高中数学离散型随机变量的方差综合测试题(含答案)

离散型随机变量的均值与方差一、均值1则称E(X)＝ x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量， 且E(aX ＋b)＝aE(X)＋b.3． (1)若X 服从两点分布，则E(X)＝p ； (2)若X ～B(n ，p)，则E(X)＝np . 二、方差1．设离散型随机变量X 的分布列为则 (xi －E(X))2描述了x i (i ＝1,2，……，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝()()21ni i i x E X p =-∑为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的 平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．D(a X ＋b)＝a D(X)3．若X 服从两点分布，则D(X)＝ p(1－p)． 4．若X ～B(n ，p)，则D(X)＝np(1－p) ． 例1：已知X 的分布列X －1 0 1P 12 13 16则在下列式子中(1)E (X )＝－13；(2)D (X )＝2327；(3)P (X ＝0)＝13，正确的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，知(1)正确．由D (X )＝2113⎛⎫-+ ⎪⎝⎭×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59知(2)不正确．由分布列知(3)正确．子记为X,则X 的数学期望为 （ ） A.100 B.200 C.300 D.400 答案： B例3：设X ～B (n ，p )，若E (X )＝12，D (X )＝4，则n ，p 的值分别为 ( )A ．18和23B ．16和12C ．20和13D ．15和14解：由⎩⎪⎨⎪⎧np ＝12，np (1－p )＝4得n ＝18，p ＝23.解：X ＝0时，C 27C 210＝2145，X ＝1时，P ＝C 17C 13C 210＝2145，X ＝2时，P ＝C 23C 210＝345.∴EX ＝0×2145＋1×2145＋2×345＝35.则E(X)=_____.X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p nX x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．方差越大表明平均偏离程度越大，说明随机变量取值越分散．反之，方差越小，随机变量的取值越集中．3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．若Y ＝2X ＋1，则 Y 的数学期望E (A ．－1 B.2 C ．1 D.29两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：甲系列：乙系列：(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率； (2)若该运动员选择乙系列，求其成绩X 的分布列及其数学期望E(X)．解：(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140＞118，可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110＜118，不可能获得第一名．2．若随机变量服从二项分布，即X ～B(n ，p)可直接使用公式E(X)＝np 求解，可不写出分布列． 3．注意运用均值的线性运算性质即Y ＝ax ＋b 则E(Y)＝aE(X)＋b.例9：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：其中X 和Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料． 解：E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9；D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8.由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)＜D(Y)，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料．例10：已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是 ( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 解：由已知随机变量ξ＋η＝8，所以有η＝8－ξ.因此，求得E(η)＝8－E(ξ)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.例11：袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散，反之D(X)越小，X 的取值越集中． 2．若X ～B(n ，p)，则D(X)＝np(1－p)可直接用不必求E(X)与分布列.例12：某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A 片区房源的概率；。

课时提升作业十三离散型随机变量的方差一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知随机变量X的分布列是则E(X)和D(X)分别等于( )A.1和0B.1和1.8C.2和2D.2和0.8【解析】选D.E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2,D(X)=(2-1)2×0.4+(2-2)2×0.2+(2-3)2×0.4=0.8.2.(2018·北京高二检测)已知随机变量X的方差D(X)=m,设Y=3X+2,则D(Y)=( ) A.9m B.3mC.mD.3m+2【解析】选A.因为D(X)=m,所以D(Y)=D(3X+2)=32D(X)=9D(X)=9m.3.(2018·威海高二检测)已知随机变量X的分布列为则下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由分布列可知,E(X)=(-1)×+0×+1×=-,故①正确;D(X)=×+×+×=,故②不正确,③显然正确.4.已知随机变量X的分布列如表,则随机变量X的方差D(X)的最大值为( )X 0 1 2P y 0.4 xA.0.72B.0.6C.0.24D.0.48【解题指南】根据三个变量对应的概率之和是1,写出y与x之间的关系,写出变量的期望和变量平方的期望,写出方差的表示式,表示式是一个关于x的二次函数,根据二次函数求最值可得答案.【解析】选B.由题意知y=0.6-x,因为E(X)=0.4+2x,所以E(X2)=0.4+4x,D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.4+4x-(0.4+2x)2=-4x2+2.4x+0.24,当x=0.3时,D(X)max=0.6.5.有甲、乙两名射手,他们的射击技术用下表表示:甲击中环数8 9 10概率0.2 0.6 0.2乙击中环数8 9 10概率0.4 0.2 0.4试问哪一名射手技术较好? ( )A.甲B.乙C.一样好D.无法比较【解析】选A.由题意经计算可知E(X甲)=E(X乙),而D(X甲)<D(X乙),所以甲的射击技术较好.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知离散型随机变量X的分布列如下表,若E(X)=0,D(X)=1,则a=_________,b=_________.X -1 0 1 2P a b c 1 12【解析】由题意知解得答案:【延伸探究】在本题中,把条件“E(X)=0,D(X)=1”改为“a,b,c成等差数列,若E(ξ)=0”,则D(ξ)=__________.【解析】由题意知解得所以D(X)=(-1-0)2×+(0-0)2×+(1-0)2×+(2-0)2×=.答案:【补偿训练】已知X的分布列为:X -1 0 1P 121316若η=2X+2,则D(η)的值为__________.【解析】E(X)=-1×+0×+1×=-,D(X)=,D(η)=D(2X+2)=4D(X)=.答案:7.有甲、乙两种品牌的手表,它们的日误差分别为X,Y(单位:s),其分布列如下:则两种品牌中质量好的是__________.【解析】E(X)=E(Y)=0,D(X)=0.2,D(Y)=1.2,因为D(X)<D(Y),所以甲质量好.答案:甲【补偿训练】(2018·安康高二检测)一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个答案选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分,某学生选对任一题的概率均为0.6,则此学生在这一次测验中成绩的均值与方差分别为__________. 【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X,所得的分数(成绩)为Y,则Y=4X.由题意知X～B(25,0.6),所以E(X)=25×0.6=15,D(X)=25×0.6×0.4=6,E(Y)=E(4X)=4E(X)=60,D(Y)=D(4X)=42×D(X)=16×6=96,所以该学生在这次测验中成绩的均值与方差分别是60与96.答案:60,968.抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次,正面向上的次数ξ服从二项分布B,若P(ξ=1)=,则方差D(ξ)=__________.【解析】因为3≤n≤8,ξ服从二项分布B,且P(ξ=1)=,所以·=,即n=,解得n=6,所以方差D(ξ)=np(1-p)=6××=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.抛掷一枚质地均匀的骰子,用X表示掷出偶数点的次数.(1)若抛掷一次,求E(X)和D(X).(2)若抛掷10次,求E(X)和D(X).【解析】(1)X服从二点分布X 0 1P 1212所以E(X)=p=,D(X)=p(1-p)=×=.(2)依题意可知,X～B,所以E(X)=np=10×=5,D(X)=np(1-p)=10××=.10.海关大楼顶端镶有A,B两面大钟,它们的日走时误差分别为X1,X2(单位:s),其分布列为:X1=k -2 -1 0 1 2P(X1=k) 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05X2=k -2 -1 0 1 2P(X2=k) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.【解析】因为E(X1)=0,E(X2)=0,所以E(X1)=E(X2).又因为D(X1)=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5,D(X2)=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2,所以D(X1)<D(X2).所以大钟A的质量较好.。

