《数学建模》05秋模拟试题

数学建模模拟试题（一）一、填空题（每题5分，共20分）1. 若,,x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是 .2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 .3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 .4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型.二、分析判断题（每小题15分，满分30分）1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是),ml /mg (100/56 又过两个小时，含量降为),ml /mg (100/40试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)ml /mg (.（提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ∆+内酒精浓度的改变量为t t kC t C t t C ∆-=-∆+)()()(其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.）三、计算题（每题25分，满分50分）1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.2. 三个砖厂321,,A A A 向三个工地321,,B B B 供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表.试安排调运方案，使总费用最小？数学建模模拟试题（一）参考答案一、填空题（每题5分，共20分）1. k kx y ,=是比例常数；2. )()(2211t n p m t n p m +<+；3. 增长率是常数还是人口的递减函数；4. 类比.二、分析判断题（每小题15分，满分30分）1. 问题涉及到时间、地点和人员三大因素，故应该考虑到的因素至少有以下几个： （1）教师：是否连续上课，对时间的要求，对多媒体的要求和课程种类的限制等； （2）学生：是否连续上课，专业课课时与公共基础课是否冲突，选修人数等； （3）教室：教室的数量，教室的容纳量，是否具备必要的多媒体等条件；（每个因素3分） 2. 设)(t C 为t 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为,/kC C -=其通解是,e)0()(ktC t C -=而)0(C 就是所求量.由题设可知,40)5(,56)3(==C C 故有 56e )0(3=-kC 和 ,40e )0(5=-k C由此解得.94e 56)0(17.040/56e 32≈=⇒≈⇒=k k C k可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.三、计算题（每题25分，满分50分）1. 设21,x x 表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料限制条件： ,902321≤+x x ,303221≤+x x ,805821≤+x x 目标函数满足 ,680580m ax 21x x z += 合在一起便是所求线性规划模型：,680580m ax 21x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≤+≤+≤+.2,1,0,8058,3032,9023212121j x x x x x x x j （1）使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这是因为所有约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地.计算知：最优解为 ,)740,745(T*=X 目标值为 753300max =z （万元）.（2）利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量，将解代入可检验而知羊毛有7259单位的剩余量. 2. 本问题是一个产销平衡的运输问题，可以利用表上作业法直接求解，其次对方案进行最优性检验：λ11 = 10-4+6-7=5 > 0， λ12 = 6-4+6-5=3 > 0， λ31 = 8-7+5-3=3 > 0， λ33 = 9-3+5-6=5 > 0，故上述方案已是最优方案，即总运费最低的调运方案为：21503310223021160231701,,,,B A B A B A B A B A −→−−→−−→−−→−−→− 总费用为 2460150310630516071704=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（百元）.数学建模模拟试题（二）一、填空题（每题5分，共20分）1. 设S 表示挣的钱数，x 表示花的钱数，则“钱越多花的也就越多”的数学模型可以简单表示为 .2. 假设,,21x C Y Y C S ∝∝则S 与x 的数学关系式为 ，其中21,C C 是常数.3. 在建立人口增长问题的罗捷斯蒂克模型时，假设人口增长率r 是人口数量)(t x 的递减函数，若最大人口数量记作,m x 为简化模型，采用的递减函数是 .4. 一次晚会花掉100元用于食品和饮料，其中食品至少要花掉40%，饮料起码要花30元，用f 和d 列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是 .二、分析判断题（每题15分，满分30分）1. 作为经济模型的一部分，若产量的变化率与生产量和需求量之差成正比，且需求量中一部分是常数，另一部分与产量成正比，那么相应的微分方程模型是什么？.2. 考虑在一片面积为定数的草地上进行牛的养殖问题.为了获得最大经济效益，指出建立该问题数学模型应该考虑的相关因素至少5个.三、计算题（每题25分，满分50分）1. 设某小型工厂使用A ，B 两种原料生产甲、乙两种产品，按工艺，生产每件产品甲需要原料A ，B 依次为6、5个单位，生产每件产品乙需要原料A ，B 依次为2、10个单位，两种原料的供给量依次为18和40个单位，两种产品创造的产值分别为1万元和2万元，试建立其生产规划模型，并回答以下问题：（1）产值最大的生产方案是什么？最大产值是多少？方案是否有可选择余地？若有请至少再给出一个.（2）依你所给最优方案，说明原料的利用情况.2. 如图一是某村镇9个自然屯（用91,,v v 表示）间可架设有线电视线路的最短距离示意图，边旁数字为距离（单位：km ）.若每km 的架设费用是定数20元/m ，试协助有线电视网络公司设计一个既使得各村屯都能看到有线电视又使架设费用最低的路线，并求出最小架设费用.数学建模模拟试题（二）参考答案一、填空题（每题5分，共20分） 1. 0,>=k kx S ；2. kx x C C k k S ==2121，其中2121C C k k k =；3. )1()(mx xr x r -=； 4. 30,4.0)/(,100≥≥+≤+d d f f f d .二、分析判断题（每题15分，满分30分）1. 令x 表示产量，y 表示需求量，则有)(d d x y k tx-=以及,bx a y +=其中k b a ,,均为常数.将后一式代入前一式即可得到d cx tx x b a k t x +=⇒-+=d d ))1((d d2. 饲料来源、公羊与母羊的比例、饲料冬储、繁殖问题、羊的养殖年限、出售时机、v 1 v 2 v 3 v 4 v 6 v 5 v 7v 9 v 8 3 4 6 2 5 4 11 3 6 4 2 8 7 5图一羊制品及其深加工等.三、计算题（每题25分，满分50分）1. 设生产甲、乙两种产品的数量依次为,,21x x z 表示总产值，则有模型如下：212m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+≤+.2,1,0401051826..2121j x x x x x t s j使用图解法易得其产值最大的生产方案将有无穷多组（这是因为第二个约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率相等），其中的两个方案可以选为该直线段上的两个端点：,)4,0(,)3,2(T 2T1==XX最大产值均为 8=z （万元）（2）按照上面的第一个解，原材料全部充分利用；而按照第二个解，原材料A 将有10个单位的剩余量，原材料B 将被充分利用（但产品甲不生产）.2. 由题意可知，只需求出该网络图的最小树即可.利用破圈法容易得树形图（图二）：故得架设路线为:总架线长度为27km ，故总架设费用为 5420100027=⨯⨯（万元）图二 v 1 v 2 v 3 v 4 v 6 v 5 v 8 v 7 v 9 4 32 43 42 5。

