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2.2二次函数的图像(1)

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2.2 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质

2.2 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质

讲授新课
一 二次函数y=x2和y=-x2的图象和性质
合作探究 你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗?
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列 表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 y=x2 … 9 4 1 0
12 14
3… 9…
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=x2和y=－x2的图象与性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线. 2．会画二次函数y=x2与y=-x2的图象.（难点） 3．掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用. （重点）
导入新课
并且抛物线开口向上
3
-4 -2 O 2 4 x
问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，(0,0). 除这个交点外，图像在x轴的上方。
问题3 当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0 时呢？
当x<0时（在y轴的左侧），y随x的
y
增大而减小；
9
当x>0时（在y轴的右侧），y随x的
y
x2
,
解得
x y
4, 16,
或
x
y
1, 1,
所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴∴SS△△AABCOO＝＝S12△·ACCOO＋·4S＝△8BO，C＝S△1B0O.C＝
1 2
×4×1＝2，

2.2二次函数的图象与性质(1)(1)

2.2二次函数的图象与性质(1)(1)

6
2
②作出y= x 的图象

4
-4
·2 ·
0
-2 ·
2
1、在下列平面直角坐标系中
①作出y=2x2的图象
2、它们有什么相同点和不同点？
x
③作出y=-x2和y=-2x2的图象
10 y
归纳：
8
6
抛物线y=ax2的对称轴是y轴；
顶点坐标
a的符号决定开口方向：
当a＞0时,开口向上,有最小值；
(a＋1，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( C )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
变式训练3：如图，从y＝－x2的图象上
可看出当－3<x≤1时，函数y的取值范
－9＜y≤0
围是_________．
二、y=ax2 的图象
y=2x²10 y
·
8
· y=x2
并且抛物线开口向上.
是轴对称图形，
对称轴是y轴.
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，
它是图象的最低点.
当x=0 时，y的值最小, 最小值是y=0 .
二次函数y
=-x2的图象是什么形状？
它的图象与二次函数y = x2的图象有什么关系？
y
当a＜0时,开口向下,有最大值；
决定开口大小，
越大,开口越小．
例2．
m=2或m= -3
变式训练4：如图，四个二次函数的图象
中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；
③y=cx2；④y=dx2，则a，b，c，d的大小

2.2二次函数的图像与性质(1)

2.2二次函数的图像与性质(1)
(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y线关于
y轴对称,y轴就
2
是它的对称轴.
-4 - -2 -1 0 1 2 3 4 x
3
3
-
2
y=2x2
y
议
10
一
8
6
议
4
2
-4 - -2 -1 0 1 2 3 4 x
3
-
2
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
-
2
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
当x=-2时，y=8 当x=-1时，y=2
抛物线y=2x2在x轴的上方(除 顶点外),顶点是它的最低点,开 口向上,并且向上无限伸展;当 x=0时,函数y的值最小,最小值 是0.
y=2x2 当x>0 (在对称轴的右侧) 时, y随着x的增大而增大. y
——德摩
3
-
2
用心做一做
(1)二次函数y=1+2x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2
你能根据表格中的数据作 出猜想吗？
二次函数y=2x²与 y=2x²+1的图像有 什么关系？它是轴 对称图形吗？ 它的开口方向，对 称轴，和顶点坐标 分别是什么？二次 函数y=2x²-1的图 像呢？

2.2 二次函数的图象(一)

2.2 二次函数的图象(一)

x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
y 2 x2 3
...
-6
8 3
1.5
2 3
0
2
3
1.5
8 3
-6
...
练一练2
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2.
（2）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）
函数图象画法
描点法
列表
y2 x
y x2
y1 x
描点
连线
y x2
画出下列函数的图象。
(1) y 1 x2 2
(2) y 2x2
(3) y 2 x2 3
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
.
抛物线在x轴的
方（除顶点外）.
已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 求出这个二次函数的最大值或最小值；
(3) 在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.

