c 2d 30000d 3s 200000-d 2s 201000(2)这里s i =sin Ηi ,c i =co s Ηi .det [J ]4^=-d 23s 5s 2(3) 设＄r ={a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6}是机器人在特殊位形下参考坐标系B 4^中的反螺旋一般表达式,作与螺旋系的互易积,得-a 1d 2c 2+a 2d 3s 2-a 3d 2s 2-a 4s 2+a 6c 2=0 a 1d 3+a 5=0 a 6=0 a 3=0-a 4s 4+a 5c 4=0 a 4c 4s 5+a 5s 4s 5+a 6c 5=0(4)152第19卷第4期王 晶等: 工业机器人在特殊位形下的瞬时运动螺距h ′=(a 1a 4+a 2a 5+a 3a 6) (a 21+a 22+a 23)(5)令(3)式等于零,可得STAN FO RD 机器人处于特殊位形下的3个条件:(1)s 5=0,即Η5=0°,＄4与＄6共轴;(2)s 2=0,即Η2=0°,＄3和＄4共线与＄1平行;(3)d 3=0,第二到第六连杆坐标系的原点O 22O 6重合,第3个移动副的初始位置为零.3.1 特殊位形下反螺旋为线矢力的成立条件把上述3个条件分别代入(4)和(5)式中,可以求得3种特殊位形下对应不同的反螺旋及其节距,第二和第三种情况下,反螺旋均为节距等于零的约束线矢力,只有第一种在一般情况下是螺距不为零的力螺旋,其各个分量为a 1=d 3s 2s 4Da 2=1a 3=0a 4=-d 23s 2c 4D a 5=-d 23s 3s 4Da 6=0(6)这里D =(-d 3c 4s 2+d 2c 2s 4)反螺旋的螺距h r =(a 1a 4+a 2a 5+a 3a 6)(a 21+a 22+a 23)=d 23d 2s 2c 2s 24D 2+d 23s 22s 24(7)由(7)式可知,若有下列情形之一:1)s 4=0,2)c 2=0,3)s 2=0,4)d 3=0成立时,则反螺旋转化为螺距为零的线矢力.可以发现s 5=0且h r =0时,条件3和4分别与该机器人处于特殊位形的条件 和 相同,且雅可比矩阵的秩都是5.这说明s 2=0或d 3=0时,＄r 只有一个.即使s 5=0同时成立,反螺旋＄r 仍只有一个.对于STAN FO RD 机器人,在特殊位形且h r =0条件下,其组合类型共有C 13+C 23+C 33+4×(C 12+C 22)-1=18种.但具体分析这18种组合型式时,反螺旋仅有6种独立形式.令(7)式的分母为零可得s 5=0且h r =∞时的5个必要条件:1)s 4=s 2=0,2)s 4=d 3=0,3)d 3=c 2=0,4)s 2=s 4=d 3=0,5)c 2=s 4=d 3=0.但当上述5个条件之一成立时,反螺旋螺距的分子也同时为零,属于00型.且分子趋于零的程度都较分母快,即螺距的分子是分母的高阶无穷小量,这也属于螺距h r =0时的情况.所以,STAN FO RD 机器人在h r =∞特殊位形下的条件是不成立的.下面依次分析特殊位形下反螺旋螺距h r =0时的6种瞬时运动.3.2 当s 2=0时的瞬时运动把s 2=0的条件代入(4)式,可得反螺旋在参考坐标系B 4^下的表达式＄r ={0,1,0;0,0,0},此时雅可比矩阵的秩r =5,连杆3伸直上举,机构处于特殊位形,如图2所示.反螺旋＄r 的252 机 器 人1997年7月图2 s 2=0时的瞬时运动轴线A A 是过重合点O 32O 6,在＄1和＄2确定的平面A 上与＄2平行,方向沿参考系B 4^的Y 4轴的方向,它与6个运动线矢同时相交.在这个约束力作用下,沿着Y 4轴方向的移动和在该方向上有分量的部分转动受到了限制.再次利用互易积为零的条件,可得在参考坐标系B 4^下机器人存在的运动螺旋系:＄m 1={0,0,0;0,0,0},＄m 2={0,0,0;1,0,0},＄m 3={0,0,1;0,0,0},＄m 4={0,1,0;0,0,0},S m 5={1,0,0;0,0,0}.这说明机器人手部存在的瞬时运动是:与A A 轴垂直平面内的任何方向移动,以及轴线与A A 相交的任何方向的转动.转轴存在的子空间&1={直线 能与A A 相交}图3 s 5=s 4=0时的瞬时运动3.3 当s 5=s 4=0时的瞬时运动此时,反螺旋＄r ={0,1,0;d 3,0,0},秩r =5,几何特点是＄4和＄6共线,＄2和＄5平行,机构处于特殊位形,如图3所示.线矢力＄r 的轴线O 1O 2与＄2相重合,即沿Y 4轴的方向与各转动副轴线同时相交.约束运动为沿Y 4轴方向移动和在该方向上有分量的部分转动.