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基于核心素养的数学建模课程的案例研究*———以奶制品的生产与销售模型为例王天松俞芳（昌吉学院数学系新疆昌吉831100）摘要：数学建模课程是高校数学专业的基础课程之一，本文以奶制品的生产与销售模型教学设计为例，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等六个方面介绍数学建模课程的教学案例，最后针对案例给出相应的案例反思。
关键词：数学建模；教学案例；模型；反思中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1672-1578（2021)01-0001-03随着我国教育改革的不断发展，核心素养理念在高校教育改革中的地位愈显突出，逐渐成为目前高校教育改革的一项新的要求。
《数学建模》课程的开设和数学建模竞赛的开展促进了高校数学的教学教改，对学生综合素质的提高起到了积极、有效的作用[1-2]。
本文以奶制品的生产与销售模型教学设计为例，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程等六个方面介绍数学建模课程的教学设计，最后针对案例给出相应的案例反思[3-5]。
1奶制品的生产与销售模型的教学设计1.1教材分析数学建模是高校数学专业重要的一门专业课程，通过这门课程的学习，应使学生获得数学建模的系统知识、数学思想与思维方法。
对于数学专业学生深刻理解和灵活使用数学知识解决实际问题至关重要，其内容是初步进行科学研究的重要工具，在金融、经济、社会科学等方面有着广泛的应用。
事实上，本课程是学生进行毕业论文写作及科研的阶梯，也为深入理解高等数学打下必要的基础。
本节内容选自姜启源版《数学模型》第四章第一节奶制品的生产与销售，是数学规划模型章节中的第一讲，主要是通过分析两个实际问题讲解线性规划模型（简称LP模型）的建模方法和利用LINGO的求解方法。
这节内容将为后面的模型探索打下坚实的基础，同时为了解LINGO软件的使用提供很好的平台，因此本节内容在该章节中具有重要的地位。
1.2学情分析数学系大四的学生具有一定的数学理论基础，而且具备一定的思维能力、逻辑能力以及综合运用知识的能力。
河北大学《数学模型》实验实验报告一、实验目的学会利用LINGO进行实验，熟练掌握用LINGO求解简单的线性规划问题以及能够完成对其灵敏度的分析。
二、实验要求1.实验5-1 加工奶制品的生产计划按如下步骤操作：（1）打开lingo（2）修改“选项…”（Options…）LINGO/Options…在出现的选项框架中，选择General Solver（通用求解器）选项卡，修改2个参数： Dual Computations（对偶计算）设置为：Prices and Ranges（计算对偶价格并分析敏感性） Model Regeneration（模型的重新生成）设置为：Always（每当有需要时）点击OK退出。
（3）在模型窗口输入模型Model:max =72*x1+64*x2;[milk] x1+x2<50;[time] 12*x1+8*x2<480;[cpct] 3*x1<100;End保存为：sy4-1.lg4LINGO语法：1. 程序以“model:”开始，每行最后加“;”，并以“end”结束；2. 非负约束可以省略；3. 乘号 * 不能省略；4. 式中可有括号；5. 右端可有数学符号。
（4）求解模型运行菜单LINGO/Solve。
选择LINGO/Solve求解结果的报告窗口检查输出结果与教材p89的标准答案是否相同。
（5）灵敏性分析点击模型窗口。
选择LINGO/Ranges模型的灵敏性分析报告检查输出结果与教材p90的标准答案是否相同。
结果分析可参阅教材p90-91。
2.实验5-2 奶制品的生产销售计划按以下步骤操作：（1）打开菜单“File”/“New”，新建模型文件。
（2）在模型编辑窗口输入模型(利用Lingo编程语言完成)：（3）将文件存储并命名为sy4-2.lg4（记住所在文件夹）。
（4）求解模型。
（5）灵敏性分析。
检查输出结果与教材p92-94的标准答案是否相同。
结果分析可参阅教材p94。
20１２——20 13 学年第二学期合肥学院数理系实验报告 课程名称：数学模型实验项目: 数学规划模型求解过程实验类别:综合性□设计性□验证性□专业班级：１0级数学与应用数学(1)班姓名: 汪勤学号:100７０２1004实验地点：３5＃６１1 实验时间：20１3年4月25日指导教师: 闫老师成绩：一.实验目的：了解线性规划的基本内容及求解的基本方法，学习MAＴLAB,ＬIＮDＯ，LI ＮGO求解线性规划命令,掌握用数学软件包求解线性规划问题;了解非线性规划的基本内容，掌握数学软件包求解非线性规划问题。
二。
实验内容:1、加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产Ａ1、A２两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A１，或者在设备乙上用8小时加工成４公斤A2。