2.2.2二次函数的图像与性质

2.2.2二次函数的图像与性质

二配（配y方：1 同 x时加6上 x+2
两根式 。）
三结合(前面2所配的完全平方式结合，后面的常数结合。)
写出一般式：y= ax2 +bx+c(a ≠0)的顶点式，
顶点式配方四一y步提 骤a（(：x提一自2b提a变)、2量二的4配a二c4、a次三b项2 结系合数、）四乘开 二配（配方： 同a(时x 加h上)2 并 k减去 （ 一次项系数 ）2 。）
性质：当x=-2时，y有最大值1，记作ymax=1
值域（-∞，1]
单调增区间 （-∞，-2） 单调减区间 （-2， +∞ ）
y= -(x+2)2 +1 在x=-2两边取两个对称的x的值
-2+m
-2+m和-2-m -2-m f(-2+m)=-(-2+m+2)2+1=-m2+1
f(-2-m)=-(-2-m+2)2+1=-m2+1
f(-2+m)=f(-2-m)
对称轴：x= -2
x= -2
f(h+m)=f(h-m) 对称轴：x= h
y= ax2 +bx+c(a ≠0)的性质
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
条件 开口向 顶点
对称轴
a>0 上 a<0 下
( b
, 4ac b2
X= b ) 2a
•1、思考：做函数y= -x2 -4x-3的图像，试叙述它的性质
(1)配方： y= -(x+2)2 +1
(2)开口：a=-1<0,开口向下
对称轴：x= -2 顶点坐标（-2，1） 与x轴交点坐标（-3，0）,(-1,0)

2.2 浙教版二次函数的图象(1)

2.2 浙教版二次函数的图象(1)
画出下列函数的图象。 画出下列函数的图象。
y = x2
1 y= x
列表 描点 连线
(1) y = 2x2 2 2 (2) y = − x 3
y = −x 2
用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结
y = x2
1、观察右图， 、观察右图， 并完成填空。 并完成填空。 练习2 2、练习2 3、想一想 练习4 4、练习4
二次函数y=ax2的性质 二次函数 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
y = −x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值
y=x2
（0，0） ， ） y轴 轴
1、已知抛物线y=ax2经过点 （-2，-8）。 、已知抛物线 经过点A（ ， ）。 （1）求此抛物线的函数解析式； ）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 ）判断点 （ ， ）是否在此抛物线上。 的点的坐标。 （3）求出此抛物线上纵坐标为 的点的坐标。 ）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标 解（1）把（-2，-8）代入 ） ， ）代入y=ax2,得 得 -8=a(-2)2,解出 -2,所求函数解析式为 解出a= 所求函数解析式为 解出 y= -2x2. （2）因为 − 4 ≠ −2( −1) 2 ，所以点B（-1 ，-4） ） 所以点 （ ） 不在此抛物线上。 不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, ） 得 x=± 3 所以纵坐标为-6的点有两个 的点有两个， 所以纵坐标为 的点有两个，它们分别是

2.2二次函数图像1


x=0时,y最小= C
x=0时,y最大=C
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移|c|个单位得到.
（3）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 （4）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
抛物线y=x2
函数的上下移动
把抛物线y=2x2+1向上平移5个 单位,会得到那条抛物线?向下平 移3.4个单位呢?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2+1
y=x2
y=x2－1
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的异同点:
上加下减
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
y=ax2+c (a≠0) 开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
y=x2+1 y=x2－1
抛物线y=x2－1: 开口向上, 对称轴是y轴,

22二次函数的图像


课内练习 3、请写出如图所示的抛物线的解析式：
y （2，4）
（0，1）
O
驶向胜利 的彼岸
x
探究活动:
一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部 离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线 的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以 水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：
2
2
b 2a
3 2 1
3
2
4ac b2 4a
4 1 5 32 2 2 4 1
2
2
因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。
做一做:
1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴： (1) y 5 x2 5 x 3 (2) y 2x2 2 2x 3 4 24
知识回顾:
二次函数y=ax² y = a(x+m)2 时，图象将发生怎样的变化？
y = a(x+m)2 +k
1、顶点坐标？
（0，0）
（–m，0）
（ –m，k ）
2、对称轴？
y轴（直线x=0）（直线x= –m ）
一般地，函数y=ax²的图象先向右（当m<0）或向左 （当m>0） 平移|m|个单位可得y = a(x+m)2的图象；若再向上（当k>0 ）或 向下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得到y = a(x+m)2 +k的图象。
1、点A 2、点B 3、抛物线的顶点C
所得的函数解析式相同吗？
请试一试。哪一种取法求 得的函数解析式最简单？
C
4m
A
12m
B
这节课你有什么收获和体会？
作业：
课本作业题