离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案）一、选择题1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =，0.1p =【答案】B【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得6n =，0.4p =．考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13B ．23C ．15D ．25【答案】A考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易3．若随机变量),(~p n B ξ，91035==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52D.53 【答案】A【解析】由题意可知，()5,3101,9E np D np p ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩解得5,1,3n p =⎧⎪⎨=⎪⎩故选A.考点：n 次独立重复试验.【题型】选择题 【难度】较易4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ）ξ0 1Pm nA ．()()3,E m D n ξξ== B ．()()2,E m D n ξξ== C ．()()21,E m D m m ξξ=-=- D ．()()21,E m D m ξξ=-=【答案】C考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( )A.71 B.61 C.51D.41 【答案】A【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴149,7n p ==，故选A.考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ）A ．252和254 B ．52和54 C ．252和1254 D ．254和1254【答案】C【解析】因为随机变量ξ～(5,0.5)B ，所以5.25.05=⨯=ξE ，25.15.05.05=⨯⨯=ξD ，所以E η=252，D η=1254. 考点：二项分布，数学期望，方差. 【题型】选择题 【难度】较易7．设随机变量ξ的分布列为下表所示，且 1.6E ξ=，则a b -= （ ）A ．－0.2B ．0.1C ．0.2D ．－0.4 【答案】A【解析】由题中分布列可得0.8a b +=，20.3 1.6a b ++=，则0.3,0.5a b ==，0.2a b -=-，故选A.考点：随机变量的期望. 【题型】选择题 【难度】较易8．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X 表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ） A ．4B ．4.5C ．4.75D ．5【答案】B考点：随机变量的期望.【题型】选择题【难度】较易9．随机变量X的分布列如表所示，2EX=，则实数a的值为( )Xa234P 13b1614A.0B.13C.1D.32【答案】A【解析】11111,3644b b+++=∴=Q,又11112342,03464a a⨯+⨯+⨯+⨯=∴=Q.考点:随机变量的期望. 【题型】选择题【难度】较易10．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布1(5,)4B，则()Eξ-的值为（）A．14B．14-C．54D．5 4 -【答案】D【解析】因为1(5,)4Bξ:，所以15()5.44E Eξξ-=-=-⨯=-故选D.考点：二项分布的含义和性质. 【题型】选择题【难度】较易11．已知102a <<，随机变量ξ的分布列如下表，则当a 增大时 （ ） ξ1-0 1Pa12a - 12A.()E ξ增大，()D ξ增大B.()E ξ减小，()D ξ增大C.()E ξ增大，()D ξ减小D.()E ξ减小，()D ξ减小 【答案】B考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般12．甲命题：若随机变量2~(3,)N ξσ，若(2)0.3P ξ≤=，则(4)0.7P ξ≤=.乙命题：随机变量~(,)B n p η，且300E η=，200D η=，则13p =，则正确的是（ ） A ．甲正确，乙错误 B ．甲错误，乙正确 C ．甲错误，乙也错误 D ．甲正确，乙也正确 【答案】D考点：正态分布，期望，方差，命题的真假判定． 【题型】选择题 【难度】一般13．据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案：方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30 000元．方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．以下说法正确的是（ ）A ．方案一的平均损失比方案二的平均损失大B ．方案二的平均损失比方案一的平均损失大C ．方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大D ．方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算 【答案】A 【解析】用1X 表示方案i （1,2i =）的损失，则1()300000.054000150040005500E X =⨯+=+=，2()300000.05150000.2150030004500E X =⨯+⨯=+=．综上可知，采用方案一的平均损失大．考点：期望的实际应用． 【题型】选择题【难度】一般14．若X 是离散型随机变量，1221(),()33P X x P X x ====且12x x <，又42(),()39E X D X ==，则12x x +的值为（ ）A ．3B ．53C ．73D ．113【答案】A考点：离散型随机变量期望与方差．【题型】选择题 【难度】一般15．设随机变量()2,X B p :，随机变量()3,Y B p :，若()519P X ≥=，则()31D Y +=（ ）A ．2B ．3C ．6D ．7 【答案】C【解析】∵随机变量()2,X B p :，∴()()()20251101C 19P X P X p ≥=-==--=，解得13p =， ∴()1223333D Y =⨯⨯=，∴()231963D Y +=⨯=，故选C ． 考点：二项分布，方差． 【题型】选择题 【难度】一般16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243【答案】B【解析】依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95313222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有()952==ξP ，()812095944=⋅==ξP ，()81169462=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ，故()812668116681204952=⨯+⨯+⨯=ξE ，故选B.考点：离散型随机变量的数学期望. 【题型】选择题 【难度】一般17．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若()0,()1E X D X ==，则,a b 的值分别是（ ）X 1-0 1 2Pabc112A.51,248B.51,62C.31,53D.51,124【答案】D考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般 二、填空题18．已知随机变量η=23+ξ，且()2D ξ=，则()D η=________. 【答案】18【解析】η=23+ξ，则()()99218D D ηξ==⨯=. 考点：方差的性质. 【题型】填空题 【难度】较易19．已知随机变量X 的分布列如下表所示，则(68)E X += .X 1 2 3 P 0.2 0.40.4【答案】21.2 【解析】由分布列得()2.24.034.022.01=⨯+⨯+⨯=X E ，则()()2.218686=+=+X E X E .考点：离散型随机变量与分布列. 【题型】填空题 【难度】较易20．已知随机变量()~5,0.2X B ，21Y X =-，则()E Y =，标准差()Y σ= ．【答案】1；455考点：二项分布，期望与标准差． 【题型】填空题 【难度】一般21．设p 为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则()D ξ的最大值为_________.ξ0 1 2p12p - p12【答案】1【解析】由随机变量ξ的分布列的性质，得101,201,p p ⎧≤-≤⎪⎨⎪≤≤⎩解得0≤p ≤12.()1E p ξ=+，则()D ξ=()()()22222111501112112224p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--⨯+--⨯=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当0p =时，()D ξ取最大值，()max D ξ=15144-+=.考点：离散型随机变量及其分布列.【题型】填空题【难度】一般三、解答题22．某大学依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A科合格的概率均为23，每次考B科合格的概率均为12.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（1）求甲恰好3次考试通过的概率；（2）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.【答案】（1）518（2）分布列见解析，期望()83Eξ=考点：独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题【难度】一般23．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.【答案】（1）茎叶图见解析，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散（2）分布列见解析，115 EX考点：茎叶图，独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题 【难度】一般24．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.分数 [5059)，[6069)，[7079)，[8089)，[90100)，甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数13565（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计附：()()()()()()2n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -==+++++++.临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010k 2.706 3.841 5.024 6.635（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” （2）分布列见解析，4 5考点：独立性检验，离散型随机变量的期望与方差.【题型】解答题【难度】一般25．某校高三年级有400人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（如图）.（1）求第四个小矩形的高；（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？（3）样本中，已知成绩在[140,150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140,150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X名女生被选取，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)0.028(2)280(3)分布列见解析，3 2考点：频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和期望.【题型】解答题【难度】一般26．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：050:为优；51100:为良；100151:为轻度污染；151200:为中度污染；201300:为重度污染；大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如下.（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI 100≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.【答案】（1）18 （2）分布列见解析，1.8考点：古典概型，二项分布. 【题型】解答题 【难度】一般27．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（2）以上样本述数据来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关（2）分布列见解析，65考点：独立性检验，离散型随机变量的分布列.【题型】解答题【难度】一般28．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表，规定：的原始成绩均分布在[]C B A 、、三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示. （1）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A C 、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.百分制 85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D【答案】(1)50,0.004n x ==，0.018y = (2)9991000 （3）分布列见解析，94E ξ=所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P12202722027552155()127272190123.22022055554Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=考点：频率分布直方图及对立事件的概率公式，数学期望计算公式等有关知识的综合运用．【题型】解答题【难度】一般。

高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)1.事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个6点”，求条件概率P(A|B)和P(B|A)。

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,1)，若P(ξ<3)=0.977，则求P(-1<ξ<3)。

3.随机变量X的取值为1和2，若P(X=0)=0，E(X)=1，则求D(X)。

4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)=0.1587，则求P(2<X<4)。

5.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是多少？6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是多少？7.下面说法中正确的是：A.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；B.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；C.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平；D.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值。

8.每次试验的成功率为p，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率是多少？9.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则P(X=k)的分布列为多少。

10.现在有10张奖券，其中7张未中奖，3张中奖，某人从中随机无放回地抽取1张奖券，则此人得奖金额的数学期望为多少？11.已知X～B(n,p)，E(X)=2，D(X)=1.6，则n和p的值分别为多少？12.袋中有大小相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，则它们的和的数学期望为多少？1.一个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A。

5B。

9C。

10D。

25.答案：C。

10.2.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是（）A。

高中数学离散型随机变量的均值与方差综合测试题（附答案）散型随机变量的均值与方差习题课一、选择题1．已知随机变量X的分布列是X 1 2 3P 0.4 0.2 0.4则E(X)和D(X)分别等于()A．1和0 B．1和1.8C．2和2 D．2和0.8[答案] D[解析] E(X)＝10.4＋20.2＋30.4＝2D(X)＝(2－1)20.4＋(2－2)20.2＋(2－3)20.4＝0.8. 2．已知随机变量X的分布列为X 0 1 2P 715715115且＝2X＋3，且E()等于()A.35B.65C.215D.125[答案] C[解析] ∵E(X)＝0175＋1715＋2115＝35，E()＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝215.3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()A．0.4 B．1.2C．0.43 D．0.6[答案] B[解析] ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，E(X)＝30.4＝1.2＝65.4．已知X的分布列为X 1 2 3 4P 14131614则D(X)的值为()A.2912B.121144C.179144D.1712[答案] C[解析] ∵E(X)＝114＋213＋316＋414＝2912，E(X2)＝1214＋2213＋3216＋4214＝8512，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝179144.5．已知X的分布列为X －1 0 1P 121316若＝2X＋2，则D()的值为()A．－13 B.59C.109D.209[答案] D[解析] E(X)＝－112＋013＋116＝－13，D(X)＝－1＋13212＋0＋13213＋1＋13216＝59，D()＝D(2X＋2)＝4D(X)＝459＝209.6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为() A.65 B.1825C.625D.18125[答案] B[解析] 由X～B3，25，D(X)＝32535＝1825.7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1[答案] B[解析] 由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知3np＋2＝9.29np(1－p)＝12.96n＝6p＝0.48．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数 7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成绩环数 7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成绩环数 7 8 9 10频数 4 6 6 4s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()A．s3s2 B．s2s3C．s1s3 D．s2s1[答案] B[解析] 计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.s1＝120[5(7－8.5)2＋5(8－8.5)2＋5(9－8.5)2＋5(10－8.5)2]＝2520.同理，s2＝2920，s3＝2120，s2s3，故选B.二、填空题9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．[答案] 0.196[解析] 由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝npq ＝100.02(1－0.02)＝0.196.10．(2019福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________.[答案] nm[解析] 设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝1m，P(X＝k)＝Pn(k)＝Ckn(1m)k(1－1m)n－k(k＝0,1,2,3，…，n)，X～B(n，1m)．则E(X)＝n1m＝nm.11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．[答案] 48[解析] 设小王选对个数为X，得分为＝5X，则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝120.8＝9.6，E()＝E(5X)＝5E(X)＝59.6＝48.12．若X的分布列如下表：X 1 2 3 4P 14141414则D14X＝________.[答案] 564[解析] E(X)＝14(1＋2＋3＋4)＝52，D(X)＝1－522＋2－522＋3－522＋4－52214＝54，D14X＝116D(X)＝564.三、解答题13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)．[解析] 由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X＝0)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.10.20.15＝0.003，P(X＝1)＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.056，同上可得P(X＝2)＝0.329，P(X＝3)＝0.612，所以E(X)＝00.003＋10.056＋20.329＋30.612＝2.55台．14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及均值．[解析] 考查离散型随机变量的概率分布和数学期望．解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，P(Ck)＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6121316＝16.(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知～B3，13，且＝3－.所以P(＝0)＝P(＝3)＝C33133＝127，P(＝1)＝P(＝2)＝C2313223＝29，P(＝2)＝P(＝1)＝C1313232＝49，P(＝3)＝P(＝0)＝C03233＝827.故的分布列为0 1 2 3P 1272949827的均值E()＝0127＋129＋249＋3827＝2.解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23.3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故～B3，23.即：P(＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.0 1 2 3P 1272949827的均值E()＝323＝2.15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，表示所取球的标号．(1)求的分布列、均值和方差；(2)若＝a＋b，E()＝1，D()＝11，试求a，b的值．[解析] (1)的分布列为：0 1 2 3 4P 1212011032015E()＝012＋1120＋2110＋3320＋415＝1.5.D()＝(0－1.5)212＋(1－1.5)2120＋(2－1.5)2110＋(3－1.5)2320＋(4－1.5)215＝2.75.(2)由D()＝a2D()，得a22.75＝11，即a＝2.又E()＝aE()＋b，所以当a＝2时，由1＝21.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－21.5＋b，得b＝4，a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．16．(2019湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)．[分析] (1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B(3,0,1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)．[解析] (1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C030.93＝0.729，P(X＝1)＝C130.10.92＝0.243，P(X＝2)＝C230.120.9＝0.027，P(X＝3)＝C330.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 0.729 0.243 0.027 0.001X的数学期望为E(X)＝30.1＝0.3.[点评] 本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)．第 11 页。

