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1－3 解：运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。
将运动方程对时间求导并将030=θ代入得34cos cos 22lk lk l y v ====θθθ938cos sin 2232lk lk y a =-==θθ1－6证明：质点做曲线运动，所以质点的加速度为：n t a a a +=,设质点的速度为v ，由图可知:a a v v yn cos ==θ，所以: yv va a n =将c v y =，ρ2n va =代入上式可得 ρc v a 3=证毕 1－7证明：因为n2a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n所以：va ⨯=3v ρ证毕1－10 解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度为s ,则有关系式：t v L s 0-=，并且 222x l s +=将上面两式对时间求导得：0v s-= ，x x s s 22= xyoan avy vθθtayzoan aθxovovF N Fg myθ由此解得：xsv x 0-= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得：2002v v s x x x=-=+ (b)将(a)式代入(b)式可得：3220220xlv x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上）取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：g F F a m m N ++=将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：N F F ym F mg xm +-=-=θθsin cos其中：2222sin ,cos l x l lx x +=+=θθ0,3220=-=yx l v x将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：23220)(1)(x lxl v g m F ++=1－11解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即：θcos A B v v = （a ） 因为x R x 22cos -=θ （b ）将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为：22R x xRv A -=ω （c ）由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得：222222)(x R R x xω=-将上式两边对时间求导可得：x x R x x R x xx 2232222)(2ω=--将上式消去x 2后，可求得：22242)(R x xR x--=ω (d)由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 22242)(R x xR a A -=ω取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：g F F a m m N ++=将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：mg F F ym F xm N -+=-=θθsin cos其中：x R x xR22cos ,sin -==θθ, 0,)(22242=--=y R x x R x ω将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2525)(,)(225222242R x x R m mg F R x x R m F N --=-=ωω1－13解：动点：套筒A ；动系：OC 杆；定系：机座；xθ AvAω ONF BRg mFyavevr v运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。
动量矩定理一、是非题1. 平动刚体各点的动量对一轴的动量矩之和可以用质心对该轴的动量矩表示。
（ √ ）2. 质点系对于任意动点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点的矩的矢量和。
（ × ）3. 因为质系的动量为C v p m =，所以质系对O 点的动量矩为()C O O mv M L =。
（ × ）4. 质点系的内力不能改变质点系的动量与动量矩。
（ √ ）5. 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。
（ √ ）6. 定轴转动刚体各点的动量对转轴上一点的动量矩之矢量和角速度矢量的数量积是负的值。
（ × ）动量矩7. 均质圆柱绕其对称轴作定轴转动，则圆柱惯性力系对于空间中平行于转轴的任意一轴的力矩之和，都是同一值。
（ √ ）动量矩8. P 为刚体作平面运动的速度瞬心，有动量矩定量)(d d )e (i P pM t L F ∑=。
（ √ ）动量矩 9. 均质平面正多边形，对平面内过其形心的任一轴的转动惯量均相等。
（ √ ）动量矩10. 如果质点系的质心速度为零，则质点系对任一固定点的动量矩都一样。
（ √ ）动量矩11. 图示无重刚杆焊接在z 轴上，与z 轴夹角90≠β，两球A 、B 焊接在杆两端，两球质量相同，且OB AO =，系统绕z 轴以不变的角速度ω转动，试判断下述说法是否正确：（1）系统对O 点的动量矩守恒，对z 轴的动量矩不守恒。
（ × ）（2）系统对O 点的动量矩不守恒，对z 轴的动量矩守恒。
（ √ ）（3）系统对O 点及z 轴的动量矩都守恒。
（ × ）（4）系统对O 点及z 轴的动量矩都不守恒。
（ × ）12. 图中，若两轮的转动惯量皆为J ，质心都在各自转轴上，轮I 的半径为R ，轮Ⅱ的半径为r ，两轮接触处无相对滑动，轮I 的角速度为ω 。