2002年全国大学生数学建模竞赛题目A 题 车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。

经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。

要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。

在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。

在屏上过A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A 点的同侧取B 点和C 点，使AC=2AB=2.6米。

要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

请解决下列问题：（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

（3）讨论该设计规范的合理性。

B 题 彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组9~0号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从4~0号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。

投注者从9~0十个号码中任选6个基本号码（可重复），从4~0中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。

以中奖号码“abcdef+g ”为例说明中奖等级，如表一（X 表示未选中的号码）。

个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。

投注者从33~01个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。

又如“36选6+1”的方案，先从36~01个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。

福州大学第一届数学建模竞赛题目参考解答A 题参考解答分析：该公司制定的2005年上半年商品房建造的月进度计划，应使得公司的利润最大。

其中销售收入是确定的，跟月进度计划无关，可以不予考虑。

销售费用与当月的销售金额成正比，也跟建造计划无关，固定费用是固定的支出，都可不予考虑。

题意最后变成制定建造计划使得可变成本和折旧费用之和最小。

模型假设1、商品房要求在6月份全部销售完，这样可变成本中的人工成本是固定的，不予考虑。

人工成本在可变成本中占到40%，因此当第i 月份的建造量为i u 套时，可变成本表示为)1(3.06.0)1(5.022i i i i a u a u +=⨯+万元；2、平均每套未售出的房屋每月折旧费为0.1万元，因此当第i 月份尚未售出的房屋为i x 套时，当月计提折旧费为0.1i x 万元；3、每个月的建造和销售是均匀发生的。

模型中用到的符号i x —第i 月初尚未售出的商品房套数（状态变量），i =1,2,3,4,5,6 i u —第i 月份建造的商品房套数（决策变量）, i =1,2,3,4,5,6 i s —第i 月份销售的商品房套数, i =1,2,3,4,5,6i a —第i 月份建材价格相对于2004年12月的涨幅, i =1,2,3,4,5,6模型建立与求解 问题（1）本题为求解下列非线性规划模型：6,5,4,3,2,100,496,5,4,3,2,1..))1(3.01.0(min 711612=≥===-+=+++=∑i u x x i s x u x t s a u xi i i i i i i i i上述模型也可以转化成求解如下动态规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-+===+++=+++≥0,491,2,3,4,5,60)(1,2,3,4,5,6)}()]1(3.01.0{[min )(71177112x x i s x u x x f i x f a u x x f i i i i i i i i i u i i i1、 逆向递推求解贝尔曼基本方程i =6，)}(]39.01.0{[min )(772660666x f u x x f u ++=≥ （1）将666*629x x s u -=-=代入（1）得26666)29(39.01.0)(x x x f -+=。