存在的运动螺旋系为＄m 1={0,0,0;0,0,1},＄m 2={-1 d 3,0,0;0,1,0},＄m 3={0,0,0;1,0,0},＄m 4={0,0,1;0,0,0},＄m 5={0,1,0;0,0,0},.这表明机器人在该位形下允许的运动是与＄r 轴线O 1O 2正交平面内的两个移动和任何与其相交直线为转轴的转动.转轴存在的子空间&2={直线 能与O 1O 2相交}3.4 当s 5=0,c 2=0时的瞬时运动图4 s 5=0,c 2=0时的瞬时运动在该位形下的几何特点是除4,6轴共线外,连杆3及末端手爪共线且水平伸直,如图4所示.秩r =5,＄r ={-tan Η4,1,0;d 3,d 3tan Η4,0},线矢力＄r 的轴线A A 在Z =d 3平面上,其方向为sγ=(-tan Η4,1,0).与＄5平行且同时交各转动副轴线.约束运动为沿sγ方向移动和在该方向上有分量的部分转动.存在的运动螺旋系:＄m 1={-tan Η4,1,0;0,0,0},＄m 2={tan Η4d 3,0,0;1,0,0},＄m 3={-1 d 3,0,0;0,1,0},＄m 4={0,0,1;0,0,0},＄m 5={0,0,0;0,0,1}.因此,机器人在该位形下允许的运动是与＄r 正交的两个移动和任何与其相交的直线为转轴的转动.转轴存在的子空间&3={直线 能与A A 相交}3.5 s 5=s 4=s 2=0时的瞬时运动352第19卷第4期王 晶等: 工业机器人在特殊位形下的瞬时运动图5 s 5=s 4=s 2=0时的瞬时运动此时连杆3与末端手爪共线且伸直上举,即＄3,＄4和＄6轴共线,6条轴线共于A 面,如图5所示.秩r =4,存在两个反螺旋＄r 1={0,1,0;0,0,0},＄r 2={0,0,0;1,0,0}.第一个反螺旋是轴线沿Y 4方向的线矢力,第二个反螺旋是轴线沿X 4方向的力偶矢.它们同时交6个轴线.所以在这两个反螺旋作用下的约束运动是:第一个反螺旋限制轴线沿Y 4方向的移动和在该方向上有分量的部分转动.第二个反螺旋限制轴线沿X 4方向的任何转动.存在运动螺旋系＄m 1={0,0,0;1,0,0},＄m 2={0,0,0;0,0,1},＄m 3={0,0,1;0,0,0},＄m 4={0,1,0;0,0,0}.因此,机器人在该位形下允许的运动为4个:即与＄r 1正交平面A 的两个移动和与＄r 2垂直平面内任何直线作为转轴的转动,但转轴必需与＄r 1相交.转轴存在的子空间&4={直线 垂直＄r 2平面A 内且与＄r 1相交}3.6 当s 5=s 4=d 3=0时的瞬时运动图6 s 5=s 4=d 3=0时的瞬时运动此时轴＄3,＄4和＄6共线.轴＄2和＄5共线,连杆坐标系B 2到B 6的原点O 22O 6重合,连杆3的初始位置为零,如图6所示.秩r =4.两个反螺旋＄r 1={0,1,0;0,0,0},＄r 2={1,0,0;-d 2co t Η2,0,0},第一个反螺旋是轴线沿Y 4方向的线矢力,它限制了Y 4方向的移动.第二个反螺旋是过参考坐标系的原点O 4,螺距h r =-d 2co t Η2,沿X 4方向的力螺旋,这个力螺旋可以分解为沿X 4方向的力线矢和该方向的力偶矢,它的简化式为(sγ;hs γ),约束运动同前述2中第4种情况.存在运动螺旋系:＄m 1={tan Η2 d 2,0,0;1,0,0},＄m 2={0,0,0;0,0,1},＄m 3={0,0,1;0,0,0},＄m 4={0,1,0;0,0,0}.因此,允许的运动是沿Z 4方向的移动,绕Y 4和Z 4轴的转动,和方向为s γ=(tan Η2 d 2,0,0),螺距为tan Η2 d 2和螺旋运动以及它们的合成运动.转轴存在的子空间&5={直线 在X 4Y 4平面内且不平行于X 4}3.7 当s 5=c 2=d 3=0时的瞬时运动图7 s 5=c 2=d 3=0时的瞬时运动此时连杆3和末端手爪水平伸直,＄3,＄4和＄6轴共线,但轴＄2和＄5不平行,连杆坐标系B 2到B 6的原点O 22O 6重合,如图7所示.秩r =4.两个反螺旋＄r 1={0,1,0;0,0,0},＄r 2={1,0,0;0,0,0},它们的轴线都是过参考系的原点O 4,方向分别沿Y 4,X 4方向的线矢力.那么两个反螺旋作用下的约束运动是＄r 1和＄r 2决定平面内X 4Y 4的两个移动.存在运动螺旋系:＄m 1={0,0,0;0,0,1},＄m 2={1,0,0;0,0,0},＄m 3={0,0,1;0,0,0},＄m 4={0,1,0;0,0,0}.所以,允许的运动是沿Z 4方向的移动和转轴在平面X 4Y 4内或过O 2点任何方向的转动.转轴存在的子空间452 机 器 人1997年7月&6={直线 在平面X 4Y 4上U 空间过O 2点}4 结论(1)得出了反螺旋的螺距h r =0时,STAN FO RD 机器人处于特殊位形下独立的6种组合类型,并给出每种情况下反螺旋＄r 及存在的运动螺旋系＄m i 在参考坐标系中的一般表达式.