试判断下述说法是否正确：（1）系统对1O 轴的动量矩为零。
第零章 数学准备一 泰勒展开式1 二项式的展开()()()()()m 23m m-1m m-1m-2f x 1x 1mx+x x 23=+=+++！！2 一般函数的展开()()()()()()()()230000000f x f x f xf x f x x-x x-x x-x 123!''''''=++++！！特别:00x =时,()()()()()23f 0f 0f 0f x f 0123!x x x ''''''=++++！！3 二元函数的展开(x=y=0处)()()00f f f x y f 0x+y x y ⎛⎫∂∂=++ ⎪∂∂⎝⎭，22222000221f f f x 2xy+y 2x x y y ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭！评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线性问题的转化。
在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。
二 常微分方程1 一阶非齐次常微分方程： ()()x x y+P y=Q通解：()()()P x dx P x dx y e c Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰注：()()(),P x dx P x dx Q x e dx ⎰±⎰⎰积分时不带任意常数，()x Q 可为常数。
2 一个特殊二阶微分方程2y A y B =-+ 通解：()02B y=K cos Ax+Aθ+注：0,K θ为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程 ()x y ay by f ++=通解：*y y y =+；y 为对应齐次方程的特解，*y 为非齐次方程的一个特解。
非齐次方程的一个特解 （1） 对应齐次方程0y ay by ++=设x y e λ=得特征方程2a b 0λλ++=。
解出特解为1λ，2λ。
*若12R λλ≠∈则1x 1y e λ=，2x 2y e λ=；12x x 12y c e c e λλ=+*若12R λλ=∈则1x 1y e λ=，1x 2y xe λ=； 1x 12y e (c xc )λ=+*若12i λαβ=±则x 1y e cos x αβ=，x 2y e sin x αβ=；x 12y e (c cos x c sin x)αββ=+（2） 若()2000x f a x b x c =++为二次多项式*b 0≠时，可设*2y Ax Bx C =++ *b 0≠时，可设*32y Ax Bx Cx D =+++注：以上1c ,2c ,A,B,C,D 均为常数，由初始条件决定。
(a)A(a)O第10章 动能定理及其应用10－1 计算图示各系统的动能：1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。
在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ = 45º（图a ）。
2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b ）。
3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。
细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。
解：1．222222163)2(2121)2(212121BB BC C C mv r v mr v m J mv T =⋅+=+=ω 2．222122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=⋅++=3．22222222)2(212121ωωωωmR R m mR mR T =++=10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。
现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。
当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系统的动能。
解：图（a ）B A T T T +=)2121(21222211ωC C J v g W v g W ++=21221121212211122]cos 22)2[(22ωϕωω⋅⋅+⋅++++=l gW l l v l v l g W v g W]cos 31)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。
齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。
曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。
试求行星齿轮机构的动能。
理论力学习题册答案班级＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿＿＿第1章 受力分析概述1－3 试画出图示各物体的受力图。
或(a-2)(a-1)(b-1)(c-1)或(b-2) (d-1)(e-1)(e-2)(f-1)(e-3)(f-2)(f-3)F AF BF A(b-3)(a-3)(a-2)(b-2)(b-1)(a-1)1－4* 图a 所示为三角架结构。
荷载F 1作用在铰B 上。
杆AB 不计自重，杆BC 自重为W 。
试画出b 、c 、d 所示的隔离体的受力图，并加以讨论。
习题1－4图1－7 画出下列每个标注字符的物体的受力图，各题的整体受力图未画重力的物体的自重均不计，所有接触面均为光滑面接触。
abe(d-2)(c-1)(b-1)(b-2) (b-3)(c-2)(d-1)i gj第2章 力系的等效与简化2－3 图示正方体的边长a =，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。