7.3.2离散型随机变量的方差 ---B 提高练一、选择题1．（2021·陕西渭南市高二月考）已知离散型随机变量12,z z 的分布列为1z 1352z 1245P141214P14141414则下列说法一定正确的是（ ）A ．()()12E E z z >B ．()()12E E z z <C ．()()12D D z z >D ．()()12D D z z <【答案】D 【详解】()()1216512453,344E E z z +++++====，故()()12E E z z =，()()2222222121325124592,9 2.544D E z z +´++++=-==-=，()()12D D z z <，故选：D.2．（2021·浙江省宁海中学高二月考）随机变量X 的分布列为X1mP15n310若() 1.1E X =，则()D X =（ ）A ．0.49B ．0.69C ．1D ．2【答案】A【详解】由分布列性质知：131510n ++=，解得：12n =；()11301 1.15210E X m \=´+´+´=，2m \=；()()()()2221130 1.11 1.12 1.10.495210D X \=-´+-´+-´=.故选：A.3．（2021·全国高二课时练）一道试题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为45.设解出该题的人数为X ，则D (X )等于（ ）A ．2215B ．86225C ．225484D ．22585【答案】B【详解】依题意X 的可能取值为0，1，2，甲乙均未答对时，P (X ＝0)＝1113515´=，甲乙二人一人答对一人答错时，P (X ＝1)＝2114623535155´+´==，甲乙均答对时，P (X ＝2)＝2483515´=.所以X 的分布列为X 012P11525815所以E (X )＝0×115＋1×25＋2×815＝2215，D (X )＝2221222228228601215155151515225æöæöæö´-+´-+´-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.故选：B.4．（2021·全国高二专题练）设110,022a b <<<<，随机变量的分布x1-01P12a b则当a 在10,2æöç÷èø内增大时，（ ）A ．()E x 增大，()D x 增大B ．()E x 增大，()D x 减小C ．()aE x 减小，()D x 增大D ．()E x 减小，()D x 减小【答案】D【详解】由因为分布列中概率之和为1，可得12a b +=，∴()111222E b a a x æö=-+=-+-=-ç÷èø，∴当a 增大时，()E x 减小，又由()()()()2222115101224D a a a a b a x æö=-+´++´++´=-++ç÷èø可知当a 在10,2æöç÷èø内增大时，()D x 减小.5．（多选题）（2021·全国高二单元测试）已知ξ～B (n ，p )，且E (3ξ＋2)＝9.2，D (3ξ＋2)＝12.96，则下列说法正确的有（ ）A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．P (ξ≥1)＝0.46D ．P (ξ＝0)＝0.66【答案】BD【详解】由(32)3()2,(32)9()E E D D x z x x +=++=，由ξ～B (n ，p )时，E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )可知329.29(1)12.96np np p +=ìí-=î，所以60.4n p =ìí=î，故B 正确．又0666(0)0.60.6P C x ===，6(1)1(0)10.6P P x x ³=-==-，故D 正确．故选：BD.6．（多选题）（2021·扬州大学附属中学高二月考）随机变量x 的分布列为：其中0ab ¹，下列说法正确的是（）x12Pa2b2b A ．1a b +=B ．()32b E x =C ．()D x 随b 的增大而减小D ．()D x 有最大值【答案】ABD【详解】由题意可知122b b a ++=，即1a b +=，所以A 正确；3()012222b b b E a x =´+´+´=，所以B 正确；222233395()(0)(1)(22222242b b b b b D a b b x =-+-+-=-+，(0,1)b Î，所以在5(0,)9上函数是增函数，在5(9，1)上函数是减函数，所以()D x 先增大后减小、有最大值，当59b =时取得最大值，所以C 错误；D 正确；故选：ABD ．二、填空题7．（2021·浙江高二期末）某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．年薪（万元）13595807060524031人数112134112该公司雇员年薪的标准差约为_____万元.【答案】25.5【详解】年薪的平均数为1(1359580270603524403112)50.425´++´++´+´++´=万元，所以该公司雇员年薪的方差约为222222221[(13550.4)(9550.4)2(8050.4)(7050.4)3(6050.4)4(5250.4)(4050.4)12(3150.4)]650.2525´-+-+´-+-+´-+´-+-+´-=，25.5»（万元）．8．（2021·公主岭市第一中学校高二期末）已知随机变量X 的概率分布为()()2,1,2,3aP X n a R n n n==Î=+，则()D X =______.【答案】3881【详解】因为()()()1231P X P X P X =+=+==，所以1111122334a æö++=ç÷´´´èø，解得43a =，所以()213P X ==，()229P X ==，()139P X ==，所以()221131233999E X =´+´+´=，()2221321321313812393999981D X æöæöæö=-´+-´+-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.9．（2021·江苏省江阴市一中高二月考）已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示．若()()0,1E X D X ==，则a b -的值为__________．X-112Pabc112【答案】16【详解】由题知1112a b c ++=，106a c -++=，由题得2221(10)(10)(20)112a c --´+-´+-´=，512a \=，14b =．则5111246a b -=-=．10. （2021·浙江杭州市·高二课时练习）已知随机变量x 的分布列如下表：x1-01p1p 2p 3p 其中13116p p +=，则()D x 的最大值是________.【答案】2536【详解】()12331101E p p p p p x =-´+´+´=-()()()()()()()222123101D E p E p E p x x x x =--´+-´+-´()()()()()()()()()()2221231212E E p E p E E p x x x x x =++´+´+-+´()()()()()212131332p p p p E E p p p x x ´++=+++-()()()1332113312p p p p p p p p ´+=++---()()()213311313253p p p p p p p p ==+--+-+又()11131313331111211266316p p p p p p p p p p ææöæö+=+++³+=çç÷ç÷çèè+øèø+=当且仅当3311p p p p =，即3113p p ==时取等号,所以31213p p £+£所以()()()22131313525256563336p p p p p p éù+-+=-+-+£êúëû所以()2536D x £，故()D x 的最大值是2536.三、解答题11．（2021·全国高二课时练）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14、16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12、23；两人滑雪时间都不会超过3小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量x （单位：元），求x 的分布列与数学期望()E x ，方差()D x .【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0、40、80元，两人都付0元的概率为11114624P =´=，两人都付40元的概率为2121233P =´=，两人都付80元的概率为31112111426324P æöæö=--´--=ç÷ç÷èøèø.则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++=；（2）设甲、乙所付费用之和为x ，x 可能取值为0、40、80、120、160，则()11104624P x ==´=，()121114043264P x ==´+´=，()11121158046234612P x ==´+´+´=，()1112112026434P x ==´+´=，()1111604624P x ==´=.所以，随机变量x 的分布列为x4080120160P1241451214124()11511040801201608024412424E x \=´+´+´+´+´=.()()()()()()222221151108040808080120801608024412424D x =-´+-´+-´+-´+-´40003=.12．（2021·江西九江一中高二期末）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n Î）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14151617181920频数10201616151320以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【详解】（1）当日需求量16n ³时，利润80y =.当日需求量16n <时，利润1080y n =-.所以y 关于n 的函数解析式为()1080,16N 80,16n n y n n -<ì=Îí³î. （2）①X 可能的取值为60，70，80，并且()600.1P X ==，()700.2P X ==，()800.7P X ==.X 的分布列为X607080P0.10.20.7X 的数学期望为()600.1700.2800.776E X =´+´+´=.X 的方差为()()()222()60760.170760.280760.744D X =-´+-´+-´=. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润（单位：元），那么Y 的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y 的数学期望为()550.1650.2750.16850.5476.4E Y =´+´+´+´=.Y 的方差为()()()()2222()5576.40.16576.40.27576.40.168576.40.54112.04D Y =-´+-´+-´+-´=由以上的计算结果可以看出，()()D X D Y <，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外，虽然()()E X E Y <，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花. 答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利涧（单位：元），那么Y 的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y 的数学期望为()550.1650.2750.16850.5476.4E Y =´+´+´+´=.由以上的计算结果可以看出，()()E X E Y <，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.。