根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出,且每公斤A1获利2４元每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到５0桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为4８0小时,并且设备甲每天至多能加工１0０公斤A１,设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产计划,使每天获利最大,并进一步讨论以下3个附加问题：(1）若用35元可以购买到1桶牛奶,应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶?(2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多是每小时几元？(3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元,应否改变生产计划？2、奶制品的生产销售计划问题第1题给出的Ａ１,Ａ2两种奶制品的生产条件、利润及工厂的“资源"限制全都不变。
为增加工厂的获利,开发了奶制品的深加工技术:用2小时和3元加工费，可将１千克A1加工成０．8千克高级奶制品B1,也可将1千克A2加工成０．75千克高级奶制品B２，每千克B1能获利4４元,每千克B２能获利3２元。
试为该厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题:（１）若投资30元可以增加供应1桶牛奶,投资３元可以增加1小时劳动时间,应否作这些投资？若每天投资１50元可赚回多少？(2）每公斤高级奶制品B1，Ｂ2的获利经常有10％的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每公斤Ｂ１的获利下降1０%,计划应该变化吗？(3）若公司已经签订了每天销售1０千克 A1的合同并且必须满足,该合同对公司的利润有什么影响？3、货机装运某架货机有三个货舱:前仓、中仓、后仓。
奶制品生产加工项目实施计划和进度安排方案奶制品生产加工领域中的重点内容包括原料准备、牛奶杀菌与灭菌、乳化与调制、加热与冷却、发酵与发酵调控、包装与贮存、质量控制与检验、工艺改进与创新、卫生与安全管理以及环境保护与可持续发展等。
通过对这些重点内容的掌握和实施，可以提高奶制品生产的效率和质量，满足市场的需求，并在保证食品安全的前提下，推动行业的发展。
还需要不断关注新的技术和工艺的研究，以及加强对环境的保护，实现可持续发展的目标。
奶制品生产加工行业具备良好的发展环境和有利条件。
市场需求旺盛、优质原料供应稳定、先进的加工技术和设备、健全的质量安全监管体系、消费者信任度高以及技术人才和研发创新是支撑奶制品生产加工行业发展的重要因素。
随着人们对健康和营养的关注程度的提高，奶制品生产加工行业的发展潜力巨大，有望在未来取得更好的成绩。
完成的奶制品应进行全面的质量检验，确保其符合国家和行业的标准。
这包括产品的外观、口感、气味和营养成分等方面的检测。
还应注意对产品的包装进行检查，确保其完整性和合规性。
本文内容信息来源于公开渠道，对文中内容的准确性、完整性、及时性或可靠性不作任何保证。
本文内容仅供参考与学习交流使用，不构成相关领域的建议和依据。
一、奶制品生产加工有利条件（一）市场需求旺盛1、人口增长和收入水平提升：随着人口的增长和收入水平的提高,人们对奶制品的需求也在不断增加。
特别是发展中国家，如中国和印度等，其庞大的人口基数使得奶制品市场潜力巨大。
2、消费结构升级：随着经济的发展和人们生活水平的提高，消费者对健康和营养的关注日益增强。
奶制品作为富含蛋白质、维生素和矿物质的食品，受到越来越多人的青睐。
3、快速消费品特点：奶制品属于生鲜类商品，具有快速消费的特点。
消费者更倾向于购买新鲜、高品质的奶制品，因此需要保持生产加工环节的高效和灵活性。
（二）优质原料供应稳定1、乳牛养殖发达：奶制品生产加工行业需要大量的牛奶作为原料,乳牛养殖的发达程度直接影响到原料供应的稳定性。
数学建模加工奶制品的生产计划温馨提示：该文档是小主精心编写而成的，如果您对该文档有需求，可以对它进行下载，希望它能够帮助您解决您的实际问题。