解：)(2)()(j i k i Fr F M +-⨯+=⨯=Fa A O m kN )(36.35)(2⋅+--=+--=k j i k j i Fam kN 36.35)(⋅-=F x M2－9 图示平面任意力系中F 1 = 402N ，F 2 = 80N ，F 3 = 40N ，F 4 = 110M ，M = 2000 N ·mm 。
各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm 。
求力系向O 点简化的结果。
FFFF (0,30)(20,20)(20,-30)(-50,0)45yxRF 'ooM yxoRF (0,-6)解：N 15045cos 421R -=--︒=∑=F F F F F x x 045sin 31R =-︒=∑=F F F F y yN 150)()(22'R =∑+∑=y x F F Fm m N 900305030)(432⋅-=--+=∑=M F F F M M O O F向O 点简化结果如图（b ）；合力如图（c ），其大小与方向为N 150'R R i F F -==Ar A(a)(b)（c）（d）第3章静力学平衡问题3－2图示为一绳索拔桩装置。
O ωRr ABθ习题9－2图习题20-3图OxF Oy F gm Ddα习题20-3解图第9章 动量矩定理及其应用9-１ 计算下列情形下系统的动量矩。
1. 圆盘以ω的角速度绕Ｏ轴转动,质量为m 的小球Ｍ可沿圆盘的径向凹槽运动,图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处(图a ）;求小球对Ｏ点的动量矩。
2． 图示质量为ｍ的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮心为A ，质心为C ，且ＡＣ = e ;轮子半径为R ,对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上(图b ）。
(1）当轮子只滚不滑时,若v A 已知,求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时,若v A 、ω已知,求轮子的动量和对B 点的动量矩。
解:１、2s m L O ω=（逆)2、（1）)1()(Remv e v m mv p A A C +=+==ω(逆)Rv me J R e R mv J e R mv L A A AC C B )()()(22-++=++=ω (2))(e v m mv p A C ω+==ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=9－２ 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动,其大、小半径分别为R 、r ，对Ｏ轴的转动惯量为ＪＯ;物块A 、B 的质量分别为m A 和ｍB ；试求系统对O 轴的动量矩。
解:ω)(22r m R m J L B A O O ++=9-3 图示匀质细杆ＯA 和ＥＣ的质量分别为50kg 和10０ｋｇ，并在点Ａ焊成一体。
若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时,杆的角加速度及铰链O 处的约束力。
不计铰链摩擦。
解：令m ＝ m OA = 50 k ｇ,则m ＥC = 2m 质心D 位置:（设ｌ = １ m) m 6565===l OD d 刚体作定轴转动,初瞬时ω=0 l mg l mg J O ⋅+⋅=22α 222232)2(212131ml ml l m ml J O =+⋅⋅+= 即mgl ml 2532=α2rad/s 17.865==g l αgl a D 362565t =⋅=α 由质心运动定理:Oy D F mg a m -=⋅33t4491211362533==-=mg g mmg F Oy Ｎ（↑) 0=ω,0n=D a ， 0=Ox F(a)OMvωωA BC Rv A(b)习题9－1图（b ）习题9－5解图J习题9－5图9-4 卷扬机机构如图所示。
可绕固定轴转动的轮B 、C ，其半径分别为R 和r ，对自身转轴的转动惯量分别为J 1和J 2。
被提升重物A 的质量为m ,作用于轮C 的主动转矩为Ｍ，求重物A 的加速度。
解：对轮Ｃ:r F M J C T 2-=α对轮B 和重物Ａ：mgR R F mR J -'=+T 21)(α运动学关系:ααR r a C ==2222212)(rmR R J r J rR mgr M a ++-=9－5 图示电动绞车提升一质量为m 的物体，在其主动轴上作用一矩为M 动力偶。
已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各自转动轴的转动惯量分别为Ｊ1和J 2；传动比r ２ : r 1 ＝ i ；吊索缠绕在鼓轮上,此轮半径为R 。
设轴承的摩擦和吊索的质量忽略不计，求重物的加速度。
解:对轮1(图ａ)：111Fr M J -=α对轮2（图ｂ):mgR r F mR J -'=+2222)(α 2211ααr r =;21ααi =21222iJ mR J mgRMi ++-=α 重物的加速度:21222)(i J mR J RmgR Mi R a ++-==α９-6 均质细杆长2l ,质量为m ,放在两个支承A 和Ｂ上,如图所示。
杆的质心C 到两支承的距离相等,即AC ＝ ＣB = e 。
现在突然移去支承B ,求在刚移去支承Ｂ瞬时支承A 上压力的改变量ΔＦＡ。
解：mge J A =α，mge me ml =+α)31(22A C F mg ma -=22233e l ge e a C +==α 22233e l mge mg F A +-= mge l l e mg e l mge F mg F A A )3(2323322222222+-=-+=-=∆习题9－6图习题9－4图习题9－6解图α习题9－7图习题9－8图dB ACgm lF(b) 习题9－7解图Agm CθBθrd +9-7 为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销A 处的衬套管，并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动，如图a 、ｂ所示。