离散型随机变量综合测试题（附答案）选修2-3 2.1.1 离散型随机变量一、选择题 1．①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X；④某立交桥一天经过的车辆数X.其中不是离散型随机变量的是( ) A．①中的X B．②中的X C．③中的X D．④中的X [答案]　C [解析]　①，②，④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量． 2．一个袋子中有质量相等的红，黄，绿，白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是( ) A．小球滚出的最大距离 B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和 D．倒出的三个小球的颜色的种数[答案]　D [解析]　A小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C三个小球的质量之和是一个定值，可以预见，但结果只有一种，不是随机变量，就更不是离散型随机变量；D颜色的种数是一个离散型随机变量． 3．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是( ) A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 [答案]　D [解析]　只有D中的点数差为6－1＝5>4，其余均不是，应选D. 4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则ξ的值可以是( ) A．2 B．2或1 C．1或0 D．2或1或0 [答案]　C[解析]　这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故ξ可能取值有两种0,1，故选C. 5．下列变量中，不是离散型随机变量的是( ) A．从2010张已编号的卡片(从1号到2010号)中任取一张，被取出的号数ξ B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数η C．某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ1 D．从2010张已编号的卡片(从1号到2010号)中任取2张，被取出的卡片的号数之和η1 [答案]　C [解析]　离散型随机变量的取值能够一一列出，故A，B，D都是离散型随机变量，而C不是离散型随机变量，所以答案选C. 6.给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　D [解析]　由随机变量的概念知四个命题都正确，故选D. 7．随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y是某城市1天之内的温度．随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( ) A．只有X和ξB．只有Y C．只有Y和ξ D．只有ξ [答案]　B [解析]　某城市1天之内的温度不能一一列举，故不是离散型随机变量，故选B. 8．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，阻值在950Ω～1200Ω之间；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X. 其中是离散型随机变量的是( ) A．①②B．①③ C．①④ D．①②④ [答案]　A [解析]　①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量． 9．抛掷一枚均匀骰子一次，随机变量为( ) A．掷骰子的次数 B．骰子出现的点数 C．出现1点或2点的次数 D．以上都不正确 [答案]　B 10．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( ) A．第5次击中目标 B．第5次末击中目标 C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标 [答案]　C [解析]　击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C. 二、填空题11．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1、2、3、4、5、6、7、8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有______种． [答案]　21 [解析]　从8个球中选出3个球，其中一个的号码为8，另两个球是从1、2、3、4、5、6、7中任取两个球．∴共有C27＝21种． 12．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________． [答案]　{0,1,2,3,4,5} 13．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出3个球，以ξ表示取出的最大号码，则ξ＝6表示的试验结果是___________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _____________. [解析]　从6个球中选出3个球，其中有一个是6号球，其余的2个球是1,2,3,4,5号球中的任意2个． [点评]　“ξ＝6”表示取出的3个球的最大号码是6，也就是说，从6个球中随机选出3个球，有一个球是6号球，其余的2个球是1,2,3,4,5号球中的任意2个． 14．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种． [答案]　24 [解析]　后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A34＝24(种)．三、解答题 15．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ. (1)写出ξ的所有可能取值；(2)写出ξ＝1所表示的事件． [解析]　(1)ξ可能取的值为0,1,2,3. (2)ξ＝1表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品． 16．写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量的所取值表示的随机试验的结果： (1)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和； (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数Y. [解析]　(1)设所取卡片的数字之和为ξ，则ξ的可能取值为3,4，…，11，其中ξ＝3，表示取出标有1,2的两张卡片，…，ξ＝11，表示取出标有5,6的两张卡片． (2)Y 可取0,1,2，…，n，…，Y＝i，表示被呼叫i次，其中i＝0,1,2，…. 17．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次是45，34，23，且每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果． [解析]　X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000. X＝0，表示第一关就没有通过； X＝1 000，表示第一关通过，而第二关没有通过； X＝3 000，表示第一、二关通过，而第三关没有通过； X＝6 000，表示三关都通过． 18．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ； (2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋中随机取出3只球，被取出的最大号码数ξ； (3)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ分． [解析]　(1)ξ可取0,1,2. ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2. (2)ξ可取3,4,5. ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5. (3)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．。

离散型随机变量的期望和方差(参考答案)想一想①：1.解：ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5,6.对应的概率均为61.易得Eξ=3.5.2.解：E(2ξ+3)=2Eξ+3=37.想一想②：证: D(X +Y)=E[(X +Y)2]−[E(X +Y)]2=E[X 2+Y 2+2XY]−[E(x)+E(Y)]2 =E(X 2)+E(Y 2)+2E(X)E(Y)−[E(X)]2 −[E(Y)]2−2E(X)E(Y)={E(X 2)−[E (X )]2}+{E(Y 2)−[E (Y )]2}=D(X)+D(Y).想一想③：1.解：Eξ=np=7，Dξ=np(1－p)=6，所以p=17.2.解：Dξ=npq≤n(p+q 2)2=n4，等号在p=q=12时成立，此时，Dξ=25，σξ=5.答案：12； 5.想一想④：解：要使保险公司能盈利，需盈利数ξ的期望值大于0，故需求Eξ. 设ξ为盈利数，其概率分布为且Eξ=a(1－p 121212要盈利，至少需使ξ的数学期望大于零，故a ＞30000p 1+10000p 2.想一想⑤：1.解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故P(ξ=5)=C 41C 33C 74=435，P(ξ=6)=C 42C 32C 74=1835，P(ξ=70)=C 43C 31C 74，P(ξ=8)=C 44C 30C 74，Eξ=5435.2.解：分析，可能来多少人，是一个随机变量ξ．而ξ显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．设来领奖的人数ξ=k,(k =0,1,2,⋯,3000)，所以P(ξ=k)=C 3000k(0.04)k ⋅(1−0.04)30000−k ，可见ξ~B (30000,0.04)，所以， Eξ=3000×0.04=120(人)100>(人)． 答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品．想一想⑥：解：设X~B(n,p), 则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数.若设X i ={1 如第i 次试验成功0 如第i 次试验失败i =1,2，…，n则X =∑X i n i=1是n 次试验中“成功”的次数，E(X i )=0×q +1×p =p ， 故D(X i )=E(X i 2)−[E(X i )]2=p −p 2=p(1−p)，1,2,,i n =由于X 1，X 2，X 3⋯，X n 相互独立，于是D(X)=∑D(X i )n i=1pq.习题2.3 1．解：由已知q 应满足：解得q =1−√12故ξ的分布列为∴Eξ=(−1)×1+0×(√2−1)+1×(−√2)=−+3−√2=1−√2.Dξ=[−1−(1−√2)]2×12+(1−√2)2×(√2−1)+[1−(1−√2)]2×(32−√2)=(√2−2)2×12+(√2−1)3+2(32−√2).12-=2.解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B(50，0.8)，η=2ξ，故成绩的期望为Eη=E(2ξ)=2Eξ=2×50×0.8=80(分). 成绩的标准差为ση=√Dη=√D(2ξ)=√4Dξ=2√50×0.8×0.2=4√2≈5.7(分). 3.该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5．ξ＝1，表示一发即中，故概率为P(ξ=1)=0.8;ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P(ξ=2)=(1−0.8)×0.8=0.16; ξ＝3，表示前二发未中，第三发命中，故P(ξ=3)=(1−0.8)2×0.8=0.032; ξ＝4，表示前三发未中，第四发命中，故P(ξ=4)=(1−0.8)3×0.8=0.0064； ξ＝5，表示第五发命中，故P(ξ=5)=(1−0.8)4⋅1=0.24=0.0016. 因此，ξ 的分布列为Eξ==1.25=0.05+0.09+0.098+0.0484+0.0225=0.31.说明：此题的随机变量ξ并不服从几何分布.故不能用公式来求期望和方差.要特别注意. 4.解：(1)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6， 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0， 所以ξ的可能取值为1，3. P(ξ=3)=P(A 1·A 2·A 3)+ P(A 1⋅A 2⋅A 3) = P(A 1)P(A 2)P(A 3)+P(A 1)P(A 2)P(A 3)=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P(ξ=1)=1－0.24=0.76，所以ξ的分布列如右. E ξ=1×0.76+3×0.24=1.48.(2)方法1. 因为f(x)=(x −32ξ)2+1−94ξ2, 所以函数f (x )=x2−3ξx +1在区间[32ξ,+∞)上单调递增，要使f(x)在[2,+∞)上单调递增，当且仅当32ξ≤2，即ξ≤43. 从而；⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q qP(A)=P(ξ≤43)=P(ξ=1)=0.76. 方法2.ξ的可能取值为1，3.当ξ=1时，函数f(x)=x 2−3x +1在区间[2,+∞)上单调递增， 当ξ=3时，函数f(x)=x 2−9x +1在区间[2,+∞)上不单调递增.所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.5.解：(1)由E ξ=np=3，D ξ=np(1-p)=32，得n=6，p=12. ξ的分布列为：P(A)=1+6+15+2064=2132或P(A)=1-P(ξ>3)=1-1+6+1564=2132.6.解：(1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.ξ1、ξ2的分布列分别为：(2)令A 、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件， P(A)=0.15+0.15=0.3， P(B)=0.24+0.08=0.32. 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大. (3)令ηi 表示方案i 所带来的效益，则所以Eη1=14.75,Eη2=14.1，可见，方案一所带来的平均效益更大.7.(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别都只含有1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.其中第一排可有11,12两种，第二排可有21，22两种，第三排可有1，2两种. ∴ P(ξ=2)=234=18. (2)由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.当ξ=3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2， 3或1，2，4.若为1,2,3时，由于第一排总有1，第二排总有2，第一排取11有5种不同的情形，第一排取12也有5种不同的情形，第一排取13有9种不同的情形，共有19种不同的情形；同理若为1，2，4时也有19种情形. ∴ P(ξ=3)=2×1943=1932.若ξ=4, 则 P(ξ=4)=A 31A 22+A 32A 2243=932(或用1−P(ξ=2)−P(ξ=3)求得).∴ ξ的分布列为：∴ Eξ=2×18+3×1932+4×932=10132.。

