目录前言 (1)一基本原理 (2)1.1 FIR数字滤波器概述 (2)1.2 FIR数字滤波器线性相位定义 (3)1.3 FIR数字滤波器线性相位时域条件 (3)二系统设计 (5)2.1 FIR数字滤波器的窗函数设计方法 (5)2.1.1 窗函数法的设计思路 (5)2.1.2 常见窗函数介绍 (6)2.1.3 吉布斯效应 (8)2.2 FIR数字滤波器频率采样设计法 (9)2.3 FIR数字滤波器等波纹逼近设计法 (10)三详细设计 (12)3.1 程序设计流程 (12)3.2 Matlab简介 (12)3.3窗函数法的Matlab实现 (13)3.3.1 fir1函数介绍 (13)3.3.2基于fir1函数的窗函数法FIR滤波器设计 (14)总结 (17)参考文献 (18)附录 (19)致谢 (21)前言随着信息科学和计算机技术的不断发展，数字信号处理(DSP，Digital Signal Processing)的理论和技术也得到了飞速的发展，并逐渐成为一门重要的学科，它的重要性在日常通信、图像处理、遥感、声纳、生物医学、地震、消费电子、国防军事、医疗方面等显得尤为突出。
在我们面临的信息革命中，数字信号处理几乎涉及了所有的工程技术领域[1]。
数字信号处理是一种将信号以数字形式进行处理的一种理论和技术，它的目的是将真实世界中的一些信号进行分析并滤波，最后得出其中的有用的信号。
数字滤波器是数字信号处理的一种，一般根据单位脉冲响应h(n)分为无限脉冲响应(IIR)和有限脉冲响应(FIR)系统。
IIR数字滤波器的设计方法简单，特别是采用双线性变换法来设计的数字滤波器不存在频域混叠的现象，但是IIR滤波器存在一个较为明显的缺憾，就是它的相位响应一般都是非线性的，而在传输频带内的相位响应如果不是线性的，就会造成有用信号的传输失真，而FIR数字滤波器不仅可以设计成任意的幅度响应，而且可以设计成在通频带内具有良好的线性相位响应[2]。
FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)有限长，所以FIR数字滤波器是稳定的，不存在稳定性的问题，且可以通过快速傅里叶变换(FFT)的算法来实现信号滤波，大大的提高的运算效率。
因此，FIR数字滤波器日益引起了人们的关注。
FIR数字滤波器的设计方法有很多，比较常用的有窗函数设计法、频率采样设计法、等波纹逼近法等。
本课题通过运用窗函数设计FIR数字低通滤波器，并实现对给定的信号进行滤波。
窗函数设计法是最基本的数字滤波方法，是利用傅里叶反变换(IDTFT)计算给定的频响的理想单位脉冲响应，再加以窗函数进行截断和平滑[3]。
Matlab软件的信号处理工具箱提供了FIR数字滤波器设计的子函数，运用Matlab软件设计可以避免繁杂的数学运算，而且具有丰富的绘图功能，可以方便地查看所设计的数字滤波器的幅度响应和相位响应是否满足设计要求。
因此，本课题在理论分析各种FIR数字滤波器设计方法的基础上，运用Matlab软件进行仿真分析。
一 基本原理1.1 FIR 数字滤波器概述一般来说一个经典的数字滤波器是一个线性时不变系统，其数学模型可以用Z 域系统函数)(z H 来表示：-101()1N r rr Mkk k b z H z a z -=-==+∑∑ （1-1） 其中M N b a r k ,,,均为滤波器参数。
在式（1-1）中，当k a 值不全为零值时，Z 域系统函数)(z H 必定含有一个或一个以上的极值点，此时单位脉冲响应为无限长，对于一个稳定的数字滤波器来说，Z 域系统函数)(z H 必须在单位圆内，因而把含有极值点的Z 域系统函数)(z H 的数字滤波器称为无限脉冲响应数字滤波器(Infinite Impulse Response)，即IIR 数字滤波器[4]。
而当k a 值全为零时，Z 域的系统函数)(z H 只有一个零点，式（1-1）表示的系统函数)(z H 可以写成：-10()N r r r H z b z -==∑ （1-2）公式（1-2）表明，FIR 滤波器的系统函数是1-z 的)1(-N 阶多项式，在有限z 平面)0(∞<<N 上有)1(-N 个零点，而在z 平面原点0=z 处有)1(-N 阶极点。
公式（1-2）表示的系统，其单位脉冲响应可以表示为：-10()()()N r r h n y n b n r δ===-∑ （1-3）在式（1-3）中，只有当10-<≤N N ，)(n h 才有非零值，所以数字滤波器的脉冲响应是有限长的，因此在数字信号处理中把这种数字滤波器称为有限脉冲响应数字滤波器(Finite Impulese Response)，即FIR 数字滤波器。
FIR 数字滤波器最突出的两个优点是：（1）只要对)(n h 附加一定的条件，就很容易获得严格的线性相位。
（2）由于)(z H 的极点位于原点0=z 处，所以FIR 数字滤波器不存在稳定性问题。
1.2 FIR 数字滤波器线性相位定义设FIR 数字滤波器脉冲响应的长度为N ，则其频率响应可以表示为：10()()N j j n n H e h n e ωω--==∑ （1-4） 上式通过欧拉恒等式展开可得到)(ωj e H 的相位特性)(ωθ，有两种线性相位特性，通常称为第一类线性相位和第二类线性相位。
第一类线性相位特性：()=θωτω- τ是一个与ω无关的常数第二类线性相位特性：0()=θωθτω- 0θ是起始相位严格地说第二种情况时的)(ωθ是不具有线性相位特性的，但上述两种情况都满足群延迟是一个常数，仍可以视为具有线性相位的，在第二类线性相位中2/0πθ-=是常用的一种情况[5]。
