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解:四组样本数据的直方图是:
四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是0.00，0.82，1.49，2.83.
虽然它们有相同的平均数，但是它们有不同的标准差，说明数据的 分散程度是不一样的
频率 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o
频率
x5
S=0.00
2 2
1 s 甲 ＝ [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (98 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ 6 7 2 2 (100－100) ＋(103－100) ]＝ ， 3 1 2 2 2 2
甲：99,100,98,100,100,103 乙：99,100,102,99,100,100
(2) 将一组数据 按大小顺序依 次排列，把处 在 _____________ 最中间位置 的一个数据 (或最中间两个数据 的平均数 )叫做这组数据的中位数． (3)平均数：样本数据的算术平均数，即 x ＝
1 (x1＋ x2＋„＋ xn) * n _____________________ (n∈ N )．
2．标准差及方差 分散程度 的大小，最常用的统计 考察样本数据的 _________ 量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种 平均距离 ，一般用s表示．标准差的平方s2叫做方 __________ 差，也为测量样本数据分散程度的工具． 样本数据 x1 , x2 , , xn 到 x 的平均距离是：
2．2.2
用样本的数字特征估计总 体的数字特征
课前自主学案
温故夯基 1 ．用样本的频率分布估计总体分布，就是根据 样 本 的 频 率 分 布 表 、 _________________ 、 频率分布直方图 频率分布折线图 及茎叶图来估计总体分布． __________________ 2 ．初中学过的众数、中位数、平均数，其定义 分别是 出现次数最多 的数据叫做这组 (1)在一组数据中______________ 数据的众数．
探究 2 在本例中，甲机床所加工的 6个零件的数据全都加 10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？
解：平均数为 100＋ 10＝ 110. 甲的数据为 99＋ 10,100＋ 10,98＋10,100＋ 10,100＋ 10,103＋ 10， 平均数为 100＋ 10， 1 所 以 方 差 仍为 [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (98 － 6 2 2 2 2 100) ＋ (100 － 100) ＋ (100 － 100) ＋ (103－ 100) ]＝ 7 . 3
求众数、中位数及平均数 根据直方图的分布特征：矩形的最高点、对 称性及“重心”估计众数、中位数和平均 数．
例2
某班学生在一次 数学考试中的成 绩的频率分布直 方图．根据直方 图估计其成绩的 (1) 众数； (2) 中位 数；(3)平均数．
70＋ 80 【解】 (1)由频率分布直方图可知，其众数为 ＝ 75(分 )． 2 (2)设中位数为 x，由图知 0.01× 10＋ 0.02× 10＋ (x－ 70)× 0.03＝ 0.5， 2 ∴ x＝76 ≈77(分 )． 3 (3) 平 均 数 为 (55×0.01 ＋ 65×0.02 ＋ 75×0.03 ＋ 85×0.025 ＋ 95× 0.015)×10＝76.5(分 )．
5,5,5,5,5,5,5,5,5 4,4,4,5,5,5,6,6,6 3,3,4,4,5,6,6,7,7 2,2,2,2,5,8,8,8,8
1 2 3 45 (1)
6 7 8
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o 3 45 (2)
量，各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99,100,98,100,100,103 乙：99,100,102,99,100,100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
【解】
2
(1) x 甲＝100， x 乙＝100.
s 乙 ＝ [(99 － 100) ＋ (100 － 100) ＋ (102－ 100) ＋ (99－ 6 100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又 s甲>s乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
6 7 8
频率 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o
x5
S=1.49
1 2 3 4 5 6 7 8
频率 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o
x5
S=2.83
1 2 3 4 5 6 7 8
例3
甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验质
知新益能 1 ．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的 关系 (1)众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最 横坐标 高矩形的中点的____________ ． (2)在样本中，有50%的个体小于或等于中位数， 也有50%的个体大于或等于中位数．因此，在频 率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的 相等 面积应该_________ ，由此可以估计中位数的 值． 重心 ．等于 (3) 平均数是频率分布直方图的 _______ ____________________________________ 频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底 ____________________________________ 边中点的横坐标之和．
| x1 x | | x2 x | | xn x | S . n
标准差的计算公式
s
1 [( x1 x )2 ( x2 x )2 ( xn x )2 ] n
问题探究 下列一组数：1、5、6、6、8、8、9、10、12、 15 ，其众数、中位数、平均数、方差各是多少？ 若去掉1和15，这些数有什么变化？说明什么问 题？ 提示：原数据的众数是6和8，中位数是8，平均 数为 8 ，方差为 13.6. 去掉 1 和 15 后，众数、中位 数、平均数都没变化，而方差为 4.75 ，说明方 差更能体现数据的稳定性，方差越小数据变化 越稳定．
课堂互动讲练
考点突破 众数、中位数、平均数的综合应用 众数体现了样本数据的最大集中点；中位数 是样本数据所占频率的等分线；平均数与每 一个样本数据有关．
例1 人员
某工厂人员及工资构成如下表：
经理 管理人员 高级技工 工人 2200 250 220 200 学徒 100 合计
周工资
1 6 5 10 1 23 人数 2200 1500 1100 2000 100 6900 合计 (1)指出这个工厂人员周工资的众数、中位数、平均数；
方差及标准差的应用 方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均
距离，表示各个样本数据在样本平均数的周围
分散程度．
例题:画出下列四组样本数据的直方图,说明它们的异
同点. (1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; (2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6; (3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7; (4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;
(2) 平均数能客观地反映该工厂人员的工资水平吗？为什么？
【思路点拨】 本题着眼于众数、中位数、平均数各自的特点，以及其适用对象．
【解】 (1)由表格可知：众数为200，中位数为220. 平均数为(2200＋250×6＋220×5＋200×10＋100)÷23＝(2200＋ 1500＋1100＋2000＋100)÷23 ＝6900÷23＝300. (2)虽然平均数为300，但由表格中所列出的数据可知， 只有经理在平均数以上，其余人员的工资都在平均数 以下，故用平均数不能客观地反映该工厂的工资水平． 【思维总结】极端值影响平均数，故平均数有时不能代表事实情况
【思维总结】 要先找清每个小矩形的高、宽及其意义，就可求相应的样本数字．
变式训练 1
根据频率分布
直方图(如图)估计(1)众数； (2)中位数；(3)平均数．
20＋ 30 解： (1)由图知，众数为 ＝ 25. 2 (2)设中位数为 x 则 0.02×10＋ (x－20)× 0.04＝ 0.5， x＝ 27.5. (3) 平 均 数 为 10×0.02×15 ＋ 10×0.04×25 ＋ 10× 0.03×35 ＋ 10× 0.01×45＝ 28.