数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。

试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。

f 和g 都是连续函数。

椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。

不妨设0)0(,0)0(g >=f 。

当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。

这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。

就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。

证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。

2005年数学建模竞赛题目-----------------------------------------------------------------------------------------B题洁具流水时间设计我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。

特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。

许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。

而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。

某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。

方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。

若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。

方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。

若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。

但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。

该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表：（1）请你根据以上数据，比较上述两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的；（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。

2005年数学建模竞赛题目-----------------------------------------------------------A题制定月建造计划福州市某著名房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并结合今年上半年可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司2005年上半年的销售情况如下表所示：该公司的楼盘2004年12月的销售均价为4000元/平方米，平均每套120平方米，今年上半年的售价保持不变。

2004年12月末尚有49套现房未售出。

商品房从规划到售出会发生下列费用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40%），按照2004年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套120平方米计算）的平方成正比，比例系数为0.5。

且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10%，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。

（2）销售费用，与当月的销售金额成正比。

（3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分40年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为48万元/（40*12）=0.1万元。

2004年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年上半年建材的价格仍会有一定的增长。

预计的增长速度（以2004年12月的价格为基准）见下表：该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从2005年1月到6月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套120平方米计算）。

（1）如果公司的月建造能力没有限制，并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前要全部完成交房，如何制定月建造计划？（2）如果公司每月的建造能力限于33套（以平均每套120平方米计算），并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？。

2005数学建模试题1．（10分）设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 78)(65)(+-=+=p p f p p ϕ其中p 为商品单价，试判断市场是否稳定并给出推理过程。

2．（10分）某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植 物与每种基因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？ 3．（10分）建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的 捕捞量。

4. （10分）试建立Lanchester 游击战模型，并在无自然损失及没有增援的条件下求解模型，给出敌对双方获胜的条件。

5. （10分）根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.7, 出现高 水水情的概率为0.2, 出现洪水水情的概率为0.1。

.位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：a) 运走，需支付运费20万元。

b) 修堤坝保护，需支付修坝费8万元。

c) 不作任何防范，不需任何支出。

若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失600万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失300万元，发生洪水时损失设备600万元。

根据上述条件，选择最佳决策方案。

6．（10分）由七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。

包装箱的宽和高时一样的，但厚度（t ，以厘米计）及重量（ω，以公斤计）是不同的。

下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。

每辆平板车有10.2米的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。

由于当地货运得限制，对C 5，C 6，C 7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7厘米。

试把包装箱（见下表）装到平板车上去使得浪费的空间最小。

数学建模模拟试题及答案一、填空题(每题 5 分，共 20 分)1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是.2. 设银行的年利率为 0.2，则五年后的一百万元相当于现在的万元.3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：(1) 参加展览会的人数n； (2)气温T 超过10o C；(3)冰淇淋的售价p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有 A长方形街路后再返回邮局 .若每个小长方形街路的边长横向均为 1km，纵向均为 2km，则他至少要走 km .二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。

为尽量图一多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。

2. 某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈 .若 2000 年底时有1200 个病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性 .三、计算题(每题 20 分，共 40 分)1. 某工厂计划用两种原材料A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1 、1 个单位，产值为 3 (百元)；乙的需要量依次为 3、1 个单位，产值为 9 (百元)；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5： 2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：(1) 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由 .(2) 原材料的利用情况 .2. 两个水厂A1 , A2将自来水供应三个小区B1 , B2 , B3 , 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表 .试安排供水方案，使总供水费最小？四、 综合应用题(本题 20 分)某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入 水库.为了防洪，须调节泄洪速度 .经测算，若打开一个泄洪闸， 30 个小时水位降至安全线， 若打开两个泄洪闸， 10 个小时水位降落至安全线 .现在，抗洪指挥部要求在 3 个小时内将水 位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决 .注：本题要求按照五步建模法给出全过程 .小区 单价/元水厂A1A供应量 / t170B34B11 07 1B26数学建模 06 春试题模拟试题参考解答一、填空题(每题 5 分，共 20 分)1. 奇数顶点个数是 0 或 2；2. 约 40.1876 ；3. N = Kn(T10) / p, (T > 10 0 C), K 是比例常数； 4. 42.二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点 的温度等.注：列出的因素不足四个，每缺一个扣 2.5 分。