2.2.4二次函数的图像和性质(优质课件)


y=a(x-h)2 +k(a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
极值
a>0
向上 (h ,k)
a<0
向下 (h ,k)
x=h
x=h
当x<h时，
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通 过上下和左右平移得到.（左加右减，上加下减）
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二 次函数的图象和性质，你能研究二次函数 y=2x2-4x+5的图像和性质吗？
化 成 y=a(x-h)2+k 的形式呗！
例1 求二次函数y=2x²-8x+7图像的对称 轴和顶点坐标。
解： y=2x²-8x+7
提取二次项系数
=2（x²-4x）+7
配方
=2（x²-4x+4）-8+7
整理
=2（x-2）²-1
因此，二次函数图像的对称轴是直 线x=2，顶点坐标是（2，-1）。
确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x²-6x+7
（2）y=2x²-12x+8
解： =3（x²-2x）+7 解： =2（x²-6x）+8
=3（x²-2x+1）-3+7
=2（x²-6x+9）-18+8
=3（x-1）²+4
=2（x-3）²-10

九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.1 二次函数y=±x2的图象与性质课件 (新版


K12课件
16
K12课件
12
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
解：(1)图略．把点(2，n)代入 y＝－x2 中，得 n＝－22， ∴n＝－4.把点(2，－4)代入 y＝3x＋m 中， 得－4＝3×2＋m，∴m＝－10. (2)由题意，得yy＝＝－3xx－2，10，解得xy＝ ＝2－，4或xy＝ ＝－ －52， 5. ∴抛物线 y＝－x2 与直线 y＝3x＋m 存在另一个交点，其坐标为(－5，－25)．
K12课件
4
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
3．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( D ) A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴 B．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2和y＝－x2既关于x轴对称， 又关于原点对称 C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反 D．点A(－3，9)既在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上
[点评] 判断两个函数图象的交点个数就是看这两个函数表达 式所组成的方程组的解的个数．
K12课件
13
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
素养提升
规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2上，点B0， B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn 都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)， 则△A2018B2017B2018的腰长等于__2_0_1_8___2 __．
[解析] ∵线段AB⊥y轴，且AB＝6，∴由抛物线的对称 性可知，点B的横坐标为3.当x＝3时，y＝x2＝32＝9， ∴直线AB的表达式为y＝9.
K12课件
图K－9－2
10
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
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练习 P31---课内练习2
若抛物线y=ax2 （a≠0），过点（-1，3）。
（1）则a的值是 a=3 ； （2）对称轴是 y轴 ，开口 向上 。 （3）顶点坐标是 （0,0） ，
顶点是抛物线上的 最低点 。
抛物线在x轴的
上方
方（除顶点外）。
若点A(2,- 4)在抛物线y=ax2上，则抛物 线上与点A关于y轴对称的点是（ y o x y=ax2 (a<0) o y ）。 y=ax2 (a>0) x
x
(1) y 2 x 同桌左同学
2
x … y …
2
… …
(2) y 2 x 同桌右同学
x … y … … …
x ... -2 y=2x2 ... 8 y=-2x2 … -8
-1 2 -2
看 谁 作 的 漂 亮
y=2x2
y
0 0 0
1 2 -2
对称轴 顶点
2 … 8 … -8 …
形 口向 数 a值
2.2二次函数的图像(1)
2 y=ax +bx+c 的图像
x y=x2
... ...
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5 2
...
4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y=x2
描点法
列表 描点 连线
4 3 2 1
y
yx
2
-2 -1 -1 O 1 2 谈谈画图要点
(4)求出此抛物线上纵坐标为-3的点的坐标。
1 2 有一座桥的桥孔的开口向下的抛物线 y = - x 4 (1)当水面距离桥孔顶端为4m时，求水面宽； (2)当水面宽为6m时，求水面桥孔与顶端的距 离。 y x o
D N M
B
C 1 2 A y x
4
2 练习. 已知抛物线y ax a 0 与双曲线 2 y 交点的横坐标大于零，问a是大于零 x 还是小于零？
y=-2x2
8 6 4 2 -4 -2 -2 O 2 -4 -6 -8
原点
坐标
位图像置 最点 增减性 最值
4
x
a与形状
手由最高（低）点
1 2 ★.y x 2 1 2 ★.y = x 2
★.y = πx
2
★.y = m + 1 x
2
2
2 2 ★.y = x 2
(1)对称轴左边，即x≤0时，y随x的增大而
(2)对称轴右边，即x 0时，y随x的增大而
。
。
例1：已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经 过点(-2,-3).
(1)求a的值并写出这个二次函数的解析式. 开口方向和图像的位置.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、
(3)判断点B（-1，-2）是否在此抛物线上。
作业：
练习
P31---作业题2
P31---作业题4 P32---作业题6
P32---作业题5
复习引入:
一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么。
二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么。
三、反比例函数
y
k （k ≠ 0）其图象又是什么。 x
四、二次函数的图象又是什么呢？。