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乳制品生产作业指导书第1章乳制品生产概述 (4)1.1 乳品行业发展简述 (4)1.2 乳制品分类及标准 (4)1.3 乳制品生产流程及要求 (4)第2章原料乳的验收与处理 (5)2.1 原料乳的验收标准 (5)2.2 原料乳的预处理 (5)2.3 原料乳的冷藏与运输 (6)第3章乳制品生产设备与工艺 (6)3.1 常用乳制品生产设备 (6)3.1.1 收奶设备 (6)3.1.2 原料处理设备 (6)3.1.3 发酵设备 (6)3.1.4 凝固设备 (6)3.1.5 杀菌设备 (6)3.1.6 填充与包装设备 (6)3.1.7 冷藏设备 (7)3.2 乳制品生产工艺流程 (7)3.2.1 原料奶验收 (7)3.2.2 原料奶预处理 (7)3.2.3 发酵 (7)3.2.4 凝固 (7)3.2.5 杀菌 (7)3.2.6 填充与包装 (7)3.2.7 冷藏 (7)3.3 设备的清洗与消毒 (7)3.3.1 清洗 (7)3.3.2 消毒 (7)3.3.3 清洗与消毒程序 (7)第4章液态乳制品生产 (7)4.1 巴氏杀菌乳生产 (8)4.1.1 原料选择与处理 (8)4.1.2 杀菌 (8)4.1.3 均质处理 (8)4.1.4 冷却与包装 (8)4.2 灭菌乳生产 (8)4.2.1 原料选择与处理 (8)4.2.2 灭菌 (8)4.2.3 均质处理 (8)4.2.4 冷却与包装 (8)4.3 酸奶生产 (8)4.3.2 发酵剂制备 (8)4.3.3 发酵 (9)4.3.4 冷却与包装 (9)4.3.5 冷藏 (9)第5章硬质乳制品生产 (9)5.1 奶酪生产 (9)5.1.1 原料选择与处理 (9)5.1.2 发酵剂制备 (9)5.1.3 加工工艺 (9)5.1.4 质量控制 (9)5.2 奶油生产 (9)5.2.1 原料选择与处理 (9)5.2.2 分离 (9)5.2.3 奶油制备 (10)5.2.4 质量控制 (10)5.3 乳清蛋白粉生产 (10)5.3.1 原料选择与处理 (10)5.3.2 蛋白质浓缩 (10)5.3.3 干燥 (10)5.3.4 质量控制 (10)第6章乳粉生产 (10)6.1 乳粉的分类及生产工艺 (10)6.1.1 乳粉的分类 (10)6.1.2 乳粉的生产工艺 (10)6.2 乳粉的生产过程 (11)6.2.1 原料处理 (11)6.2.2 浓缩 (11)6.2.3 干燥 (11)6.2.4 冷却 (11)6.2.5 粉碎 (11)6.2.6 包装 (11)6.3 乳粉的质量控制与包装 (11)6.3.1 质量控制 (11)6.3.2 包装 (11)第7章发酵乳制品生产 (12)7.1 发酵乳的生产 (12)7.1.1 原料选择与处理 (12)7.1.2 发酵剂的选择与制备 (12)7.1.3 发酵过程 (12)7.1.4 冷却与后熟 (12)7.1.5 包装与储存 (12)7.2 酸奶饮料生产 (12)7.2.1 原料选择与处理 (12)7.2.3 发酵过程 (12)7.2.4 调配与均质 (12)7.2.5 灌装与灭菌 (13)7.2.6 冷却与储存 (13)7.3 奶酒生产 (13)7.3.1 原料选择与处理 (13)7.3.2 发酵剂的选择与制备 (13)7.3.3 发酵过程 (13)7.3.4 压榨与过滤 (13)7.3.5 调配与陈酿 (13)7.3.6 灭菌与包装 (13)7.3.7 储存与运输 (13)第8章乳制品的检验与质量控制 (13)8.1 乳制品检验方法 (13)8.1.1 物理检验 (14)8.1.2 化学检验 (14)8.1.3 微生物检验 (14)8.2 常见乳制品质量标准 (14)8.2.1 生乳 (14)8.2.2 巴氏杀菌乳 (14)8.2.3 硬质干酪 (14)8.2.4 其他乳制品 (14)8.3 乳制品质量控制措施 (14)8.3.1 原料质量控制 (14)8.3.2 生产过程控制 (14)8.3.3 成品质量控制 (14)8.3.4 仓储物流控制 (15)8.3.5 员工培训与管理 (15)8.3.6 质量追溯与召回制度 (15)第9章乳制品包装与储运 (15)9.1 乳制品包装材料与方式 (15)9.1.1 包装材料 (15)9.1.2 包装方式 (15)9.2 乳制品的储运要求 (16)9.2.1 储存要求 (16)9.2.2 运输要求 (16)9.3 乳制品的保质期与安全 (16)9.3.1 保质期 (16)9.3.2 安全 (16)第10章乳制品生产安全与环保 (16)10.1 乳制品生产过程中的安全问题 (16)10.1.1 原料乳的安全管理 (17)10.1.2 生产过程的安全控制 (17)10.2 乳制品生产环境保护措施 (17)10.2.1 清洁生产 (17)10.2.2 污染防治 (17)10.2.3 环境监测与管理 (17)10.3 乳制品生产废弃物的处理与利用 (17)10.3.1 废弃物处理 (18)10.3.2 资源利用 (18)第1章乳制品生产概述1.1 乳品行业发展简述乳品行业作为一个与人民生活密切相关的传统产业，在我国具有悠久的历史。
管理运筹学lindo案例分析(a)Lindo的数据分析及习题(a)灵敏性分析（Range，Ctrl+R）用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。
灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解模型时灵敏性分析是激活状态，但是默认是不激活的。
为了激活灵敏性分析，运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab，在Dual Computations列表框中，选择Prices and Ranges选项。