07年秋季学期《数学模型及数学软件》试卷A 卷一、最优定价问题（14 分）： 现有一家有80间套房的旅馆来请你试营，看看知识如何转化为财富。

历史资料显示，若把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。

每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。

问按常规经营模式你该如何定价才能赚最多的钱？。

如果历史资料有误差，对结果有何影响？最后你对出租方式是否有更多有益的考虑，最好能定量给予描述。

二、还贷款问题（14 分）： 某居民于2004年6月1日时向商业银行按揭贷款60万元买房，贷款期为20年，并约定每月按等额还款法还款，月底结算，当时年利率5.28%。

因国家经济宏观调控政策逐步出台，货币政策也经历了积极财政政策到稳健的财政政策，并向从紧的货币政策过渡。

估计贷款年利率将于2008年1月1日起上调2.4个百分点。

问该居民至今为止已还款多少元？再确定明年每月多还款的额度。

最后你从数学角度是否有什么更好的建议给房贷投资者？三、旅行线路问题（14 分）：在上一次竞选运动中，一位候选人作全国竞选。

假定行程的第一天他朝东走，第二天朝北走，第三天朝西走，第四天朝南走，第五天又朝东走，如此这般。

如果这位候选人在第n 天走2/2n 公里，那么第40天结束时已经走了多远的路程？他到出发点的距离又是多少？四、生产计划问题（14 分）： 某厂生产甲乙两种产品,每千克甲产品需原煤6千克,电10度,可获利10元； 每千克乙产品需原煤5千克,电20度,可获利9元.今工厂共有原煤60千克, 电150度；又由于其他条件所限甲产品产量不超过8千克。

问两种产品各生产多少使获利最大？五、飞行问题（14 分）：国际乒联为了增加乒乓球比赛的观赏性,希望降低球的飞行速度.现制比赛用球的直径是38毫米.1996年国际乒联接受了一项关于对直径40毫米乒乓球进行实验的提案,提案要求球的质量不变.为了简化讨论,设空气对球的阻力与球的直径平方成正比,并且球沿水平方向作直线运动.试估算一下若采用40毫米乒乓球,球从球台这端飞往另一端所需时间能增加百分之多少? 据中国乒协调研组提供的资料,扣杀38毫米乒乓球时,击球速度约为26.35米/秒,球的平均飞行速度约为17.8米/秒.六 进货策略问题（16 分）： 新年快到了，某书摊老板打算营销一种日历画片。

2004~2005数学建模考试题注意：1．时间：19：30～21：302．写出姓名、班级、学号 3．写清所选题号1．福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析所示：．福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析所示：时间时间所需售货员人数所需售货员人数星期一星期一 15星期二星期二 24 星期三星期三 25 星期四星期四 19 星期五星期五 31 星期六星期六28星期日星期日28 为了保证售货员充分休息，售货员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。

问如何安排人员的作息，既满足了工作的需要，又使配备的销售人员的数量最少？试建立数学模型，不求解。

学模型，不求解。

2．某采购员准备采购100万元的货物，拟在五种畅销的货物中进行选择，已知采购各种货物所需金额和购进后所能获得的利润如表所示，问采购哪几种货物才能获利最大？试建立数学模型，不求解。

学模型，不求解。

货物货物P1 P2 P3 P4 P5 采购所需金额（万元）56 20 54 42 15 利润（万元）利润（万元）75963试建立数学模型，不求解。

试建立数学模型，不求解。

3．某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40台，第二季度末交60台，第三季度末交80台。

工厂的最大生产能力为每季100台，每季的生产费用为2()500.2()f x x x =+元，此处x 为该季生产发动机的台数。

若工厂生产的多，多余的发动机可移到下季向用户交货，这样，工厂就需支付存贮费，每台发动机每季的存贮费为4元。

问该厂每季应生产多少台发动机，问该厂每季应生产多少台发动机，才能既满足交货合同，才能既满足交货合同，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少？又使工厂所花费的费用最少？又使工厂所花费的费用最少？ 试建立数学模型，不求解。