摆动100次所用的时间为１00s 。
另外,如图c 所示,为了求得连杆重心到悬挂轴的距离ＡC = ｄ，将连杆水平放置，在点A 处用杆悬挂,点B 放置于台秤上，台秤的读数F = 490Ｎ。
已知连杆质量为8０kg,A 与B 间的距离l =1m ，十字头销的半径ｒ = ４0mm 。
试求连杆对于通过质心C 并垂直于图面的轴的转动惯量J C 。
解:图(a ），1<<θ时,θθ)(r d mg J A +-= 0)(=++θθr d mg J A 0)(=++θθAJ r d mg AJ r d mg )(n +=ω )(π2π2n r d mg J T A+==ωﻩ(1） 2)(r d m J J C A ++= (2）由图（b):0=∑A M ，625.085===mg Fl d ｍ代入(1)、（2),注意到周期s 2=T ，得22222m kg 45.17)665.0π8.9(665.080)](π)[()(π)(⋅=-⨯⨯=+-+=+-+=r d g r d m r d m r d mg J C9－８ 图示圆柱体A 的质量为m ,在其中部绕以细绳,绳的一端Ｂ固定。
圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。
求当圆柱体的轴降落了高度ｈ时圆柱体中心A 的速度υ和绳子的拉力F T 。
解:法1:图（a ） T F mg ma A -= （1） r F αJ A T = （2）r αa A =ﻩ(3) 221mr J A = 解得mg F 31T =(拉） g a A 32=(常量）（4）习题9－10图ORr F θ习题9－9图AαA v Aa rCTF gm(a)由运动学 gh h a v A A 3322==（↓） 法2:由于动瞬心与轮的质心距离保持不变,故可对瞬心Ｃ用动量矩定理：mgr J C =ϕﻩ（５） 2223mr mr J J A C =+=又 r a A =ϕg a A 32=（同式（4））再由 T F mg ma A -= 得 mg F 31T=(拉) gh h a v A A 3322==（↓)9-９ 鼓轮如图,其外、内半径分别为R 和r ,质量为m ，对质心轴O 的回转半径为ρ，且ρ２＝ R ·r ，鼓轮在拉力F 的作用下沿倾角为θ的斜面往上纯滚动，Ｆ力与斜面平行，不计滚动摩阻。
试求质心O 的加速度。
解：鼓轮作平面运动，轴Ｏ沿斜面作直线运动：θsin f mg F F ma O --=ﻩ(1） R F Fr m f 2+=αρ（２)纯滚：αR a O =ﻩ(3)代入(2)R F Fr Ra m O f 2+=⋅ρﻩ(4） 解（1)、(4)联立,消去F ｆ,得)(sin )(222ρθ+-+=R m mgR r R FR a O9-１0 图示重物Ａ的质量为m ,当其下降时,借无重且不可伸长的绳使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。
绳子跨过不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。
滑轮B 与滚子C 固结为一体。
已知滑轮Ｂ的半径为Ｒ，滚子Ｃ的半径为r ，二者总质量为m ′，其对与图面垂直的轴O 的回转半径为ρ。
求:重物A 的加速度。
O Rr FθF f F N m g习题9－11图DABC习题9－12图rαD NF Fagm MM f(a)解：法1:对轮:Fr TR J O -=αﻩ(1） T F a m O -='ﻩ（2）对A :T mg ma A -=ﻩ(３)又:tH H A a a a ==绳以O 为基点:tn n t HO HO O H H a a a a a ++=+ααα)(tt r R r R a a a O HO H -=-=-=（→）α)(r R a A -=(↓)(4）由上四式联立，得(注意到2ρm J O '=）1)()()()()(2222222+-+⋅'=-++'-=r R r m m gr R m r m r R mg a A ρρ法2:对瞬心E 用动量矩定理（本题质心瞬心之距离为常数）)(r R T J E -=α T mg ma A -= 又α)(r R a A -=)(222r m r m J J O E +'='+=ρ 可解得：1)()(222+-+⋅'=r R r m m ga A ρ9-11 图示匀质圆柱体质量为m ,半径为r ,在力偶作用下沿水平面作纯滚动。
若力偶的力偶矩M 为常数,滚动阻碍系数为δ，求圆柱中心Ｏ的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。
解:f M M J D -=α (1)N f F M δ= mg F =N223mr J D =ra =α代入(1),得mrmg M a 3)(2δ-=又：F ma =rmg M F 3)(2δ-=9－１2 跨过定滑轮D 的细绳,一端缠绕在均质圆柱体A 上，另一端系在光滑水平面上的物体B 上，如图所示。
已知圆柱Ａ的半径为r ,质量为m 1;物块Ｂ的质量为m 2。
试求物块Ｂ和圆柱质心Ｃ的加速度以及绳索的拉力。
滑轮D 和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。
解:对轮C ： r F J C T =αT 11F g m a m C -=对物块Ｂ：T 2F a m B = 且：αr a a B C +=；2121r m J C =解得:g m m m a B2113+= ；gm m m m a C 212132++= g m m m m F 2121T 3+=HOOHO an H anHO atH a (b)m F 绳H a HT 'g m OT(a)a AF·Em ′gNF αagm 1F O(a)xθAF ..Cy ..Cx αA C BBF gm O(b)AαCθPgm BBAF(a)９－13 图示匀质圆轮的质量为ｍ，半径为r ，静止地放置在水平胶带上。
若在胶带上作用拉力F ,并使胶带与轮子间产生相对滑动。
设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为f 。