灵敏性分析耗费相当多的求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它。
下面我们看一个简单的具体例子。
例5.1用DESKS、TABLES和CHAIRS分别表示三种产品的生产量，建立LP模型。
max=60*desks+30*tables+20*chairs;8*desks+6*tables+chairs<=48;4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20;2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8;tables<=5;求解这个模型，并激活灵敏性分析。
这时，查看报告窗口（Reports Window）,可以看到如下结果。
Global optimal solution found at iteration: 3Objective value: 280.0000Variable Value Reduced CostDESKS 2.000000 0.000000TABLES 0.000000 5.000000CHAIRS 8.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 280.0000 1.0000002 24.00000 0.0000003 0.000000 10.000004 0.000000 10.000005 5.000000 0.000000“Global optimal solution found at iteration: 3”表示3次迭代后得到全局最优解。
奶制品的生产与销售摘要企业内部的生产计划有各种不同的情况。
从空间层次上来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制定产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制定生产作业计划。
从时间层次看，若要短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制定单阶段生产计划，否则就要制定多阶段生产计划。
一、问题重述问题一：加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？问题二：问题1给出的A1,A2两种奶制品的生产条件、利润，及工厂的“资源”限制全都不变。
为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1,也可以将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。
试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论一下问题（1）若投资30元可以增加供应一桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否做这些投资？若每天投资150元，可赚回多少？（2）每公斤高级奶制品B1,B2的获利经常有10%的波动，对制定的生产销售计划有无影响？若每公斤B1获利下降10%，计划应该变化吗？二、模型假设和符号说明2.1模型假设（1）假设A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；（2）假设A1,A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；（3）假设加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意常数。
河北大学《数学模型》实验实验报告
一、实验目的
学会利用LINGO进行实验，熟练掌握用LINGO求解简单的线性规划问题以及能够完成对其灵敏度的分析。
二、实验要求
1.实验5-1 加工奶制品的生产计划
按如下步骤操作：
（1）打开lingo
（2）修改“选项…”（Options…）LINGO/Options…
在出现的选项框架中，选择General Solver（通用求解器）选项卡，修改2个参数： Dual Computations（对偶计算）设置为：Prices and Ranges（计算对偶价格并分析敏感性） Model Regeneration（模型的重新生成）设置为：Always（每当有需要时）点击OK退出。
（3）在模型窗口输入模型
Model:
max =72*x1+64*x2;
[milk] x1+x2<50;
[time] 12*x1+8*x2<480;
[cpct] 3*x1<100;
End
保存为：sy4-1.lg4
LINGO语法：
1. 程序以“model:”开始，每行最后加“;”，并以“end”结束；
2. 非负约束可以省略；
3. 乘号 * 不能省略；
4. 式中可有括号；
5. 右端可有数学符号。