试建立数学模型，不求解。

4．某公司在六个城市C1,C1,…… C6种有分公司，从Ci 到Cj 的直接航程票价记在下述矩阵的（i,j ）为之上。

建模试题05秋模拟试题一、填空题（每题5分，共20分）1. 若银行的年利率是x %，则需要时间 ，存入的钱才可翻番.2. 有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动的次数T （次/秒）、鱼身的长度L 和它的速度V 的关系式为 .3. 已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的d 倍，且它的平均密度是地球的s 倍，则此行星质量是地球的 倍.4. 一个图能够一笔画的充分必要条件是 . 二、分析判断题（每题10分，共20分）1. 地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示.2. 假设某个数学模型建成为如下形式：.e ])1(1[)(22122x ax x M x P --=试在适当的假设下将这个模型进行简化. 三、计算题（每题20分，共40分）1. 某铝合金加工单位要加工一批成套窗料，每套窗料含有)(2.2m 和)(5.1m 长度的料各两根，总计要加工20套，所用原料的长度均为),(6.4m 试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少？2. 求如图一所示网络中1v 到9v 的最短路线及其路长.图一四、综合应用题（本题20分）一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：若每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？注：本题要求按照五步建模法给出建模全过程.数学建模05秋模拟试题参考解答一、填空题（每题5分，共20分）1. %)1ln(/2ln x +；2. kTL V = （k 是常数）； 3. 3sd ； 4. 该图为连通图且奇点个数为0或2.二、分析判断题（每题10分，共20分）1. 解：撤离时人员的分布状态S 、人员总数N 、撤离速度v 、人们之间相对拥挤程度r 、人员所在地与安全地点的距离L 、人员撤离完毕所需要的总时间t 等.注：列出的因素不足三个，每缺一个扣3.5分。

数学建模模拟试题模拟题1模拟题2模拟题3模拟题4模拟题5模拟题6模拟题1一、简答题(20分*2)1.试举出两个实例说明建立数学模型的必要性。

包括实际问题的背景。

建模的目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型等。

2.从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个），建立何种数学模型：“一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决”。

二、综合应用题（60分）试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。

（提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤。

）模拟题21.管道包扎问题管道需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部，为了节省材料，如何进行包扎才能使带子完全包住管道且带子不发生重叠.2.传染病模型假设为易受传染者注射预防针，注射的覆盖率同这类人数与传染者人数的平方之积成正比：00002|,|i n s s i i i l i s k dtdii s i s k dt dst t -===-=--===λ a ）求上述方程的轨线；b ）当疾病被消灭后还有易受传染者吗？3. 湖水污染问题若流入湖水的污染物浓度为)(t P I ，试构造模型，求t 时刻湖水中污染物的浓度。

4. 三级运载火箭问题a) 求三级火箭各级的最优质量分配；b) 证明n 级火箭的最优质量比是n 的单调下降函数，且当∞→n 时趋于uv e)1(λ-。

5. 生产销售存贮模型建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。

在每个生产周期T 内，开始一段时间（00T t ≤≤）边生产边销售，后一段时间（T t T ≤≤0）只销售不生产，存贮量)(t q 的变化如图所示。

设每次生产开工费为1c ，每件产品单位时间的存贮费为2c ，以总费用最小为准则确定最优周期T ，并讨论k r <<的情况。

数学建模模拟试题及答案一、填空题(每题5分，共20分) 1。

若,,x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是.2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择,队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 .3。

马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型.二、分析判断题（每小题15分，满分30分）1。

要为一所大学编制全校性选修课程表,有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2。

一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是),ml /mg (100/56 又过两个小时，含量降为),ml /mg (100/40试判断,当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)ml /mg (.(提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ∆+内酒精浓度的改变量为t t kC t C t t C ∆-=-∆+)()()(其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分,满分50分）1。

一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位。

试建立线性规划模型以求一个生产方案,使得总产值达到最大，并由此回答：（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由。

（2） 原材料的利用情况。

2。

三个砖厂321,,A A A 向三个工地321,,B B B 供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表。