《离散型随机变量的方差》同步练习一、选择题1.下列说法正确的是( )A.离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的概率的平均值B.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的平均水平C.离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的波动水平D.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的波动水平2.已知随机变量X的分布列如下表( )则X的方差DX=( )A.1B.2C.3D.93.设0<p<1,随机变量ξ的分布列如下表:则当p在(0,1)内逐渐增大时( )A.Dξ增大B.Dξ减小C.Dξ先增大后减小D.Dξ先减小后增大二、填空题4.已知随机变量X的分布列如下表:则X 的方差为______,标准差为______.5.已知随机变量的分布列如下表所示,则E ξ=______,D ξ=______.6.设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104,x 5=105,随机变量X 1取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2,随机变量X 2取值2334455112,,,,22222x x x x x x x x x x +++++的概率也均为0.2,若记DX 1,DX 2分别为X 1,X 2的方差,则DX 1______DX 2. (填“>”“=”或“<”) 三、解答题7.已知随机变量X 的分布列如下表:求DX 和8.甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数X 1,X 2的分布列如下表:用击中环数的均值与方差分析比较两名射手的射击水平.9.甲、乙两名选手在一次比赛中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列如下表:(1)求a,b的值;(2)计算ξ,η的均值与方差,并以此分析甲、乙选手的水平状况.参考答案1. 答案:D解析:因为离散型随机变量X 的均值EX 反映了X 取值的平均水平,离散型随机变量X 的方差DX 反映了随机变量偏离于均值的平均程度,即反映了X 取值的波动水平,所以A,B,C 均错误,D 正确. 2. 答案:A解析:由题意可知,1111,326a =--=则2221111110131,(01)(11)(31) 1.326326EX DX =⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯=3. 答案:A解析:111(1)01,22222p p p E ξ-=-⨯+⨯+⨯=-22111()()22222p pD ξ=--⨯+-⨯22135()(1),222224p p p p -+-⨯=--+ 因为0<p <1, 所以当p 在(0,1)内增大时,D ξ递增. 4.答案:3.56解析:10.430.150.5 3.2,EX =⨯+⨯+⨯=所以22(1 3.2)0.4(3 3.2)0.1DX =-⨯+-⨯+2(5 3.2)0.5 3.56.-⨯=所以X ==5. 答案:1839-解析:由随机变量ξ的分布列可得121,.33m m +==所以21111,333E ξ=-⨯+⨯=-2212118(1)(1).33339D ξ=-+⨯++⨯=6. 答案:>解析:由题意可知EX 1=EX 2,又由题意可知X 1的波动性较大,从而有DX 1>DX 2. 7.答案:见解析解析:00.110.220.430.240.12,EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.1 1.2,DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=1.095.=≈8.答案:见解析解析:180.290.6100.29,EX =⨯+⨯+⨯=280.490.2100.49,EX =⨯+⨯+⨯=2221(89)0.2(99)0.6(109)0.20.4,DX =-⨯+-⨯+-⨯= 2222(89)0.4(99)0.2(109)0.40.8,DX =-⨯+-⨯+-⨯=表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多数得分在9环,而乙得分比较分散,近似平均分布在8~10环. 9.答案:见解析解析:(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a +0.1+0.6=1,所以a =0.3. 同理0.3+b +0.3=1,b =0.4.(2)10.320.130.6 2.3,E ξ=⨯+⨯+⨯=10.320.430.32,E η=⨯+⨯+⨯=222(1 2.3)0.3(2 2.3)0.1(3 2.3)0.60.81.D ξ=-⨯+-⨯+-⨯= 222(12)0.3(22)0.4(32)0.30.6.D η=-⨯+-⨯+-⨯=由于,E E ξη>说明在一次比赛中,甲的平均得分比乙高,但,D D ξη>说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人的水平都不够全面,各有优势与劣势.。

校本作业(34) 7. 3.2 (2)离散型随机变量的方差的综合问题 参考答案1 .(多选)对于离散型随机变量X ，有关它的均值E(X)和方差。

(％)，下列说法正确的是() A. E(X)是反映随机变量的平均取值 B. D(X)越小，说明X 越集中于E(X) C. E(aX+b)=aE(X)+b D. D(aX+b)=crD(X)+h答案ABC解析 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平 均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，即A, B 正确; 由均值和方差的性质可得，E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a 2D(X)9 即 C 正确，D 错.2 .若随机变量X 服从两点分布，且成功的概率p=0∙5,则E(X)和0(%)分别为() A. 0.5 和 0.25 C. 1 和 0.25答案A解析,・・x 服从两点分布,・・・x 的分布列为ΛE(X)=0×0.5+l×0.5=0.5, D(X)=0.52×0.5 + (l-0.5)2×0.5=0.25. 3.若随机变量X 的分布列为己知随机变量y="X+/。

＞0)且E(D=10, D(Y)=4,则。

与〃的值为()A. α=10, b=3B.。

=3, /?=10C. 〃=5, b=6D. a=6, b=5答案C解析 因为0.2+m=l,所以m=0.8, 所以 E(X)=O×0.2+1 ×0.8=0.8,D(X) = 0.2×0.8=0.16.因为 E(K)=10, D(K)=4,所以 E(K)=〃风X)+b=0.8Q+b=10,①D(Y)=a 2D(X)=0.16«2=4,②B. 0.5 和 0.75 D. 1 和 0.75由①②，解得。