（4）求解模型
运行菜单LINGO/Solve。
选择LINGO/Solve
求解结果的报告窗口
检查输出结果与教材p89的标准答案是否相同。
（5）灵敏性分析
点击模型窗口。
选择LINGO/Ranges
模型的灵敏性分析报告
检查输出结果与教材p90的标准答案是否相同。
结果分析可参阅教材p90-91。
2.实验5-2 奶制品的生产销售计划
按以下步骤操作：
（1）打开菜单“File”/“New”，新建模型文件。
（2）在模型编辑窗口输入模型(利用Lingo编程语言完成)：
（3）将文件存储并命名为sy4-2.lg4（记住所在文件夹）。
（4）求解模型。
（5）灵敏性分析。
检查输出结果与教材p92-94的标准答案是否相同。
结果分析可参阅教材p94。
三、实验内容
1.实验5-1 加工奶制品的生产计划
需要求解的线性规划问题如下：
问题的基本模型（线性规划模型）：
Max z=72x1+64x2
s.t. x1+x2≤50
12x1+8x2≤480
3x1≤100
x1≥0, x2≥0
在模型窗口中输入以下模型：
Model:
max=72*x1+64*x2;
[milk] x1+x2<50;
[time] 12*x1+8*x2<480;
[cpct] 3*x1<100;
End
选择LINGO/Solve，显示结果
选择LINGO/Ranges，进行灵敏度分析
2.实验5-2 奶制品的生产销售计划
需要求解的线性规划问题如下：
问题的基本模型（线性规划模型）：
Max z=24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6
s.t. 4x1+3x2+4x5+3x6≤600
4x1+2x2+6x5+4x6≤480
x1+x5≤100
x3-0.8x5=0
x4-0.75x6=0
x1,x2,…,x6≥0
在模型窗口中输入以下编程语言：
MODEL:!奶制品的生产销售计划;
SETS:
MILK/1..6/:X,C,SUPPLY,TIME,FACILITY,ADDITION1,ADDITION2;
ENDSETS
DATA:
C=24 16 44 32 -3 -3;
SUPPLY=4 3 0 0 4 3;
TIME=4 2 0 0 6 4;
FACILITY=1 0 0 0 1 0;
ADDITION1=0 0 1 0 -0.8 0;
ADDITION2=0 0 0 1 0 -0.75;
ENDDATA
MAX=@SUM(MILK:C*X);
@SUM(MILK:SUPPLY*X)<=600;
@SUM(MILK:TIME*X)<=480;
@SUM(MILK:FACILITY*X)<=100;
@SUM(MILK:ADDITION1*X)=0;
@SUM(MILK:ADDITION2*X)=0;
END
四、实验结果及其分析
1.实验5-1 加工奶制品的生产计划
输出结果与教材p90的标准答案相同。
实验结果：
Global optimal solution found.提示表明线性规划问题的最优解已经被找到。
Objective value: 3360.000表示线性规划问题的最优解是3360。
Infeasibilities:矛盾约束的数目（一般不可行的问题里面才会不为0 可行的都是0或者很接近0）
Total solver iterations: 2表明迭代的此时是2次。
Variable：对应的是两个变量，分别是x1,x2。
Value：对应的是线性规划问题取得最优值是对应的最优解。
即x1取值20，x2取值30。
Slack or Surplus：表示3种给定的资源是否有剩余，可见，MILK与YIME均无剩余，CPCT 则剩余40。
Dual Price：表示影子价格，即3种资源在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量。
Objective Coefficient Ranges分析了在最优解不变的条件下，变量x1,x2当前系数（Current Coefficient）允许的变化范围
Allowable Increase对应的是允许增加的值
Allowable Decrease对应的是允许降低的值
通过对灵敏度进行的二分洗可以很好地判断面对商品价格的变动是否应该对生产计划进行更改。
2.实验5-2 奶制品的生产销售计划
输出结果与教材p92-94的标准答案相同。
实验结果：
Global optimal solution found.提示表明线性规划问题的最优解已经被找到。
Objective value: 3460.800表示线性规划问题的最优解是3460.8。
Total solver iterations: 2表明迭代的此时是2次。
Variable：对应的是六个变量，分别是x1,x2...x6。
Value：线性规划问题取得最优值是对应的最优解。
即x1=0，x2=168.0,x3=19.2,x4=0,x5=24,x6=0。
Slack or Surplus：表示6种给定的资源是否有剩余，可见，MILK与YIME均无剩余，CPCT 则剩余76。