2005 MCM ProblemsPROBLEM A: Flood PlanningLake Murray in central South Carolina is formed by a large earthen dam, which was completed in 1930 for power production. Model the flooding downstream in the event there is a catastrophic earthquake that breaches the dam.Two particular questions:Rawls Creek is a year-round stream that flows into the Saluda River a short distance downriver from the dam. How much flooding will occur in Rawls Creek from a dam failure, and how far back will it extend?Could the flood be so massive downstream that water would reach up to the S.C. State Capitol Building, which is on a hill overlooking the Congaree River?PROBLEM B: TollboothsHeavily-traveled toll roads such as the Garden State Parkway , Interstate 95, and so forth, are multi-lane divided highways that are interrupted at intervals by toll plazas. Because collecting tolls is usually unpopular, it is desirable to minimize motorist annoyance by limiting the amount of traffic disruption caused by the toll plazas. Commonly, a much larger number of tollbooths is provided than the number of travel lanes entering the toll plaza. Upon entering the toll plaza, the flow of vehicles fans out to the larger number of tollbooths, and when leaving the toll plaza, the flow of vehicles is required to squeeze back down to a number of travel lanes equal to the number of travel lanes before the toll plaza. Consequently, when traffic is heavy, congestion increases upon departure from the toll plaza. When traffic is very heavy, congestion also builds at the entry to the toll plaza because of the time required for each vehicle to pay the toll.Make a model to help you determine the optimal number of tollbooths to deploy in a barrier-toll plaza. Explicitly consider the scenario where there is exactly one tollbooth per incoming travel lane. Under what conditions is this more or less effective than the current practice? Note that the definition of "optimal" is up to you to determine.2005 ICM ProblemPROBLEM C: Nonrenewable ResourcesSelect a vital nonrenewable or exhaustible resource (water, mineral, energy, food, etc.) for which your team can find appropriate world-wide historic data on its endowment, discovery, annual consumption, and price.The modeling tasks are:ing the endowment, discoveries, and consumption data, model thedepletion or degradation of the commodity over a long horizon using resource modeling principles.2.Adjust the model to account for future economic, demographic, politicaland environmental factors. Be sure to reveal the details of your model, provide visualizations of the model’s output, and explain limitations of the model.3.Create a fair, practical "harvesting/management" policy that may includeeconomic incentives or disincentives, which sustain the usage over a long period of time while avoiding severe disruption of consumption, degradation or rapid exhaustion of the resource.4.Develop a "security" policy that protects the resource against theft,misuse, disruption, and unnecessary degradation or destruction of the resource. Other issues that may need to be addressed are political and security management alternatives associated with these policies.5.Develop policies to control any short- or long-term "environmentaleffects" of the harvesting. Be sure to include issues such as pollutants, increased susceptibility to natural disasters, waste handling and storage, and other factors you deem appropriate.pare this resource with any other alternatives for its purpose. Whatnew science or technologies could be developed to mitigate the use and potential exhaustion of this resource? Develop a research policy to advance these new areas.。

A卷2009-2010学年第2学期《数学建模》试卷专业班级姓名分组号与学号开课系室数学与计算科学学院考试日期 2010 年7月题号一二三四五六七八总分得分阅卷人数学建模试卷(1007A)一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。

（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。

二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。

(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。

第一页三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q-值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席位的理想化原则。

（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。

四(15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r,k r．在每个生产周期T内，开始的一段时间（0 t T0）一边生产一边销售，后来的一段时间(T0t T）只销售不生产．设每次生产开工费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，（a)求出存储量q(t) 的表示式并画出示意图。

（2）以总费用最小为准则确定最优周期T，讨论kr的情况．第二页五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。

六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。

（2）在假设x0y0,b 9a条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争结局和结束时间。

第三页七（15分）设渔场鱼量的自然增长服从模型x rxln N，又单位时间捕捞量为xh Ex．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度E m 和渔场鱼量水平x0．八（10分）假设商品价格y k和供应量x k满足差分方程y k1 y0(xk1x k x0), 02xk1 x0(y k y0) 0求差分方程的平衡点，推导稳定条件第四页A卷2009-2010学年第2学期《数学模型》试题参考答案与评分标准专业班级开课系室数学与计算科学学院考试日期2010年7月数学建模试卷(1007A)参考答案与评分标准一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。

数学建模试题（带答案）第一章4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。

试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。

f 和g 都是连续函数。

椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。

不妨设0)0(,0)0(g >=f 。

当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。

这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。

就归结为证明如下的数学命题：已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。

证明存在0a ，使0)()(00==a g a f证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f8第二章7.10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ，销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出ka q kbp pa bp x r --++-=02)(当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为bakb ka q p 2220*+--=6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。

一、根除埃博拉病毒世界医学协会已经宣布他们的新药物能阻止埃博拉病毒并且可以治愈一些处于非晚期疾病患者。

建立一个现实的，合理的并且有用的模型，该模型不仅考虑了疾病的蔓延，需要药物的量，可能可行的输送系统，输送的位置，疫苗或药物的生产速度，而且也要考虑其他重要的因素，诸如你的团队认为有必要作为模型的一部分来进行优化而使埃博拉病毒根除的一些因素，或者至少考虑当前的状态。

除了你的用于比赛的建模方法外，为世界医学协会准备一份1-2页的非技术性的信,方便其在公告中使用。

二、饮酒驾车据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31号发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1.对大李碰到的情况做出解释；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。