=5, b=6,故选C.4∙已知()<α<l,随机变量K 的分布列如表所示,若E©=。

高中数学选修2-3离散型随机变量的均值与方差精选题目（附答案）(1)离散型随机变量的均值的概念及性质 ①一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．②若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)两点分布与二项分布的均值①若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p . ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . (2)离散型随机变量的方差、标准差 随机变量X 的分布列为则把D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 叫做随机变量X 的方差，D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．(2)服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 ①若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )；②若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． (3)离散型随机变量方差的性质 ①D (aX ＋b )＝a 2D (X )； ②D (C )＝0(C 是常数)．一、离散型随机变量的均值1．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分X 的均值．解：取出4只球，颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P(X＝5)＝C14C33C47＝435.P(X＝6)＝C24C23C47＝1835.P(X＝7)＝C34C13C47＝1235.P(X＝8)＝C44C03C47＝135.随机变量X的分布列为所以E(X)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.注：求离散型随机变量的均值的一般步骤：(1)理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值；(2)求随机变量取每一个值的概率；(3)列出随机变量的分布列；(4)根据均值的计算公式求出E(X)．2．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值．解：由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C03C37C310＝35120＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120.∴X的分布列为∴E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是()A．0.2 B．0.8 C．1 D．0解析：选B因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.4．一个口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取2个球，用X表示取出球的较大号码，则E(X)等于()A．4 B．5 C．3 D．4.5解析：选A P(X＝2)＝1C25＝110，P(X＝3)＝C12C25＝210＝15，P(X＝4)＝C13C25＝310，P(X＝5)＝C14C25＝410＝25，故E(X)＝2×110＋3×15＋4×310＋5×25＝4.5．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：(1)从这402名学生参加培训次数恰好相等的概率；(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及均值E(X)．解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P＝1－C15C115C120C340＝419 494.(2)由题意知X＝0,1,2，P(X＝0)＝C25＋C215＋C220C240＝61156，P(X＝1)＝C15C115＋C115C120C240＝2552，P (X ＝2)＝C 15C 120C 240＝539，则随机变量X 的分布列为所以X 的均值E (X )＝0×61156＋1×2552＋2×539＝115156.二、离散型随机变量均值的性质 1．已知随机变量X 的分布列如下：(1)求m 的值； (2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )．解： (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215. 法二：由于Y ＝2X －3， 所以Y 的分布列如下：所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215. 注：若给出的随机变量Y 与X 的关系为Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)，一般思路是先求出E (X )，再利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 求E (Y )．2．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x ，y ，z 分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X ＝x ＋y ，则E (X )＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种，且丙盒中投入球(成功)的概率为12，z 表示6次实验中成功的次数，则z ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，∴E (z )＝3，又x ＋y ＋z ＝6，∴X ＝x ＋y ＝6－z ， ∴E (X )＝E (6－z )＝6－E (z )＝6－3＝3.3．随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于( )A.16 B ．11 C ．2.2 解析：选A 由已知得E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.5．已知η＝2ξ＋3，且E (ξ)＝35，则E (η)＝( ) A.35 B.65 C.215 D.125解析：选C E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.三、两点分布、二项分布的均值1．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中三人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答得正确与否相互之间没有影响．(1)若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值；(2)用A 表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”，用B 表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”，求P (AB )．解： (1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，则有 P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，所以ξ的分布列为由于随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23，则有E (ξ)＝3×23＝2. (2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝1034， P (D )＝C 33×⎝⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝435， P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1034＋435＝3435＝34243. 注：此类题的解法一般分两步：一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值．2．一次单元测验由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中成绩的均值为________．解析：设该学生在这次测验中选对的题数为X ，该学生在这次测试中成绩为Y ，则X ～B (20,0.9)，Y ＝5X .由二项分布的均值公式得E (X )＝20×0.9＝18.由随机变量均值的线性性质得E (Y )＝E (5X )＝5×18＝90. 答案：903．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )解析：选B 供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布，故所求为np .故选B.4．某班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机选取1名学生背诵课文，若抽到女生的人数记为X ，则E (X )＝________.解析：易知X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝35，P (X ＝1)＝25，故E (X )＝25. 答案：255．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的均值．解：(1)依题意知{X ＝2}表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故X ＝2时的概率为C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827. (2)∵X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，∴E (X )＝4×23＝83.四、均值的实际应用1．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解:(1)利润X可以取6,2,1，－2；(2)利用均值的定义求值；(3)根据平均利润不小于4.73万元建立不等式求解．(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为(2)E(X)＝6×0.63万元)．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.2．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是12，若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令ξ表示该公司的资助总额，求E(ξ)．解：法一：ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P (ξ＝0)＝164，P (ξ＝5)＝332，P (ξ＝10)＝1564，P (ξ＝15)＝516，P (ξ＝20)＝1564，P (ξ＝25)＝332，P (ξ＝30)＝164.故ξ的分布列为因此E (ξ)＝0×164＋5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.法二：设X i 为第i 名学生获得的“支持”数(i ＝1,2,3)，ξi 为第i 名学生获得的“资助”额(i ＝1,2,3)，则X i ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，且ξi ＝5X i (i ＝1,2,3)，ξ＝ξ1＋ξ2＋ξ3.因此E (ξ)＝E (ξ1)＋E (ξ2)＋E (ξ3)＝5E (X 1)＋5E (X 2)＋5E (X 3)＝3×5×2×12＝15. 3．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．解：(1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B (4，12)． ∴P (ξ＝0)＝C 04(12)4＝116，P (ξ＝1)＝C 14(12)4＝14， P (ξ＝2)＝C 24(12)4＝38，P (ξ＝3)＝C 34(12)4＝14， P (ξ＝4)＝C 44(12)4＝116. ∴ξ的分布列为(2)∵ξ～B(4，12)，∴E(ξ)＝4×12＝2.又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100.即实际支出的数学期望为2 100元．4．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.五、求离散型随机变量的方差1．袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解：(1)X的分布列为则E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以，当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. 所以⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4.注求离散型随机变量ξ的方差的步骤： (1)理解ξ的意义，明确其可能取值；(2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布则继续下面步骤；(3)求ξ取每个值的概率；(4)写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验；(5)根据方差定义求D (ξ).2.了激发学生了解数学史的热情，在班内进行数学家和其国籍的连线游戏，参加连线的同学每连对一个得1分．假定一个学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X 的分布列及其数学期望、方差．解：该学生连线的情况：连对0个，连对1个，连对2个，连对4个，故其得分可能为0分，1分，2分，4分．P (X ＝0)＝3×3A 44＝38，P (X ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝14，P (X ＝4)＝1A 44＝124.故X 的分布列为∴E (X )＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1，D (X )＝(0－1)2×38＋(1－1)2×13＋(2－1)2×14＋(4－1)2×124＝1. 3．已知随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝13，则D (X )的值是( ) A.13 B.23 C.59 D.79解析：选C 由分布列的性质可知a ＋b ＋12＝1，∴a ＋b ＝12.又E (X )＝－a ＋12＝13，解得a ＝16，b ＝13，∴D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59. 4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，求D (X )．解：由题知X ＝6,9,12.P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴X 的分布列为∴E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (X )＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.六、常见分布的方差1．(1)抛掷一枚硬币1次，正面向上得1分，反面向上得0分．用ξ表示抛掷一枚硬币的得分数，求E (ξ)，D (ξ)；(2)某人每次投篮时投中的概率都是12.若投篮10次，求他投中的次数ξ的均值和方差；(3)5件产品中含有2件次品，从产品中选出3件，所含的次品数设为X ，求X 的分布列及其均值、方差．解： (1)ξ服从两点分布，抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为12，所以E (ξ)＝12，D (ξ)＝14.(2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，所以E (ξ)＝10×12＝5.D (ξ)＝10×12×12＝52. (3)X 可能取的值是0,1,2.P (X ＝0)＝C 02C 33C 35＝110，P (X ＝1)＝C 12C 23C 35＝35，P (X ＝2)＝C 22C 13C 35＝310，所以X 的分布列为E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝1.2.D (X )＝(0－1.2)2×110＋(1－1.2)2×35＋(2－1.2)2×310＝0.36.2．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，均值E (ξ)为3，标准差D (ξ)为62.(1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：由题意知，ξ～B (n ，p )，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0.1，…，n . (1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32， 得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12. ξ的分布列为(2)记“得P (A )＝164＋332＋1564＋516＝2132， 所以需要补种沙柳的概率为2132.3．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X 表示是否取到白球，即X ＝⎩⎨⎧1(当取到白球时)，0(当取到红球时)，则X 的方差D (X )＝( )A.21100B.750C.110D.310解析：选A 显然X 服从两点分布，P (X ＝0)＝710，P (X ＝1)＝310.故X 的分布列为所以E (X )＝310，故D (X )＝710×310＝21100.4．已知一批产品中有12件正品，4件次品，有放回地任取4件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝( )A.34B.89C.38D.25解析：选B 由题意，可知每次取得次品的概率都为13，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则D (X )＝4×13×23＝89.5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (X )＝24，则D (X )的值为( )A ．8B ．12 C.29 D ．16解析：选A 由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，23，∴E (X )＝23n ＝24. ∴n ＝36.∴D (X )＝36×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝8.6．某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯次数X 的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y 的均值与方差． 解：(1)易知司机遇上红灯次数X 服从二项分布，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.(2)由已知得Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.七、离散型随机变量的均值与方差的应用1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表所示．A机床B机床问哪一台机床加工的质量较好？解：由表中数据可知，E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.所以它们的期望相同，再比较它们的方差．D(X1)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.606 4，D(X2)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.10＝0.926 4.因为0.606 4<0.926 4，所以A机床加工的质量较好．2．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：解：∵由题意得E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，∴D(X1)<D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为：A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定解析：选A E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定，甲运动员参加较好．4．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：为0.3,0.7,0.9，求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有P (X <300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P (300≤X ＜900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.巩固练习：1．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的分布列如表，则m 的值为( )A.13B.14C.16D.18解析：选A 由Y ＝12X ＋7得E (Y )＝12E (X )＋7＝34，从而E (X )＝94，所以E (X )＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，又m ＋n ＋112＋14＝1，联立解得m ＝13.故选A.2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b 的最小值为()A.323 B.283 C.143 D.163解析：选D由已知得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<23，0<b<1.2 a＋13b＝3a＋2b2⎝⎛⎭⎪⎫2a＋13b＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝16 3，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”，故2a＋13b的最小值为163.故选D.3．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率k等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为()A.37 B.47 C.27 D.17解析：选B当k＝±22时，直线l的方程为±22x－y＋1＝0，此时d＝1 3；当k＝±3时，d＝12；当k＝±52时，d＝23；当k为0时，d＝1.由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为所以E(ξ)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________(结果用分数表示)．解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，所以E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.答案：475．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E (X )＝________.解析：由P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p )(1－p )＝112可得p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝32舍去， 从而P (X ＝1)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13， P (X ＝2)＝23·C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512， P (X ＝3)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16. 所以E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53. 答案：536．“键盘侠”是指部分在现实生活中不爱说话，却在网上习惯性地、集中性地发表各种言论的人群，人们对这种现象有着不同的看法．某调查组织在某广场上邀请了10名男士和10名女士请他们分别谈一下对“键盘侠”这种社会现象的认识，其中有4名男士和5名女士认为它的出现是“社会进步的表现”，其他人认为它的出现是“社会冷漠的表现”．(1)从这些男士和女士中各抽取1人，求至少有1人认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的概率；(2)从男士中抽取2人，女士中抽取1人，3人中认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)由题意可知10名男士中有4人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有5人也这样认为．记事件A＝{从这些男士和女士中各抽取1人，至少有1人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”}，则P(A)＝1－C16C15C110C110＝1－30100＝710.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C26C210×C15C110＝16，P(X＝1)＝C14C16C210×C15C110＋C26C210×C15C110＝1330，P(X＝2)＝C24C210×C15C110＋C14C16C210×C15C110＝13，P(X＝3)＝C24C210×C15C110＝115，所以X的分布列为数学期望E(X)＝0×16＋1×1330＋2×13＋3×115＝1310.7．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解：(1)由统计结果可得T的频率分布为从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32.(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P (A )＝1－P (A )＝0.91.8．若ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)＝( ) A ．3×2－2 B ．3×2－10 C ．2－4 D ．2－8解析：选B 由E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝np (1－p )＝3，得p ＝12，n ＝12，所以p (ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3210＝3×2－10.故选B. 9．设X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，现已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113解析：选C 由题意得P (X ＝x 1)＋P (X ＝x 2)＝1，所以随机变量X 只有x 1，x 2两个取值，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29.解得x 1＝1，x 2＝2x 1＝53，x 2＝23舍去，所以x 1＋x 2＝3，故选C.10．若p 为非负实数，随机变量X 的分布列为则E (X )的最大值是．解析：由分布列的性质可知p ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，则E (X )＝p ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，故E (X )的最大值为32.∵D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－p (p ＋1)2＋p (p ＋1－1)2＋12(p ＋1－2)2＝－p 2－p ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122＋54，又p ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴当p ＝0时，D (X )取得最大值1. 答案：32 111．已知随机变量X 的分布列为①E (X )＝－13；②E (X ＋4)＝－13；③D (X )＝2327； ④D (3X ＋1)＝5；⑤P (X >0)＝13.解析：E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，E (X ＋4)＝113，故①正确，②错误．D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，D (3X ＋1)＝9D (X )＝5，故③错误，④正确．P (X >0)＝P (X ＝1)＝16，故⑤错误．答案：212．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，Y 1(万元)和Y 2(万元)分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．解：(1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f (x )＝D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 100·Y 1＋D ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 100·Y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎪⎫100－x 1002D (Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)． 所以当x ＝6002×4＝75时，f (x )取最小值3.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较【解析】∵DX甲>DX乙，∴乙种水稻比甲种水稻整齐．【答案】 B2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1【解析】由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.【答案】 B3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则DX等于()A．6B．9 C．3D．4【解析】EX＝3×13＋6×13＋9×13＝6.DX＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.【答案】 A4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则Dξ＝( ) 【导学号：62690045】A.158B.154C.52D ．5【解析】 两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14，因此Dξ＝10×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝158.故选A.【答案】 A 5．已知X 的分布列为则①EX ＝－13，②DX ＝2327，③P (X ＝0)＝13，其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确；③P (X ＝0)＝13显然正确．【答案】 C 二、填空题6．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，Eξ＝1，则Dξ＝________.【解析】 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎨⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以Dξ＝15＋35×0＋15×1＝25. 【答案】 257．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．【解析】 由独立重复试验的方差公式可以得到Dξ＝np (1－p )≤n ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 22＝n 4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以(Dξ)max ＝100×12×12＝25，(Dξ)max ＝25＝5.【答案】 12 58．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以EX ＝25×0.6＝15，DX ＝25×0.6×0.4＝6，EY ＝E (4X )＝4EX ＝60，DY ＝D (4X )＝42×DX ＝16×6＝96， 所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96. 【答案】 60,96 三、解答题9．海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列如下：【解】∵EX1＝0，EX2＝0，∴EX1＝EX2.∵DX1＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；DX2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴DX1<DX2.由上可知，A面大钟的质量较好．10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n 个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值．【解】(1)X的分布列为：∴EX＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.DX＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由DY＝a2DX，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又∵EY ＝aEX ＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4即为所求． [能力提升]1．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2，又已知EX ＝43，DX ＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3D.113【解析】 ∵EX ＝23x 1＋13x 2＝43.∴x 2＝4－2x 1，DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 12×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x 22×13＝29.∵x 1＜x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.【答案】 C2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且Eξ＝24，则Dξ的值为( )A ．8B ．12 C.29D ．16 【解析】 由题意可知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，23，∴23n ＝Eξ＝24，∴n ＝36.又Dξ＝n ×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29×36＝8.【答案】 A3．变量ξ的分布列如下：ξ －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，若Eξ＝13，则Dξ的值是________.【导学号：62690046】【解析】 由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c ， 又a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23. 又Eξ＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12， 故分布列为ξ －1 0 1 P161312∴Dξ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59.【答案】 594．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2-5-3所示．图2-5-3将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望EX及方差DX.【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B方差DX＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。