1.3 FIR 数字滤波器线性相位时域条件对于第一类线性相位，即τωωθ-=)(，通过一系列的运算整理之后可得到一个三角函数求和公式：[]10()sin ()0N n h n n ωτ-=-=∑ （1-5）式中正弦函数)1()(n N h n h --=为奇对称，当2/)1(-=N τ时，对称中心为2/)1(-=N n ，)(n h 需要满足关于2/)1(-N 偶对称，即要求：()(1)h n h N n =--，10-≤≤N n （1-6）对于第二类线性相位，即()=-/2θωπτω-时，通过运算得到公式：[]10()cos ()0N n h n n ωτ-=-=∑ （1-7）函数)(c o s )(τω-n n h 为偶对称，当2/)1(-=N τ时，对称中心也为2/)1(-=N n 。
若要使上式成立，则要使)(n h 关于2/)1(-N 奇对称，即要求：()(1)h n h N n =---，10-≤≤N n （1-8）从上述分析看来，线性相位FIR 数字滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时对)(n h 的约束条件，对于第一类线性相位，冲激响应)(n h 满足（1-6）式；对于第二类线性相位，冲激响应h(n)满足（1-8）式。
二 系统设计FIR 数字滤波器的设计方法主要有窗函数设计法、频率采样设计法以及等波纹逼近设计法三种，其中窗函数设计法是最常用的，其次是频率采样法，但这两种方法在设计中还会存在一些不足之处，所以需要优化的设计方法，而等波纹逼近法很好的弥补了窗函数法和频率采样法的不足[6]。
2.1 FIR 数字滤波器的窗函数设计方法2.1.1 窗函数法的设计思路窗函数设计法是FIR 数字滤波器里最简单的一种设计法，又叫傅里叶级数法，为了设计简单方便，通常选择所希望逼近的滤波器的频率响应函数)(ωj d e H 为具有片段常数特性的理想滤波器，寻找一组)(n h ，确定其频率响应10()()N j j n n H e h n e ωω--==∑，然后用()j H e ω来逼近()j d H e ω[1]。
窗函数法设计FIR 滤波器是在时域中进行的，那么可以通过傅里叶反变换得到得到频率响应()j d H e ω，即：1()()2j jn d d H n H e e d πωωπωπ-=⎰ （2-1）在实际中，)(ωj d e H 一般是处于逐段恒定的，在边界频率处有不连续点，因而单位脉冲响应)(n h d 是无限长的非因果序列，不能直接作为FIR 数字滤波器的单位脉冲响应，因此需要对)(n h d 进行截断，转换为有限长的一段因果序列，也就是用一个有限长度的窗函数序列)(n ω来截取)(n h d ，即)(*)()(n h n n h d ω=，并将非因果序列转变为一个因果序列。
截取的长度和加权窗函数的形状都直接影响到逼近精度。
以截止频率为c ω，相位为零的理想低通滤波器为例，其频率特性为：1() 0c j d c H e ωωωωωπ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩（2-2）通过傅里叶反变换得到对应的()d h n 为：sin()()c d n h n nωπ= （2-3） 此时的()d h n 是一个无限长的非因果序列，我们需要对其进行截断，变成一个有限长的因果序列。
可以先把()d h n 向右平移(1)/2a N =-个点，得到'()d h n 为： 1sin ()2'()()1()2c d d N n h n h n a N n ωπ-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=-=-- （2-4） 相应的传输函数'()j d H e ω为：'()()()j j j a j a d d d H e h e e H e ωωωωω--== （2-5）然后对'()d h n 截取从0到1N -的N 个点，N 为窗函数的长度，所得的结果()h n 表示为：()()*'()d h n n h n ω= （2-6）()n ω表示窗函数，一般用下标来表示窗函数的类型，矩形窗记为()R n ω。
2.1.2 常见窗函数介绍常见的窗函数有矩形窗（Rectangle Window ）、三角形窗（Bartlerr Window ）、汉宁（Hanning ）窗——升余弦窗、哈明（Hamming ）窗——改进的升余弦窗、布莱克曼（Blackman ）窗、凯塞—贝塞尔窗（Kaiser-Basel Window ）[7]。
矩形窗的窗函数为：11 ()20 otherwiseR N n n ω-⎧≤⎪=⎨⎪⎩ （2-7）其频谱的幅度函数为sin(/2)()sin(/2)g R N W ωωω=（2-8）矩形窗的主瓣宽度为4/n π，用矩形窗设计的FIR 数字滤波器的过渡带宽度近似为1.8/N π。
三角形窗的窗函数为：21 0n (1)12()212 (1)112B n N N n n N n N N ω⎧≤≤-⎪⎪-=⎨⎪--<≤-⎪-⎩（2-9） 其频谱的幅度函数为22sin(/4)()sin(/2)g B N W N ωωω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2-10） 三角窗的主瓣宽度为8/n π。