(2)得出了反螺旋的螺距h r =∞时,STAN FO RD 机器人处于特殊位形下条件均不成立.(3)给出了STAN FO RD 机器人在上述6种特殊位形下相对于基坐标系的位姿图,以及允许运动为转动时轴线存在的子空间.参 考 文 献1 H uang Z ,Fang Y F .K inem atic Characteristics A nalysis of 3DO F In 2Parallel A ctuated Pyram id M echanis m s .M echM ach T heo ry ,1996,31(8):1009～10182 H uang Z ,T ao W S ,Fang Y F .Study on the K inem atic Characteristics of 3DO F In 2Parallel A ctuated Pyram id M echa 2nis m s .M ech M ach T heo ry ,1996,31(8):999～10073 Sugi m o to J D uffy ,H unt K H .Special Configurati ons of SpatialM echanis m and Robo t A rm s .M ech M ach T heo ry ,1982,17(2):119～1324 黄 真,祖文波.PUM A 机器人处于特殊位形时运动性质的研究.《机械传动》增刊,第九届机械传动学术年会,杭州,19965 黄 真.空间机构学.机械工业出版社,19916 Soylu R ,D uffy J .H ypersurfaces of Special Configurati ons of SerialM ani pulato rs and R elated Concep ts .Part I :T heo ryand D evelopm ent of the H ypersurfaces of Special Configurati ons .J of Robo tic System s ,1988,5(1):13～30INSTANTANEOUS MOTI ON OF STANFORD IND USTR I AL ROB OTAT SPEC I AL CONF IGURATI ONSW AN G J ing HU AN G Zhen(R obot R esearch Of f ice ,Y anshan U niversity ,Q inhuang d ao 066004) Abstract In th is paper ,the in stan taneou s mo ti on s of a indu strial robo t at special configu rati on s are ana 2lyzed ,and the characteristics of the con strained mo ti on s ,the directi on of the perm itted mo ti on and the sub 2spaces of the ex isted ro tati onal axes of the robo t STAN FORD at special configu rati on s are discu ssed in detail.Fu rthermo re ,6independen t types at special configu rati on s are ob tained w hen the p itch of the reci p rocal screw is zero .F inally ,the general exp ressi on s of the reci p rocal and ex isted mo ti on screw s in the reference co 2o rdinate system are given under all circum stances at special configu rati on s and the atlas of the spatial mo ti on is illu strated . Key words Indu strial robo t ,reci p rocal screw ,special configu rati on作者简介 王 晶:女,24岁,硕士.研究领域:机器人机构学. 黄 真:男,60岁,教授,博士导师.研究领域:机器人机构学.552第19卷第4期王 晶等: 工业机器人在特殊位形下的瞬时运动。