《离散型随机变量的方差》1．已知随机变量X 的分布列如下，则=)(X D （ ）.A 8.0 .B 0 .C 64.0 .D 4.02．已知某运动员投篮命中率为8.0=p ， 他重复投篮4次，命中次数为ξ，则=)(ξD （ ）.A 2.0 .B 8.0 .C 64.0 .D 72.03．在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为85.0，那么他罚球一次得分的方差是 .4．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量1ξ、2ξ，若21ξξE E =，21ξξD D <，则自动包装机________的质量较好．5．设ξ 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，（1）求q 值，并求)()(ξξD E 、；（2）若随机变量52+=ξη，求)(ηE 和).(ηD6．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望3)(=ξE ，标准差)(ξσ（1）求p n ,的值并写出ξ的分布列； （2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.7．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，射手甲击中环数1ξ和射手乙击中环数2ξ的分布列如下表.试用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平.8．若随机变量X 服从两点分布，且成功的概率3.0=p ，则)(X E 和)(X D 分别为( ).A 3.0和7.0 .B 7.0和21.0 .C 3.0和3.0 .D 3.0和21.09．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若0)(=X E ，1)(=X D ，则a = ，b = ． 10．已知随机变量X 的分布列为41)(==k X P ，4,3,2,1=k ，则=-)13(X D . 11．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床试比较哪一台机床加工质量较好.12．下面说法中正确的是（ ）.A 离散型随机变量ξ的均值)(ξE 反映了ξ取值的的离散程度.B 离散型随机变量ξ的方差)(ξD 反映了ξ取值的平均水平 .C 离散型随机变量ξ的方差)(ξD 反映了ξ的取值的离散程度．.D 离散型随机变量ξ的方差)(ξD 反映了ξ取值的概率的平均值13．一牧场有8头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为01.0.设发病的牛的头数为X ，则)(X D 等于（ ）.A 0790.0 .B 0792.0 .C 01.0 .D 08.0 14．已知ξ～),(p n B ，若8=ξE ，6=ξD ，则n 、p 的值分别为 ， . 15．随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若.3E ξ=则D ξ的值是 ． 16．随机变量X ～)8.0,6(B ，那么)23(+X D 的值为 .17．某射手击中目标的概率为9.0，则他射击10次，击中目标次数X 的方差为________． 18．甲，乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察ξ，η的分布列分别如表一，表二所示．试比较甲，乙两台自动机床的质量. 表一19.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个)4,3,2,1(=n .现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（1）求的分布列，期望和方差； （2）若, ,，试求a ，b 的值.n n ξξa b ηξ=+1E η=11D η=20.有A 、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：其中A ξ、B ξ分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好.21．A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量1X 和2X ．根据市场分析，1X 和2X 的分布列分别为（1）在A 、B 两个项目上各投资100万元，1Y 和2Y 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差)(1Y D ，)(2Y D ；（2）将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值．（注：2()D aX b a DX +=）《离散型随机变量的方差》答案1．答案：.D 解析：02.014.002.01)(=⨯+⨯+⨯-=X E ，.4.02.02.0)01(2.0)00(4.0)01(2.0)(222=+=-+-+--=∴X D2．答案：.C 解析：ξ ～)8.0,4(B ，.64.0)8.01(8.04)(=-⨯⨯=∴ξD3．答案：1275.0.解析：设一次罚球得分为X ，则X 服从两点分布，∴X 的分布列为.1275.015.085.0)1()(=⨯=-=∴p p X D4．答案：甲.解析：21ξξE E =说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样．21ξξD D <说明甲机包装重量的差别小，稳定．∴甲机质量好．5．解：（1） 112212=++q q ，012242=-+∴q q ， 即0)16)(14(=-+q q ，又0≥q ，61=∴q ，所以分布列为31611310211)(-=⨯+⨯+⨯-=∴ξE ， 222)]31(1[61)]31(31[0)]31(1[21)(--⨯+--⨯+---=ξD .2714916619421=⨯+⨯=（2） 52+=ξη，3135)31(25)(2)(=+-⨯=+=∴ξηE E ，=⨯==27144)(2)(2ξηD D .27566．解析：(1)由3)(==np E ξ，23)26()1()]([22==-=p np ξσ，得112p -=，从而16,2n p ==.6666)1()11()1()(k k k k C C k P =-==∴-ξ，所以ξ的分布列为（2）记”需要补种沙柳”为事件A ，则()(3),P A P ξ=≤得16152021(),6432P A +++== 或 156121()1(3)16432P A P ξ++=->=-=.7．解：93.0104.093.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，92.0106.092.082=⨯+⨯+⨯=ξE ，6.0)910(3.0)99(4.0)98(3.02221=-+-+-=ξD ，4.0)910(2.0)99(6.0)98(2.02222=-+-+-=ξD ，21ξξE E =∴，.21ξξD D >所以，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但乙所得环数较集中，以9环居多，水平较稳定；而甲得环数较分散，得8、10环地次数多些，稳定性没有乙好．8．答案：.D 解析： X 服从两点分布，3.0)(==∴p X E ，.21.0)3.01(3.0)1()(=-⨯=-=p p X D9．答案：125=a ，41=b .解析：由题知1211=++c b a ，=)(X E 061=++-c a ， =)(X D 1121211222=⨯+⨯+⨯c a ，解得125=a ，41=b . 10．答案：.445解析：25414413412411)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ， 2222)425(41)325(41)225(41)125(41)(-+-+-+-=∴X D 45=，.445459)(3)13(2=⨯==-∴X D X D11．解：33.003.0307.021.018.00)(1=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ，.33.008.0302.0205.0185.00)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ).()(21ξξE E =∴又=)(1ξD 2222)03.03(03.0)33.02(07.0)33.01(1.0)33.00(8.0-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=+++=213867.0195223.004489.008712.05411.0，=)(2ξD 2222)03.03(08.0)33.02(02.0)33.01(05.0)33.00(85.0-⨯+-⨯+-⨯+-⨯7411.0570312.0055778.0022445.0092565.0=+++=，)()(21ξξD D <∴，故A 机床加工较稳定，质量较好.12．答案：.C 解析：离散型随机变量ξ的方差)(ξD 反映了ξ的取值的离散程度．故答案选.C 13．答案：.B 解析：X ～)01.0,8(B ，∴.0792.0)01.01(01.08)1()(=-⨯⨯=-=p np X D 14．解析：ξ ～),(p n B ，⎩⎨⎧=-===∴6)1(8p np D np E ξξ，⎪⎩⎪⎨⎧==∴4132p n .15．答案：59.解析： a b c ，，成等差数列，c a b +=∴2，又1=++c b a ，111.3E a c c a ξ=-⨯+⨯=-=联立三式得111,,,632a b c ===2221111215(1)()().3633329D ξ∴=--⨯+⨯+⨯=16．答案：.64.8解析： X ～)8.0,6(B ，96.0)8.01(8.06)(=-⨯⨯=∴X D ，.64.896.09)(3)23(2=⨯==+∴X D X D 17．答案：.9.0解析：X ～)9.0,10(B ，.9.0)9.01(9.010)(=-⨯⨯=∴X D18．解析：由分布列可求甲的次品数的期望7.01.032.02017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ， 乙的次品数的期望7.01.031.022.016.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ηE .=∴)(ξE ).(ηE 又=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=2222)7.03(1.0)7.02(2.0)7.01(0)7.00(7.0)(ξD 21.1，=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=2222)7.03(1.0)7.02(1.0)7.01(2.0)7.00(6.0)(ηD .01.1由=)(ξE )(ηE 知，两台自动机床出次品的平均水平相同，但>)(ξD )(ηD ，可见乙的水平比较稳定，所以乙自动机床的质量较好. 19．解：（1）212010)0(===ξP ，201)1(==ξP ，101202)2(===ξP ，3)3(==ξP ，.14)4(===ξP ξ∴的分布列为： ∴5.15420310220120)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ， .75.251)5.14(203)5.13(101)5.12(201)5.11(21)5.10()(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξD （2）由，得1175.22=⨯a ，.2±=∴a 又所以当2=a 时，由b +⨯=5.121，得2-=b ； 当2-=a 时，由b +⨯-=5.121，得.4=b ∴⎩⎨⎧-==22b a 或.42⎩⎨⎧=-=b aD a D η=ξ2,E aE b η=ξ+20.解： 1252.01351.01304.01252.01201.0110)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=A E ξ，1252.01451.01304.01252.01151.0100)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=B E ξ. ).()(B A E E ξξ=∴又2222)125130(4.0)125125(2.0)125120(1.0)125110()(-+⨯-+⨯-+⨯-=A D ξ502.0)125135(1.02=⨯-+⨯，2222)125130(4.0)125125(2.0)125115(1.0)125100()(-+⨯-+⨯-+⨯-=B D ξ .1652.0)125145(1.02=⨯-+⨯)()(B A D D ξξ<∴，因此A 种钢筋质量较好.21．解析：（1）由题设可知1Y 和2Y 的分布列分别为150.8100.26EY =⨯+⨯=，∴221(56)0.8(106)0.24DY =-⨯+-⨯=，220.280.5120.38EY =⨯+⨯+⨯=， 2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY =-⨯+-⨯+-⨯=．（2）12100()100100x x f x D Y D Y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212100100100x x DY DY -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22243(100)100x x ⎡⎤=+-⎣⎦2224(46003100)100x x =-+⨯， 当6007524x ==⨯时，()3f x =为最小值．。

7.3.2离散型随机变量的方差（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题 1．（2022春·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）若随机变量X 的概率分布表如下：则()D X =（ ）A ．0.5 B ．0.42 C ．0.24 D ．0.16【答案】C【分析】根据分布列的数学期望和方差公式直接求解. 【详解】根据概率的性质可得10.40.6m =-=， 所以()00.410.60.6E X =⨯+⨯=，所以()()22()00.60.410.60.60.24D X =-⨯+-⨯=，2．（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）已知随机变量X 满足(23)7,(23)16E X D X +=+=，则下列选项正确的是（ ）A ．713(),()22E X D X ==B ．()2, ()4E X =D X =C ．()2, ()8E X =D X = D ．7(),()84E X D X ==【答案】B【分析】由数学期望与方差的性质求解【详解】(23)2()37E X E X +=+=，得()2E X =，(23)4()16D X D X +==，得 ()4D X =，3．（2022春·安徽滁州·高二统考期末）已知随机变量X 的分布列为：则随机变量X 的方差()D X 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A4．（2022春·广西河池·高二统考期末）随机变量的概率分别为P k ck ==，1,2,3,4k =，其中c 是常数，则()D ξ的值为（ ） A ．45B ．65C ．1D ．85【详解】()P k ξ=11210⨯+⨯()213=-⨯差()D X 是（ ）A ．0B ．1C ．14D ．12A ．[][]32E E ηξ-=，[][]32D D ηξ-=B ．[][]2E E ηξ=，[][]32D D ηξ-=C ．[][]32E E ηξ-=，[][]94D D ηξ-=D ．[][]32E E ηξ-=，[][]4D D ηξ=7．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）已知随机变量X 满足()4E X =-，()5D X =，下列说法正确的是（ ） A ．()15E X -=- B ．()15E X -= C ．()15D X -= D ．()15D X -=-【答案】BC【分析】根据平均数和方差的知识求得正确答案. 【详解】依题意，()4E X =-，()5D X =， 所以()()()11145E X E X -=-=--=， ()()()2115D X D X -=-⨯=.8．（2022春·江苏苏州·高二统考期末）若随机变量X 服从两点分布，其中()()()10,,4P X E X D X ==分别为随机变量X 的均值和方差，则（ ） A ．()314P X == B ．()14E X =C ．()316D X =D ．()414E X +=对于选项D ：()()41414E X E X +=+=，故D 正确. 三、填空题9．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知随机变量X 满足()2D X =，则()31D X -=__________. 【答案】18【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】解：因为()2D X =， 所以()()31918D X D X -==.10．（2022春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知一个随机变量X 的分布为101a b c -⎛⎫ ⎪⎝⎭，若b 是,a c 的等差中项，且1[]3E X =，则[]D X =______．性能更稳定的零件是______．()()()()2220.289.20.499.20.4109.20.56D η=⨯-+⨯-+⨯-=，因为()()D D ηξ<，所以乙更稳定．12．（2022春·四川眉山·高二统考期末）若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为4，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为___________.【答案】8【分析】利用方差的性质有(21)4()D X D X -=，即可求新数据的标准差. 【详解】由题设，2()416D X ==，故(21)4()64D X D X -==， 所以新数据的标准差为8.13．（2022春·山东枣庄·高二统考期末）已知离散型随机变量X 的取值为有限个，()72E X =，()3512D X =，则()2E X =______． 【答案】916##115614．（2023·全国·高二专题练习）某小组共10人参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布、期望与方差．所以期望为()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=， 方差为()()()()222474801112115151515D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 15．（2022·高二单元测试）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ、η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8、7环的概率分别为0.5，3a ，a ，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2． (1)求ξ、η的分布； (2)比较甲、乙的射击技术．（2）由（1）得：()100.590.380.170.19.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；()100.390.380.270.28.7E η=⨯+⨯+⨯+⨯=；()()()()()2222109.20.599.20.389.20.179.20.10.96D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； ()()()()()2222108.70.398.70.388.70.278.70.2 1.21D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．由于()()E E ξη>，()()D D ξη<，说明甲射击的环数的期望比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．16．（2022·高二课时练习）某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X （单位：km ）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t ，2t ． (1)求X 的分布列，并求X 的均值和方差；(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km 时，收费5元，行驶路程超过3km 时，则按每超出1km （不足1km 也按1km 计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．∴200.1220.2240.3260.1280.1300.225E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()()()22222250.130.210.310.130.150.210.6D X =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）设此人一天中出车一次的收入为Y 元，则()()335343,Y X X X X =-+=->∈N ，∴()()()34534325471E Y E X E X =-+=-=⨯-=，()()()234395.4D Y D X D X =-=⋅=．故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4．17．（2022春·贵州遵义·高二统考期末）不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m 个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为58．(1)求白球的个数m ；(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为X ，求()E X ，()D X ．则期望为()0128181819E X =⨯+⨯+⨯=， 方差为()2228258408164001298198198181D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．（2022春·江西南昌·高二南昌市八一中学校考期末）冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取4名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).(1)求选出的4名同学是来自互不相同的大学的概率；(2)设X 为选出的4名同学中女同学的人数，求随机变量X 的期望和方差．()012341421735210E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5()2222218883848188001234145215753552105125D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【能力提升】一、单选题1．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）已知102p <<，随机变量ξ、η相互独立，随机变量ξ的分布为112133-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，η的分布为111p p -⎧⎫⎨⎬-⎩⎭，则当p 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时（ ） A ．()E ξη+减小，()D ξη+增大 B ．()E ξη+减小，()D ξη+减小 C ．()E ξη+增大，()D ξη+增大 D ．()E ξη+增大，()D ξη+减小2．（2023·高二课时练习）设01a <<，随机变量X 的分布如下：111333⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，当a 在()0,1上增大时，以下说法中正确的是（ ）． A ．[]D X 增大 B ．[]D X 减小C ．[]D X 先增大后减小 D ．[]D X 先减小后增大3．（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X 0=，a ，2，根据以往销售经验可得02a <<，随机变量X 的分布列为其中结论正确的是（ ）A ．13b =B ．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为516C ．min 1()2D X =D ．当min ()D X 最小时，1()3E X =4．（2023·高二课时练习）已知随机变量ξ的取值为1、2、3，若()1P ξ=与()3P ξ=相等，且方差[]13D ξ=，则()2P ξ==______．5．（2023·高二课时练习）已知随机变量ξ的分布如下：1136xy ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．若[]13E ξ=，则[]D ξ=______．6．（2023·高二单元测试）随机变量X 的分布为12a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，若[]336E X +=，则[]D X =___________. 【详解】[33E X +11b +=，又()221=--⨯7．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）若随机事件A 在1次试验中发生的概率为()01p p <<，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差()D X 的最大值为______；()()21D XE X -的最大值为____________ 【答案】14##0.25 2-2-8．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司至少答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？()1232555E X ∴=⨯+⨯+⨯=，()2221312(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=；设乙公司正确完成面试的题为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3．()1027P Y ==，()2132121C 339P Y ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()2232142C 339P Y ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3283327P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭ 则Y 的分布列为：()01232279927E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=． 由()()()(),E X E Y D X D Y =<可得，甲公司竞标成功的可能性更大．9．（2022春·北京·高二北京二中校考期末）根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为i a ，1i =，2，⋯⋯，19，20其中110~a a 是男生，1120~a a 是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：(1)从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率； (2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记X 为“偏文”女生的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)记随机变量0,1,ξ""⎧=⎨""⎩选择科目偏理选择科目偏文，样本中男生的期望为1()E ξ，方差为1()D ξ；女生的期望为2()E ξ，方差为2()D ξ，试比较1()E ξ与2()E ξ；1()D ξ与2()D ξ的大小（只需写出结论）．()012100501005E X ∴=⨯+⨯+⨯=． （3）男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人， 则12()=30.3=0.9()=60.6=3.6E E ξξ⨯⨯，，12()=30.30.7=0.63()=60.60.4=1.44D D ξξ⨯⨯⨯⨯，，故12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<．10．（2023·高二课时练习）已知ξ是一个离散型随机变量，其概率分布如下：21011122q q -⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭，试求[]E ξ和[]D ξ．策略A ：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；策略B ：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分． 本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．所以()00.0520.3540.350.1570.15 3.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()()222220 3.70.052 3.70.354 3.70.35 3.70.157 3.70.15 3.61D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(2)解：依题意该同学答题方案有：方案1:11题采用策略B ，12题采用策略A ； 方案2:11题和12题均采用策略B ； 方案3:11题和12题均采用策略A ； 方案4:11题采用策略A ，12题采用策略B ；设随机变量Y 为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分， 则Y 的可能取值为0，2，4，5，7，10， 故(0)0.10.10.01P Y ==⨯=，(2)0.10.20.60.10.08P Y ==⨯+⨯=， (4)0.60.20.12P Y ==⨯=， (5)0.10.30.70.10.1P Y ==⨯+⨯=， (7)0.60.70.30.20.48P Y ==⨯+⨯=， (10)0.30.70.21P Y ==⨯=，故Y 的分布列为：所以()00.0120.0840.1250.170.48100.217.04E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，但因为时间超过10分钟，后面的题得分少1分，相当于得分均值为37.041 6.04-=分， 因为6.04 3.7>，方案3的期望值一定小于4，故不选方案3，设随机变量Z 为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分， 则Z 的可能取值为0，2，4，5，7， 故(0)0.20.10.02P Z ==⨯=，(2)0.20.20.80.10.12P Z ==⨯+⨯=， (4)0.80.20.16P Z ==⨯=， (5)0.20.70.14P Z ==⨯=， (7)0.80.70.56P Z ==⨯=，故Z 的分布列为：E Z=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以()00.0220.1240.1650.1470.56 5.5E Y，故不选方案4；方案4的期望值也小于()所以我建议该同学按照方案2:11题和12题均采用策略B．。

高二数学离散型随机变量的均值与方差试题1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则A．Eξ=3.5，Dξ=3.52B．Eξ=3.5，Dξ=C．Eξ=3.5，Dξ=3.5D．Eξ=3.5，Dξ=【答案】B【解析】ξ可以取1，2，3，4，5，6．P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=P（ξ=5）=P（ξ=6）=，∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5Dξ=[（1-3.5）2+（2-3.5）2+（3-3.5）2+（4-3.5）2+（5-3.5）2+（6-3.5）2]×=，故选B。

【考点】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差。

点评：离散型随机变量的数学期望与方差是随机变量的重要数字特征，反映了随机变量取值的平均水平与波动大小．通常情况下，都是先求出随机变量取每个值时的概率、再得其分布列、最后用数学期望与方差的定义求解。

2.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于A．B．C．D．【答案】A【解析】如果随机变量ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=np（1-p）又Eξ=7，Dξ=6，∴np=7，np（1-p）=6，∴p=，故选A。

【考点】本题主要考查二项分布的期望和方差公式。

点评：属二项分布的期望和方差的基本题型基本方法的考查．3.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.804【答案】C【解析】∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，∴ξ～B（10，0.02），∴由二项分布的方差公式得到Dξ=10×0.02×0.98=0.196．故选C【考点】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差。

点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单得多。